ÿþA n d r z e j W i [n i e w s k i
L o g i k a I
M a t e r i a By d o w y k Ba d u d l a s t u d e n t ó w k o g n i t y w i s t y k i
W y k Ba d 4 . S e m a n t y k a K l a s y c z n e g o R a c h u n k u Z d a D
1
J z y k K l a s y c z n e g o R a c h u n k u Z d a D
S k r ó t y : z a m i a s t K l a s y c z n y R a c h u n e k Z d a D p i s z K R Z .
D e f i n i c j a 4 . 1 . D o a l f a b e t u j z y k a K R Z n a l e | n a s t p u j c e z n a k i , i t y l k o
o n e :
p 1 , p 2 , p 3 , . . . ( z m i e n n e z d a n i o w e )
¬ , ’!, '", (", ”! ( s p ó j n i k i )
( ) ( n a w i a s y )
Z m i e n n y c h z d a n i o w y c h j e s t p r z e l i c z a l n i e n i e s k o Dc z e n i e w i e l e ; z a -
m i a s t p 1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 b d ( c z a s a m i ) p i s a B p , q , r , s , t .
Z b i ó r w s z y s t k i c h z m i e n n y c h z d a n i o w y c h j z y k a K R Z o z n a c z s y m -
b o l e m V A R .
D e f i n i c j a 4 . 2 . W y r a |e n i e m j z y k a K R Z j e s t k a |d y s k o Dc z o n y c i g e l e -
m e n t ó w a l f a b e t u j z y k a K R Z .
W y r a |e n i a p o p r a w n i e z b u d o w a n e ( s e n s o w n e ) j z y k a K R Z t o f o r -
m u By t e g o j z y k a .
2
J z y k K R Z . F o r m u By
D e f i n i c j a 4 . 3 . Z b i ó r F O R M f o r m u B j z y k a K R Z j e s t n a j m n i e j s z y m z b i o r e m
s p e Bn i a j c y m n a s t p u j c e w a r u n k i :
( i ) V A R †" F O R M ,
( i i ) j e |e l i w y r a |e n i e A n a l e |y d o F O R M , t o w y r a |e n i e m a j c e
p o s t a ¬ A n a l e |y d o F O R M ,
( i i i ) j e |e l i w y r a |e n i a A , B n a l e | d o F O R M , t o w y r a |e n i a m a j c e
p o s t a : ( A ’! B ) , ( A '" B ) , ( A (" B ) , ( A ”! B ) r ó w n i e | n a l e | d o
F O R M .
K a |d y e l e m e n t z b i o r u F O R M n a z y w a m y f o r m u B j z y k a K R Z .
Z a m i a s t f o r m u Ba K R Z b d ( w o b r b i e t e g o w y k Ba d u ! ) m ó w i B/ p i s a B
f o r m u Ba .
U w a g a : L i t e r y A , B , C , D w y s t p u j w t y m w y k Ba d z i e w n o w y c h r o l a c h .
P o p r z e d n i o b y By o n e z m i e n n y m i p r z e b i e g a j c y m i z b i o r y . T e r a z s o n e
m e t a j z y k o w y m i z m i e n n y m i , k t ó r y c h w a r t o [c i a m i s f o r m u By .
3
J z y k K R Z . F o r m u By
D y g r e s j a : Z a m i a s t n a j p i e r w d e f i n i o w a p o j c i e f o r m u By i n a s t p n i e p o j -
c i e z b i o r u w s z y s t k i c h f o r m u B, z d e f i n i o w a l i [m y z b i ó r w s z y s t k i c h f o r m u B, a
p o t e m f o r m u By . J e s t t o p i e r w s z a r ó |n i c a w s t o s u n k u d o s p o s o b u p o s t -
p o w a n i a p r z y j t e g o n a w y k Ba d z i e z W p r o w a d z e n i a d o l o g i k i . D r u g a
r ó |n i c a p o l e g a n a t y m , |e i n a c z e j r o z m i e [c i l i [m y n a w i a s y . W z w i z k u z
t y m t r z e b a i n a c z e j o k r e [l i z a s a d y p o m i j a n i a n a w i a s ó w w f o r m u Ba c h .
T e r a z s o n e n a s t p u j c e :
( i ) w o l n o p o m i n z e w n t r z n p a r n a w i a s ó w w f o r m u l e ,
( i i ) s p ó j n i k i '" i (" w i | s i l n i e j n i | s p ó j n i k i ’! i ”!.
P o t r z e c i e , w p r o w a d z i l i [m y m n i e j s p ó j n i k ó w .
O b a s p o s o b y p o s t p o w a n i a p r z y j t y t u t a j i p r z y j t y n a w y k Ba d z i e z
W p r o w a d z e n i a d o l o g i k i - s r ó w n o p r a w n e .
4
F u n k c j e p r a w d z i w o [c i o w e
N i e c h 1 i 0 b d w a r t o [c i a m i l o g i c z n y m i , o d p o w i e d n i o P r a w d i
F a Bs z e m .
D e f i n i c j a 4 . 4 . P o d p o j c i e m n - a r g u m e n t o w e j ( n e" 1 ) f u n k c j i p r a w d z i w o -
[c i o w e j r o z u m i e m y f u n k c j n z m i e n n y c h p r z e b i e g a j c y c h z b i ó r { 0 , 1 } i o
w a r t o [c i a c h n a l e |c y c h d o z b i o r u { 0 , 1 } .
F u n k c j e p r a w d z i w o [c i o w e p r z y p o r z d k o w u j z a t e m n - t k o m u p o -
r z d k o w a n y m w a r t o [c i l o g i c z n y c h w a r t o [c i l o g i c z n e .
M ó w i c [c i [l e j , j e s t t a k , g d y n > 1 ; g d y n = 1 , t o f u n k c j a p r a w d z i w o -
[c i o w a p r z y p o r z d k o w u j e w a r t o [c i o m l o g i c z n y m w a r t o [c i l o g i c z n e .
P r z y k Ba d 4 . 1 . F u n k c j a f ¬ : { 0 , 1 } | ’! { 0 , 1 } o k r e [l o n a p r z e z r ó w n o [c i :
( i ) f ¬ ( 1 ) = 0 ,
( i i ) f ¬ ( 0 ) = 1
j e s t 1 - a r g u m e n t o w f u n k c j p r a w d z i w o [c i o w .
5
F u n k c j e p r a w d z i w o [c i o w e
P r z y k Ba d 4 . 2 . F u n k c j a f '": { 0 , 1 } × { 0 , 1 } | ’! { 0 , 1 } o k r e [l o n a p r z e z r ó w n o [c i :
( i ) f '"( 1 , 1 ) = 1 ,
( i i ) f '"( 1 , 0 ) = 0 ,
( i i i ) f '"( 0 , 1 ) = 0 ,
( i v ) f '"( 0 , 0 ) = 0
j e s t 2 - a r g u m e n t o w f u n k c j p r a w d z i w o [c i o w .
F u n k c j f '" m o |n a t e | o k r e [l i p r z y p o m o c y k a |d e j z n a s t p u j c y c h
t a b e l e k :
f '"
1 0
f '"
1 1 1
1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
6
F u n k c j e p r a w d z i w o [c i o w e
P r z y k Ba d 4 . 3 . F u n k c j e f ’!, f (", f ”! o k r e [l o n e p r z e z t a b e l k i :
1 0 1 0 1 0
f ’! f (" f ”!
1 1 0 1 1 1 1 1 0
0 1 1 0 1 0 0 0 1
s 2 - a r g u m e n t o w y m i f u n k c j a m i p r a w d z i w o [c i o w y m i .
F u n k c j e f '", f ’!, f (", f ”! c h a r a k t e r y z u j , k o l e j n o , s e m a n t y c z n e w Ba s n o -
[c i s p ó j n i k ó w '", ’!, (", ”!. F u n k c j a f ¬ c h a r a k t e r y z u j e s e m a n t y c z n i e
s p ó j n i k n e g a c j i ¬ . I t f u n k c j m o |n a o k r e [l i p r z y p o m o c y t a b e l k i :
f ¬
1 0
0 1
7
W a r t o [c i o w a n i a
D e f i n i c j a 4 . 5 . W a r t o [c i o w a n i e m n a z y w a m y k a |d f u n k c j
v : F O R M | ’! { 0 , 1 } t a k , |e :
( i ) d l a k a |d e j z m i e n n e j z d a n i o w e j z : v ( z ) = 1 a l b o v ( z ) = 0 ;
( i i ) v ( ¬ A ) = 1 w t w v ( A ) = 0 ;
( i i i ) v ( A '" B ) = 1 w t w v ( A ) = 1 o r a z v ( B ) = 1 ;
( i v ) v ( A (" B ) = 1 w t w v ( A ) = 1 l u b v ( B ) = 1 ;
( v ) v ( A ’! B ) = 1 w t w v ( A ) = 0 l u b v ( B ) = 1 ;
( v i ) v ( A ”! B ) = 1 w t w v ( A ) = v ( B ) .
K o m e n t a r z : G d y w a r u n e k z p r a w e j s t r o n y r ó w n o [c i ( i i ) ( v i ) n i e j e s t s p e Bn i o n y , t o
w a r t o [ o d p o w i e d n i e j f o r m u By p r z y w a r t o [c i o w a n i u v w y n o s i r z e c z j a s n a 0 .
W a r u n e k ( i ) j e s t r e d u n d a n t n y , j a k o |e w a r t o [c i o w a n i e j e s t f u n k c j z e z b i o r u F O R M w
z b i ó r { 0 , 1 } , a V A R ‚" F O R M . J e d n a k |e b r a k r e d u n d a n c j i n i e z a w s z e s p r z y j a j a s n o [c i .
D a n e , k o n k r e t n e w a r t o [c i o w a n i e p r z y p o r z d k o w u j e k a |d e j f o r m u l e
d o k Ba d n i e j e d n w a r t o [ l o g i c z n : 0 l u b 1 .
8
W a r t o [c i o w a n i a
W n i o s e k 4 . 1 . N i e i s t n i e j e w a r t o [c i o w a n i e , p r z y k t ó r y m w a r t o [c i d a n e j
f o r m u By s z a r ó w n o 1 , j a k i 0 .
J e s t o c z y w i s t e , |e i s t n i e j e n i e s k o Dc z e n i e w i e l e w a r t o [c i o w a D.
D y g r e s j a : C z a s a m i o b o k p o j c i a w a r t o [c i o w a n i a w p r o w a d z a s i t e | o s o b n e p o -
j c i e w a r t o [c i o w a n i a z m i e n n y c h . W a r t o [c i o w a n i e z m i e n n y c h j e s t f u n k c j p r z y -
p o r z d k o w u j c k a |d e j z m i e n n e j z d a n i o w e j j a k [ w a r t o [ l o g i c z n . J e d n a k |e
w a r t o [c i o w a n i e r o z u m i a n e w s e n s i e d e f i n i c j i 4 . 5 r ó w n i e | p r z y p o r z d k o w u j e
w a r t o [c i l o g i c z n e w s z y s t k i m z m i e n n y m z d a n i o w y m , a l b o w i e m w a r t o [c i o w a n i e
p r z y p o r z d k o w u j e k a |d e j f o r m u l e w a r t o [ l o g i c z n , a k a |d a z m i e n n a j e s t f o r -
m u B.
D l a d o c i e k l i w y c h : W a r t o [c i o w a n i e m z m i e n n y c h z d a n i o w y c h n a z y w a m y k a |d
f u n k c j v # : V A R | ’! { 0 , 1 } . J e s t o c z y w i s t e , |e k a |d e w a r t o [c i o w a n i e z m i e n n y c h
z d a n i o w y c h m o |n a r o z s z e r z y d o d o k Ba d n i e j e d n e g o w a r t o [c i o w a n i a f o r m u B v ,
m i a n o w i c i e t a k i e g o , p r z y k t ó r y m v ( z ) = v # ( z ) d l a k a |d e j z m i e n n e j z d a n i o w e j .
N b . z a u w a |m y , |e l i t e r a z u |y t a w d e f i n i c j i 4 . 5 i w p o w y |s z y m s f o r m u Bo -
w a n i u n i e j e s t z m i e n n z d a n i o w , l e c z j e s t m e t a j z y k o w z m i e n n p r z e b i e g a -
j c z b i ó r z m i e n n y c h z d a n i o w y c h .
9
W a r t o [c i o w a n i a
Z w i z e k m i d z y z d e f i n i o w a n y m i w y |e j f u n k c j a m i p r a w d z i w o [c i o -
w y m i f ¬ , f '", f (", f ’!, f ”! a w a r t o [c i o w a n i a m i j e s t n a s t p u j c y :
W n i o s e k 4 . 2 . N i e c h v b d z i e d o w o l n y m w a r t o [c i o w a n i e m .
( i ) v ( ¬ A ) = f ¬ ( v ( A ) ) ,
( i i ) v ( A '" B ) = f '"( v ( A ) , v ( B ) ) ,
( i i i ) v ( A (" B ) = f ("( v ( A ) , v ( B ) ) ,
( i v ) v ( A ’! B ) = f ’!( v ( A ) , v ( B ) ) ,
( v ) v ( A ”! B ) = f ”!( v ( A ) , v ( B ) ) .
1 0
O b l i c z a n i e w a r t o [c i f o r m u By p r z y w a r t o [c i o w a n i u
A b y o b l i c z y w a r t o [ f o r m u By A p r z y d a n y m w a r t o [c i o w a n i u v , n i e
t r z e b a z n a w a r t o [c i w s z y s t k i c h z m i e n n y c h z d a n i o w y c h p r z y t y m w a r -
t o [c i o w a n i u . W y s t a r c z y z n a w a r t o [c i l o g i c z n e p r z y p o r z d k o w a n e
p r z e z v z m i e n n y m w y s t p u j c y m w a n a l i z o w a n e j f o r m u l e A . J e s t t a k
d l a t e g o , |e z a c h o d z i :
T w i e r d z e n i e 4 . 1 . N i e c h A b d z i e f o r m u B, n a t o m i a s t v i v * b d w a r t o -
[c i o w a n i a m i t a k i m i , |e :
( $ ) d l a d o w o l n e j z m i e n n e j z d a n i o w e j z w y s t p u j c e j w f o r m u l e A ,
v ( z ) = v * ( z ) .
W ó w c z a s v ( A ) = v * ( A ) .
Z t w i e r d z e n i a 4 . 1 w y n i k a , i | w a r t o [ f o r m u By p r z y d a n y m w a r t o [c i o w a n i u
n i e z a l e |y o d w a r t o [c i ( p r z y t y m w a r t o [c i o w a n i u ) z m i e n n y c h z d a n i o w y c h n i e
w y s t p u j c y c h w a n a l i z o w a n e j f o r m u l e : i s t o t n e s t y l k o w a r t o [c i z m i e n n y c h
w y s t p u j c y c h w r o z w a |a n e j f o r m u l e .
1 1
O b l i c z a n i e w a r t o [c i f o r m u By p r z y w a r t o [c i o w a n i u
P r z y k Ba d 4 . 4 . N i e c h v b d z i e w a r t o [c i o w a n i e m t a k i m , |e v ( p ) = 1 o r a z
v ( q ) = 0 . N i e c h A b d z i e f o r m u B p ’! q '" p . L i c z y m y k r o k p o k r o k u :
v ( p ’! q '" p )
= f ’!( v ( p ) , v ( q '" p ) ) ( b o z a c h o d z i v ( A ’! B ) = f ’!( v ( A ) , v ( B ) )
= f ’!( v ( p ) , f '"( v ( q ) , v ( p ) ) ) ( b o z a c h o d z i v ( A '" B ) = f '"( v ( A ) , v ( B ) )
= f ’!( 1 , f '"( 0 , 1 ) ) ( b o v ( p ) = 1 i v ( q ) = 0 )
= f ’!( 1 , 0 ) ( b o f '"( 0 , 1 ) = 0 )
= 0 ( b o f ’!( 1 , 0 ) = 0 ) .
T o s a m o m o |e m y z r o b i s z y b c i e j , w y p i s u j c o d p o w i e d n i w i e r s z t a b e l k i
z e r o j e d y n k o w e j :
p q
q '" p p ’! q '" p
1 0 0 0
1 2
T a u t o l o g i e K R Z . M e t o d a z e r o j e d y n k o w a
D e f i n i c j a 4 . 6 . F o r m u Ba A j e s t t a u t o l o g i K R Z w t w d l a k a |d e g o w a r t o [c i o -
w a n i a v z a c h o d z i v ( A ) = 1 .
W a r t o [c i o w a D j e s t n i e s k o Dc z e n i e w i e l e . J e d n a k |e a b y s p r a w d z i ,
c z y f o r m u Ba j e s t t a u t o l o g i , n i e m u s i m y w c a l e d o k o n y w a n i e s k o Dc z e -
n i e w i e l u o b l i c z e D.
N i e c h A b d z i e f o r m u B, w k t ó r e j w y s t p u j e d o k Ba d n i e n r ó |n y c h
m i d z y s o b z m i e n n y c h z d a n i o w y c h . O z n a c z m y j e s y m b o l a m i z 1 , z 2 , . . . ,
z n . O g ó B w a r t o [c i o w a D m o |e m y p o d z i e l i n a d w i e k l a s y : d o p i e r w s z e j
n a l e | t e , p r z y k t ó r y c h w a r t o [c i z m i e n n e j z 1 j e s t 1 , d o d r u g i e j t e , p r z y
k t ó r y c h w a r t o [c i z 1 j e s t 0 . O g ó B w a r t o [c i o w a D z p i e r w s z e j k l a s y m o -
|e m y d a l e j p o d z i e l i z u w a g i n a w a r t o [ z m i e n n e j z 2 , i p o d o b n i e d l a
w a r t o [c i o w a D z d r u g i e j k l a s y . K o n t y n u u j c p o s t p o w a n i e w z g l d e m k o -
l e j n y c h z m i e n n y c h z 3 , . . . , z n , o t r z y m a m y w e f e k c i e 2 n r ó |n y c h k l a s w a r -
t o [c i o w a D.
1 3
z 1 z 1 z 2 z 1 z 2 z 3
1 1 1
0 1 1
0 1 0
1
1 0
0 0
0
1
1
0 0
1
0
0
1 4
T a u t o l o g i e K R Z . M e t o d a z e r o j e d y n k o w a
T e r a z w y b i e r a m y d o k Ba d n i e j e d n o w a r t o [c i o w a n i e z k a |d e j w y r ó |-
n i o n e j k l a s y i b a d a m y , j a k a j e s t w a r t o [ f o r m u By p r z y t y m w a r t o [c i o w a -
n i u . G d y w k a |d y m r o z w a |a n y m p r z y p a d k u o t r z y m a m y w a r t o [ 1 , f o r -
m u Ba j e s t t a u t o l o g i . T a k w i c a b y w y k a z a , |e f o r m u Ba o n z m i e n n y c h
j e s t t a u t o l o g i , w y s t a r c z y d o k o n a 2 n s p r a w d z e D.
Z n a n e P a Ds t w u t a b e l k i z e r o j e d y n k o w e s Bu | w Ba [n i e d o m e c h a n i -
z a c j i r o z u m o w a n i a p o w y |s z e g o t y p u .
p q
p ’! q ( p ’! q ) '" p ( p ’! q ) '" p ’! q
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
0 1 1 0 1
0 0 1 0 1
1 5
T a u t o l o g i e K R Z . M e t o d a z e r o j e d y n k o w a
p q r
p ’! q q ’! r ( p ’! q ) '" ( q ’! r ) p ’! r ( p ’! q ) '" ( q ’! r ) ’! ( p ’! r )
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0 1
1 0 1 0 1 0 1 1
1 0 0 0 1 0 0 1
0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1 1
1 6
T a u t o l o g i e K R Z . M e t o d a s k r ó c o n a
B u d o w a n i e t a b e l k i z e r o j e d y n k o w e j m o |e b y , m ó w i c e u f e m i s t y c z -
n i e , |m u d n y m z a j c i e m . Z w y k l e c h o c i a | n i e z a w s z e l e p i e j j e s t s k o -
r z y s t a z r o z u m o w a n i a n i e w p r o s t .
I s t o t a r o z u m o w a n i a p o l e g a t u n a t y m , |e z a k Ba d a m y , i | i s t n i e j e w a r -
t o [c i o w a n i e v , p r z y k t ó r y m a n a l i z o w a n a f o r m u Ba A m a w a r t o [ 0 , t j .
v ( A ) = 0 . G d y t a k i e z a Bo |e n i e d o p r o w a d z i n a s d o s p r z e c z n o [c i , w n o s i -
m y s t d , |e A j e s t t a u t o l o g i . R o z u m o w a n i e p r o w a d z i m y w m e t a j z y k u
i k o r z y s t a m y w n i m z d e f i n i c j i p o j c i a w a r t o [c i o w a n i a , w n i o s k u 4 . 2 o r a z
d e f i n i c j i o d p o w i e d n i c h f u n k c j i p r a w d z i w o [c i o w y c h .
1 7
T a u t o l o g i e K R Z . M e t o d a s k r ó c o n a
P r z y k Ba d 4 . 5 . Z a k Ba d a m y , |e i s t n i e j e w a r t o [c i o w a n i e v t a k i e , |e :
v ( ( p ’! q ) '" p ’! q ) = 0 .
1 . v j e s t w a r t o [c i o w a n i e m ( z a Bo |e n i e )
2 . v ( ( p ’! q ) '" p ’! q ) = 0 ( z a Bo |e n i e )
3 . v ( p ’! q ) '" p ) = 1 ( z ( 2 ) )
4 . v ( q ) = 0 ( z ( 2 ) )
5 . v ( p ’! q ) = 1 ( z ( 3 ) )
6 . v ( p ) = 1 ( z ( 3 ) )
7 . v ( q ) = 1 ( z ( 5 ) i ( 6 ) )
8 . v n i e j e s t w a r t o [c i o w a n i e m ( z ( 7 ) i ( 4 ) )
s p r z e c z n o [ ( 1 ) i ( 8 ) ! ! ! Z a t e m d l a k a |d e g o w a r t o [c i o w a n i a v m a m y :
v ( ( p ’! q ) '" p ’! q ) = 1 . A n a l i z o w a n a f o r m u Ba j e s t t a u t o l o g i .
1 8
T a u t o l o g i e K R Z . M e t o d a s k r ó c o n a
P r z y k Ba d 4 . 6 . Z a k Ba d a m y , |e i s t n i e j e w a r t o [c i o w a n i e v t a k i e , |e :
v ( ( p ”! q ) ’! ( p ’! q ) ) = 0 .
1 . v j e s t w a r t o [c i o w a n i e m ( z a Bo |e n i e )
2 . v ( ( p ”! q ) ’! ( p ’! q ) ) = 0 ( z a Bo |e n i e )
3 . v ( p ”! q ) = 1 ( z ( 2 ) )
4 . v ( p ’! q ) = 0 ( z ( 2 ) )
5 . v ( p ) = 1 ( z ( 4 ) )
6 . v ( q ) = 0 ( z ( 4 ) )
7 . v ( p ”! q ) = 0 ( z ( 5 ) i ( 6 ) )
8 . v n i e j e s t w a r t o [c i o w a n i e m ( z ( 7 ) i ( 4 ) )
s p r z e c z n o [ ( 1 ) i ( 8 ) ! ! ! Z a t e m a n a l i z o w a n a f o r m u Ba j e s t t a u t o l o g i .
1 9
T a u t o l o g i e K R Z . M e t o d a s k r ó c o n a
P r z y k Ba d 4 . 7 . Z a k Ba d a m y , |e i s t n i e j e w a r t o [c i o w a n i e v t a k i e , |e :
v ( p (" q ’! ( ¬ p ’! q ) ) = 0 .
1 . v j e s t w a r t o [c i o w a n i e m ( z a Bo |e n i e )
2 . v ( p (" q ’! ( ¬ p ’! q ) ) = 0 ( z a Bo |e n i e )
3 . v ( ¬ p ’! q ) = 0 ( z ( 2 ) )
4 . v ( p ) = 0 ( z ( 3 ) )
5 . v ( q ) = 0 ( z ( 3 ) )
6 . v ( p (" q ) = 1 ( z ( 2 ) )
7 . 1 . v ( p ) = 1 ( z ( 6 ) ) 7 . 2 . v ( q ) = 1 ( z ( 6 ) )
8 . 1 . v n i e j e s t w a r t o [c i o w a n i e m 8 . 2 . v n i e j e s t w a r t o [c i o w a n i e m
N a o b u g a Bz i a c h o t r z y m a l i [m y s p r z e c z n o [. F o r m u Ba j e s t t a u t o l o g i .
2 0
T a u t o l o g i e K R Z . M e t o d a s k r ó c o n a
P r z y k Ba d 4 . 8 . Z a k Ba d a m y , |e i s t n i e j e w a r t o [c i o w a n i e v t a k i e , |e :
v ( p (" q ’! p ) = 0 .
1 . v j e s t w a r t o [c i o w a n i e m ( z a Bo |e n i e )
2 . v ( p (" q ’! p ) = 0 ( z a Bo |e n i e )
3 . v ( p ) = 0 ( z ( 2 ) )
4 . v ( p (" q ) = 1 ( z ( 2 ) )
5 . 1 . v ( p ) = 1 ( z ( 4 ) ) 5 . 2 . v ( q ) = 1 ( z ( 4 ) )
6 . 1 . v n i e j e s t w a r t o [c i o w a n i e m ( z ( 5 . 1 ) i ( 3 ) )
N i e j e s t t a k , |e n a k a |d e j g a Bz i o t r z y m a l i [m y s p r z e c z n o [. F o r m u Ba n i e j e s t
t a u t o l o g i .
N i e j a k o p r z y o k a z j i u s t a l i l i [m y , |e a n a l i z o w a n a f o r m u Ba p r z y j m u j e w a r t o [ 0
p r z y k a |d y m w a r t o [c i o w a n i u v t a k i m , |e v ( p ) = 0 i v ( q ) = 1 .
2 1
W y n i k a n i e l o g i c z n e n a g r u n c i e K R Z
N o t a c j a : Z a m i a s t f o r m u Ba B w y n i k a l o g i c z n i e n a g r u n c i e K R Z z f o r m u By
A p i s z e m y k r ó t k o : A ^% K R Z B .
D e f i n i c j a 4 . 7 . ( w y n i k a n i e l o g i c z n e n a g r u n c i e K R Z - f o r m u By z f o r m u By )
A ^% K R Z B w t w d l a k a |d e g o w a r t o [c i o w a n i a v z a c h o d z i :
( * ) j e |e l i v ( A ) = 1 , t o v ( B ) = 1 .
I n n y m i s Bo w y , f o r m u Ba B w y n i k a l o g i c z n i e n a g r u n c i e K R Z z f o r m u By
A w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y n i e i s t n i e j e t a k i e w a r t o [c i o w a n i e , p r z y k t ó r y m
w a r t o [c i f o r m u By A j e s t p r a w d a , a w a r t o [c i f o r m u By B j e s t f a Bs z .
K o m e n t a r z ( d l a h u m a n i s t ó w ) : Z a u w a |m y , |e p o d a n a d e f i n i c j a n i e p r z e s -
d z a , |e f o r m u Ba A j e s t p r a w d p r z y w a r t o [c i o w a n i u v . N i e m ó w i o n a o
|a d n y m k o n k r e t n y m w a r t o [c i o w a n i u , l e c z o w a r u n k u , k t ó r y m a b y
s p e Bn i o n y z u w a g i n a w s z y s t k i e w a r t o [c i o w a n i a .
2 2
W y n i k a n i e l o g i c z n e n a g r u n c i e K R Z
T w i e r d z e n i e 4 . 2 . A ^% K R Z B w t w f o r m u Ba A ’! B j e s t t a u t o l o g i K R Z .
D o w ó d : Z a p r a s z a m n a w y k Ba d : ) .
K o m e n t a r z : A b y w y k a z a , |e B w y n i k a l o g i c z n i e z A , w y s t a r c z y z a t e m
w y k a z a , |e A ’! B j e s t t a u t o l o g i . D y s p o n u j c m e t o d s t w i e r d z a n i a
t a u t o l o g i c z n o [c i d y s p o n u j e m y z a r a z e m m e t o d w y k a z y w a n i a , |e z a -
c h o d z i w y n i k a n i e l o g i c z n e f o r m u By z f o r m u By .
2 3
W y n i k a n i e l o g i c z n e n a g r u n c i e K R Z
P r z y k Ba d 4 . 9 . F o r m u Ba :
( p ’! q ) ’! ( ¬ q ’! ¬ p )
j e s t t a u t o l o g i K R Z z w a n p r a w e m t r a n s p o z y c j i . N a m o c y t w i e r d z e n i a
4 . 2 m a m y :
p ’! q ^%K R Z ¬ q ’! ¬ p
T a k w i c j e [l i k t o [ w n i o s k u j e z g o d n i e z e s c h e m a t e m :
p ’! q
¬ q ’! ¬ p
t o j e g o w n i o s e k w y n i k a l o g i c z n i e z p r z e s Ba n k i . Z a t e m w n i o s e k m u s i b y
p r a w d z i w y j e [l i t y l k o p r z e s Ba n k a j e s t p r a w d z i w a .
2 4
W y n i k a n i e l o g i c z n e n a g r u n c i e K R Z
W s z y s t k i e t a u t o l o g i e K R Z , w k t ó r y c h i m p l i k a c j a ’! j e s t s p ó j n i k i e m g Bó w -
n y m , n i o s i n f o r m a c j e o w y n i k a n i u l o g i c z n y m n a s t p n i k a z p o p r z e d n i k a . O t o
l i s t a w y b r a n y c h t a u t o l o g i i t e g o r o d z a j u ; w n a w i a s a c h p o d a j i c h n a z w y .
p '" q ’! p ( p r a w o s y m p l i f i k a c j i )
p ’! p (" q ( p r a w o a d d y c j i )
¬ ¬ p ’! p ( p r a w a p o d w ó j n e j n e g a c j i )
p ’! ¬ ¬ p
( p '" q ’! r ) ’! ( p ’! ( q ’! r ) ( p r a w o e k s p o r t a c j i )
( p ’! ( q ’! r ) ) ’! ( p '" q ’! r ) ( p r a w o i m p o r t a c j i )
p '" ¬ p ’! q ( p r a w o D u n s a S c o t u s a )
( p ’! q ) '" p ’! q ( m o d u s p o n e n d o p o n e n s )
( p ’! q ) '" ¬ q ’! ¬ p ( m o d u s t o l l e n d o t o l l e n s )
( p (" q ) '" ¬ p ’! q ( m o d u s t o l l e n d o p o n e n s )
2 5
W y n i k a n i e l o g i c z n e n a g r u n c i e K R Z
R o z w a |m y t e r a z w y n i k a n i e f o r m u By z e z b i o r u f o r m u B.
N o t a c j a : Z a m i a s t f o r m u Ba B w y n i k a l o g i c z n i e n a g r u n c i e K R Z z e z b i o r u
f o r m u B X p i s z e m y k r ó t k o : X ^% K R Z B .
D e f i n i c j a 4 . 8 . ( w y n i k a n i e l o g i c z n e - n a g r u n c i e K R Z f o r m u By z e z b i o r y f o r m u B)
X ^% K R Z B w t w d l a k a |d e g o w a r t o [c i o w a n i a v z a c h o d z i :
( * ) j e |e l i v ( A ) = 1 d l a k a |d e g o A " X , t o v ( B ) = 1 .
I n n y m i s Bo w y , f o r m u Ba B w y n i k a ( l o g i c z n i e n a g r u n c i e K R Z ) z e z b i o -
r u f o r m u B X w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y n i e i s t n i e j e t a k i e w a r t o [c i o w a n i e ,
p r z y k t ó r y m w s z y s t k i e f o r m u By w X s p r a w d , a B j e s t f a Bs z e m .
K o n w e n c j a : Z a m i a s t "A " X ( v ( A ) = 1 ) p i s z e m y c z a s a m i : v ( X ) = 1 . P i s z c t a k ,
m a m y n a m y [l i t o , |e w s z y s t k i e f o r m u By z e z b i o r u f o r m u B X s p r a w d z i w e p r z y
w a r t o [c i o w a n i u v . P r o s z z a p a m i t a , |e c z y t a n i e n a p i s u v ( X ) = 1 j a k o z b i ó r
X j e s t p r a w d z i w y p r z y w a r t o [c i o w a n i u v n i e m a s e n s u : t y l k o p o j e d y n c z e f o r -
m u By m o g b y p r a w d z i w e c z y f a Bs z y w e p r z y w a r t o [c i o w a n i a c h .
2 6
W y n i k a n i e l o g i c z n e n a g r u n c i e K R Z
Z b i ó r X m o |e b y r ó w n i e | z b i o r e m j e d n o e l e m e n t o w y m , p o w i e d z m y
{ A } . O c z y w i s t k o n s e k w e n c j p o d a n y c h d e f i n i c j i j e s t :
W n i o s e k 4 . 3 . { A } ^% K R Z B w t w A ^% K R Z B .
W y n i k a n i e f o r m u By z f o r m u By m o g l i b y [m y z a t e m z d e f i n i o w a j a k o
w y n i k a n i e f o r m u By z j e d n o e l e m e n t o w e g o z b i o r u f o r m u B. N i e z a c h o d z i
j e d n a k z a l e |n o [ o d w r o t n a .
P r z y k Ba d 4 . 1 0 . J e s t t a k , |e { p ’! q , p } ^% K R Z q . J e d n a k |e a n i n i e j e s t t a k ,
|e p ’! q ^% K R Z q , a n i n i e j e s t t a k , |e p ^% K R Z q .
2 7
W y n i k a n i e l o g i c z n e n a g r u n c i e K R Z
N o t a c j a : Z a m i a s t A 1 '" ( A 2 '" . . . ( A n - 1 '" A n ) . . . ) ) p i s z e m y A 1 '" A 2 '" . . . '" A n .
T w i e r d z e n i e 4 . 3 . { A 1 , A 2 , . . . , A n } ^% K R Z B w t w
f o r m u Ba A 1 '" A 2 '" . . . '" A n ’! B j e s t t a u t o l o g i K R Z .
D o w ó d : Z a p r a s z a m n a w y k Ba d : ) .
T a k w i c a b y w y k a z a , |e f o r m u Ba B w y n i k a l o g i c z n i e z e z b i o r u
f o r m u B u t w o r z o n e g o z f o r m u B A 1 , A 2 , . . . , A n , w y s t a r c z y p o k a z a , |e f o r -
m u Ba A 1 '" A 2 '" . . . '" A n ’! B j e s t t a u t o l o g i K R Z . Z d r u g i e j s t r o n y , t a u t o -
l o g i e p o d p a d a j c e p o d s c h e m a t A 1 '" A 2 '" . . . '" A n ’! B n i o s i n f o r m a c j e
o w y n i k a n i u f o r m u By B z e z b i o r u f o r m u B { A 1 , A 2 , . . . , A n } .
P r z y k Ba d 4 . 1 1 .
A 1 A 2 B
( p ’! q ) '" p ’! q
Z a t e m { p ’! q , p } ^%K R Z q .
2 8
W y n i k a n i e l o g i c z n e n a g r u n c i e K R Z
P r z y k Ba d 4 . 1 2 . K a |d a z p o d a n y c h n i |e j f o r m u B j e s t t a u t o l o g i p o d p a d a j -
c p o d s c h e m a t : A 1 '" A 2 ’! B :
( p ’! q ) '" ( q ’! r ) ’! ( p ’! r ) ( p r a w o s y l o g i z m u h i p o t e t y c z n e g o )
( p ’! q ) '" ( p ’! r ) ’! ( p ’! q '" r ) ( p r a w o m n o |e n i a n a s t p n i k ó w )
( p ’! r ) '" ( q ’! r ) ’! ( p (" q ’! r ) ( p r a w o d o d a w a n i a p o p r z e d n i k ó w )
Z a t e m :
{ p ’! q , q ’! r } ^%K R Z p ’! r
{ p ’! q , p ’! r } ^%K R Z p ’! q '" r
{ p ’! r , q ’! r } ^%K R Z p (" q ’! r
U w a g a : T a u t o l o g i e t e p o d p a d a j t e | p o d s c h e m a t A ’! B . Z a t e m m a m y
r ó w n i e | ( p ’! q ) '" ( q ’! r ) ^%K R Z p ’! r , i p o d o b n i e w p o z o s t a By c h p r z y -
p a d k a c h .
2 9
U w a g a k o Dc o w a , o p a r t a n a p r z y k Ba d z i e : P o n i e w a | f o r m u Ba p ’! r w y n i k a l o -
g i c z n i e ( n a g r u n c i e K R Z ) z e z b i o r u f o r m u B { p ’! q , q ’! r } , t o w n i o s k o -
w a n i e p r z e b i e g a j c e w e d l e s c h e m a t u :
p ’! q
q ’! r
p ’! r
m a t w Ba s n o [, |e j e [l i o b i e j e g o p r z e s Ba n k i s p r a w d z i w e , t o w n i o s e k
m u s i b y p r a w d z i w y . I n n y m i s Bo w y , m a m y t u t a j g w a r a n c j p r z e c h o d z e -
n i a o d p r a w d y d o p r a w d y . J e s t t o j e d y n a g w a r a n c j a d o s t a r c z a n a p r z e z
K R Z s a m a l o g i k a n i e d o s t a r c z a g w a r a n c j i p r a w d z i w o [c i p r z e s Ba n e k 1 ,
a z a t e m r ó w n i e | g w a r a n c j i p r a w d z i w o [c i w n i o s k u .
N i b y t o o c z y w i s t e , a l e n i e z a s z k o d z i p o w t ó r z y : )
1
Z w y j t k a m i , o k t ó r y c h n a w y k Ba d z i e .
3 0
L i t e r a t u r a :
C h o c i a | t e n w y k Ba d d o t y c z y B s p r a w p o d s t a w o w y c h , s o n e ( c o m o |e P a D-
s t w a z d z i w i ) r ó |n i e p r z e d s t a w i a n e w r ó |n y c h p o d r c z n i k a c h . U j c i a t e s
j e d n a k r ó w n o w a |n e .
W s z c z e g ó l n o [c i , p o j c i e w a r t o [c i o w a n i a w k o n t e k [c i e K R Z r o z u m i e s i
c z a s a m i o d m i e n n i e n i | n a t y m w y k Ba d z i e : z a w a r t o [c i o w a n i a u w a |a s i n i e -
s k o Dc z o n e c i g i w a r t o [c i l o g i c z n y c h 0 , 1 . W t e d y t r z e b a j e d n a k w p r o w a d z i
f u n k c j e d w u a r g u m e n t o w e , p r z y p o r z d k o w u j c e f o r m u Bo m i w a r t o [c i o w a n i o m
w a r t o [c i l o g i c z n e . P r z y k Ba d t a k i e g o p o d e j [c i a z n a j d P a Ds t w o w ( o b o w i z u j -
c y m w W i e l k o p o l s c e i n a z i e m i a c h p r z y l e g By c h ) p o d r c z n i k u [ 1 ] .
W a n g l o j z y c z n e j l i t e r a t u r z e p r z e d m i o t u p r z y p o r z d k o w a n i e w a r t o [c i l o -
g i c z n y c h z m i e n n y m z d a n i o w y m o k r e [l a s i c z a s a m i t e r m i n e m a s s i g n m e n t l u b
i n t e r p r e t a t i o n . T e r m i n i n t e r p r e t a t i o n b y w a t e | u |y w a n y n a o z n a c z e n i e t e g o , c o
n a z w a l i [m y t u t a j w a r t o [c i o w a n i e m ( a n g . v a l u a t i o n ) . T Bu m a c z e n a j z y k p o l s k i
p r z y j m u j r ó |n o r o d n e k o n w e n c j e t e r m i n o l o g i c z n e .
3 1
[ 1 ] T a d e u s z B a t ó g : P o d s t a w y l o g i k i , W y d a w n i c t w o N a u k o w e U A M , P o -
z n a D 1 9 9 4 ( i s t n i e j e w i e l e w y d a D t e j p o z y c j i ) .
[ 2 ] M o r d e c h a i B e n - A r i : L o g i k a m a t e m a t y c z n a w i n f o r m a t y c e , W y d a w -
n i c t w a N a u k o w o - T e c h n i c z n e , W a r s z a w a 2 0 0 5 .
[ 3 ] G e o f f r e y H u n t e r : M e t a l o g i k a , P a Ds t w o w e W y d a w n i c t w o N a u k o w e ,
W a r s z a w a 1 9 8 2 .
[ 4 ] M i e c z y s Ba w O m y Ba : Z a r y s l o g i k i , W y d a w n i c t w a S z k o l n e i P e d a g o -
g i c z n e , W a r s z a w a 1 9 9 5 .
a p o n a d t o p r a k t y c z n i e k a |d y w m i a r z a a w a n s o w a n y p o d r c z -
n i k l o g i k i .
3 2
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