plik


��Andrzej Wi[niewski Logika I MateriaBy do wykBadu dla student�w kognitywistyki WykBad 4. Semantyka Klasycznego Rachunku ZdaD 1 Jzyk Klasycznego Rachunku ZdaD Skr�ty: zamiast  Klasyczny Rachunek ZdaD pisz KRZ. Definicja 4.1. Do alfabetu jzyka KRZ nale| nastpujce znaki, i tylko one: p1, p2, p3, ... (zmienne zdaniowe) �, �!, '", (", �! (sp�jniki) ( ) (nawiasy) Zmiennych zdaniowych jest przeliczalnie nieskoDczenie wiele; za- miast p1, p2, p3, p4, p5 bd (czasami) pisaB p, q, r, s, t. Zbi�r wszystkich zmiennych zdaniowych jzyka KRZ oznacz sym- bolem VAR. Definicja 4.2. Wyra|eniem jzyka KRZ jest ka|dy skoDczony cig ele- ment�w alfabetu jzyka KRZ. Wyra|enia poprawnie zbudowane ( sensowne ) jzyka KRZ to for- muBy tego jzyka. 2 Jzyk KRZ. FormuBy Definicja 4.3. Zbi�r FORM formuB jzyka KRZ jest najmniejszym zbiorem speBniajcym nastpujce warunki: (i) VAR �" FORM, (ii) je|eli wyra|enie A nale|y do FORM, to wyra|enie majce posta �A nale|y do FORM, (iii) je|eli wyra|enia A, B nale| do FORM, to wyra|enia majce posta: (A �! B), (A '" B), (A (" B), (A �! B) r�wnie| nale| do FORM. Ka|dy element zbioru FORM nazywamy formuB jzyka KRZ. Zamiast  formuBa KRZ bd (w obrbie tego wykBadu!) m�wiB/pisaB  formuBa . Uwaga: Litery A, B, C, D wystpuj w tym wykBadzie w nowych rolach. Poprzednio byBy one zmiennymi przebiegajcymi zbiory. Teraz s one metajzykowymi zmiennymi, kt�rych warto[ciami s formuBy. 3 Jzyk KRZ. FormuBy Dygresja: Zamiast najpierw definiowa pojcie formuBy i nastpnie poj- cie zbioru wszystkich formuB, zdefiniowali[my zbi�r wszystkich formuB, a potem formuBy. Jest to pierwsza r�|nica w stosunku do sposobu post- powania przyjtego na wykBadzie z  Wprowadzenia do logiki . Druga r�|nica polega na tym, |e inaczej rozmie[cili[my nawiasy. W zwizku z tym trzeba inaczej okre[li zasady pomijania nawias�w w formuBach. Teraz s one nastpujce: (i) wolno pomin zewntrzn par nawias�w w formule, (ii) sp�jniki '" i (" wi| silniej ni| sp�jniki �! i �!. Po trzecie, wprowadzili[my mniej sp�jnik�w. Oba sposoby postpowania  przyjty tutaj i przyjty na wykBadzie z  Wprowadzenia do logiki - s r�wnoprawne. 4 Funkcje prawdziwo[ciowe Niech 1 i 0 bd warto[ciami logicznymi, odpowiednio Prawd i FaBszem. Definicja 4.4. Pod pojciem n-argumentowej (n e" 1) funkcji prawdziwo- [ciowej rozumiemy funkcj n zmiennych przebiegajcych zbi�r {0, 1} i o warto[ciach nale|cych do zbioru {0, 1}. Funkcje prawdziwo[ciowe przyporzdkowuj zatem n-tkom upo- rzdkowanym warto[ci logicznych warto[ci logiczne. M�wic [ci[lej, jest tak, gdy n > 1; gdy n = 1, to funkcja prawdziwo- [ciowa przyporzdkowuje warto[ciom logicznym warto[ci logiczne. PrzykBad 4.1. Funkcja f� : {0, 1} |�! {0, 1} okre[lona przez r�wno[ci: (i) f�(1) = 0, (ii) f�(0) = 1 jest 1-argumentow funkcj prawdziwo[ciow. 5 Funkcje prawdziwo[ciowe PrzykBad 4.2. Funkcja f'": {0, 1} � {0, 1} |�! {0, 1} okre[lona przez r�wno[ci: (i) f'"(1, 1) = 1, (ii) f'"(1, 0) = 0, (iii) f'"(0, 1) = 0, (iv) f'"(0, 0) = 0 jest 2-argumentow funkcj prawdziwo[ciow. Funkcj f'" mo|na te| okre[li przy pomocy ka|dej z nastpujcych tabelek: f'" 1 0 f'" 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 6 Funkcje prawdziwo[ciowe PrzykBad 4.3. Funkcje f�!, f(", f�! okre[lone przez tabelki: 1 0 1 0 1 0 f�! f(" f�! 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 s 2-argumentowymi funkcjami prawdziwo[ciowymi. Funkcje f'", f�!, f(", f�! charakteryzuj, kolejno, semantyczne wBasno- [ci sp�jnik�w '", �!, (", �!. Funkcja f� charakteryzuje semantycznie sp�jnik negacji �. I t funkcj mo|na okre[li przy pomocy tabelki: f� 1 0 0 1 7 Warto[ciowania Definicja 4.5. Warto[ciowaniem nazywamy ka|d funkcj v: FORM |�! {0, 1} tak, |e: (i) dla ka|dej zmiennej zdaniowej z: v(z) = 1 albo v(z) = 0; (ii) v(�A) = 1 wtw v(A) = 0; (iii) v(A '" B) = 1 wtw v(A) = 1 oraz v(B) = 1; (iv) v(A (" B) = 1 wtw v(A) = 1 lub v(B) = 1; (v) v(A �! B) = 1 wtw v(A) = 0 lub v(B) = 1; (vi) v(A �! B) = 1 wtw v(A) = v(B). Komentarz: Gdy warunek z prawej strony r�wno[ci (ii)  (vi) nie jest speBniony, to warto[ odpowiedniej formuBy przy warto[ciowaniu v wynosi rzecz jasna 0. Warunek (i) jest redundantny, jako |e warto[ciowanie jest funkcj ze zbioru FORM w zbi�r {0,1}, a VAR �" FORM. Jednak|e brak redundancji nie zawsze sprzyja jasno[ci. Dane, konkretne warto[ciowanie przyporzdkowuje ka|dej formule dokBadnie jedn warto[ logiczn: 0 lub 1. 8 Warto[ciowania Wniosek 4.1. Nie istnieje warto[ciowanie, przy kt�rym warto[ci danej formuBy s zar�wno 1, jak i 0. Jest oczywiste, |e istnieje nieskoDczenie wiele warto[ciowaD. Dygresja: Czasami obok pojcia warto[ciowania wprowadza si te| osobne po- jcie warto[ciowania zmiennych. Warto[ciowanie zmiennych jest funkcj przy- porzdkowujc ka|dej zmiennej zdaniowej jak[ warto[ logiczn. Jednak|e warto[ciowanie rozumiane w sensie definicji 4.5 r�wnie| przyporzdkowuje warto[ci logiczne wszystkim zmiennym zdaniowym, albowiem warto[ciowanie przyporzdkowuje ka|dej formule warto[ logiczn, a ka|da zmienna jest for- muB. Dla dociekliwych: Warto[ciowaniem zmiennych zdaniowych nazywamy ka|d funkcj v#: VAR |�! {0, 1}. Jest oczywiste, |e ka|de warto[ciowanie zmiennych zdaniowych mo|na rozszerzy do dokBadnie jednego warto[ciowania formuB v, mianowicie takiego, przy kt�rym v(z) = v#(z) dla ka|dej zmiennej zdaniowej. Nb. zauwa|my, |e litera  z u|yta w definicji 4.5 i w powy|szym sformuBo- waniu nie jest zmienn zdaniow, lecz jest metajzykow zmienn przebiega- jc zbi�r zmiennych zdaniowych. 9 Warto[ciowania Zwizek midzy zdefiniowanymi wy|ej funkcjami prawdziwo[cio- wymi f�, f'", f(", f�!, f�! a warto[ciowaniami jest nastpujcy: Wniosek 4.2. Niech v bdzie dowolnym warto[ciowaniem. (i) v(�A) = f�(v(A)), (ii) v(A '" B) = f'"(v(A), v(B)), (iii) v(A (" B) = f("(v(A), v(B)), (iv) v(A �! B) = f�!(v(A), v(B)), (v) v(A �! B) = f�!(v(A), v(B)). 10 Obliczanie warto[ci formuBy przy warto[ciowaniu Aby obliczy warto[ formuBy A przy danym warto[ciowaniu v, nie trzeba zna warto[ci wszystkich zmiennych zdaniowych przy tym war- to[ciowaniu. Wystarczy zna warto[ci logiczne przyporzdkowane przez v zmiennym wystpujcym w analizowanej formule A. Jest tak dlatego, |e zachodzi: Twierdzenie 4.1. Niech A bdzie formuB, natomiast v i v* bd warto- [ciowaniami takimi, |e: ($) dla dowolnej zmiennej zdaniowej z wystpujcej w formule A, v(z) = v*(z). W�wczas v(A) = v*(A). Z twierdzenia 4.1 wynika, i| warto[ formuBy przy danym warto[ciowaniu nie zale|y od warto[ci (przy tym warto[ciowaniu) zmiennych zdaniowych nie wystpujcych w analizowanej formule: istotne s tylko warto[ci zmiennych wystpujcych w rozwa|anej formule. 11 Obliczanie warto[ci formuBy przy warto[ciowaniu PrzykBad 4.4. Niech v bdzie warto[ciowaniem takim, |e v(p) = 1 oraz v(q) = 0. Niech A bdzie formuB p �! q '" p. Liczymy krok po kroku: v(p �! q '" p) = f�!(v(p), v(q '" p)) (bo zachodzi v(A �! B) = f�!(v(A), v(B)) = f�!(v(p), f'"(v(q), v(p))) (bo zachodzi v(A '" B) = f'"(v(A), v(B)) = f�!(1, f'"(0, 1)) (bo v(p) = 1 i v(q) = 0) = f�!(1, 0) (bo f'"(0, 1) = 0) = 0 (bo f�!(1, 0) = 0). To samo mo|emy zrobi szybciej, wypisujc odpowiedni wiersz tabelki zerojedynkowej: p q q '" p p �! q '" p 1 0 0 0 12 Tautologie KRZ. Metoda zerojedynkowa Definicja 4.6. FormuBa A jest tautologi KRZ wtw dla ka|dego warto[cio- wania v zachodzi v(A) = 1. Warto[ciowaD jest nieskoDczenie wiele. Jednak|e aby sprawdzi, czy formuBa jest tautologi, nie musimy wcale dokonywa nieskoDcze- nie wielu obliczeD. Niech A bdzie formuB, w kt�rej wystpuje dokBadnie n r�|nych midzy sob zmiennych zdaniowych. Oznaczmy je symbolami z1, z2, ..., zn. Og�B warto[ciowaD mo|emy podzieli na dwie klasy: do pierwszej nale| te, przy kt�rych warto[ci zmiennej z1 jest 1, do drugiej te, przy kt�rych warto[ci z1 jest 0. Og�B warto[ciowaD z pierwszej klasy mo- |emy dalej podzieli z uwagi na warto[ zmiennej z2, i podobnie dla warto[ciowaD z drugiej klasy. Kontynuujc postpowanie wzgldem ko- lejnych zmiennych z3, ..., zn, otrzymamy w efekcie 2n r�|nych klas war- to[ciowaD. 13 z1 z1 z2 z1 z2 z3 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 14 Tautologie KRZ. Metoda zerojedynkowa Teraz wybieramy dokBadnie jedno warto[ciowanie z ka|dej wyr�|- nionej klasy i badamy, jaka jest warto[ formuBy przy tym warto[ciowa- niu. Gdy w ka|dym rozwa|anym przypadku otrzymamy warto[ 1, for- muBa jest tautologi. Tak wic aby wykaza, |e formuBa o n zmiennych jest tautologi, wystarczy dokona 2n sprawdzeD. Znane PaDstwu tabelki zerojedynkowe sBu| wBa[nie do mechani- zacji rozumowania powy|szego typu. p q p �! q (p �! q) '" p (p �! q) '" p �! q 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 15 Tautologie KRZ. Metoda zerojedynkowa p q r p �! q q �! r (p �! q) '" (q �! r) p �! r (p �! q) '" (q �! r) �! (p �! r) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 16 Tautologie KRZ. Metoda skr�cona Budowanie tabelki zerojedynkowej mo|e by, m�wic eufemistycz- nie, |mudnym zajciem. Zwykle  chocia| nie zawsze  lepiej jest sko- rzysta z rozumowania nie wprost. Istota rozumowania polega tu na tym, |e zakBadamy, i| istnieje war- to[ciowanie v, przy kt�rym analizowana formuBa A ma warto[ 0, tj. v(A) = 0. Gdy takie zaBo|enie doprowadzi nas do sprzeczno[ci, wnosi- my std, |e A jest tautologi. Rozumowanie prowadzimy w metajzyku i korzystamy w nim z definicji pojcia warto[ciowania, wniosku 4.2 oraz definicji odpowiednich funkcji prawdziwo[ciowych. 17 Tautologie KRZ. Metoda skr�cona PrzykBad 4.5. ZakBadamy, |e istnieje warto[ciowanie v takie, |e: v((p �! q) '" p �! q) = 0. 1. v jest warto[ciowaniem (zaBo|enie) 2. v((p �! q) '" p �! q) = 0 (zaBo|enie) 3. v(p �! q) '" p) = 1 (z (2)) 4. v(q) = 0 (z (2)) 5. v(p �! q) = 1 (z (3)) 6. v(p) = 1 (z (3)) 7. v(q) = 1 (z (5) i (6)) 8. v nie jest warto[ciowaniem (z (7) i (4)) sprzeczno[ (1) i (8) !!! Zatem dla ka|dego warto[ciowania v mamy: v((p �! q) '" p �! q) = 1. Analizowana formuBa jest tautologi. 18 Tautologie KRZ. Metoda skr�cona PrzykBad 4.6. ZakBadamy, |e istnieje warto[ciowanie v takie, |e: v((p �! q) �! (p �! q)) = 0. 1. v jest warto[ciowaniem (zaBo|enie) 2. v((p �! q) �! (p �! q)) = 0 (zaBo|enie) 3. v(p �! q) = 1 (z (2)) 4. v(p �! q) = 0 (z (2)) 5. v(p) = 1 (z (4)) 6. v(q) = 0 (z (4)) 7. v(p �! q) = 0 (z (5) i (6)) 8. v nie jest warto[ciowaniem (z (7) i (4)) sprzeczno[ (1) i (8) !!! Zatem analizowana formuBa jest tautologi. 19 Tautologie KRZ. Metoda skr�cona PrzykBad 4.7. ZakBadamy, |e istnieje warto[ciowanie v takie, |e: v(p (" q �! (�p �! q)) = 0. 1. v jest warto[ciowaniem (zaBo|enie) 2. v(p (" q �! (�p �! q)) = 0 (zaBo|enie) 3. v(�p �! q) = 0 (z (2)) 4. v(p) = 0 (z (3)) 5. v(q) = 0 (z (3)) 6. v(p (" q) = 1 (z (2)) 7.1. v(p) = 1 (z (6)) 7.2. v(q) = 1 (z (6)) 8.1. v nie jest warto[ciowaniem 8.2. v nie jest warto[ciowaniem Na obu gaBziach otrzymali[my sprzeczno[. FormuBa jest tautologi. 20 Tautologie KRZ. Metoda skr�cona PrzykBad 4.8. ZakBadamy, |e istnieje warto[ciowanie v takie, |e: v(p (" q �! p) = 0. 1. v jest warto[ciowaniem (zaBo|enie) 2. v(p (" q �! p) = 0 (zaBo|enie) 3. v(p) = 0 (z (2)) 4. v(p (" q) = 1 (z (2)) 5.1. v(p) = 1 (z (4)) 5.2. v(q) = 1 (z (4)) 6.1. v nie jest warto[ciowaniem (z (5.1) i (3)) Nie jest tak, |e na ka|dej gaBzi otrzymali[my sprzeczno[. FormuBa nie jest tautologi. Niejako przy okazji ustalili[my, |e analizowana formuBa przyjmuje warto[ 0 przy ka|dym warto[ciowaniu v takim, |e v(p) = 0 i v(q) = 1. 21 Wynikanie logiczne na gruncie KRZ Notacja: Zamiast  formuBa B wynika logicznie na gruncie KRZ z formuBy A piszemy kr�tko: A ^% KRZ B. Definicja 4.7. (wynikanie logiczne  na gruncie KRZ - formuBy z formuBy) A ^% KRZ B wtw dla ka|dego warto[ciowania v zachodzi: (*) je|eli v(A) = 1, to v(B) = 1. Innymi sBowy, formuBa B wynika logicznie na gruncie KRZ z formuBy A wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje takie warto[ciowanie, przy kt�rym warto[ci formuBy A jest prawda, a warto[ci formuBy B jest faBsz. Komentarz (dla  humanist�w ): Zauwa|my, |e podana definicja nie przes- dza, |e formuBa A jest prawd przy warto[ciowaniu v. Nie m�wi ona o |adnym konkretnym warto[ciowaniu, lecz o warunku, kt�ry ma by speBniony z uwagi na wszystkie warto[ciowania. 22 Wynikanie logiczne na gruncie KRZ Twierdzenie 4.2. A ^% KRZ B wtw formuBa A �! B jest tautologi KRZ. Dow�d: Zapraszam na wykBad :). Komentarz: Aby wykaza, |e B wynika logicznie z A, wystarczy zatem wykaza, |e A �! B jest tautologi. Dysponujc metod stwierdzania tautologiczno[ci dysponujemy zarazem metod wykazywania, |e za- chodzi wynikanie logiczne formuBy z formuBy. 23 Wynikanie logiczne na gruncie KRZ PrzykBad 4.9. FormuBa: (p �! q) �! (�q �! �p) jest tautologi KRZ zwan prawem transpozycji. Na mocy twierdzenia 4.2 mamy: p �! q ^%KRZ �q �! �p Tak wic je[li kto[ wnioskuje zgodnie ze schematem: p �! q �q �! �p to jego wniosek wynika logicznie z przesBanki. Zatem wniosek musi by prawdziwy je[li tylko przesBanka jest prawdziwa. 24 Wynikanie logiczne na gruncie KRZ Wszystkie tautologie KRZ, w kt�rych implikacja �! jest sp�jnikiem gB�w- nym, nios informacje o wynikaniu logicznym nastpnika z poprzednika. Oto lista wybranych tautologii tego rodzaju; w nawiasach podaj ich nazwy. p '" q �! p (prawo symplifikacji) p �! p (" q (prawo addycji) ��p �! p (prawa podw�jnej negacji) p �! ��p (p '" q �! r) �! (p �! (q �! r) (prawo eksportacji) (p �! (q �! r)) �! (p '" q �! r) (prawo importacji) p '" �p �! q (prawo Dunsa Scotusa) (p �! q) '" p �! q (modus ponendo ponens) (p �! q) '" �q �! �p (modus tollendo tollens) (p (" q) '" �p �! q (modus tollendo ponens) 25 Wynikanie logiczne na gruncie KRZ Rozwa|my teraz wynikanie formuBy ze zbioru formuB. Notacja: Zamiast  formuBa B wynika logicznie na gruncie KRZ ze zbioru formuB X piszemy kr�tko: X ^% KRZ B. Definicja 4.8. (wynikanie logiczne - na gruncie KRZ  formuBy ze zbiory formuB) X ^% KRZ B wtw dla ka|dego warto[ciowania v zachodzi: (*) je|eli v(A) = 1 dla ka|dego A " X, to v(B) = 1. Innymi sBowy, formuBa B wynika (logicznie na gruncie KRZ) ze zbio- ru formuB X wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje takie warto[ciowanie, przy kt�rym wszystkie formuBy w X s prawd, a B jest faBszem. Konwencja: Zamiast "A " X (v(A) = 1) piszemy czasami: v(X) = 1. Piszc tak, mamy na my[li to, |e wszystkie formuBy ze zbioru formuB X s prawdziwe przy warto[ciowaniu v. Prosz zapamita, |e czytanie napisu v(X) = 1 jako  zbi�r X jest prawdziwy przy warto[ciowaniu v nie ma sensu: tylko pojedyncze for- muBy mog by prawdziwe czy faBszywe przy warto[ciowaniach. 26 Wynikanie logiczne na gruncie KRZ Zbi�r X mo|e by r�wnie| zbiorem jednoelementowym, powiedzmy {A}. Oczywist konsekwencj podanych definicji jest: Wniosek 4.3. {A} ^% KRZ B wtw A ^% KRZ B. Wynikanie formuBy z formuBy mogliby[my zatem zdefiniowa jako wynikanie formuBy z jednoelementowego zbioru formuB. Nie zachodzi jednak zale|no[ odwrotna. PrzykBad 4.10. Jest tak, |e {p �! q, p}^% KRZ q. Jednak|e ani nie jest tak, |e p �! q ^% KRZ q, ani nie jest tak, |e p ^% KRZ q. 27 Wynikanie logiczne na gruncie KRZ Notacja: Zamiast A1 '" (A2 '" ... (An-1 '" An)...)) piszemy A1 '" A2 '" ... '" An. Twierdzenie 4.3. {A1, A2, ..., An} ^% KRZ B wtw formuBa A1 '" A2 '" ... '" An �! B jest tautologi KRZ. Dow�d: Zapraszam na wykBad :). Tak wic aby wykaza, |e formuBa B wynika logicznie ze zbioru formuB utworzonego z formuB A1, A2, ..., An, wystarczy pokaza, |e for- muBa A1 '" A2 '" ... '" An �! B jest tautologi KRZ. Z drugiej strony, tauto- logie podpadajce pod schemat A1 '" A2 '" ... '" An �! B nios informacje o wynikaniu formuBy B ze zbioru formuB {A1, A2, ..., An}. PrzykBad 4.11. A1 A2 B (p �! q) '" p �! q Zatem {p �! q, p} ^%KRZ q. 28 Wynikanie logiczne na gruncie KRZ PrzykBad 4.12. Ka|da z podanych ni|ej formuB jest tautologi podpadaj- c pod schemat: A1 '" A2 �! B: (p �! q) '" (q �! r) �! (p �! r) (prawo sylogizmu hipotetycznego) (p �! q) '" (p �! r) �! (p �! q '" r) (prawo mno|enia nastpnik�w) (p �! r) '" (q �! r) �! (p (" q �! r) (prawo dodawania poprzednik�w) Zatem: {p �! q, q �! r } ^%KRZ p �! r {p �! q, p �! r } ^%KRZ p �! q '" r {p �! r, q �! r } ^%KRZ p (" q �! r Uwaga: Tautologie te podpadaj te| pod schemat A �! B. Zatem mamy r�wnie| (p �! q) '" (q �! r) ^%KRZ p �! r, i podobnie w pozostaBych przy- padkach. 29 Uwaga koDcowa, oparta na przykBadzie: Poniewa| formuBa p �! r wynika lo- gicznie (na gruncie KRZ) ze zbioru formuB {p �! q, q �! r}, to wniosko- wanie przebiegajce wedle schematu: p �! q q �! r p �! r ma t wBasno[, |e je[li obie jego przesBanki s prawdziwe, to wniosek musi by prawdziwy. Innymi sBowy, mamy tutaj gwarancj przechodze- nia od prawdy do prawdy. Jest to jedyna gwarancja dostarczana przez KRZ  sama logika nie dostarcza gwarancji prawdziwo[ci przesBanek1, a zatem r�wnie| gwarancji prawdziwo[ci wniosku. Niby to oczywiste, ale nie zaszkodzi powt�rzy :) 1 Z wyjtkami, o kt�rych na wykBadzie. 30 Literatura: Chocia| ten wykBad dotyczyB spraw podstawowych, s one (co mo|e PaD- stwa zdziwi) r�|nie przedstawiane w r�|nych podrcznikach. Ujcia te s jednak r�wnowa|ne. W szczeg�lno[ci, pojcie warto[ciowania w kontek[cie KRZ rozumie si czasami odmiennie ni| na tym wykBadzie: za warto[ciowania uwa|a si nie- skoDczone cigi warto[ci logicznych 0, 1. Wtedy trzeba jednak wprowadzi funkcje dwuargumentowe, przyporzdkowujce formuBom i warto[ciowaniom warto[ci logiczne. PrzykBad takiego podej[cia znajd PaDstwo w (obowizuj- cym w Wielkopolsce i na ziemiach przylegBych) podrczniku [1]. W anglojzycznej literaturze przedmiotu przyporzdkowanie warto[ci lo- gicznych zmiennym zdaniowym okre[la si czasami terminem assignment lub interpretation. Termin interpretation bywa te| u|ywany na oznaczenie tego, co nazwali[my tutaj warto[ciowaniem (ang. valuation). TBumacze na jzyk polski przyjmuj r�|norodne konwencje terminologiczne. 31 [1] Tadeusz Bat�g: Podstawy logiki, Wydawnictwo Naukowe UAM, Po- znaD 1994 (istnieje wiele wydaD tej pozycji). [2] Mordechai Ben-Ari: Logika matematyczna w informatyce, Wydaw- nictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2005. [3] Geoffrey Hunter: Metalogika, PaDstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1982. [4] MieczysBaw OmyBa: Zarys logiki, Wydawnictwa Szkolne i Pedago- giczne, Warszawa 1995. a ponadto praktycznie ka|dy w miar zaawansowany podrcz- nik logiki. 32

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
01 Rachunek zdań
Rachunek zdan
rachunek zdan 6
rachunek zdan 3
rachunek zdan 7
rachunek zdan 4
rachunek zdan 5
Klasyczny rachunek zdań metoda 0 1
rachunek zdan 1
Marciszewski Witold 3Zadania z rachunku zdań
Klasyczny rachunek zdań Adekwatność
Modul 3 Klasyczny rachunek zdan
rachunek zdan 2
kasperski,logika pragmatyczna, WYBRANE TAUTOLOGIE RACHUNKU ZDAŃ
logika klasyczny rachunek zdan(1)
Jak rozstrzygać tautologie rachunku zdań
Klasyczny rachunek zdań Dedukcja naturalna

więcej podobnych podstron