��Andrzej Wi[niewski
Logika I
MateriaBy do wykBadu dla student�w kognitywistyki
WykBad 4. Semantyka Klasycznego Rachunku ZdaD
1
Jzyk Klasycznego Rachunku ZdaD
Skr�ty: zamiast Klasyczny Rachunek ZdaD pisz KRZ.
Definicja 4.1. Do alfabetu jzyka KRZ nale| nastpujce znaki, i tylko
one:
p1, p2, p3, ... (zmienne zdaniowe)
�, �!, '", (", �! (sp�jniki)
( ) (nawiasy)
Zmiennych zdaniowych jest przeliczalnie nieskoDczenie wiele; za-
miast p1, p2, p3, p4, p5 bd (czasami) pisaB p, q, r, s, t.
Zbi�r wszystkich zmiennych zdaniowych jzyka KRZ oznacz sym-
bolem VAR.
Definicja 4.2. Wyra|eniem jzyka KRZ jest ka|dy skoDczony cig ele-
ment�w alfabetu jzyka KRZ.
Wyra|enia poprawnie zbudowane ( sensowne ) jzyka KRZ to for-
muBy tego jzyka.
2
Jzyk KRZ. FormuBy
Definicja 4.3. Zbi�r FORM formuB jzyka KRZ jest najmniejszym zbiorem
speBniajcym nastpujce warunki:
(i) VAR �" FORM,
(ii) je|eli wyra|enie A nale|y do FORM, to wyra|enie majce
posta �A nale|y do FORM,
(iii) je|eli wyra|enia A, B nale| do FORM, to wyra|enia majce
posta: (A �! B), (A '" B), (A (" B), (A �! B) r�wnie| nale| do
FORM.
Ka|dy element zbioru FORM nazywamy formuB jzyka KRZ.
Zamiast formuBa KRZ bd (w obrbie tego wykBadu!) m�wiB/pisaB
formuBa .
Uwaga: Litery A, B, C, D wystpuj w tym wykBadzie w nowych rolach.
Poprzednio byBy one zmiennymi przebiegajcymi zbiory. Teraz s one
metajzykowymi zmiennymi, kt�rych warto[ciami s formuBy.
3
Jzyk KRZ. FormuBy
Dygresja: Zamiast najpierw definiowa pojcie formuBy i nastpnie poj-
cie zbioru wszystkich formuB, zdefiniowali[my zbi�r wszystkich formuB, a
potem formuBy. Jest to pierwsza r�|nica w stosunku do sposobu post-
powania przyjtego na wykBadzie z Wprowadzenia do logiki . Druga
r�|nica polega na tym, |e inaczej rozmie[cili[my nawiasy. W zwizku z
tym trzeba inaczej okre[li zasady pomijania nawias�w w formuBach.
Teraz s one nastpujce:
(i) wolno pomin zewntrzn par nawias�w w formule,
(ii) sp�jniki '" i (" wi| silniej ni| sp�jniki �! i �!.
Po trzecie, wprowadzili[my mniej sp�jnik�w.
Oba sposoby postpowania przyjty tutaj i przyjty na wykBadzie z
Wprowadzenia do logiki - s r�wnoprawne.
4
Funkcje prawdziwo[ciowe
Niech 1 i 0 bd warto[ciami logicznymi, odpowiednio Prawd i
FaBszem.
Definicja 4.4. Pod pojciem n-argumentowej (n e" 1) funkcji prawdziwo-
[ciowej rozumiemy funkcj n zmiennych przebiegajcych zbi�r {0, 1} i o
warto[ciach nale|cych do zbioru {0, 1}.
Funkcje prawdziwo[ciowe przyporzdkowuj zatem n-tkom upo-
rzdkowanym warto[ci logicznych warto[ci logiczne.
M�wic [ci[lej, jest tak, gdy n > 1; gdy n = 1, to funkcja prawdziwo-
[ciowa przyporzdkowuje warto[ciom logicznym warto[ci logiczne.
PrzykBad 4.1. Funkcja f� : {0, 1} |�! {0, 1} okre[lona przez r�wno[ci:
(i) f�(1) = 0,
(ii) f�(0) = 1
jest 1-argumentow funkcj prawdziwo[ciow.
5
Funkcje prawdziwo[ciowe
PrzykBad 4.2. Funkcja f'": {0, 1} � {0, 1} |�! {0, 1} okre[lona przez r�wno[ci:
(i) f'"(1, 1) = 1,
(ii) f'"(1, 0) = 0,
(iii) f'"(0, 1) = 0,
(iv) f'"(0, 0) = 0
jest 2-argumentow funkcj prawdziwo[ciow.
Funkcj f'" mo|na te| okre[li przy pomocy ka|dej z nastpujcych
tabelek:
f'"
1 0
f'"
1 1 1
1 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 0
0 0 0
6
Funkcje prawdziwo[ciowe
PrzykBad 4.3. Funkcje f�!, f(", f�! okre[lone przez tabelki:
1 0 1 0 1 0
f�! f(" f�!
1 1 0 1 1 1 1 1 0
0 1 1 0 1 0 0 0 1
s 2-argumentowymi funkcjami prawdziwo[ciowymi.
Funkcje f'", f�!, f(", f�! charakteryzuj, kolejno, semantyczne wBasno-
[ci sp�jnik�w '", �!, (", �!. Funkcja f� charakteryzuje semantycznie
sp�jnik negacji �. I t funkcj mo|na okre[li przy pomocy tabelki:
f�
1 0
0 1
7
Warto[ciowania
Definicja 4.5. Warto[ciowaniem nazywamy ka|d funkcj
v: FORM |�! {0, 1} tak, |e:
(i) dla ka|dej zmiennej zdaniowej z: v(z) = 1 albo v(z) = 0;
(ii) v(�A) = 1 wtw v(A) = 0;
(iii) v(A '" B) = 1 wtw v(A) = 1 oraz v(B) = 1;
(iv) v(A (" B) = 1 wtw v(A) = 1 lub v(B) = 1;
(v) v(A �! B) = 1 wtw v(A) = 0 lub v(B) = 1;
(vi) v(A �! B) = 1 wtw v(A) = v(B).
Komentarz: Gdy warunek z prawej strony r�wno[ci (ii) (vi) nie jest speBniony, to
warto[ odpowiedniej formuBy przy warto[ciowaniu v wynosi rzecz jasna 0.
Warunek (i) jest redundantny, jako |e warto[ciowanie jest funkcj ze zbioru FORM w
zbi�r {0,1}, a VAR �" FORM. Jednak|e brak redundancji nie zawsze sprzyja jasno[ci.
Dane, konkretne warto[ciowanie przyporzdkowuje ka|dej formule
dokBadnie jedn warto[ logiczn: 0 lub 1.
8
Warto[ciowania
Wniosek 4.1. Nie istnieje warto[ciowanie, przy kt�rym warto[ci danej
formuBy s zar�wno 1, jak i 0.
Jest oczywiste, |e istnieje nieskoDczenie wiele warto[ciowaD.
Dygresja: Czasami obok pojcia warto[ciowania wprowadza si te| osobne po-
jcie warto[ciowania zmiennych. Warto[ciowanie zmiennych jest funkcj przy-
porzdkowujc ka|dej zmiennej zdaniowej jak[ warto[ logiczn. Jednak|e
warto[ciowanie rozumiane w sensie definicji 4.5 r�wnie| przyporzdkowuje
warto[ci logiczne wszystkim zmiennym zdaniowym, albowiem warto[ciowanie
przyporzdkowuje ka|dej formule warto[ logiczn, a ka|da zmienna jest for-
muB.
Dla dociekliwych: Warto[ciowaniem zmiennych zdaniowych nazywamy ka|d
funkcj v#: VAR |�! {0, 1}. Jest oczywiste, |e ka|de warto[ciowanie zmiennych
zdaniowych mo|na rozszerzy do dokBadnie jednego warto[ciowania formuB v,
mianowicie takiego, przy kt�rym v(z) = v#(z) dla ka|dej zmiennej zdaniowej.
Nb. zauwa|my, |e litera z u|yta w definicji 4.5 i w powy|szym sformuBo-
waniu nie jest zmienn zdaniow, lecz jest metajzykow zmienn przebiega-
jc zbi�r zmiennych zdaniowych.
9
Warto[ciowania
Zwizek midzy zdefiniowanymi wy|ej funkcjami prawdziwo[cio-
wymi f�, f'", f(", f�!, f�! a warto[ciowaniami jest nastpujcy:
Wniosek 4.2. Niech v bdzie dowolnym warto[ciowaniem.
(i) v(�A) = f�(v(A)),
(ii) v(A '" B) = f'"(v(A), v(B)),
(iii) v(A (" B) = f("(v(A), v(B)),
(iv) v(A �! B) = f�!(v(A), v(B)),
(v) v(A �! B) = f�!(v(A), v(B)).
10
Obliczanie warto[ci formuBy przy warto[ciowaniu
Aby obliczy warto[ formuBy A przy danym warto[ciowaniu v, nie
trzeba zna warto[ci wszystkich zmiennych zdaniowych przy tym war-
to[ciowaniu. Wystarczy zna warto[ci logiczne przyporzdkowane
przez v zmiennym wystpujcym w analizowanej formule A. Jest tak
dlatego, |e zachodzi:
Twierdzenie 4.1. Niech A bdzie formuB, natomiast v i v* bd warto-
[ciowaniami takimi, |e:
($) dla dowolnej zmiennej zdaniowej z wystpujcej w formule A,
v(z) = v*(z).
W�wczas v(A) = v*(A).
Z twierdzenia 4.1 wynika, i| warto[ formuBy przy danym warto[ciowaniu
nie zale|y od warto[ci (przy tym warto[ciowaniu) zmiennych zdaniowych nie
wystpujcych w analizowanej formule: istotne s tylko warto[ci zmiennych
wystpujcych w rozwa|anej formule.
11
Obliczanie warto[ci formuBy przy warto[ciowaniu
PrzykBad 4.4. Niech v bdzie warto[ciowaniem takim, |e v(p) = 1 oraz
v(q) = 0. Niech A bdzie formuB p �! q '" p. Liczymy krok po kroku:
v(p �! q '" p)
= f�!(v(p), v(q '" p)) (bo zachodzi v(A �! B) = f�!(v(A), v(B))
= f�!(v(p), f'"(v(q), v(p))) (bo zachodzi v(A '" B) = f'"(v(A), v(B))
= f�!(1, f'"(0, 1)) (bo v(p) = 1 i v(q) = 0)
= f�!(1, 0) (bo f'"(0, 1) = 0)
= 0 (bo f�!(1, 0) = 0).
To samo mo|emy zrobi szybciej, wypisujc odpowiedni wiersz tabelki
zerojedynkowej:
p q
q '" p p �! q '" p
1 0 0 0
12
Tautologie KRZ. Metoda zerojedynkowa
Definicja 4.6. FormuBa A jest tautologi KRZ wtw dla ka|dego warto[cio-
wania v zachodzi v(A) = 1.
Warto[ciowaD jest nieskoDczenie wiele. Jednak|e aby sprawdzi,
czy formuBa jest tautologi, nie musimy wcale dokonywa nieskoDcze-
nie wielu obliczeD.
Niech A bdzie formuB, w kt�rej wystpuje dokBadnie n r�|nych
midzy sob zmiennych zdaniowych. Oznaczmy je symbolami z1, z2, ...,
zn. Og�B warto[ciowaD mo|emy podzieli na dwie klasy: do pierwszej
nale| te, przy kt�rych warto[ci zmiennej z1 jest 1, do drugiej te, przy
kt�rych warto[ci z1 jest 0. Og�B warto[ciowaD z pierwszej klasy mo-
|emy dalej podzieli z uwagi na warto[ zmiennej z2, i podobnie dla
warto[ciowaD z drugiej klasy. Kontynuujc postpowanie wzgldem ko-
lejnych zmiennych z3, ..., zn, otrzymamy w efekcie 2n r�|nych klas war-
to[ciowaD.
13
z1 z1 z2 z1 z2 z3
1 1 1
0 1 1
0 1 0
1
1 0
0 0
0
1
1
0 0
1
0
0
14
Tautologie KRZ. Metoda zerojedynkowa
Teraz wybieramy dokBadnie jedno warto[ciowanie z ka|dej wyr�|-
nionej klasy i badamy, jaka jest warto[ formuBy przy tym warto[ciowa-
niu. Gdy w ka|dym rozwa|anym przypadku otrzymamy warto[ 1, for-
muBa jest tautologi. Tak wic aby wykaza, |e formuBa o n zmiennych
jest tautologi, wystarczy dokona 2n sprawdzeD.
Znane PaDstwu tabelki zerojedynkowe sBu| wBa[nie do mechani-
zacji rozumowania powy|szego typu.
p q
p �! q (p �! q) '" p (p �! q) '" p �! q
1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
0 1 1 0 1
0 0 1 0 1
15
Tautologie KRZ. Metoda zerojedynkowa
p q r
p �! q q �! r (p �! q) '" (q �! r) p �! r (p �! q) '" (q �! r) �! (p �! r)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0 1
1 0 1 0 1 0 1 1
1 0 0 0 1 0 0 1
0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1 1
16
Tautologie KRZ. Metoda skr�cona
Budowanie tabelki zerojedynkowej mo|e by, m�wic eufemistycz-
nie, |mudnym zajciem. Zwykle chocia| nie zawsze lepiej jest sko-
rzysta z rozumowania nie wprost.
Istota rozumowania polega tu na tym, |e zakBadamy, i| istnieje war-
to[ciowanie v, przy kt�rym analizowana formuBa A ma warto[ 0, tj.
v(A) = 0. Gdy takie zaBo|enie doprowadzi nas do sprzeczno[ci, wnosi-
my std, |e A jest tautologi. Rozumowanie prowadzimy w metajzyku
i korzystamy w nim z definicji pojcia warto[ciowania, wniosku 4.2 oraz
definicji odpowiednich funkcji prawdziwo[ciowych.
17
Tautologie KRZ. Metoda skr�cona
PrzykBad 4.5. ZakBadamy, |e istnieje warto[ciowanie v takie, |e:
v((p �! q) '" p �! q) = 0.
1. v jest warto[ciowaniem (zaBo|enie)
2. v((p �! q) '" p �! q) = 0 (zaBo|enie)
3. v(p �! q) '" p) = 1 (z (2))
4. v(q) = 0 (z (2))
5. v(p �! q) = 1 (z (3))
6. v(p) = 1 (z (3))
7. v(q) = 1 (z (5) i (6))
8. v nie jest warto[ciowaniem (z (7) i (4))
sprzeczno[ (1) i (8) !!! Zatem dla ka|dego warto[ciowania v mamy:
v((p �! q) '" p �! q) = 1. Analizowana formuBa jest tautologi.
18
Tautologie KRZ. Metoda skr�cona
PrzykBad 4.6. ZakBadamy, |e istnieje warto[ciowanie v takie, |e:
v((p �! q) �! (p �! q)) = 0.
1. v jest warto[ciowaniem (zaBo|enie)
2. v((p �! q) �! (p �! q)) = 0 (zaBo|enie)
3. v(p �! q) = 1 (z (2))
4. v(p �! q) = 0 (z (2))
5. v(p) = 1 (z (4))
6. v(q) = 0 (z (4))
7. v(p �! q) = 0 (z (5) i (6))
8. v nie jest warto[ciowaniem (z (7) i (4))
sprzeczno[ (1) i (8) !!! Zatem analizowana formuBa jest tautologi.
19
Tautologie KRZ. Metoda skr�cona
PrzykBad 4.7. ZakBadamy, |e istnieje warto[ciowanie v takie, |e:
v(p (" q �! (�p �! q)) = 0.
1. v jest warto[ciowaniem (zaBo|enie)
2. v(p (" q �! (�p �! q)) = 0 (zaBo|enie)
3. v(�p �! q) = 0 (z (2))
4. v(p) = 0 (z (3))
5. v(q) = 0 (z (3))
6. v(p (" q) = 1 (z (2))
7.1. v(p) = 1 (z (6)) 7.2. v(q) = 1 (z (6))
8.1. v nie jest warto[ciowaniem 8.2. v nie jest warto[ciowaniem
Na obu gaBziach otrzymali[my sprzeczno[. FormuBa jest tautologi.
20
Tautologie KRZ. Metoda skr�cona
PrzykBad 4.8. ZakBadamy, |e istnieje warto[ciowanie v takie, |e:
v(p (" q �! p) = 0.
1. v jest warto[ciowaniem (zaBo|enie)
2. v(p (" q �! p) = 0 (zaBo|enie)
3. v(p) = 0 (z (2))
4. v(p (" q) = 1 (z (2))
5.1. v(p) = 1 (z (4)) 5.2. v(q) = 1 (z (4))
6.1. v nie jest warto[ciowaniem (z (5.1) i (3))
Nie jest tak, |e na ka|dej gaBzi otrzymali[my sprzeczno[. FormuBa nie jest
tautologi.
Niejako przy okazji ustalili[my, |e analizowana formuBa przyjmuje warto[ 0
przy ka|dym warto[ciowaniu v takim, |e v(p) = 0 i v(q) = 1.
21
Wynikanie logiczne na gruncie KRZ
Notacja: Zamiast formuBa B wynika logicznie na gruncie KRZ z formuBy
A piszemy kr�tko: A ^% KRZ B.
Definicja 4.7. (wynikanie logiczne na gruncie KRZ - formuBy z formuBy)
A ^% KRZ B wtw dla ka|dego warto[ciowania v zachodzi:
(*) je|eli v(A) = 1, to v(B) = 1.
Innymi sBowy, formuBa B wynika logicznie na gruncie KRZ z formuBy
A wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje takie warto[ciowanie, przy kt�rym
warto[ci formuBy A jest prawda, a warto[ci formuBy B jest faBsz.
Komentarz (dla humanist�w ): Zauwa|my, |e podana definicja nie przes-
dza, |e formuBa A jest prawd przy warto[ciowaniu v. Nie m�wi ona o
|adnym konkretnym warto[ciowaniu, lecz o warunku, kt�ry ma by
speBniony z uwagi na wszystkie warto[ciowania.
22
Wynikanie logiczne na gruncie KRZ
Twierdzenie 4.2. A ^% KRZ B wtw formuBa A �! B jest tautologi KRZ.
Dow�d: Zapraszam na wykBad :).
Komentarz: Aby wykaza, |e B wynika logicznie z A, wystarczy zatem
wykaza, |e A �! B jest tautologi. Dysponujc metod stwierdzania
tautologiczno[ci dysponujemy zarazem metod wykazywania, |e za-
chodzi wynikanie logiczne formuBy z formuBy.
23
Wynikanie logiczne na gruncie KRZ
PrzykBad 4.9. FormuBa:
(p �! q) �! (�q �! �p)
jest tautologi KRZ zwan prawem transpozycji. Na mocy twierdzenia
4.2 mamy:
p �! q ^%KRZ �q �! �p
Tak wic je[li kto[ wnioskuje zgodnie ze schematem:
p �! q
�q �! �p
to jego wniosek wynika logicznie z przesBanki. Zatem wniosek musi by
prawdziwy je[li tylko przesBanka jest prawdziwa.
24
Wynikanie logiczne na gruncie KRZ
Wszystkie tautologie KRZ, w kt�rych implikacja �! jest sp�jnikiem gB�w-
nym, nios informacje o wynikaniu logicznym nastpnika z poprzednika. Oto
lista wybranych tautologii tego rodzaju; w nawiasach podaj ich nazwy.
p '" q �! p (prawo symplifikacji)
p �! p (" q (prawo addycji)
��p �! p (prawa podw�jnej negacji)
p �! ��p
(p '" q �! r) �! (p �! (q �! r) (prawo eksportacji)
(p �! (q �! r)) �! (p '" q �! r) (prawo importacji)
p '" �p �! q (prawo Dunsa Scotusa)
(p �! q) '" p �! q (modus ponendo ponens)
(p �! q) '" �q �! �p (modus tollendo tollens)
(p (" q) '" �p �! q (modus tollendo ponens)
25
Wynikanie logiczne na gruncie KRZ
Rozwa|my teraz wynikanie formuBy ze zbioru formuB.
Notacja: Zamiast formuBa B wynika logicznie na gruncie KRZ ze zbioru
formuB X piszemy kr�tko: X ^% KRZ B.
Definicja 4.8. (wynikanie logiczne - na gruncie KRZ formuBy ze zbiory formuB)
X ^% KRZ B wtw dla ka|dego warto[ciowania v zachodzi:
(*) je|eli v(A) = 1 dla ka|dego A " X, to v(B) = 1.
Innymi sBowy, formuBa B wynika (logicznie na gruncie KRZ) ze zbio-
ru formuB X wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje takie warto[ciowanie,
przy kt�rym wszystkie formuBy w X s prawd, a B jest faBszem.
Konwencja: Zamiast "A " X (v(A) = 1) piszemy czasami: v(X) = 1. Piszc tak,
mamy na my[li to, |e wszystkie formuBy ze zbioru formuB X s prawdziwe przy
warto[ciowaniu v. Prosz zapamita, |e czytanie napisu v(X) = 1 jako zbi�r
X jest prawdziwy przy warto[ciowaniu v nie ma sensu: tylko pojedyncze for-
muBy mog by prawdziwe czy faBszywe przy warto[ciowaniach.
26
Wynikanie logiczne na gruncie KRZ
Zbi�r X mo|e by r�wnie| zbiorem jednoelementowym, powiedzmy
{A}. Oczywist konsekwencj podanych definicji jest:
Wniosek 4.3. {A} ^% KRZ B wtw A ^% KRZ B.
Wynikanie formuBy z formuBy mogliby[my zatem zdefiniowa jako
wynikanie formuBy z jednoelementowego zbioru formuB. Nie zachodzi
jednak zale|no[ odwrotna.
PrzykBad 4.10. Jest tak, |e {p �! q, p}^% KRZ q. Jednak|e ani nie jest tak,
|e p �! q ^% KRZ q, ani nie jest tak, |e p ^% KRZ q.
27
Wynikanie logiczne na gruncie KRZ
Notacja: Zamiast A1 '" (A2 '" ... (An-1 '" An)...)) piszemy A1 '" A2 '" ... '" An.
Twierdzenie 4.3. {A1, A2, ..., An} ^% KRZ B wtw
formuBa A1 '" A2 '" ... '" An �! B jest tautologi KRZ.
Dow�d: Zapraszam na wykBad :).
Tak wic aby wykaza, |e formuBa B wynika logicznie ze zbioru
formuB utworzonego z formuB A1, A2, ..., An, wystarczy pokaza, |e for-
muBa A1 '" A2 '" ... '" An �! B jest tautologi KRZ. Z drugiej strony, tauto-
logie podpadajce pod schemat A1 '" A2 '" ... '" An �! B nios informacje
o wynikaniu formuBy B ze zbioru formuB {A1, A2, ..., An}.
PrzykBad 4.11.
A1 A2 B
(p �! q) '" p �! q
Zatem {p �! q, p} ^%KRZ q.
28
Wynikanie logiczne na gruncie KRZ
PrzykBad 4.12. Ka|da z podanych ni|ej formuB jest tautologi podpadaj-
c pod schemat: A1 '" A2 �! B:
(p �! q) '" (q �! r) �! (p �! r) (prawo sylogizmu hipotetycznego)
(p �! q) '" (p �! r) �! (p �! q '" r) (prawo mno|enia nastpnik�w)
(p �! r) '" (q �! r) �! (p (" q �! r) (prawo dodawania poprzednik�w)
Zatem:
{p �! q, q �! r } ^%KRZ p �! r
{p �! q, p �! r } ^%KRZ p �! q '" r
{p �! r, q �! r } ^%KRZ p (" q �! r
Uwaga: Tautologie te podpadaj te| pod schemat A �! B. Zatem mamy
r�wnie| (p �! q) '" (q �! r) ^%KRZ p �! r, i podobnie w pozostaBych przy-
padkach.
29
Uwaga koDcowa, oparta na przykBadzie: Poniewa| formuBa p �! r wynika lo-
gicznie (na gruncie KRZ) ze zbioru formuB {p �! q, q �! r}, to wniosko-
wanie przebiegajce wedle schematu:
p �! q
q �! r
p �! r
ma t wBasno[, |e je[li obie jego przesBanki s prawdziwe, to wniosek
musi by prawdziwy. Innymi sBowy, mamy tutaj gwarancj przechodze-
nia od prawdy do prawdy. Jest to jedyna gwarancja dostarczana przez
KRZ sama logika nie dostarcza gwarancji prawdziwo[ci przesBanek1,
a zatem r�wnie| gwarancji prawdziwo[ci wniosku.
Niby to oczywiste, ale nie zaszkodzi powt�rzy :)
1
Z wyjtkami, o kt�rych na wykBadzie.
30
Literatura:
Chocia| ten wykBad dotyczyB spraw podstawowych, s one (co mo|e PaD-
stwa zdziwi) r�|nie przedstawiane w r�|nych podrcznikach. Ujcia te s
jednak r�wnowa|ne.
W szczeg�lno[ci, pojcie warto[ciowania w kontek[cie KRZ rozumie si
czasami odmiennie ni| na tym wykBadzie: za warto[ciowania uwa|a si nie-
skoDczone cigi warto[ci logicznych 0, 1. Wtedy trzeba jednak wprowadzi
funkcje dwuargumentowe, przyporzdkowujce formuBom i warto[ciowaniom
warto[ci logiczne. PrzykBad takiego podej[cia znajd PaDstwo w (obowizuj-
cym w Wielkopolsce i na ziemiach przylegBych) podrczniku [1].
W anglojzycznej literaturze przedmiotu przyporzdkowanie warto[ci lo-
gicznych zmiennym zdaniowym okre[la si czasami terminem assignment lub
interpretation. Termin interpretation bywa te| u|ywany na oznaczenie tego, co
nazwali[my tutaj warto[ciowaniem (ang. valuation). TBumacze na jzyk polski
przyjmuj r�|norodne konwencje terminologiczne.
31
[1] Tadeusz Bat�g: Podstawy logiki, Wydawnictwo Naukowe UAM, Po-
znaD 1994 (istnieje wiele wydaD tej pozycji).
[2] Mordechai Ben-Ari: Logika matematyczna w informatyce, Wydaw-
nictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2005.
[3] Geoffrey Hunter: Metalogika, PaDstwowe Wydawnictwo Naukowe,
Warszawa 1982.
[4] MieczysBaw OmyBa: Zarys logiki, Wydawnictwa Szkolne i Pedago-
giczne, Warszawa 1995.
a ponadto praktycznie ka|dy w miar zaawansowany podrcz-
nik logiki.
32
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
01 Rachunek zdańRachunek zdanrachunek zdan 6rachunek zdan 3rachunek zdan 7rachunek zdan 4rachunek zdan 5Klasyczny rachunek zdań metoda 0 1rachunek zdan 1Marciszewski Witold 3Zadania z rachunku zdańKlasyczny rachunek zdań AdekwatnośćModul 3 Klasyczny rachunek zdanrachunek zdan 2kasperski,logika pragmatyczna, WYBRANE TAUTOLOGIE RACHUNKU ZDAŃlogika klasyczny rachunek zdan(1)Jak rozstrzygać tautologie rachunku zdańKlasyczny rachunek zdań Dedukcja naturalnawięcej podobnych podstron