C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 1
6 .
6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H
6 . 1 . W y z n a c z a n i e p r z e m i e s z c z e D z z a s t o s o w a n i e m r w n a D p r a c y w i r t u a l n e j w u k Ba d a c h
p r t o w y c h
W m e t o d z i e p r a c y w i r t u a l n e j , p r z y o b l i c z a n i u p r z e m i e s z c z e D w m i e j s c u , w k t r y m c h c e m y w y l i c z y
z a d a n e p r z e m i e s z c z e n i e p r z y k Ba d a m y j e d n o s t k o w s i B u o g l n i o n z g o d n z k i e r u n k i e m i z w r o t e m s z u k a n e g o
p r z e m i e s z c z e n i a .
W z a l e |n o [c i o d r o d z a j u s z u k a n e g o p r z e m i e s z c z e n i a s t o s u j e m y r |n e t y p y o b c i |e D:
" a b y w y z n a c z y p r z e m i e s z c z e n i e l i n i o w e p u n k t u A p o k i e r u n k u p r o s t e j m u k Ba d o b c i |a m y s i B s k u p i o n
P = 1
P = 1
A
m
" o b r t p r z e k r o j u A o b l i c z a m y p r z y k Ba d a j c s k u p i o n y m o m e n t w i r t u a l n y :
M = 1
A
" w z a j e m n y o b r t p r z e k r o j w w p u n k t a c h A i B u z y s k a m y o b c i |a j c u k Ba d p r z e c i w n i e z w r c o n y m i
m o m e n t a m i :
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 2
M = 1
M = 1
B
A
" w z a j e m n e z b l i |e n i e p u n k t w A i B o b l i c z a m y p r z y k Ba d a j c s i By o z g o d n y m k i e r u n k u , l e c z p r z e c i w n y m
z w r o c i e :
B
P = 1
A
P = 1
" a b y w y l i c z y k t o b r o t u c i c i w y A B n a l e |y p r z y Bo |y s i By p o d k t e m p r o s t y m d o t e j c i c i w y o w a r t o [c i 1
p r z e z o d l e g Bo [ p o m i d z y p u n k t a m i A i B ( a ) :
B
a
1
1
a
a
A
" z m i a n a k t a z a w a r t e g o m i d z y s t y c z n y m i d o p r t w z b i e g a j c y c h s i w p r z e g u b i e A d a j d w a m o m e n t y
j e d n o s t k o w e p r z e c i w n i e z w r c o n e :
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 3
M = 1
M = 1
A
" o b r t p r t a D o d Bu g o [c i a w k r a t o w n i c y w w z Ba c h p r t a p r z y k Ba d a m y p a r s i B d a j c j e d n o s t k o w y
m o m e n t .
1
P =
P o n i e w a | M = 1 = P "a t o .
a
a
D
1 1
a a
" w z a j e m n e z b l i |e n i e ( w z g l d n i e o d d a l e n i e ) w z B w A i B k r a t o w n i c y d a j d w i e s i By l e |c e n a j e d n e j p r o s t e j
P = 1
B
A
P = 1
" z m i a n a k t a z a w a r t e g o m i d z y p r t a m i S i K o d Bu g o [c i a c h a i b d w a j e d n o s t k o w e m o m e n t y w y r a |o n e
p r z e z p a r y s i B:
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 4
b
1
b
1
a
a
S
K
1
a
1
b
R w n a n i e p r a c y w i r t u a l n e j d l a k r a t o w n i c y o g r a n i c z a s i j e d y n i e d o d z i a Ba n i a s i By n o r m a l n e j ( p o d Bu |n e j ) w
p r t a c h :
j
N
"= N j " P t "t j "l j
1
"
E A j 0
j
g d z i e :
( j )
N - s i Ba n o r m a l n a w j - t y m p r c i e w y w o Ba n a o b c i |e n i e m P ,
P
N - s i Ba n o r m a l n a a j - t y m p r c i e w y w o Ba n a o b c i |e n i e m w i r t u a l n y m ,
j
( j )
t - t e m p e r a t u r a d z i a Ba j c a n a p r t j ,
o
l - d Bu g o [ p r t a j ,
j
( E A ) - s z t y w n o [ p r t a j .
j
6 . 2 . M e t o d a c i |a r w s p r |y s t y c h
M e t o d a c i |a r w s p r |y s t y c h j e s t j e d n z m e t o d o b l i c z a n i a l i n i i u g i c i a , s t o s o w a n n a j c z [c i e j p r z y
w y z n a c z a n i u s k Ba d o w y c h p r z e m i e s z c z e D p e w n e j g r u p y p u n k t w u k Ba d u ( n p . p u n k t w o s i r a m y l u b Bu k u ; p a s a
g r n e g o , d o l n e g o l u b w s z y s t k i c h w z B w k r a t o w n i c y r w n o c z e [n i e ) .
R o z p a t r z m y p e w i e n d o w o l n y u k Ba d o b c i |o n y r z e c z y w i s t y m i s i Ba m i z e w n t r z n y m i :
P i
P i + 1
P i - 1
i
i - 1 i + 1
a i a i + 1
R y s . 6 . 1 . D o w o l n y u k Ba d o b c i |o n y r z e c z y w i s t y m i s i Ba m i z e w n t r z n y m i
W y k r e s y m o m e n t w z g i n a j c y c h i s i B p o p r z e c z n y c h w y w o Ba n y c h p r z e z s i By P , P o r a z P , w y g l d a j
i - 1 i i + 1
t a k j a k n a r y s . 6 . 2 i r y s . 6 . 3 :
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 5
i - 1 i i + 1
M i - 1 i
M P
i + 1
M i
M i + 1
a i a i + 1
R y s . 6 . 2 . W y k r e s m o m e n t w z g i n a j c y c h
i - 1 i i + 1
T i L
T i P
T P
P i
a i a i + 1
R y s . 6 . 3 . W y k r e s s i B p o p r z e c z n y c h
Z w y k r e s w ( r y s . 6 . 2 i r y s . 6 . 3 ) w y n i k a , |e :
M - M
d M
i i - 1 L
t a n i = = = T ( 6 . 1 )
i
#"
a i d x
i L
M - M
d M
i 1 i P
t a n i 1 = = = T
( 6 . 2 )
i
#"
a i 1 d x
i P
R |n i c a w y r a |e D ( 6 . 1 ) i ( 6 . 2 ) d a j e w a r t o [ s i By o b c i |a j c e j :
P L
t a n i 1 - t a n i = T - T = P i
i i
P o n i e w a | m i a r y k t w s b a r d z o m a Be , m o |e m y z a p i s a , |e :
t a n H"
w i c
P i = i 1 - i
R o z p a t r z m y t e r a z u k Ba d b e l k o w y o b c i |o n y f i k c y j n y m i s i Ba m i ( r y s . 6 . 4 ) .
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 6
w i
w i + 1
w i - 1
i
i - 1 i + 1
a i a i + 1
R y s . 6 . 4 . U k Ba d b e l k o w y o b c i |o n y f i k c y j n y m i s i Ba m i
A p r o k s y m a c j a l i n i i u g i c i a b e l k i l i n i Ba m a n w y g l d a n a s t p u j c o :
i - 1 i i + 1
i - 1 i
i + 1
i
i + 1
a i a i + 1
R y s . 6 . 5 . A p r o k s y m a c j a l i n i i u g i c i a b e l k i l i n i Ba m a n
J a k w y n i k a z p o r w n a n i a r y s . 6 . 2 i r y s . 6 . 5 , l i n i a u g i c i a u k Ba d u p r t o w e g o j e s t z b i e |n a z w y k r e s e m
m o m e n t w z g i n a j c y c h u t w o r z o n y m d l a t e g o u k Ba d u .
P o d o b n i e j a k w p r z y p a d k u o b c i |e n i a r z e c z y w i s t e g o , r |n i c a k t w o b r o t u p r z e k r o j w z l e w e j i p r a w e j
s t r o n y w z Ba i j e s t r w n a s i l e p r z y Bo |o n e j w w zl e i :
i - i - 1
( 6 . 3 )
t a n i = H"i
a i
i 1 - i
t a n i 1 = H"i 1
( 6 . 4 )
a i 1
w i = i 1 - i
D l a s i By w , n a z y w a n e j d a l e j c i |a r e m s p r |y s t y m m o |e m y z a p i s a d e f i n i c j e :
i
C i |a r y s p r |y s t e
" t o r |n i c e k t w o b r o t u d w c h s s i e d n i c h o d c i n k w p r t a w y w o Ba n e o b c i |e n i e m w u k Ba d z i e
r z e c z y w i s t y m ,
" t o w i e l k o [c i , k t r e p o o b c i |e n i u b e l k i z a s t p c z e j d a j w y k r e s m o m e n t w z g i n a j c y c h i d e n t y c z n y z l i n i
u g i c i a u k Ba d u r z e c z y w i s t e g o .
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 7
6 . 3 . C i |a r y s p r |y s t e d l a u k Ba d w k r a t o w y c h s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n y c h
S p o s b o b l i c z a n i a c i |a r w s p r |y s t y c h d l a u k Ba d w k r a t o w y c h s t a t y c z n i e w y z n a c z a l n y c h p r z e b i e g a
z a w s z e w d w c h e t a p a c h :
1 . O b l i c z a m y s i B b d c r |n i c k t w n a c h y l e n i a d w c h s s i a d u j c y c h o d c i n k w p r t o w y c h i o b c i |a m y
n i b e l k z a s t p c z .
2 . R y s u j e m y w y k r e s m o m e n t w , k t r y j e s t r w n y w y k r e s o w i l i n i i u g i c i a .
N a l e |y p r z y p o m n i e , |e w c e l u o b l i c z e n i a w a r t o [c i c i |a r w s p r |y s t y c h o b c i |a m y u k Ba d s i Ba m i
w i r t u a l n y m i ( S A M E C I {A R Y S P R {Y S T E T O N I E O B C I {E N I A W I R T U A L N E ! ! ! )
A b y w y z n a c z y p r z e m i e s z c z e n i a w z B w p a s a d o l n e g o k r a t o w n i c y
P 1 P 2
k - 1 k k + 1
R y s . 6 . 6 . K r a t o w n i c a o b c i |o n a s i Ba m i P ( n i e z n a n e p r z e m i e s z c z e n i e )
w k a |d y m z w z B w n a l e |y w y l i c z y c i |a r s p r |y s t y w i o b c i |y n i m i b e l k z a s t p c z
i
w k - 1 w k w k + 1
R y s . 6 . 7 . B e l k a f i k c y j n a ( z a s t p c z a )
c i |a r y s p r |y s t e d l a k r a t o w n i c y m o |e m y o b l i c z y z e w z o r u :
S P j "S
j
w i = "l ( 6 . 5 )
"
E A j j
j
g d z i e :
( j )
S o z n a c z a s i B w j - t y m p r c i e w y w o Ba n o b c i |e n i e m z e w n t r z n y m ,
p
S o z n a c z a s i B w j - t y m p r c i e w y w o Ba n o b c i |e n i e m w i r t u a l n y m .
j
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 8
O b c i |e n i e m w i r t u a l n y m s j e d n o s t k o w e m o m e n t y , w y r a |o n e p r z e z p a r y s i B, p r z y Bo |o n e d o p r t w
d o c h o d z c y c h d o w z Ba , w k t r y m l i c z y m y c i |a r s p r |y s t y . N a p r z y k Ba d d l a w z Ba k :
k - 1 k k + 1
1 1 1 1
a i
a i a i + 1 a i + 1
a i a i + 1
R y s . 6 . 8 . K r a t o w n i c a o b c i |o n a s i Ba m i w i r t u a l n y m i
A b y p r z y j b e l k z a s t p c z p o s t p u j e m y a n a l o g i c z n e j a k w m e t o d z i e o b c i |e D w t r n y c h k r a t o w n i c
( r y s . 6 . 9 ) z a m i e n i a m y n a b e l k f i k c y j n s p e Bn i a j c w a r u n k i b r z e g o w e u k Ba d u r z e c z y w i s t e g o ( r y s . 6 . 1 0 ) :
B
A
R y s . 6 . 9 . P r z y k Ba d o w a k r a t o w n i c a
A B
R y s . 6 . 1 0 . B e l k a f i k c y j n a s p e Bn i a j c a w a r u n k i b r z e g o w e u k Ba d u r z e c z y w i s t e g o
L i n i a u g i c i a p a s a g r n e g o l u b d o l n e g o k r a t o w n i c y j e s t t a k a s a m a j a k w y k r e s m o m e n t w b e l k i f i k c y j n e j .
I n n y m s p o s o b e m t w o r z e n i a u k Ba d u z a s t p c z e g o j e s t z a s t o s o w a n i e b e l k i p o d p a r t e j n a o b u k o Dc a c h . D l a
n i e j t w o r z y m y w y k r e s m o m e n t w o d c i |a r w s p r |y s t y c h , n a k t r y m z a z n a c z a m y r z d n p u n k t u , g d z i e
u g i c i e p o w i n n o b y z e r o w e , n a r y s . 6 . 1 1 s t o p u n k t y A i B . P r o w a d z i m y p r o s t z a m y k a j c p r z e z r z d n
w y k r e s u w p u n k t a c h A i B . R z d n e z z a k r e s k o w a n e g o p o l a m i d z y l i n i w y k r e s u m o m e n t w a p r o s t
z a m y k a j c , s t a n o w i w a r t o [c i u g i k o l e j n y c h p u n k t w u k Ba d u r z e c z y w i s t e g o .
B
A ' A
R y s . 6 . 1 1 . S c h e m a t z a s t p c z y d l a k r a t o w n i c y z r y s . 6 . 9 - r o z w i z a n i e d r u g i m s p o s o b e m
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 9
Z a d a n i e 1
J a k p o w i n i e n w y g l d a u k Ba d f i k c y j n y d l a b e l k i o p o d a n y m s c h e m a c i e :
A B
R o z w i z a n i e m j e s t b e l k a s p e Bn i a j c a w a r u n k i b r z e g o w e :
B
A
Z a d a n i e 2
Z n a j d z l i n i u g i c i a p a s a d o l n e g o k r a t o w n i c y ( r y s . 6 . 1 2 ) d w o m a s p o s o b a m i :
a ) p r z y k Ba d a j c j e d y n k i w i r t u a l n e w k o l e j n y c h w z Ba c h
b ) s t o s u j c m e t o d c i |a r w s p r |y s t y c h
1 2 1 1 1 0 9 8 7
1 , 5
1 2 3 6
4 5
1 0 0 k N
[ m ]
2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0
R y s . 6 . 1 2 . Z a d a n a k r a t o w n i c a
a d a ) R o z w i z a n i e k r a t o w n i c y o d o b c i |e n i a z e w n t r z n e g o
c 2 = 1 , 5 2 2 2 = 2 , 2 5 4 = 6 , 2 5
c 2 = 6 , 2 5 = #"2 , 5 #"
1 , 5
s i n =
2 , 5
2
c o s =
2 , 5
Y = 0 : S 2 , 1 0 "s i n = 5 0
"
2
2 5 0
S 2 , 1 0 "1 , 5 = 5 0 ! S 2 , 1 0 =
2 , 5 3
X = 0 ! S 2 , 3 = S 2 , 1 0 "c o s
"
2
2 5 0 " 2 2 0 0
S 2 , 3 = ! S 2 , 3 =
3 2 , 5 3
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 1 0
N p [ k N ]
O O O O O
O O O O
1 , 5 O
O O O
1 0 0
O O O
1 2 3 4 5 6
6 6 , ( 6 ) 6 6 , ( 6 )
1 0 0
[ m ] 5 0 5 0
2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0
R y s . 6 . 1 3 . R o z w i z a n i e k r a t o w n i c y o d o b c i |e n i a z e w n t r z n e g o
S i By w p r t a c h k r a t o w n i c y o b c i |a n e j w k o l e j n y c h w z Ba c h s i B w i r t u a l n P = 1
N 1 [ - ]
1 , ( 3 ) 1 , ( 3 )
O O O
O
1 , 5 O O O O
1 O
O
O O
O
1 2 0 , ( 6 ) 0 , ( 6 ) 4
3
5 6
1
[ m ]
1 , 5 0 , 5
2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0
R y s . 6 . 1 4 . K r a t o w n i c a o b c i |a n a w w zl e n r 1 s i B w i r t u a l n P = 1
N 3 [ - ]
O O O O O
O O O O
1 , 5 O
O
O O
1
O O O
1 2 3 4 5 6
0 , ( 6 ) 0 , ( 6 )
1
[ m ]
0 , 5
0 , 5
2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0
R y s . 6 . 1 5 . K r a t o w n i c a o b c i |a n a w w zl e n r 3 s i B w i r t u a l n P = 1
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
8
)
3
3
,
(
(
,
3
3
)
8
0
1
)
,
,
8
(
3
6
(
(
3
)
8
,
)
0
0
)
,
8
3
(
(
8
3
,
)
0
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 1 1
N 6 [ - ]
2 , ( 6 ) 2 , ( 6 )
O O O
O
O O O
1 , 5 O
O
O
O
1 2 4 6
1 , ( 3 ) 3 1 , ( 3 ) 1 , ( 3 ) 1 , ( 3 )
5
1
[ m ]
1 2
2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0
R y s . 6 . 1 6 . K r a t o w n i c a o b c i |a n a w w zl e n r 6 s i B w i r t u a l n P = 1
O b l i c z e n i a p r z e m i e s z c z e D w y k o n y w a b d z i e m y n a p o d s t a w i e w z o r u :
N "N
v i = l
"
E A
Z s y m e t r i i u k Ba d u w y n i k a , |e v i v s s o b i e r w n e :
1 5
1 5 "2 5 0 "2 , 5 - 5 "2 5 0 "2 , 5 - 2 "2 0 0 "2 1 7 7 , 7
v 1 = v 5 = = -
E A 6 3 6 3 3 3 E A
U g i c i a w p o d p o r a c h s z e r o w e :
v 2 = v 4 = 0
P r z e m i e s z c z e n i a w z Ba 3 i 6 w y n o s z :
v 3 = 1 2 5 0 "5 "2 1 0 0 "1 2 "2 0 0 "2 = 6 7 5
E A 3 6 3 3 E A
1 5 "2 5 0 "2 , 5 - 2 "2 0 0 "2 "4 3 5 5 , 5
v 6 = - 5 "2 5 0 "2 , 5 = -
E A 3 3 3 3 3 3 E A
R o z w i z a n i e p r z e d s t a w i o n o n a r y s . 6 . 1 7 :
3 5 5 , ( 5 )
1 7 7 , ( 7 )
1 7 7 , ( 7 ) E A
E A
E A
6 7 5 , 0
E A
[ m ]
2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0
R y s . 6 . 1 7 . L i n i a u g i c i a p a s a d o l n e g o k r a t o w n i c y
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
1
1
,
,
)
)
(
(
6
6
6
6
(
(
)
)
,
,
1
1
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 1 2
O d c i n k i l i n i i u g i c i a p a s a d o l n e g o k r a t o w n i c y p o m i d z y w y z n a c z o n y m i w w z Ba c h w a r t o [c i a m i
a p r o k s y m o w a n o l i n i a m i p r o s t y m i .
a d b ) M e t o d a c i |a r w s p r |y s t y c h
1 1 1 1
, ,
W c e l u o b l i c z e n i a c i |a r w s p r |y s t y c h u k Ba d o b c i |a m y g r u p a m i s i B , k t r e
a k a k a k 1 a k 1
p r z y k Ba d a m y w s s i a d u j c y c h w z Ba c h k - 1 , k , k + 1 .
W n a s z y m p r z y k Ba d z i e a = a = 2 , 0 m .
k k + 1
C i |a r y s p r |y s t e w y z n a c z a m y n a p o d s t a w i e w z o r u :
S P j "S
j
w i = "l ( 6 . 6 )
"
E A j j
j
A b y o k r e [l i w a r t o [ c i |a r u s p r |y s t e g o w w y z n a c z a m y s i By w p r t a c h k r a t y ( r y s . 6 . 1 8 ) o b c i |o n e j w
2
w z Ba c h 1 , 2 , 3 .
N W 2 [ - ]
0 , ( 6 ) 0 , ( 6 )
O
O O
O
1 , 5 O O O O
0 , 5 0 , 5 O O
O O O O O
1 2
3 4 5 6
0 , 5 0 , 5
0 , 5 0 , 5
[ m ]
2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0
1 1 1
R y s . 6 . 1 8 . K r a t o w n i c a o b c i |a n e j w w z Ba c h n r 1 , 2 , 3 s i Ba m i
, 1 ,
2 2 2 2
O b l i c z a m y w a r t o [ c i |a r u s p r |y s t e g o d l a w z Ba 2 ( z s y m e t r i i u k Ba d u w y n i k a , |e w = w ) :
2 4
1 5 "2 5 0 "2 , 5 1 "1 0 0 "1 , 5 = - 2 4 8 , 6 1
w 2 = w 4 = -
E A 6 3 2 E A
D l a c i |a r u s p r |y s t e g o w p o s z u k u j e m y s i B w p r t a c h k r a t y o d o b c i |e n i a w w z Ba c h 2 , 3 , i 4 .
3
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
0
)
,
8
3
(
(
8
3
,
)
0
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 1 3
N W 3 [ - ]
O O
O O O
O
1 , 5 O O O O
O O
1
O O O
1 2 0 , ( 6 ) 3 0 , ( 6 ) 4
5
6
0 , 5 0 , 5
0 , 5
0 , 5
[ m ]
2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0
1 1 1
R y s . 6 . 1 9 . K r a t o w n i c a o b c i |a n e j w w z Ba c h n r 2 , 3 , 4 s i Ba m i
, 1 ,
2 2 2 2
o b l i c z a m y w a r t o [ c i |a r u s p r |y s t e g o :
1 5 "2 5 0 "2 , 5 "2 1 "1 0 0 "1 , 5 "1 2 0 0 "2 "2 "2 = 6 7 5
w 3 =
E A 6 3 3 3 E A
D l a c i |a r u w o b c i |e n i e w i r t u a l n e p r z y k Ba d a m y w w z Ba c h 4 , 5 i 6 . W y z n a c z o n e w t e n s p o s b s i By
5
w y s t p u j t y l k o w p r t a c h , w k t r y c h s i By o d o b c i |e n i a s r w n e z e r o . W o b e c t e g o :
w 5 = 0
D o b i e r a m y u k Ba d z a s t p c z y d l a k r a t o w n i c y ( r y s . 6 . 1 2 ) i o b c i |m y c i |a r a m i s p r |y s t y m i :
2 4 8 , 6 ( 1 ) 2 4 8 , 6 ( 1 )
6 7 5 , 0
w 2 = w 4 =
w 3 =
E A E A
E A
A B C D
[ m ]
2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0
R y s . 6 . 2 0 . U k Ba d z a s t p c z y d l a k r a t o w n i c y
Z r y s . 6 . 2 0 w i d a , |e c i |a r y w i w b y By b y p r z y Bo |o n e w p o d p o r a c h . T a k w i c n i e m a j w p By w u n a
1 6
u g i c i a .
O b l i c z a m y r e a k c j e p o d p o r o w e :
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
0
)
,
8
3
(
(
3
8
,
)
0
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 1 4
b e l k a I I
6 7 5 , 0
w 3 =
E A
2 4 8 , 6 ( 1 )
2 4 8 , 6 ( 1 )
w 4 =
w 2 =
E A
E A
b e l k a I I I
b e l k a I
R B R C
A B C D
[ m ]
2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0
w 3 "2 - w 2 "4
6 7 5 "2 - 2 4 8 , 6 1 8 8 , 8
M = 0 ! R B = = =
"
C
4 E A E A
d l a b e l k i I I
R A = R B = R C = R D = 8 8 , 8
E A
1 7 7 , 7
d l a b e l k i I M = 0 ! M = R B "2 =
"
A A
E A
3 5 5 , 5
d l a b e l k i I I M = 0 ! M = R C "4 =
"
D D
E A
O b l i c z a m y m o m e n t w [r o d k u r o z p i t o [c i c z [c i I I :
2 4 8 , 6 ( 1 )
w 2 =
E A
M E
E
R B
2 , 0
M = 0 ! M = R B w 2 "2 = 6 7 5
"
E E
E A
W y k r e s m o m e n t w o d c i |a r w s p r |y s t y c h p r z e d s t a w i a r w n i e | l i n i u g i c i a p a s a d o l n e g o k r a t o w n i c y :
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 1 5
3 5 5 , ( 5 )
1 7 7 , ( 7 )
1 7 7 , ( 7 ) E A
E A
E A
6 7 5 , 0
E A
[ m ]
2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0
R y s . 6 . 2 1 . W y k r e s m o m e n t w o d c i |a r w s p r |y s t y c h
6 . 4 . O b l i c z a n i e c i |a r w s p r |y s t y c h d l a u k Ba d w p r t o w y c h z g i n a n y c h
R o z w a |y m y d o w o l n y z g i n a n y u k Ba d p r t o w y o b c i |o n y s i Ba m i s k u p i o n y m i P . K a |d y z p r t w u k Ba d u
k
p o s i a d a p r z e k r j o p o l u p o w i e r z c h n i A i m o m e n c i e b e z w Ba d n o [c i I , d Bu g o [ p r t a o z n a c z o n o l .
k k k
W c e l u w y z n a c z e n i a p r z e m i e s z c z e D w z d Bu | k i e r u n k w d z i a Ba j c y c h s i B P n a l e |y w y z n a c z y d l a
k k
k a |d e g o w z Ba c i |a r s p r |y s t y w .
k
C i |a r s p r |y s t y j e s t l i c z o n y n a p o d s t a w i e w y k r e s w s i B w e w n t r z n y c h o d o b c i |e n i a r z e c z y w i s t e g o i
o d o b c i |e n i a w i r t u a l n e g o , k t r e s t a n o w i p a r y s i B ( m o m e n t y j e d n o s t k o w e ) .
l k + 1
P k + 1
l k
k
A k + 1 , J k + 1
k + 1
P k
A k , J k
k + 1
P k - 1
k
k - 1
a k a k + 1
N k + 1
N p
N k
M k + 1
N k
M k
M p
M k - 1
R y s . 6 . 2 2 . U k Ba d p r t o w y o b c i |o n y s i Ba m i s k u p i o n y m i
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 1 6
1
a k + 1
1
1
a k +
a k + 1
1
a k
a k a k + 1
1
1
1
M
1
k + 1
l k + 1 t g
k + 1
l k + 1 t g
- 1
l k t g k
N
- 1
l k t g k
R y s . 6 . 2 3 . U k Ba d p r t o w y o b c i |o n y w w i z a c h s i Ba m i w i r t u a l n y m i
W e w z o r z e o k r e [l a j c y m c i |a r s p r |y s t y n i e u w z g l d n i a m y s i B t n c y c h i o s i a d a D:
M t t N
p p
w k = M d s N t t 0 d s ( 6 . 7 )
" +" +"
{ }
E J h E A
s s
U |y w a j c o z n a c z e D z w y k r e s w s i B w e w n t r z n y c h m o |n a z a p i s a :
1 1 1 2 1 1 1 2
l k 1 M k 1 M k
w k = 1 l k M M 1
k - 1 k
[ ] [ ]
E J 2 3 3 E J 2 3 3
k k 1
1 1 1 1
- t g k l k N t g k 1 l k 1 N
( 6 . 8 )
k k 1
[ ] [ ]
E A k l k E A k 1 l k 1
t t t t
1 1 1
1 l k 1 l k 1 t t 0 - t g k l k t t 0 1 t g k 1 l k 1
h k 2 h k 1 2 l k l k 1
P o s k r c e n i u o t r z y m u j e m y o g l n y w z r n a c i |a r s p r |y s t y z u w z g l d n i e n i e m m o m e n t w z g i n a j c y c h ,
s i B n o r m a l n y c h i t e m p e r a t u r y .
l k l k 1 - 1 t g k t g k 1
w k = 2 M M 2 M M N N
k k - 1 k k 1
6 E J 6 E J 6 E A k k 6 E A k 1 k 1
k k 1
( 6 . 9 )
t t l k l k 1
t t 0 - t g k t g k 1
2 h k h k 1
t , t - w s p l n e d l a o b u p r t w ( l i l ) .
k k + 1
N a l e |y z w r c i u w a g n a p e w n e p r z y p a d k i s z c z e g l n e s t o s o w a n i a w z o r u ( 6 . 8 )
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 1 7
1 . D l a w y k r e s w k r z y w o l i n i o w y c h d o p o w y |s z e g o w z o r u n a l e |y d o d a p o p r a w k u w z g l d n i a j c p a r a b o l
t z n . z w i k s z y w a r t o [ w o c z [ w y n i k a j c z f a k t u k r z y w o l i n i o w e g o w y k r e s u m o m e n t w r z e c z y w i s t y c h .
k
q
A k , J k
l k
w
R y s . 6 . 2 4 . K r z y w o l i n i o w y w y k r e s m o m e n t w
1
w k =
[ 2 M M ] . . . w ( 6 . 1 0 )
k k - 1
6 E J
k
2 . W p r z y p a d k u n i e c i g Bo [c i w y k r e s u , s k o k u o w a r t o [ m o m e n t u r z e c z y w i s t e g o , r o z b i j a m y w y k r e s n a d w a
w y k r e s y , a l e c a Bo [ k o n c e p c j i n i e z o s t a j e z m i e n i o n a .
P o o b l i c z e n i u c i |a r w s p r |y s t y c h o b c i |a m y n i m i b e l k f i k c y j n , t z n . t a k , k t r a s p e Bn i a w a r u n k i
b r z e g o w e u k Ba d u r z e c z y w i s t e g o ( a n a l o g i a d o m e t o d y o b c i |e D w t r n y c h ) .
C
A B
w 1 w 3 w 4
w 2
R y s . 6 . 2 5 . B e l k a z a s t p c z a ( f i k c y j n a ) o b c i |o n a c i |a r a m i s p r |y s t y m i
M o |n a j e d n a k z a m i a s t b e l k i f i k c y j n e j o b c i |a c i |a r a m i s p r |y s t y m i b e l k s p o c z y w a j c n a d w c h
p o d p o r a c h , w y m a g a t o j e d n a k p e w n e g o z a b i e g u g r a f i c z n e g o .
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 1 8
D l a b e l k i p o d p a r t e j n a d w c h k o Dc a c h w y k r e s m o m e n t w p o w s t a By o d o b c i |e D w b d z i e r w n y z e r u w
k
p u n k t a c h A i C ( r y s . 6 . 2 6 ) ( u g i c i e t y c h p u n k t w r w n e j e s t z e r u ) . J e d n a k w a r u n k i e m b r z e g o w y m b e l k i
r z e c z y w i s t e j j e s t z e r o w e u g i c i e w p u n k t a c h B i C . N a l e |y p o s t p i w n a s t p u j c y s p o s b : p o n a r y s o w a n i u
w y k r e s u m o m e n t w w b e l c e p o d p a r t e j n a o b u k o Dc a c h , k r e [l i m y p r o s t z a m y k a j c t a k a b y p r z e c i Ba r z d n e
w y k r e s u m o m e n t w d l a p u n k t w B i C .
w 3
w 1 w 2 w 4
A
C
B
A
C
B
4
2
3
R y s . 6 . 2 6 . B e l k a w o l n o p o d p a r t a n a o b u k o Dc a c h o b c i |o n a c i |a r a m i s p r |y s t y m i
R z d n e z a k r e s k o w a n e g o p o l a ( r y s . 6 . 2 6 ) p o m i d z y l i n i k r z y w a p r o s t z a m y k a j c s t a n o w i w a r t o [c i
u g i k o l e j n y c h p u n k t w b e l k i r z e c z y w i s t e j ( n a r y s u n k u w y r |n i o n o u g i c i a w p u n k t a c h p r z y Bo |e n i a c i |a r w
s p r |y s t y c h ) .
A n a l o g i c z n i e p o s t p u j e m y w p r z y p a d k u k r a t o w n i c w y z n a c z a j c l i n i u g i c i a m a m y d w i e m o |l i w o [c i :
M o |e m y p r z y j s c h e m a t b e l k i z a s t p c z e j s p e Bn i a j c e j w a r u n k i b r z e g o w e u k Ba d u r z e c z y w i s t e g o . W p u n k c i e B
( r y s . 6 . 2 7 a ) j e s t p o d p o r a ( p r z e m i e s z c z e n i e j e s t z e r o w e ) w p r o w a d z a m y p r z e g u b a b y m o m e n t o d c i |a r w
s p r |y s t y c h b y B r w n y z e r o .
D r u g i m s p o s o b e m j e s t z a s t o s o w a n i e s c h e m a t u b e l k i w o l n o p o d p a r t e j ( r y s . 6 . 2 7 c ) d l a k t r e j t w o r z y m y
w y k r e s m o m e n t w o d s i B w . K r e [l i m y p r o s t z a m y k a j c p r z e z r z d n e w p u n k t a c h A i B ( z e r o w e
k
p r z e m i e s z c z e n i a w k r a c i e r z e c z y w i s t e j ) a | d o p u n k t u M . D a l e j Bc z y m y p r o s t z a m y k a j c p u n k t y M i C .
P r z e m i e s z c z e n i a t o w a r t o [c i p o m i d z y w y k r e s e m k r z y w o l i n i o w y m i p r o s t y m i z a m y k a j c y m i . P r z y p o m n i e
n a l e |y , |e w k r a t o w n i c y m o |e m y w y z n a c z y l i n i u g i c i a p a s a d o l n e g o l u b p a s a g r n e g o w z a l e |n o [c i o d
s p o s o b u w y z n a c z e n i a s a m y c h c i |a r w s p r |y s t y c h . W p r z y p a d k u p a s a g r n e g o t r z e b a w i r t u a l n e o b c i |e n i a
1 1
( p a r y s i B i ) p r z y k Ba d a d o w z B w g r n y c h .
a k a k 1
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 1 9
a )
B
A C
3 4 6 7 9
1 2 5 8 M 1 0 1 1 1 2
w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w 9 w 1 0 w 1 1 w 1 2
b )
3
w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w 9 w M w 1 0 w 1 1 w 1 2
c )
3
R y s . 6 . 2 7 . a ) u k Ba d r z e c z y w i s t y , b ) u k Ba d z a s t p c z y ( a n a l o g i a d o m e t o d y o b c i |e D w t r n y c h ) - b e l k a f i k c y j n a ,
c ) u k Ba d z a s t p c z y ( b e l k a w o l n o p o d p a r t a - k o n i e c z n o [ w p r o w a d z e n i a z a b i e g u g r a f i c z n e g o )
W p r z y p a d k u w y s t p o w a n i a p r z e g u b u w e w n t r z n e g o c i |a r s p r |y s t y d l a t e g o p u n k t u n a l e |y o b l i c z y
i n d y w i d u a l n i e b i o r c p o d u w a g f a k t , |e w y k r e s y m o m e n t w w i r t u a l n y c h w y s t p u j w c a By m u k Ba d z i e
( r y s . 6 . 2 8 ) .
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 2 0
8
0 1 2 3 4 5 6 7
d l a w 1
d l a w 2
d l a w 3
d l a w 4
d l a w 5
4 4
R y s . 6 . 2 8 . B e l k a z p r z e g u b e m w e w n t r z n y m
P o d o b n i e w u k Ba d a c h k r a t o w y c h z p r z e g u b e m w e w n t r z n y m t r z e b a z w r c i u w a g n a c i |a r s p r |y s t y d l a
p r z e g u b u .
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
C z [ 1 6 . W Y Z N A C Z A N I E L I N I I U G I C I A W U K AA D A C H P R T O W Y C H 2 1
1
m
1
1
a k + a k + 1
a k + 1
k
1
a k
A B
H A = 0 H B = 0
a k + 1
a k
1
1
R A = 0
R B = 0
a m +
a m + 1
1 1
a m a m + 1
f
a m
a m + 1
1
1
H B =
H A =
f
f
R B = 0
R A = 0
w k w m
u k
u m
R y s . 6 . 2 9 . U k Ba d t r j p r z e g u b o w y
W s z y s t k i e w a r t o [c i w o b l i c z a m y w u k Ba d a c h s a m o r w n o w a |c y c h s i ( s i By t y l k o w n i e k t r y c h
k
p r t a c h ) . N a t o m i a s t w i e l k o [ w o b l i c z a m y z u w z g l d n i e n i e m f a k t u , |e o b c i |e n i e w i r t u a l n e w p u n k c i e m
m
w y w o Bu j e r e a k c j e p o z i o m e H . Z a t e m s t a n n a p r |e n i a w y s t p u j e w e w s z y s t k i c h p r t a c h k r a t o w n i c y a n i e j a k
p o p r z e d n i o t y l k o w o t o c z e n i u o b c i |o n y c h w z B w .
D o b r a D . , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A . A l m a M a t e r
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