ÿþD e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
R e k u r e n c j e
M a g d a l e n a L e m a Ds k a
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e
D e f i n i c j a r e k u r e n c y j n a ( i n d u k c y j n a ) :
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e
D e f i n i c j a r e k u r e n c y j n a ( i n d u k c y j n a ) :
n i e f o r m a l n i e - t a k a d e f i n i c j a , k t ó r a o d w o Bu j e s i d o s a m e j s i e b i e - a l e t r z e b a
u w a |a , b y o d w o Ba n i e b y Bo d o i n s t a n c j i o m n i e j s z e j k o m p l i k a c j i ;
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e
D e f i n i c j a r e k u r e n c y j n a ( i n d u k c y j n a ) :
n i e f o r m a l n i e - t a k a d e f i n i c j a , k t ó r a o d w o Bu j e s i d o s a m e j s i e b i e - a l e t r z e b a
u w a |a , b y o d w o Ba n i e b y Bo d o i n s t a n c j i o m n i e j s z e j k o m p l i k a c j i ;
z w y k l e c h o d z i o c i g ( a 0 , a 1 , . . . , a n , . . . ) , d l a k t ó r e g o p r z e p i s n a e l e m e n t a n
w y k o r z y s t u j e j a k i e [ p o p r z e d n i e e l e m e n t y a n - 1 , a n - 2 , . . . i t p ;
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e
D e f i n i c j a r e k u r e n c y j n a ( i n d u k c y j n a ) :
n i e f o r m a l n i e - t a k a d e f i n i c j a , k t ó r a o d w o Bu j e s i d o s a m e j s i e b i e - a l e t r z e b a
u w a |a , b y o d w o Ba n i e b y Bo d o i n s t a n c j i o m n i e j s z e j k o m p l i k a c j i ;
z w y k l e c h o d z i o c i g ( a 0 , a 1 , . . . , a n , . . . ) , d l a k t ó r e g o p r z e p i s n a e l e m e n t a n
w y k o r z y s t u j e j a k i e [ p o p r z e d n i e e l e m e n t y a n - 1 , a n - 2 , . . . i t p ;
p o c z t k o w y e l e m e n t ( l u b k i l k a p o c z t k o w y c h ) m u s z b y z a d a n e k o n k r e t n i e ( |e b y
b y Bo o d c z e g o z a c z ) ;
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e
D e f i n i c j a r e k u r e n c y j n a ( i n d u k c y j n a ) :
n i e f o r m a l n i e - t a k a d e f i n i c j a , k t ó r a o d w o Bu j e s i d o s a m e j s i e b i e - a l e t r z e b a
u w a |a , b y o d w o Ba n i e b y Bo d o i n s t a n c j i o m n i e j s z e j k o m p l i k a c j i ;
z w y k l e c h o d z i o c i g ( a 0 , a 1 , . . . , a n , . . . ) , d l a k t ó r e g o p r z e p i s n a e l e m e n t a n
w y k o r z y s t u j e j a k i e [ p o p r z e d n i e e l e m e n t y a n - 1 , a n - 2 , . . . i t p ;
p o c z t k o w y e l e m e n t ( l u b k i l k a p o c z t k o w y c h ) m u s z b y z a d a n e k o n k r e t n i e ( |e b y
b y Bo o d c z e g o z a c z ) ;
z w y k l e d e f i n i c j a r e k u r e n c y j n a o d w o Bu j e s i d o j e d n e g o l u b k i l k u p o p r z e d n i c h
e l e m e n t ó w , a l e m o |e t e | o d w o By w a s i d o w s z y s t k i c h p o p r z e d n i c h .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
P r z y k Ba d
S i l n i a l i c z b y n
( z a p i s y w a n a j a k o n ! ) t o i l o c z y n k o l e j n y c h l i c z b n a t u r a l n y c h o d 1 d o n , c z y l i
n ! = n ( n - 1 ) ( n - 2 ) . . . · 2 · 1 .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
P r z y k Ba d
S i l n i a l i c z b y n
( z a p i s y w a n a j a k o n ! ) t o i l o c z y n k o l e j n y c h l i c z b n a t u r a l n y c h o d 1 d o n , c z y l i
n ! = n ( n - 1 ) ( n - 2 ) . . . · 2 · 1 .
P r z y j m u j e s i , |e 0 ! = 1 . O t o w a r t o [c i s i l n i d l a p o c z t k o w y c h l i c z b n a t u r a l n y c h :
1 ! = 1 , 2 ! = 2 , 3 ! = 6 , 4 ! = 2 4 , 5 ! = 1 2 0 , 6 ! = 7 2 0 , 7 ! = 5 0 4 0 , 8 ! = 4 0 3 2 0 . . .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
P r z y k Ba d
S i l n i a l i c z b y n
( z a p i s y w a n a j a k o n ! ) t o i l o c z y n k o l e j n y c h l i c z b n a t u r a l n y c h o d 1 d o n , c z y l i
n ! = n ( n - 1 ) ( n - 2 ) . . . · 2 · 1 .
P r z y j m u j e s i , |e 0 ! = 1 . O t o w a r t o [c i s i l n i d l a p o c z t k o w y c h l i c z b n a t u r a l n y c h :
1 ! = 1 , 2 ! = 2 , 3 ! = 6 , 4 ! = 2 4 , 5 ! = 1 2 0 , 6 ! = 7 2 0 , 7 ! = 5 0 4 0 , 8 ! = 4 0 3 2 0 . . .
C i g ( 0 ! , 1 ! , 2 ! , . . . ) , a b y m ó g B b y r o z u m i a n y p r e c y z y j n i e p r z e z k o m p u t e r , p o w i n i e n
b y z a d a n y r e k u r e n c y j n i e j a k o :
s 0 = 1 , s n = n · s n - 1 , n e" 1 .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
M o d y f i k a c j e s i l n i
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
M o d y f i k a c j e s i l n i
J a k i c i g j e s t z d e f i n i o w a n y p r z e z m a B m o d y f i k a c j d e f i n i c j i s i l n i ?
s 0 = 0 , s n = n · s n - 1 , n e" 1 ?
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
M o d y f i k a c j e s i l n i
J a k i c i g j e s t z d e f i n i o w a n y p r z e z m a B m o d y f i k a c j d e f i n i c j i s i l n i ?
s 0 = 0 , s n = n · s n - 1 , n e" 1 ?
C o d e f i n i u j e n a s t p u j c e o k r e [l e n i e ?
s 0 = 1 , s n = n · s n - 2 , n e" 2 ?
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
M o d y f i k a c j e s i l n i
J a k i c i g j e s t z d e f i n i o w a n y p r z e z m a B m o d y f i k a c j d e f i n i c j i s i l n i ?
s 0 = 0 , s n = n · s n - 1 , n e" 1 ?
C o d e f i n i u j e n a s t p u j c e o k r e [l e n i e ?
s 0 = 1 , s n = n · s n - 2 , n e" 2 ?
W o s t a t n i m p r z y p a d k u w i d a , |e p o n i e w a | o d w o Ba n i e j e s t d w a w y r a z y w s t e c z , t o j u |
w y l i c z e n i e p i e r w s z e g o w y r a z u s 1 s t a l e s i n i e m o |l i w e .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
W i e |e H a n o i
U z a r a n i a c z a s u B ó g u m i e [c i B 6 4 z Bo t e k r |k i n a j e d n e j z t r z e c h d i a m e n t o w y c h i g l i c
t a k , |e k r |k i w y |e j u m i e s z c z o n e m i a By m n i e j s z e p r o m i e n i e .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
W i e |e H a n o i
U z a r a n i a c z a s u B ó g u m i e [c i B 6 4 z Bo t e k r |k i n a j e d n e j z t r z e c h d i a m e n t o w y c h i g l i c
t a k , |e k r |k i w y |e j u m i e s z c z o n e m i a By m n i e j s z e p r o m i e n i e .
N a s t p n i e B ó g p o l e c i B m n i c h o m p r z e Bo |e n i e t y c h k r |k ó w n a t r z e c i i g l i c ( C ) , a l e
t a k , a b y :
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
W i e |e H a n o i
U z a r a n i a c z a s u B ó g u m i e [c i B 6 4 z Bo t e k r |k i n a j e d n e j z t r z e c h d i a m e n t o w y c h i g l i c
t a k , |e k r |k i w y |e j u m i e s z c z o n e m i a By m n i e j s z e p r o m i e n i e .
N a s t p n i e B ó g p o l e c i B m n i c h o m p r z e Bo |e n i e t y c h k r |k ó w n a t r z e c i i g l i c ( C ) , a l e
t a k , a b y :
w j e d n y m r u c h u p r z e n o s i t y l k o j e d e n k r |e k ,
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
W i e |e H a n o i
U z a r a n i a c z a s u B ó g u m i e [c i B 6 4 z Bo t e k r |k i n a j e d n e j z t r z e c h d i a m e n t o w y c h i g l i c
t a k , |e k r |k i w y |e j u m i e s z c z o n e m i a By m n i e j s z e p r o m i e n i e .
N a s t p n i e B ó g p o l e c i B m n i c h o m p r z e Bo |e n i e t y c h k r |k ó w n a t r z e c i i g l i c ( C ) , a l e
t a k , a b y :
w j e d n y m r u c h u p r z e n o s i t y l k o j e d e n k r |e k ,
k r |e k w i k s z y n i e m o |e n i g d y l e |e n a k r |k u m n i e j s z y m ,
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
W i e |e H a n o i
U z a r a n i a c z a s u B ó g u m i e [c i B 6 4 z Bo t e k r |k i n a j e d n e j z t r z e c h d i a m e n t o w y c h i g l i c
t a k , |e k r |k i w y |e j u m i e s z c z o n e m i a By m n i e j s z e p r o m i e n i e .
N a s t p n i e B ó g p o l e c i B m n i c h o m p r z e Bo |e n i e t y c h k r |k ó w n a t r z e c i i g l i c ( C ) , a l e
t a k , a b y :
w j e d n y m r u c h u p r z e n o s i t y l k o j e d e n k r |e k ,
k r |e k w i k s z y n i e m o |e n i g d y l e |e n a k r |k u m n i e j s z y m ,
m o |n a p o s Bu g i w a s i i g l i c B .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
W i e |e H a n o i
U z a r a n i a c z a s u B ó g u m i e [c i B 6 4 z Bo t e k r |k i n a j e d n e j z t r z e c h d i a m e n t o w y c h i g l i c
t a k , |e k r |k i w y |e j u m i e s z c z o n e m i a By m n i e j s z e p r o m i e n i e .
N a s t p n i e B ó g p o l e c i B m n i c h o m p r z e Bo |e n i e t y c h k r |k ó w n a t r z e c i i g l i c ( C ) , a l e
t a k , a b y :
w j e d n y m r u c h u p r z e n o s i t y l k o j e d e n k r |e k ,
k r |e k w i k s z y n i e m o |e n i g d y l e |e n a k r |k u m n i e j s z y m ,
m o |n a p o s Bu g i w a s i i g l i c B .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
W i e |e H a n o i - a n a l i z a
A b y o b l i c z y i l o p [ p o t r z e b n y c h d o w y k o n a n i a r u c h ó w , p r z e a n a l i z u j m y n a j p i e r w m a Be
p r z y p a d k i :
Aa t w o z a u w a |y , |e d l a j e d n e g o k r |k a p o t r z e b n y j e s t j e d e n r u c h : A ’! C .
P o d o b n i e d l a d w u k r |k ó w m o |e m y p o s t p i : A ’! B , A ’! C , B ’! C .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
W i e |e H a n o i - a n a l i z a
A b y o b l i c z y i l o p [ p o t r z e b n y c h d o w y k o n a n i a r u c h ó w , p r z e a n a l i z u j m y n a j p i e r w m a Be
p r z y p a d k i :
Aa t w o z a u w a |y , |e d l a j e d n e g o k r |k a p o t r z e b n y j e s t j e d e n r u c h : A ’! C .
P o d o b n i e d l a d w u k r |k ó w m o |e m y p o s t p i : A ’! B , A ’! C , B ’! C .
P r z y t r z e c h k r |k a c h p o s t p u j e m y t a k :
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
W i e |e H a n o i - a n a l i z a
A b y o b l i c z y i l o p [ p o t r z e b n y c h d o w y k o n a n i a r u c h ó w , p r z e a n a l i z u j m y n a j p i e r w m a Be
p r z y p a d k i :
Aa t w o z a u w a |y , |e d l a j e d n e g o k r |k a p o t r z e b n y j e s t j e d e n r u c h : A ’! C .
P o d o b n i e d l a d w u k r |k ó w m o |e m y p o s t p i : A ’! B , A ’! C , B ’! C .
P r z y t r z e c h k r |k a c h p o s t p u j e m y t a k :
n a j p i e r w p r z e n o s i m y d w a g ó r n e k r |k i n a i g l i c B p o s Bu g u j c s i i g l i c C :
A ’! C , A ’! B , C ’! B
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
W i e |e H a n o i - a n a l i z a
A b y o b l i c z y i l o p [ p o t r z e b n y c h d o w y k o n a n i a r u c h ó w , p r z e a n a l i z u j m y n a j p i e r w m a Be
p r z y p a d k i :
Aa t w o z a u w a |y , |e d l a j e d n e g o k r |k a p o t r z e b n y j e s t j e d e n r u c h : A ’! C .
P o d o b n i e d l a d w u k r |k ó w m o |e m y p o s t p i : A ’! B , A ’! C , B ’! C .
P r z y t r z e c h k r |k a c h p o s t p u j e m y t a k :
n a j p i e r w p r z e n o s i m y d w a g ó r n e k r |k i n a i g l i c B p o s Bu g u j c s i i g l i c C :
A ’! C , A ’! B , C ’! B
p r z e n o s i m y n a j w i k s z y k r |e k z A n a C :
A ’! C
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
W i e |e H a n o i - a n a l i z a
A b y o b l i c z y i l o p [ p o t r z e b n y c h d o w y k o n a n i a r u c h ó w , p r z e a n a l i z u j m y n a j p i e r w m a Be
p r z y p a d k i :
Aa t w o z a u w a |y , |e d l a j e d n e g o k r |k a p o t r z e b n y j e s t j e d e n r u c h : A ’! C .
P o d o b n i e d l a d w u k r |k ó w m o |e m y p o s t p i : A ’! B , A ’! C , B ’! C .
P r z y t r z e c h k r |k a c h p o s t p u j e m y t a k :
n a j p i e r w p r z e n o s i m y d w a g ó r n e k r |k i n a i g l i c B p o s Bu g u j c s i i g l i c C :
A ’! C , A ’! B , C ’! B
p r z e n o s i m y n a j w i k s z y k r |e k z A n a C :
A ’! C
p r z e n o s i m y k r |k i z B n a C , p o s Bu g u j c s i i g l i c A :
B ’! A , B ’! C , A ’! C ,
c o p o k a z u j e , |e p o t r z e b a t u s i e d m i u r u c h ó w .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
J a k r o z w i z a t o z a d a n i e d l a n k r |k ó w ?
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
J a k r o z w i z a t o z a d a n i e d l a n k r |k ó w ?
O z n a c z m y p r z e z H n l i c z b r u c h ó w p o t r z e b n y c h d o p r z e n i e s i e n i a n k r |k ó w z j e d n e j
i g l i c y n a d r u g . W i e m y j u |, |e H 1 = 1 , H 2 = 3 , H 3 = 7 .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
J a k r o z w i z a t o z a d a n i e d l a n k r |k ó w ?
O z n a c z m y p r z e z H n l i c z b r u c h ó w p o t r z e b n y c h d o p r z e n i e s i e n i a n k r |k ó w z j e d n e j
i g l i c y n a d r u g . W i e m y j u |, |e H 1 = 1 , H 2 = 3 , H 3 = 7 .
A b y p r z e n i e [ n k r a |k ó w z A n a C m o |e m y u o g ó l n i s y t u a c j z t r z e m a k r |k a m i .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
J a k r o z w i z a t o z a d a n i e d l a n k r |k ó w ?
O z n a c z m y p r z e z H n l i c z b r u c h ó w p o t r z e b n y c h d o p r z e n i e s i e n i a n k r |k ó w z j e d n e j
i g l i c y n a d r u g . W i e m y j u |, |e H 1 = 1 , H 2 = 3 , H 3 = 7 .
A b y p r z e n i e [ n k r a |k ó w z A n a C m o |e m y u o g ó l n i s y t u a c j z t r z e m a k r |k a m i .
p r z e n o s i m y n - 1 g ó r n y c h k r |k ó w n a i g l i c B , p o s Bu g u j c s i i g l i c C ; p o t r z e b a
n a t o H n - 1 r u c h ó w
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
J a k r o z w i z a t o z a d a n i e d l a n k r |k ó w ?
O z n a c z m y p r z e z H n l i c z b r u c h ó w p o t r z e b n y c h d o p r z e n i e s i e n i a n k r |k ó w z j e d n e j
i g l i c y n a d r u g . W i e m y j u |, |e H 1 = 1 , H 2 = 3 , H 3 = 7 .
A b y p r z e n i e [ n k r a |k ó w z A n a C m o |e m y u o g ó l n i s y t u a c j z t r z e m a k r |k a m i .
p r z e n o s i m y n - 1 g ó r n y c h k r |k ó w n a i g l i c B , p o s Bu g u j c s i i g l i c C ; p o t r z e b a
n a t o H n - 1 r u c h ó w
p r z e n o s i m y n a j w i k s z y k r |e k z A n a C - t o t y l k o j e d e n r u c h
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
J a k r o z w i z a t o z a d a n i e d l a n k r |k ó w ?
O z n a c z m y p r z e z H n l i c z b r u c h ó w p o t r z e b n y c h d o p r z e n i e s i e n i a n k r |k ó w z j e d n e j
i g l i c y n a d r u g . W i e m y j u |, |e H 1 = 1 , H 2 = 3 , H 3 = 7 .
A b y p r z e n i e [ n k r a |k ó w z A n a C m o |e m y u o g ó l n i s y t u a c j z t r z e m a k r |k a m i .
p r z e n o s i m y n - 1 g ó r n y c h k r |k ó w n a i g l i c B , p o s Bu g u j c s i i g l i c C ; p o t r z e b a
n a t o H n - 1 r u c h ó w
p r z e n o s i m y n a j w i k s z y k r |e k z A n a C - t o t y l k o j e d e n r u c h
p r z e n o s i m y n - 1 k r |k ó w z B n a C ; p o t r z e b a n a t o H n - 1 r u c h ó w
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
J a k r o z w i z a t o z a d a n i e d l a n k r |k ó w ?
O z n a c z m y p r z e z H n l i c z b r u c h ó w p o t r z e b n y c h d o p r z e n i e s i e n i a n k r |k ó w z j e d n e j
i g l i c y n a d r u g . W i e m y j u |, |e H 1 = 1 , H 2 = 3 , H 3 = 7 .
A b y p r z e n i e [ n k r a |k ó w z A n a C m o |e m y u o g ó l n i s y t u a c j z t r z e m a k r |k a m i .
p r z e n o s i m y n - 1 g ó r n y c h k r |k ó w n a i g l i c B , p o s Bu g u j c s i i g l i c C ; p o t r z e b a
n a t o H n - 1 r u c h ó w
p r z e n o s i m y n a j w i k s z y k r |e k z A n a C - t o t y l k o j e d e n r u c h
p r z e n o s i m y n - 1 k r |k ó w z B n a C ; p o t r z e b a n a t o H n - 1 r u c h ó w
A z a t e m H n = H n - 1 + 1 + H n - 1 = 2 H n - 1 + 1 .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
M a m y w i c r ó w n a n i e r e k u r e n c y j n e :
H 1 = 1 , H n = 2 · H n - 1 + 1 , n e" 2 .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
M a m y w i c r ó w n a n i e r e k u r e n c y j n e :
H 1 = 1 , H n = 2 · H n - 1 + 1 , n e" 2 .
M o |e m y p o l i c z y k i l k a j e g o w y r a z ó w :
1 , 3 , 7 , 1 5 , 3 1 , 6 3 , 1 2 7 , . . .
i r o z p o z n a w n i c h c i g p o t g d w ó j k i z m n i e j s z o n y c h o j e d e n .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
M a m y w i c r ó w n a n i e r e k u r e n c y j n e :
H 1 = 1 , H n = 2 · H n - 1 + 1 , n e" 2 .
M o |e m y p o l i c z y k i l k a j e g o w y r a z ó w :
1 , 3 , 7 , 1 5 , 3 1 , 6 3 , 1 2 7 , . . .
i r o z p o z n a w n i c h c i g p o t g d w ó j k i z m n i e j s z o n y c h o j e d e n .
A l e c z y r z e c z y w i [c i e H n = 2 n - 1 ?
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
M a m y w i c r ó w n a n i e r e k u r e n c y j n e :
H 1 = 1 , H n = 2 · H n - 1 + 1 , n e" 2 .
M o |e m y p o l i c z y k i l k a j e g o w y r a z ó w :
1 , 3 , 7 , 1 5 , 3 1 , 6 3 , 1 2 7 , . . .
i r o z p o z n a w n i c h c i g p o t g d w ó j k i z m n i e j s z o n y c h o j e d e n .
A l e c z y r z e c z y w i [c i e H n = 2 n - 1 ?
A b y u p e w n i s i , |e n a s z e o d g a d n i c i e b y Bo p r a w i d Bo w e , s p r a w d z a m y , |e
2 H n - 1 + 1 = 2 ( 2 n - 1 - 1 ) + 1 = 2 n - 1 = H n ,
c o o z n a c z a , |e c i g 2 n - 1 s p e Bn i a r ó w n a n i e r e k u r e n c y j n e , k t ó r y m z a d a n y j e s t c i g H n .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
M a m y w i c r ó w n a n i e r e k u r e n c y j n e :
H 1 = 1 , H n = 2 · H n - 1 + 1 , n e" 2 .
M o |e m y p o l i c z y k i l k a j e g o w y r a z ó w :
1 , 3 , 7 , 1 5 , 3 1 , 6 3 , 1 2 7 , . . .
i r o z p o z n a w n i c h c i g p o t g d w ó j k i z m n i e j s z o n y c h o j e d e n .
A l e c z y r z e c z y w i [c i e H n = 2 n - 1 ?
A b y u p e w n i s i , |e n a s z e o d g a d n i c i e b y Bo p r a w i d Bo w e , s p r a w d z a m y , |e
2 H n - 1 + 1 = 2 ( 2 n - 1 - 1 ) + 1 = 2 n - 1 = H n ,
c o o z n a c z a , |e c i g 2 n - 1 s p e Bn i a r ó w n a n i e r e k u r e n c y j n e , k t ó r y m z a d a n y j e s t c i g H n .
A w i c H 6 4 = 2 6 4 - 1 H" 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , c o p r z y p r z e n o s z e n i u j e d n e g o
k r |k a n a s e k u n d z a j m n i e p o n a d 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 l a t .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
R e l a c j a r e k u r e n c j i
L i n i o w a , j e d n o r o d n a r e l a c j a r e k u r e n c j i z a s t a By m i w s p ó Bc z y n n i k a m i j e s t t o r e l a c j a
p o s t a c i :
a n = c 1 a n - 1 + c 2 a n - 2 + . . . + c k a n - k ,
g d z i e c 1 , . . . , c k " R o r a z c k = 0 .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
R e l a c j a r e k u r e n c j i
L i n i o w a , j e d n o r o d n a r e l a c j a r e k u r e n c j i z a s t a By m i w s p ó Bc z y n n i k a m i j e s t t o r e l a c j a
p o s t a c i :
a n = c 1 a n - 1 + c 2 a n - 2 + . . . + c k a n - k ,
g d z i e c 1 , . . . , c k " R o r a z c k = 0 .
R e l a c j a l i n i o w a
L i n i o w a o z n a c z a , |e k a |d e a i j e s t w p o t d z e c o n a j w y |e j p i e r w s z e j ;
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
R e l a c j a r e k u r e n c j i
L i n i o w a , j e d n o r o d n a r e l a c j a r e k u r e n c j i z a s t a By m i w s p ó Bc z y n n i k a m i j e s t t o r e l a c j a
p o s t a c i :
a n = c 1 a n - 1 + c 2 a n - 2 + . . . + c k a n - k ,
g d z i e c 1 , . . . , c k " R o r a z c k = 0 .
R e l a c j a l i n i o w a
L i n i o w a o z n a c z a , |e k a |d e a i j e s t w p o t d z e c o n a j w y |e j p i e r w s z e j ;
R e l a c j a j e d n o r o d n a
J e d n o r o d n a - |e k a |d y c z Bo n p o p r a w e j s t r o n i e j e s t p o m n o |o n y p r z e z j a k i e [ a i ;
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
R e l a c j a r e k u r e n c j i
L i n i o w a , j e d n o r o d n a r e l a c j a r e k u r e n c j i z a s t a By m i w s p ó Bc z y n n i k a m i j e s t t o r e l a c j a
p o s t a c i :
a n = c 1 a n - 1 + c 2 a n - 2 + . . . + c k a n - k ,
g d z i e c 1 , . . . , c k " R o r a z c k = 0 .
R e l a c j a l i n i o w a
L i n i o w a o z n a c z a , |e k a |d e a i j e s t w p o t d z e c o n a j w y |e j p i e r w s z e j ;
R e l a c j a j e d n o r o d n a
J e d n o r o d n a - |e k a |d y c z Bo n p o p r a w e j s t r o n i e j e s t p o m n o |o n y p r z e z j a k i e [ a i ;
R e l a c j a o s t a By c h w s p ó Bc z y n n i k a c h
W s z y s t k i e w s p ó Bc z y n n i k i s s t a Be , c z y l i n i e z a l e |n e o d n ; p o n i e w a | a k z a l e |y o d k
s w o i c h p o p r z e d n i k ó w , w i c r z d e m r e l a c j i j e s t k .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
P r z y k Ba d y
s n = 2 s n - 1 - r e l a c j a p i e r w s z e g o r z d u ;
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
P r z y k Ba d y
s n = 2 s n - 1 - r e l a c j a p i e r w s z e g o r z d u ;
a n = n · a n - 1 - j e s t l i n i o w a i p i e r w s z e g o r z d u . A l e w s p ó Bc z y n n i k p r z y a n - 1 n i e j e s t
s t a By ;
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
P r z y k Ba d y
s n = 2 s n - 1 - r e l a c j a p i e r w s z e g o r z d u ;
a n = n · a n - 1 - j e s t l i n i o w a i p i e r w s z e g o r z d u . A l e w s p ó Bc z y n n i k p r z y a n - 1 n i e j e s t
s t a By ;
a n = a n - 1 + ( n - 1 ) - j e s t l i n i o w a p i e r w s z e g o r z d u o s t a By c h w s p ó Bc z y n n i k a c h . A l e z e
w z g l d u n a c z Bo n n - 1 n i e j e s t t o r e l a c j a j e d n o r o d n a ;
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
P r z y k Ba d y
s n = 2 s n - 1 - r e l a c j a p i e r w s z e g o r z d u ;
a n = n · a n - 1 - j e s t l i n i o w a i p i e r w s z e g o r z d u . A l e w s p ó Bc z y n n i k p r z y a n - 1 n i e j e s t
s t a By ;
a n = a n - 1 + ( n - 1 ) - j e s t l i n i o w a p i e r w s z e g o r z d u o s t a By c h w s p ó Bc z y n n i k a c h . A l e z e
w z g l d u n a c z Bo n n - 1 n i e j e s t t o r e l a c j a j e d n o r o d n a ;
2
a n = a n - 1 + 3 a n - 2 - j e s t d r u g i e g o r z d u o s t a By c h w s p ó Bc z y n n i k a c h . A l e n i e j e s t
l i n i o w a ;
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
P r z y k Ba d y
s n = 2 s n - 1 - r e l a c j a p i e r w s z e g o r z d u ;
a n = n · a n - 1 - j e s t l i n i o w a i p i e r w s z e g o r z d u . A l e w s p ó Bc z y n n i k p r z y a n - 1 n i e j e s t
s t a By ;
a n = a n - 1 + ( n - 1 ) - j e s t l i n i o w a p i e r w s z e g o r z d u o s t a By c h w s p ó Bc z y n n i k a c h . A l e z e
w z g l d u n a c z Bo n n - 1 n i e j e s t t o r e l a c j a j e d n o r o d n a ;
2
a n = a n - 1 + 3 a n - 2 - j e s t d r u g i e g o r z d u o s t a By c h w s p ó Bc z y n n i k a c h . A l e n i e j e s t
l i n i o w a ;
a n = 2 s n - 1 - 3 a n - 6 - j e s t l i n i o w a , j e d n o r o d n a , s z ó s t e g o r z d u , o s t a By c h
w s p ó Bc z y n n i k a c h .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
Z a u w a |m y , |e r o z w i z a n i e m r ó w n a n i a a n = 2 a n - 1 , g d z i e a 0 = 1 j e s t a n = 2 n , n e" 0 .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
Z a u w a |m y , |e r o z w i z a n i e m r ó w n a n i a a n = 2 a n - 1 , g d z i e a 0 = 1 j e s t a n = 2 n , n e" 0 .
O g ó l n i e j , r o z w i z a n i e m r ó w n a n i a r e k u r e n c y j n e g o a n = ³ · a n - 1 , g d z i e a 0 = c j e s t
a n = c · ³n .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
Z a u w a |m y , |e r o z w i z a n i e m r ó w n a n i a a n = 2 a n - 1 , g d z i e a 0 = 1 j e s t a n = 2 n , n e" 0 .
O g ó l n i e j , r o z w i z a n i e m r ó w n a n i a r e k u r e n c y j n e g o a n = ³ · a n - 1 , g d z i e a 0 = c j e s t
a n = c · ³n .
R o z w a |m y t e r a z r ó w n a n i e p o s t a c i a n = a · a n - 1 + b · a n - 2 , g d z i e a i b s n i e z e r o w y m i
s t a By m i .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
Z a u w a |m y , |e r o z w i z a n i e m r ó w n a n i a a n = 2 a n - 1 , g d z i e a 0 = 1 j e s t a n = 2 n , n e" 0 .
O g ó l n i e j , r o z w i z a n i e m r ó w n a n i a r e k u r e n c y j n e g o a n = ³ · a n - 1 , g d z i e a 0 = c j e s t
a n = c · ³n .
R o z w a |m y t e r a z r ó w n a n i e p o s t a c i a n = a · a n - 1 + b · a n - 2 , g d z i e a i b s n i e z e r o w y m i
s t a By m i .
J e [l i t o r ó w n a n i e p o s i a d a r o z w i z a n i e n i e z e r o w e p o s t a c i a n = c · ³n , t o
c · ³n = a · c · ³n - 1 + b · c · ³n - 2 . T o d a j e ³2 = a · ³ + b , c z y l i ³ m u s i b y
r o z w i z a n i e m r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o ³2 - a · ³ - b = 0 .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
Z a u w a |m y , |e r o z w i z a n i e m r ó w n a n i a a n = 2 a n - 1 , g d z i e a 0 = 1 j e s t a n = 2 n , n e" 0 .
O g ó l n i e j , r o z w i z a n i e m r ó w n a n i a r e k u r e n c y j n e g o a n = ³ · a n - 1 , g d z i e a 0 = c j e s t
a n = c · ³n .
R o z w a |m y t e r a z r ó w n a n i e p o s t a c i a n = a · a n - 1 + b · a n - 2 , g d z i e a i b s n i e z e r o w y m i
s t a By m i .
J e [l i t o r ó w n a n i e p o s i a d a r o z w i z a n i e n i e z e r o w e p o s t a c i a n = c · ³n , t o
c · ³n = a · c · ³n - 1 + b · c · ³n - 2 . T o d a j e ³2 = a · ³ + b , c z y l i ³ m u s i b y
r o z w i z a n i e m r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o ³2 - a · ³ - b = 0 .
T w i e r d z e n i e
N i e c h ³ i ´ b d r ó |n y m i r o z w i z a n i a m i r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o , g d z i e a , b " R
i b = 0 . W t e d y k a |d e r o z w i z a n i e r ó w n a n i a a n = a · a n - 1 + b · a n - 2 , g d z i e a 0 = c 0 i
a 1 = c 1 j e s t p o s t a c i
a n = A · ³n + B · ´n
d l a p e w n y c h s t a By c h A i B .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
Z a u w a |m y , |e t w i e r d z e n i e n i e m o |e b y s t o s o w a n e , j e [l i ³ = ´. M o |n a j e j e d n a k
s t o s o w a , g d y ³ i ´ s l i c z b a m i z e s p o l o n y m i .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
Z a u w a |m y , |e t w i e r d z e n i e n i e m o |e b y s t o s o w a n e , j e [l i ³ = ´. M o |n a j e j e d n a k
s t o s o w a , g d y ³ i ´ s l i c z b a m i z e s p o l o n y m i .
R o z w i z a n i a ³n i ´n s t o r o z w i z a n i a p o d s t a w o w e .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
Z a u w a |m y , |e t w i e r d z e n i e n i e m o |e b y s t o s o w a n e , j e [l i ³ = ´. M o |n a j e j e d n a k
s t o s o w a , g d y ³ i ´ s l i c z b a m i z e s p o l o n y m i .
R o z w i z a n i a ³n i ´n s t o r o z w i z a n i a p o d s t a w o w e .
R o z w i z a n i e r e l a c j i r e k u r e n c j i a n = A · ³n + B · ´n j e s t k o m b i n a c j l i n i o w r o z w i z a D
p o d s t a w o w y c h .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
Z a u w a |m y , |e t w i e r d z e n i e n i e m o |e b y s t o s o w a n e , j e [l i ³ = ´. M o |n a j e j e d n a k
s t o s o w a , g d y ³ i ´ s l i c z b a m i z e s p o l o n y m i .
R o z w i z a n i a ³n i ´n s t o r o z w i z a n i a p o d s t a w o w e .
R o z w i z a n i e r e l a c j i r e k u r e n c j i a n = A · ³n + B · ´n j e s t k o m b i n a c j l i n i o w r o z w i z a D
p o d s t a w o w y c h .
P r z y k Ba d
R o z w i z a r e l a c j r e k u r e n c j i a n = 5 a n - 1 - 6 a n - 2 , g d z i e a 0 = 4 , a 1 = 7 .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
F u n k c j e t w o r z c e
N i e c h a 1 , a 2 , . . . , a n b d z i e c i g i e m l i c z b r z e c z y w i s t y c h . F u n k c j t w o r z c d l a c i g u
( a n ) n a z y w a m y f u n k c j p o s t a c i :
f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
F u n k c j e t w o r z c e
N i e c h a 1 , a 2 , . . . , a n b d z i e c i g i e m l i c z b r z e c z y w i s t y c h . F u n k c j t w o r z c d l a c i g u
( a n ) n a z y w a m y f u n k c j p o s t a c i :
f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . .
F u n k c j t w o r z c , k t ó r e j b d z i e m y n a j c z [c i e j u |y w a j e s t
1
= 1 + a x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . . ,
1 - a x
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
F u n k c j e t w o r z c e
N i e c h a 1 , a 2 , . . . , a n b d z i e c i g i e m l i c z b r z e c z y w i s t y c h . F u n k c j t w o r z c d l a c i g u
( a n ) n a z y w a m y f u n k c j p o s t a c i :
f ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . .
F u n k c j t w o r z c , k t ó r e j b d z i e m y n a j c z [c i e j u |y w a j e s t
1
= 1 + a x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . . ,
1 - a x
c z y l i
1
= 1 + x + x 2 + . . . + x n + . . .
1 - x
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
D o d a w a n i e i m n o |e n i e f u n k c j i t w o r z c y c h
" "
N i e c h f ( x ) = a n x n i g ( x ) = b n x n b d d w o m a f u n k c j a m i t w o r z c y m i .
n = 0 n = 0
" " n
W t e d y f ( x ) + g ( x ) = ( a n + b n ) x n o r a z f ( x ) g ( x ) = ( ) ( a i b n - i ) x n .
n = 0 n = 0 i = 0
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
D o d a w a n i e i m n o |e n i e f u n k c j i t w o r z c y c h
" "
N i e c h f ( x ) = a n x n i g ( x ) = b n x n b d d w o m a f u n k c j a m i t w o r z c y m i .
n = 0 n = 0
" " n
W t e d y f ( x ) + g ( x ) = ( a n + b n ) x n o r a z f ( x ) g ( x ) = ( ) ( a i b n - i ) x n .
n = 0 n = 0 i = 0
F u n k c j t w o r z c , k t ó r e j b d z i e m y n a j c z [c i e j u |y w a j e s t
1
= 1 + a x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . . ,
1 - a x
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
D o d a w a n i e i m n o |e n i e f u n k c j i t w o r z c y c h
" "
N i e c h f ( x ) = a n x n i g ( x ) = b n x n b d d w o m a f u n k c j a m i t w o r z c y m i .
n = 0 n = 0
" " n
W t e d y f ( x ) + g ( x ) = ( a n + b n ) x n o r a z f ( x ) g ( x ) = ( ) ( a i b n - i ) x n .
n = 0 n = 0 i = 0
F u n k c j t w o r z c , k t ó r e j b d z i e m y n a j c z [c i e j u |y w a j e s t
1
= 1 + a x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . . ,
1 - a x
A b y r o z w i z a r ó w n a n i e r e k u r e n c y j n e m e t o d f u n k c j i t w o r z c y c h , p o t r z e b n y j e s t
r o z k Ba d n a u Ba m k i p r o s t e , n p .
6 x + 1 1 2
= + .
( 2 x - 1 ) ( 2 x + 3 ) 2 x - 1 2 x + 3
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
D e f i n i c j e r e k u r e n c y j n e W i e |e H a n o i R e l a c j a r e k u r e n c j i
D o d a w a n i e i m n o |e n i e f u n k c j i t w o r z c y c h
" "
N i e c h f ( x ) = a n x n i g ( x ) = b n x n b d d w o m a f u n k c j a m i t w o r z c y m i .
n = 0 n = 0
" " n
W t e d y f ( x ) + g ( x ) = ( a n + b n ) x n o r a z f ( x ) g ( x ) = ( ) ( a i b n - i ) x n .
n = 0 n = 0 i = 0
F u n k c j t w o r z c , k t ó r e j b d z i e m y n a j c z [c i e j u |y w a j e s t
1
= 1 + a x + a 2 x 2 + . . . + a n x n + . . . ,
1 - a x
A b y r o z w i z a r ó w n a n i e r e k u r e n c y j n e m e t o d f u n k c j i t w o r z c y c h , p o t r z e b n y j e s t
r o z k Ba d n a u Ba m k i p r o s t e , n p .
6 x + 1 1 2
= + .
( 2 x - 1 ) ( 2 x + 3 ) 2 x - 1 2 x + 3
P r z y k Ba d
R o z w i z a r e l a c j r e k u r e n c j i a n = 5 a n - 1 - 6 a n - 2 , g d z i e a 0 = 4 , a 1 = 7 .
W y k Ba d M a g d a l e n a L e m a Ds k a , m a g d a @ m i f . p g . g d a . p l
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