22878

2

2 WIELOMIANY SYMETRYCZNE

a„_i = -k{cn + ... + o„)

On-2 = k(a\02 + 0103 + ... + Q„_|O_n)

Oo = A.*(-l)ⁿOi ■...•Q_n

Dow....

Może się* zdarzyć tak. że pierwiastkami wielomianu v = aą + ... + a„Xⁿ o ws|x>lczy unikach w pewnym pierścieniu są elementy innego, obszerniejszego niż P zbioru. Przykłady takich sytuacji znamy łiardzo dobrze.

1.    Pierwiastkiem wielomianu 2x + 1 o współ czy nimikach całkowitych jest liczi ni wymienia 5.

2.    Pierwiastkami wielomianu x² -t- 1 € Z[x] są liczby zes|>olone i oraz -i.

Z twierdzenia o wzorach Viety wynika jednak następujący, ważny wniosek.

Wniosek 2.2 Jeśli wielomian v € P[x] ma pierv.ria.stki    należące do

pierścienia L zawierającego P (pierścień P jest podpierścieniem pierścienia L), wówczas

13    Q<, • • ■ • •    € P

l<i,<ij<-<i_k<n

dla każdego k <n.    ■

r-ty 111 podstawowym wieloinianein syinetrycznytn 6’_r(xi.....x„) na

zywamy wielomian n zmiennych Xi,... ,x„ który jest sumą wszystkich różnych iloczynów r różnych zmiennych.

Przykład.

n = 5,r = 1: Si(xi.X3.X3.X1.X5) = Xi + X2 + X3 + xj + x$ n = 4,r = 3: 5s(xi. X2.X3.X1) = XjX2X3 + X|X.>X| + XiXjXi + +X2XaXj

Wniosek 2.3 (Inna postać tw.Viety) Jeżeli oi.....o„ € L są pieruńast-

kann wielomianu u 6 P[x] (gdzie pierścień P jest podpierścieniem pierścienia L), t; = x" + a_n_ix^n-1 + ... + a<> to

^ar = (-l)^r-^rS„__r(a,.....o_n)

dla r = 0,1, ...,n.

Stąd wynika kolejny ważny wniosek.

Wniosek 2.4 Jeśli 0|....,o„ 6 L są pieruńastkami wielomianu v € P[x] (gdzie P jest podpierścieniem pierścienia L), to

5_r(ai,...,a_n)€ P

dla każdego r, 1 < r < n.