22973

V • P

^VA.....\*F • ^r

Dowod: P

Ua]*X>ia)-I>(a<->-a

i-i J i-i

Ua]= i p(c.)

ł-1    )    0#r-{0.1| '■

WIO. jeżeli V_kJV :P( A) = 0=> P

Dowod: z W9:

Po lewej VC_r,£ *0 jest liczone 1 raz Pokażemy, że po prawej stronie VC_r,f * 0 jest liczone co

n

najmniej raz. Niech = k; rozpatrujemy C_F liczone po    Wll. jeżeli : P (Ą) = 1 =* P

prawej stronie. Wtedy:

k-

k\

Ul

²1

WYKŁAD 3

Cl = {(O_l,...,(O_n

F = 2°

Ua]=o

Ua^£p(A)aP(A)=o

j=! J 1=1

]Tp(Ą)=0=>p[ Ua1=°

7

| a]⁼¹ (z Wio i 2)

i-i J

lim P

1-1 1-1

P|A) = ™ ¹ ' #n

P(AnB|

P(A)

k(k-l)

k—i-<1

2

k² -3fc + 2 > 0 czyli k=lvk >2 W7. ciągłość z dołu

Jeżeli A, T A (An ciąg zbieżny do A o AnOAn.i - ciąg

wstępujący i A = UA)toP(A,)Tp(A)

1-1

Niech BfAi B_l=A_l\A_l__l,j = 2,..n,

n

A_n = U B₍ aB, - rozłączne

i-i

A = Uą^P(A)=IP(Bj=lim£p(B,|^

LIS, a= HmP( A.)

V" )

W8. ciągłość z góry

Jeżeli Ą, i A (O An-i OAn- ciąg zstępujący i A = | A_})

i-i

to P( a.) -i p( A) . bo:

\ i A =» \' J- A‘U P{ \ ■) T P( A') => 1-P{ \) T1-P| A) => P{\) i P[ A|

W9. przeliczalna subaddytywnosc

._F:pfUA^£p(A)

V^M ) ^M

Dowod: z W5 V_K((

Ua}*£p(A)

WaAO. 4‘4 43

ii prz^r !uxbim do litu dla    i boPi AI >0

H Ua]s£p|AI

lWA M 4'4 43

W 7 prtrchodtimy do lim dla fi JJą

Ua)*£p(A). bo (JA ^ UA dla n

i-i ) i-i

P((^)) = P₍^aP,u[0,1|a£p₍=1

P(A)= £ P,

1'^cA

Jeżeli V.: P =

Tw. Banacha -Kuratowskiego

Na klasie wszystkich podzb. przedziału [0.1] nie istnieje

miara probabilistyczna taka, że prawdopodobieństwo

każdego zb. jednoel. jest zerem

Tw. Jeżeli 2 miary probabilistyczne są zgodne na

n-ukłądzie to sa zgodne na o(A).

Prawdopodobietistwo geometryczne:

ncK^kA0<A(Q|<oo=>p(A)= ^ ^A>

WYKŁAD 4

Prawdopodobietistwo warunkowe dlaAcF aP(A) >0:P(B\A} = * P(B|A) -rozkład prawdopodobieństwa na F (spełnia wszystkie aksjomaty)

Własności:

w*™*-'

P(A|A)=1

CnA = 0=» P(C| A) =0

P(AuB|C|=P|A|C) + P(B|C)-P(AnB|C)

P(AnBnC)=P(A|BnC)P(BnC)=P(A|BnC)P|B|C|P(C)

Prawdopodobietistwo całkowite

JeżeliĄ, A_2>... - rozłączne a Ua =n

i

toP(B)=£p(B|A)P(Ą)

I

Dowod:

PI B| = pf Ul BnĄ | )* ^ T~£ Pf BnĄ | = £ PI B | A |P| A | Wzór Bayesa:

Jeżeli { H_ł)_(€/ - przeliczalne rozbicie Q i P( A) > 0 to dla

, _t p(a|hJp(hJ

dowolnego je /: ^Pl ^H, 1*1 " £_P, _A | _H| | P, H,)