24635

7.4. W celu oszacowania wytrzymałości na ściskanie pewnego betonu dokonano n = 80 niezależnych pomiarów wytrzymałości tego betonu, otrzymującnastępujące wyniki (w 10⁵-^r):

Wytrzymałość	190-194	194-198	198-202	202-206	206-210	210-214
L. pomiarów	6	12	26	20	11	5

Przyjmując, ze wytrzymałość betonu ma rozkład normalny wyznaczyć dla średniej przedział ufności na poziomie ufności0,99.

l +

3

, 190 + 194..,    194+198.,,    198 +    202.,, 202 + 206...    206+    210. _r 210 + 214

201.65

X =

6»-j-+ 12»-j-+ 26 •-2-+ 20    •-2-+ ¹¹ •-2-+ 5 «•

6+ 12 + 26 + 20 + 11 + 5

„ ló • (192 - 201.65)² + 12 * (196 - 201.65)² + 26 * (...)* + 11 • (...)² + 5 * (212 - 201.65)²    .. ,

^{S =} J-6 + 12 + 26+20 + 11 + 5-1-*V2S6*S.16

m e (201.65 -    201.65 + t₀* (201.12.203.18)

Metoda najmniejszych kwadratów:    y = Px + a. $ ~    d = y - 0x

Residua: r_t = y, - (fix_t + a). r< = 0

5.3. Liczbę zgłoszeń w jednostce czasu do serwera można modelować przy pomocy rozkładu Poissona. Niech*,.x₂.....x_n będzie realizacja

próby losowej z rozkładu Poissona z parametrem /i.

u^x

X~Pois(ji) => /(*) = P(X = x) = ^ • e-»

1. Pokaż, że funkcja wiarygodności L(/i) jest zadana przez L(p) ■

Ł00 - nr., fM - m, (£ ■ .-*) - {=£ ■    ***** a e. o.

2. Policz logarytm funkcji wiarygodności oraz podaj postać estymatora największej wiarygodności parametru /i.

nu

/n(LOO) = In    - In(jj x,l j + /«(*“"") = £(x, • ln(ji)) - £ /n(x,».) -

. £r=i*«    -

x_t = np, p --- x

^KWj ₌ gkiii-_{n = 0}<>y

dfi    n    L-i

3. Jaka postać ma estymator największejwiarygodności prawdopodobieństwa zera wrozkładzie Poissona z parametrem p.

P(X-0)=^.e-»-e->‘=p L(p) osiąga max., gdy e~^n,‘ osiąga max, czyli gdy p osiąga min.

p = e~^H, p = e~P = e~*

4.4.W niektórych sytuacjach wiemy, ze prosta regresji przechodzi przez początek układu, czyli punkt o współrzędnych(0,0). Model przyjmuje wtedy postać/, = px, + U, dla i = 1.2.....n.Wykaż, że 0, estymator najmniejszych kwadratów parametru p ma postać

a Zl'=i ^xi^i

" ² n

^(n-0^_l + u_t))²=f(p)

1 = 1

dfifi)

dp

dfifi) dp

Ponieważ (0,0) należy do prostej, to U, = 0.

>t    / w    n v

- -2^x,(/₄ -px_t -U,) = -2\Y(x_lY_l-x_lU_l)-pY_jxfj

- o <=>]>,«:: <=>

i=i    i=i    ¹

zr.,(x_tY_t)