34675

Prędkość jako granica funkcji

Rozważmy punki materialny poruszający się wzdłuż osi OX\ położenie punktu w chwili t będziemy oznaczali przez S(t). Prędkość chwilową tego punktu materialnego w chwili ta można zdefiniować jako:

lim

t—t o

S(t) - S{h)

t-to

jeśli ta granica istnieje. Tak określona granica: ..pochodna drogi po czasie”. Pojęcie pochodnej i jej zastosowania: wykłady 6-ty i następne. Dziś: bardziej ..bezpośrednie zastosowania”: pojęcia funkcji ciągłej w punkcie, nieciągłej w punkcie, asymptoty itd.

Granica funkcji w ±oo

Przypomnijmy, że

Definicja 2. Mówimy, że ciąg (a„{ jest zbieżny do oo. jeżeli dla każdej liczby r istnieje takie no. że dla n > no jest a„ > r.

Definicja 3. Przez lim*—oo /(x) oznaczamy wspólną granicę ciągów f(x j). f(x2),... takich, że lim„__ac x_n =00(0 ile taka granica istnieje).

Analogicznie definiujemy granicę funkcji w -00.

Przykład I. lun_I__0O a* = 0 dla a € (0,1).

Niewłaściwa granica funkcji w punkcie

Definicja 4. Funkcja f ma w punkcie xa granicę niewłaściwą 00, co oznaczamy przez

lim f(x) - 00,

X—x₀

jeżeli oc jest wspólną granicę ciągów f(x\), /(jj),... takich, że lim_n__<x> x_n = Xo (o ile taka granica istnieje).

Analogicznie definiujemy granicę niewłaściwą -00 w punkcie .ro.

Przykład 2. lim_z_o js - oc.

Tu ierdzenia o granicach właściwych funkcji

Tw ierdzenie I (o arytmetyce granic funkcji). Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcie xq. to

lim (f(x) + g(x)) X—«Xo	= lim f(x) + lim </(x), X—»Xo X—»Xo	(2)
Urn (f(x)-g(x)) x—x0	= lim f(x)— lim y(x), I-*Xo X—*Xo	(3)
lim (cf(x)) X—X0	= c lim f(x), c € R X—Xo	(4)
lim {f(x) • «7(x)) X—X0	= lim f(x) • lim ą(x), X—»X0 x-*x0	(5)
.. /(*) lim —-X~x„ g{x)	1“°*—*o /(*) ... / v / « = 7:-7—7, ode lim g(x) f 0. \unr^rog(x) x—xq	(6)
		(7)

Uwaga. Powyższe twierdzenie jest prawdziwe także dla granic funkcji w oc i w - oc .

2