35785

Definicjo. Wyznacznikiem macierzy A stopnia n nazywamy sumę iloczynów elementów dowolnego wiersza (albo dowolnej kolumny) tej macierzy przez odpowiadające tym elementom dopełnienia algebraiczne._

Aby obliczyć wyznacznik metodą rozwinięć Laplace'a wybieramy najpierw wiersz (lub kolumnę), wg której będziemy rozwijać ten wyznacznik (najlepiej wybrać ten wiersz ( kolumnę), w którym jest najwięcej elementów zerowych).

W naszym przykładzie macierz nie ma elementów zerowych więc jest wszystko jedno, który wiersz (kolumnę ) wybierzemy do rozwinięcia. Wybierzmy więc trzeci wiersz.

det( A) = a₃,A₃, +0₃2A₃₂ + ĆI33A33 =6A_3I +(—3)A₃₂ + 2A₃₃

Jak widać, aby policzyć wyznacznik macierzy A trzeba mieć wcześniej policzone wartości

dopełnień algebraicznych wszystkicli elementów tej macierzy leżących w wybranym wierszu

trzecim. W naszym przykładzie policzyliśmy na razie tylko A32 (równa się

-16). Wykorzystując wartości wcześniej policzonych minorów otrzymujemy A31 = (-1)⁴12=12 A33 =(-l)⁶ 4=4 oraz det (A)=6 x 12+(-3)(-16)+2 x4= 72+48+8=128.

Zauważmy, że wyjściowa macierz była stopnia trzeciego, więc aby policzyć jej wyznacznik trzeba było wcześniej policzyć 3 wyznaczniki odpowiednich macierzy stopnia drugiego. Jeśli wyjściowa macierz byłaby stopnia czwartego w pierwszym etapie metody Laplace'a należałoby policzyć 4 wyznaczniki macierzy stopnia trzeciego (lub mniej w przypadku istnienia w macierzy wyjściowej elementów zerowych) macierzy. Każdy z tych wyznaczników można w drugim etapie rozważanej metody liczyć metodą Lapłace'a. Jeśli wszystkie elementy wyjściowej macierzy są niezerowe, to w przypadku macierzy stopnia czwartego w wyniku dwu etapów obliczeń trzeba policzyć 16 wyznaczników macierzy stopnia drugiego. Im większy jest stopień macierzy, tym więcej etapów ma metoda Laplace'a i więcej trzeba liczyć wyznaczników.

Własności wyznaczników

1.    Wyznacznik macierzy A i wyznacznik macierzy transponowanej    ^s°bie

równe.

2. Wyznacznik macierzy, w której jedna kolumna (lub jeden wiersz) składa się z samych zer, równy jest zeru .

3.    Wyznacznik zmieni znak, gdy przestawimy ze sobą dwa wiersze (łub dwie kolumny) macierzy.

4. Wyznacznik macierzy, która ma dwa wiersze (dwie kolumny) jednakowe, jest równy zeru.

5.    Wspólny czynnik wszystkich elementów pewnej kolumny (wiersza) macierzy można wyłączyć przed znak wyznacznika.

6.    Jeśli elementy dwóch kolumn (wierszy) macierzy są do siebie proporcjonalne, to wyznacznik tej macierzy jest równy zeru.

Te własności można wykorzystywać przy obliczaniu wyznaczników. Zanim zastosujemy metodę Laplace’a do obliczania wyznacznika macierzy warto sprawdzić, czy nie

2