40098

(-A) e CnL(X)

ora z

(~A) e CnL(X u {A})

[z uwagi na monotoniczność operacji CnL).

Z drugiej strony.

A e CnL(X u {A})

A e CnL(X u {A})

[z uwagi na zwrotność operacji CnL) i

[z uwagi na twierdzenie generalizacji]

To zaś oznacza, źe X u {A} e/ NSP.

(—) Załóżmy, źe dla każdej formuły A takiej, źe A e/ CnL(X). X u (A) e/ NSP. zaś dla dowodu nie wprost załóżmy, że X e/ ZUP. Gdy X e/ ZUP, wówczas istnieje zdanie A takie, źe A e/ CnL(X) i (~A) e/ CnL(X). Stąd wnosimy, źe X u {A} e NSP. wbrew założeniu twierdzenia [korzystamy tu z twierdzenia: Jeżeli formuła A jest zdaniem oraz (~A) e/ CnL(X). to X u (A) e NSP).

Twierzenie do pozwala zdefiniować pojęcie niesprzeczności inaczej, w sposób bardziej ogólny:

Def 2. Zupełność / niezupełność w sensie Posta a) zbiór formuł X jest zupełny w sensie Posta (lub maksymalnie niesprzeczny) wtw dla każdej formuły A takiej, że A e/ CnL(X), CnL(X u {A» = J.

b) Zbiór formuł X jest niezupełny w sensie Posta wtw istnieje formuła A taka. źe A e/ CnL(X) i CnL(X u {A}) =/= J.

/Def. Posta może być stosowana do języków beznegacyjnych/.

Lemat Lindenbauma o nadzbiorach zupełnych (maksymalnych).

Jeżeli X jest niesprzeczną teorią pierwszego rzędu w języku J. to istnieje teoria Y. która jest niesprzecznym i zupełnym rozszerzeniem teorii X. Zbiór Y nazywamy wówczas nadzbiorem Lindenbauma.