38514

38514



/(■T0ł A t)- /(.T„)


Ar


lim -

ił. O


, . r„-r„-Ar r„+.r„łA.r 2 sm-2-2--cos—2-2-


Ar 2 sil


- = lim -


lim -


A r sin(r0 + A r) sin ,r0


lim -


A x sin(.r0 + A r) sin r0


“Ar- sm(.v01 Ar)- sin r0 . A.r


A.r


lim ——

st-o Ar


sin(r0+ Ar)sinr0


- cosr0 sinJr0

•    Definicja pochodnych jednostronnych fimkcji

Niech f będzie określona przynajmniej na lewostronnym otoczeniu U_(Xo) [prawostronnym otoczeniu U.(xo)].

Pochodna lewostroima fimkcji f w punkcie Xo, ozn symbolem f_’(x<>), nazywamy:

/' (x0) =/ lun f(1° +2>-/<1<■> i1-°_    A.r

Pochodną prawostronną fimkcji f w punkcie Xo, ozn. symbolem f.’(xo), nazywamy: f, « hm f(xoł Ar)- f(x0)

Ar

•    Twierdzenie: warunek konieczny i dostateczny istnienia pochodnej :

Pochodna f(xo) istnieje o , gdy istnieją pochodne jednostronne w pmikcie a ponadto:

r_(Xo)=r.(x„)

Przykład Sprawdzić istnienie pochodnej fimkcji: y= | x | w punkcie Xo=0


=» /'_(0)1 /. (0) f(0) nie istnieje


/■<1.) = l,m/M; llmNlO= hmlĄr =

°_ A.r    i1-o_ A.r    Ar

„ , ,    ,.    /(Ar)-/(O)    ,.    |A.r|-0    Ar ,

i1- <y A.r    1 «-1<>• A.r it-^A.r

1

   Twierdzenie: związek między ciągłością a istnieniem pochodnej Jeżeli funkcja ma pochodną właściwą w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie.

UWAGA: Ale nie na odwrót!!! Tzn. z ciągłości funkcji tue wy nika istnieiue pochodnej.

Przy kład: y= \ x \ jest funkcją ciągłą, ale nie ma pochodnej w x0=OU!

2

•    Definicja pochodnej fimkcji na zbiorze:

Funkcja ma pochodną właściwą na zbiorze « , gdy ma pochodną właściwą w każdym punkcie tego zbioru Funkcie określona na zbiorze, której wartości w punktach X tego zbiom są równe F(x) nazywamy pochodna funkcii f na zbiorze i oznaczamy przez F.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
/(■T0ł A t)- /(.T„) Ar lim - ił. O , . r„-r„-Ar r.+ r.tAr 2 sm-2 2--cos—2-2- Ar 2 sil - = lim
Picture8 (10) I I WZÓR AŻUROWY łap przekr, 1 o. p.), od * powi. po czym za* kończyć 1 o. p. 4. ił:
80954 STR3A n u Ii-= =if
DSCN6067 I-rz. Il-rz. Ill-rz. audboaniany alkilowe se jednak mniej trwałe od karboanid tabilizowanyc
Struktury Il-rz. i motywy naddrugorzędowe, zwłaszcza w dużych białkach, mogą być zorganizowane w
Picture8 (10) I I WZÓR AŻUROWY łap przekr, 1 o. p.), od * powi. po czym za* kończyć 1 o. p. 4. ił:
Picture8 (10) I I WZÓR AŻUROWY łap przekr, 1 o. p.), od * powi. po czym za* kończyć 1 o. p. 4. ił:
53204 skanuj0001 (411) tZ Soprządził: SnryłwH/ił (5/-7 < /?
IMAG1376 IŁ’U- f4v, [Ił    KKw j *w» *nJ~JLX : #    lo^^ #ŚM§^ jMi w
zamek J# i 1 I$r jr -A uSI Ł/iŁ^SfeS flflp JM flr vVv * < SM jjr;. A/ IW:;... U ISS^ Mr
47561 Julehekling 2520 252845 2529 Hekle forst 6 motiver sammen *il en rem p A hwr si r le a v sm&nb
&te: ’^C rZ&*>*r^ar ^ - . > v^v g^g»BGig^jggŁ

więcej podobnych podstron