/(■T0ł A t)- /(.T„)
Ar
lim -
ił. O
, . r„-r„-Ar r„+.r„łA.r 2 sm-2-2--cos—2-2-
Ar 2 sil
- = lim -
lim -
A r sin(r0 + A r) sin ,r0
lim -
A x sin(.r0 + A r) sin r0
“Ar- sm(.v01 Ar)- sin r0 . A.r
A.r
lim ——
st-o Ar
sin(r0+ Ar)sinr0
- cosr0 sinJr0
• Definicja pochodnych jednostronnych fimkcji
Niech f będzie określona przynajmniej na lewostronnym otoczeniu U_(Xo) [prawostronnym otoczeniu U.(xo)].
Pochodna lewostroima fimkcji f w punkcie Xo, ozn symbolem f_’(x<>), nazywamy:
/' (x0) =/ lun f(1° +2>-/<1<■> i1-°_ A.r
Pochodną prawostronną fimkcji f w punkcie Xo, ozn. symbolem f.’(xo), nazywamy: f, « hm f(xoł Ar)- f(x0)
Ar
• Twierdzenie: warunek konieczny i dostateczny istnienia pochodnej :
Pochodna f(xo) istnieje o , gdy istnieją pochodne jednostronne w pmikcie a ponadto:
Przykład Sprawdzić istnienie pochodnej fimkcji: y= | x | w punkcie Xo=0
=» /'_(0)1 /. (0) f(0) nie istnieje
°_ A.r i1-o_ A.r Ar
„ , , ,. /(Ar)-/(O) ,. |A.r|-0 Ar ,
i1- <y A.r 1 «-1<>• A.r it-^A.r
Twierdzenie: związek między ciągłością a istnieniem pochodnej Jeżeli funkcja ma pochodną właściwą w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie.
UWAGA: Ale nie na odwrót!!! Tzn. z ciągłości funkcji tue wy nika istnieiue pochodnej.
Przy kład: y= \ x \ jest funkcją ciągłą, ale nie ma pochodnej w x0=OU!
• Definicja pochodnej fimkcji na zbiorze:
Funkcja ma pochodną właściwą na zbiorze « , gdy ma pochodną właściwą w każdym punkcie tego zbioru Funkcie określona na zbiorze, której wartości w punktach X tego zbiom są równe F(x) nazywamy pochodna funkcii f na zbiorze i oznaczamy przez F.