114550

Studia stacjonarne SGH ¹³ czerwca 2012

Nr indeksu.

( ^z']\ f^-2x_a + i_sl

lldrrcnr ■

Przekształcenie liniowe / : R³ R3 _{okrcśloM wzorem}

/I^Z>1\ f*i — 2zi + x%

f

^a)    Wyznaczyć wartości własne przekształcenia /.

b)    Wyznaczyć rz / i bazę ker /.

^c)    Czy dla każdego wektora y € R³ istnieje taki wektor x G R³. że y - /(x)? Odpowiedź uzasadnić.

2.    Wyznaczyć bazę i wymiar pod przestrzeni liniowej

X = {<ft € W₃(R) : V>(1) « 0 A vp(-2) = 0> ,

gdzie WjfR) oznacza zbiór wielomianów stopnia < 3 o współczynnikach rzeczywistych.

3.    Dane jest równanie

z^A + (4 + *) z² + 4t = 0.

a)    Wyznaczyć pierwiastki równania.

iii-

b)    Obliczyć sumę pierwiastków równania.

4. Niech X = {x € R³ : 2x, - x₂ + x₃ = 0}, ^x

a)    Wyznaczyć bazę ortogonalną podprzestrzeni X.

b)    Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora x na podprzestrzeń X.

c)    ObUczyć odległość wektora x od podprzestrzeni X.

5. Sprawdzić, czy zbiór A = {x € R³ : 2xi 4- |x₂| < x₃} jest.

a)    zbiorem wypukłym.

b)    stożkiem,

c)    stożkiem wypukłym.