/I^Z>1\ f*i — 2zi + x%

^a) Wyznaczyć wartości własne przekształcenia /.

b) Wyznaczyć rz / i bazę ker /.

^c) Czy dla każdego wektora y € R³ istnieje taki wektor x G R³. że y - /(x)? Odpowiedź uzasadnić.

2. Wyznaczyć bazę i wymiar pod przestrzeni liniowej

X = {<ft € W₃(R) : V>(1) « 0 A vp(-2) = 0> ,

gdzie WjfR) oznacza zbiór wielomianów stopnia < 3 o współczynnikach rzeczywistych.

3. Dane jest równanie

z^A + (4 + *) z² + 4t = 0.

a) Wyznaczyć pierwiastki równania.

iii-

b) Obliczyć sumę pierwiastków równania.

4. Niech X = {x € R³ : 2x, - x₂ + x₃ = 0}, ^x

a) Wyznaczyć bazę ortogonalną podprzestrzeni X.

b) Wyznaczyć rzut ortogonalny wektora x na podprzestrzeń X.

c) ObUczyć odległość wektora x od podprzestrzeni X.

5. Sprawdzić, czy zbiór A = {x € R³ : 2xi 4- |x₂| < x₃} jest.

a) zbiorem wypukłym.

b) stożkiem,

c) stożkiem wypukłym.

/IZ>1\ f*i — 2zi + x%