112840

Rozkład Poissona P(jl)

Jeśli prawdopodobieństwo pojawienia się sukcesu w pojedynczym doświadczeniu jest bardzo małe (np. p = 0,02). a liczba przeprowadzonych doświadczeń duża (n = 100). to zmienna losowa X określona jako liczba sukcesów w rozkładzie dwumianowym podlega - w przybliżeniu - rozkładowi Poissona. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona. jeśli

P(x = k) =

X^k • e~^x

~k\ gdzie X jest parametrem rozkładu, e zaś jest podstawą logarytmów naturalnych (e = 2,718).

Wartość oczekiwana (średnia - m) oraz wariancja (a²) zmiennej losowej o rozkładzie Poissona są odpowiednio równe:

m = n • p = X,    a² — X

czyli parametr X jest jednocześnie wartością oczekiwaną i wariancją tego rozkładu. Rozkład Poissona zależy zatem od jednego parametru X.

Wartości prawdopodobieństw rozkładu Poissona znajdują się w tablicach statystycznych.

Rozkład Poissona jest dobrym przybliżeniem rozkładu dwumianowego, gdy spełniony jest warunek: n • p < 10

Wtedy X - n-p.

Przykład. Załóżmy, ze centrala telefoniczna w małej fmnie obsługuje 100 abonentów. Prawdopodobieństwo tego. że abonent zgłosi się do centrali w ciągu godziny jest równe 0,02. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w ciągu godziny będą co najmniej cztery zgłoszenia.

Rozwiązanie:

Niezależne doświadczana - obsługa przez caitralę telefoniczną abouaitów: n = 100.

Sukces - abonent zgłosi się do caitrali w ciągu godziny: p = 0,02. q = l — p=l — 0,02 = 0,98

n-p = 100 • 0,02 = 2 < 10 - warunek spełniony - możany przybliżyć prawdopodobiaistw^ro rozkładali Poissona.

Liczba sukcesów - w ciągu godziny będą co najmniej 4 zgłoszona (zdarzenia sprzyjające): k £ 4

P(X > 4) = P{X = 4) + P(X - 5)+... +P(X = 99) + P(X = 100)

Wygodniej jest obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:

P(X > 4) = 1 - P(X < 4) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3)] =

1 - [0,1353 + 0,2707 + 0,2707 + 0,1804] = 1 - 0,8571 = 0,1429 * 0,143 Odp.: Prawdopodobiaistwo tego. że w ciągu godziny będą co najmniej cztay zgłoszaiia wynosi 0.143.

Kozkkiri normalny N(m, a)

Kluczową rolę w statystyce matanatycznej odgrywa rozkład nonnalny. zwany także rozkładali Gaussa. Jego znaczaiie wynika przede wszystkim stąd, że przy' nieograniczonym wzroście liczby niezależnych doświadczał, wszystkie rozkłady teoretyczne są szybko zbieżne do rozkładu normalnego. Ponadto we wnioskowaniu statystycznym opartym na wynikach badan prób losowych popełniane są błędy, których rozkład jest nonnalny lub gr anicznie nonnalny

Zmiaina losowa ciągła X ma rozkład na tnahiy. jeśli jej fitnkcja gęstości prawdopodobiaistwa ma postać:

1    (*-m)²

f(x) = —=e    2<t² ,    X S R, (7 > 0

oy/2n

gdzie mjest wartością oczekiwaną (śr ednią) oraz a² jest wariancją zmiainej losowej o rozkładzie normalnym

2