49708

Składanie drgań harmonicznych odbywających się wzdłuż jednej prostej

Przypuśćmy , że x=Acos(cot+<f>) opisuje ruch harmoniczny. Poprowadźmy oś OX (umownie nazwaną oporową) i wykreślmy wektor Ą„ równy liczbowo amplitudzie A skierowany z punktu O pod kątem (p do osi OX. Jeżeli faza początkowa ma wartość dodatnią to kąt ip odmierzamy od osi OX w kierunku przeciwnym do kierunku wskazówek zegara. Rzut wektora A„ na oś OX równa się wychyleniu x« w momencie rozpoczęcia liczenia czasu (Xo=Acos(p) c0_ol=0)_o!=0)_o; Xi=A,cos(a)t+<p); X2=A:COs(o>t+ <p) ; x=Acos(tot+<p) ; A²=Ar+A;^!-2AiA_!cos(l 80°-(cp_:-(pi)) , A^:=Ai^;+A;ⁱ+2Ai A_:cos(<p;-cpi) ; A^iierwfAr+Af+żA,A_;cos(cp_:-<p,)) ; tg<l>=(AiCos<pi+A!Sin<p2)/(A,cos<pi+A;Cos(p2) _; i przez aretg otrzymujemy <ł> ; x=Asin<b ; <!>=<i)₀t+<l><,; x=pienv((A₁^:+A;^;+2AiA_:cos(<P:-<Pi))^łcos(o)d+<t'_l)) ; | Ai-A;|<A<Ai+A; ; 1) (p_r<p:=0 A=Ai+A;; 2)cp>-cpi=n/2 A=pienv(Ar+A;^:) ; 3)<p_:-(pi=n A=|Ai-A_:| . Załóżmy, że digania składowe zachodzą wzdłuż jednej prostej (zachodzą w tym samym kierunku) ale moją różne okresy. Dla prostych rozważał) zakładamy, że amplitudy drgań są takie same |A’iM Ai|=Ai ; Xi=AiCos(ox,i+<p) ; X;=A;COs(ox,_:+<p) ; x=Acos(ox>+(p) ; A=pieiyv(Ai²+A2^!+2AiA:COs(ox>:-co₀|)t) , A¹=2Ai^:+2A₁X0s(0)_O2-0)_<,i)t ; A^;=2A,^:+2Ai^;cos(<n_<12-0)_Oi)t ; A²=2A,^:(l+cos((n_O2-0r_ot)t) ; A^:=2A, ^:*2cos^:(((ir_O2-(0„,)/2)*t ; A=2A,|cos(<o_c,;-(0_<1i)/2)*t| ; 4>=(<I>2-<1>,)/2+<1>i ; <t>=((0„_;⁺<Coi)t/2+<p ; X=2Ai|cos(ca,2+CiX>i)t/2|cos[(o)b2⁺tiX>i)t/2+<p];

Jeżeli założymy, że tOoi+Ofcn mało różnią się od oj„, to 0>=<0_O2-w„i jest małe w porównaniu a>„i+co„: i drganie wypadkowe można traktować jako mch harmoniczny prosty o częstotliwości kołowej (oi,2* 0).>]) 2 Jednak amplituda a tego ruchu ttie jest stała lecz pow^roli się zmienia z zależnością A=2Ai|cos(co„2+o)„i)t/2|,okres zmian T=2n/(o)„_:-a)„i)

Składanie drgań wzajemnie prostopadłych

Punkt materialny bierze udział w dwóch drganiach wzajemnie do siebie prostopadłych o jednakowych częstotliwości Drgania są w osiach OX i OY. x=A,sin(o)„t+(p₁) ; y=A_:sin(o)„t+<P;). Poszukajmy tom tego punktu. x/A₁=sin(co₀t+<p₁) ;    y/A2=sin(<o„t+<P2)    ;

x/Ai=sinor„tcos(pi+coso)„tsin(pi ; y/A:^siii&Ucos<p_:.cos&Usin(p; ; x/Aisin<p2= siiK0jcos<pisiiup_:+ cosa)₀tsin(p,sin(p2 ; y/A2sin<pi= sino)„tcos<p_;siii(pi+ cosw„tsin<P2sin<Pi ; x/Aisiri(p2- y/A_;sin(pi= sinojotcosrpisinrpr - smordcosiprsimpi ; x/Aisin<p2- y/A2sin(pi=sino)₀t(cos<pisin(p2 - cosłp_;sin<pi) ; x/Aisiiup2- y/A2siricpi= sinax,tsin(cp2-cpi) ; x/Ai=sintOotcos(pi+cosax.tsin(pi ;    y/A*=

sintOotcos(p2⁺costo„tsin<p2 ; x/AiCos<p_; - y^costp, = costo₀t(sin<p,cos<p2- siiicp_:cos<pi) ; x/A,cos(p2 -y/A2Cosipi=-cos(i)otsin((p2-<pi) ; podnosimy do kwadratu ; x^:/Ai^:surip2 -2x/Ai*y/A2Sin(p2sin(pi+ y²/A₂^:sin^!(pi=sin^:(0)_ot)sm^!((p2-(pi)    ;    x²/Ai²cos²(p2    -2x/A, *y/A2COs(p_:cos<pi+

y²/A2²cos²<pi=cos²(ox,t)sin²((p2-(pi) ; dodajemy stronami ; x²/Ai²-2x/A|*y/A2Cos(<p₂-<Pi)+ y²/A_;²= sin^:(«p2-»pi) ; cos(<p2-<pi)= cosipi cos<p+sin<pisin (p2 ; i otrzymujemy ogólne równanie elipsy ; 1 <pi=<p2=<p mamy y=A₂/Ai^łx równanie linii prostej przechodzącej pizez początek układu / ; 2. <p_;-<p,=n mamy y=-A2/Ai*x , jak wyżej \; 3. <p2-<pi=n/2 mamy x²/Ai²+y²/A2²=l równanie elipsy , 4. 3/2*n tez elipsa ; 5 Ai=A_; ruch jest po okręgu. Jeżeli częstotliwości drgań są różne to wtedy purtkt porusza się po skomplikowanym torze Tego rodzaju tory nazywa się Lissojous’a.