53311

P[ X=x„Y=y_k) + P[ X=x_t,Y=y„)+...+ P[ X=x_m,Y=y_k) = £>*, k<=N (2.3.5)

i

lub w postaci skróconej:

*1* ^{= x}<) ⁼ L P* ⁼ Pi.    0^eN)    (2.3.6)

P('^r = y*) = Ęn. = Pj,    (keN)    (2.3.?)

Funkcje (2.3.6) i (2.3.7), określające rozkład prawdopodobieństwa jednej zmiennej losowej przy dowolnych wartościach drugiej zmiennej losowej w rozkładzie dwuwymiarowym, wyznaczają rozkłady brzegowe poszczególnych zmiennyclL Z tablicy (2.3.3) widać, że rozkład brzegowy zmiennej losowej X będzie określony przez sumowy wiersz, zaś rozkład brzegowy zmiennej losowej Y będzie określony przez sumową kolumnę.

Dystrybuanty zmiennych losowych w rozkładach brzegowych definiują się według zależności:

(2.3.8)

(2.3.9)

^dla

^FrW⁼Ep* ^dla y*^R

Tk<r

Rozkłady warunkowe zmiennych losowych typu skokowego

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X przy warunku, że Yprzyjmuje ustaloną wartość równą y_k . co zapisujemy wzorem

P|^ = x, |y= y_k| = —,    (i € N)    (2.3.10)

Pk

nosi nazwę rozkładu warunkowego zmiennej losowej X. Podobnie definiuje się rozkład warunkowy zmiennej losowej y pod warunkiem, że zmienna losowa X przyjmuje wartości x,. czyli

P|y = y_l,|jf = x_l) = ^.. (kf:JV)    (2.3.11)

Pi.

dla każdego A-    Ł^f( X =x,\Y = y_k) =1

dla każdego i    E-P(Y = y_k \X ^{= x}f) ⁼*.

Dystrybuanty rozkładów warunkowych oznacza się przez F(x|y_fc) , F(y|x,) i wyznacza się według wzorów:

J'(x|^_łl) = PjX<x|y = >^)= 52 —    (2.3.12)

x,<x Pm

F|y|x_i| = P|y<y|X = *_i|=    (2.3.13)

r*<y Pi-

2.3.1.2. Zmienna losowa typu ciągłego

Dwuwymiarową zmienną losową (X,Y) nazywamy typu ciągłego, jeśli istnieje nieujemna funkcja f(x,y) taka, że dystrybuanta tej zmiennej losowej wyraża się całką

\fMdy

dx dla |x,y)e/?²

(2.3.14)

Funkcję f(x,y) nazywa się funkcją gęstości rozkładu prawdopodobieństwa.

W interpretacji geometiycznej dystrybuantę F(x,y) w punkcie (x₀,y₀) można traktować jako objętość bryły ograniczonej powierzchnią S o równaniu z=f(x,y)_t płaszczyznami x=x₀ i y=y„ oraz tą częścią płaszczyzny Oxy , dla której x < x₀ i y <y₀, co ilustruje rysunek2.8.

17