53314

obserwacje x_t stanowią próbę losową ze zbiorowości, w której na składnik systematyczny Myp_k) mogą nakładać się różne możliwe realizacje składnika losowego S,.

3.2. Wybrane rozkłady z próby

3.2.1.    Uwagi wstępne

Do rozpatrywania zagadnień estymacji i weryfikowania lupotez korzysta się z rozkładów prawdopodobieństwa wybranych statystyk. Rozkład zdefiniowanej statystyki jako funkcji zmiennych losowych, czyli

u=<Ąx_l,x₂,..,x_H)    (3.2.1)

będzie indukowany (określany) pizez rozkład zmieimych losowych X_t oraz przez postać funkcji <Z>. i zależy od liczby elementów próby. Gdy /i-><*>. wtedy otrzymuje się rozkład graniczny. W niniejszym opracowaniu będziemy rozpatrywać rozkłady statystyk z małej próby, czyli przy ustalonym n.

3.2.2.    Rozkład średniej arytmetycznej z próby

Twierdzenie:

Jeżeli X_x,X₂,____X_n jest ciągiem niezależnych znueimych losowych o rozkładzie N(/i. er) i

jeżeli rozpatrywaną statystyką będzie średnia arytmetyczna zdefiniowana funkcją

X=-Y Xj    (3.2.2)

ⁿJ-i

(por. rys. 3.1).

to zmienna losowa X ma rozkład normalny

Dowód:

1°

2°

dx)=E\-iy X,l = iy £(*,)=    (bo£(x,)=% (3.2.3)

I"?? ) "Ti

v(x)=e[X-_AJ

1 ri w n

Yx,-/t

n j_i    n

=-t4

ⁿ u i

(3.2.4)

J '

/=! k*J