TWIERDZENIA GRANICZNE

Twierdzenia graniczne mówią o zbieżności ciągów zmiennych losowych do pewnych rozkładów, czyli rozpatruje się ciągi zmiennych losowych {X_n}, których rozkłady - przy wzroście wskaźnika n do nieskończoności - mogą być zbieżne do pewnego rozkładu nazywanego rozkładem granicznym (asymptotycznym) ciągu zmiennych losowych {X_n}.

Twierdzenie Moivre'a - Laplace'a:

Niech
będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładzie dwumianowym. Wtedy:

oraz

gdzie:

n- liczba doświadczeń,

p - prawdopodobieństwo sukcesu,

q - prawdopodobieństwo porażki,

m - wartość oczekiwana (średnia),

V(X) - wariancja.

Jeżeli liczba doświadczeń będzie większa od 30, czyli n>30, wówczas rozkład dwumianowy można przybliżyć rozkładem normalnym, na mocy twierdzenia Moivre'a - Laplace'a:

gdzie:

np=m - wartość oczekiwana,

- odchylenie standardowe.

Przykład:

Ośrodek badania opinii publicznej OBOP ocenia, że połowa rodzin polskich żyje w ubóstwie. Wybrano losowo 100 rodzin. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:

1. liczba rodzin żyjących w ubóstwie przekracza 55,

2. liczba rodzin żyjących w ubóstwie jest zawarta między 50 a 60,

3. liczba rodzin żyjących w ubóstwie nie przekracza 70.

Niech
- to zmienna losowa oznaczająca liczbę rodzin żyjących w ubóstwie

Mamy ciąg zmiennych losowych:

Dane:

n = 100, p = 0,5, q = 0,5 (bo p+q=1)

Wtedy:

czyli:

co oznacza, że zmienna losowa X ma w przybliżeniu rozkład normalny o parametrach m=50 oraz
.

(a) liczba rodzin żyjących w ubóstwie przekracza 55:

Obliczamy tak samo, jak dla rozkładu normalnego, czyli najpierw standaryzacja, odpowiedni rysunek, a potem odczyt z tablic.

Aby właściwie wyznaczyć prawdopodobieństwa, można narysować wykres, na którym zaznaczamy wartość t=1. Następnie kreskujemy pole pod wykresem większe od tej wartości, zgodnie z zapisem P(T>1):

t

0 1

Teraz interesuje nas pole pod tym wykresem zakreskowane - trzeba to obliczyć.

Wiemy, że pole od 0 do +
wynosi 0,5, natomiast w tablicy znajdują się wartości od zera do jakiejś wartości, np. 1. Dlatego obliczamy różnicę 0,5-
=0,1587

Odpowiedź: prawdopodobieństwo, że liczba rodzin żyjących w ubóstwie przekracza 55, wynosi 0,1587.

(b) liczba rodzin żyjących w ubóstwie jest zawarta między 50 a 60:

t

0 2

Odpowiedź: prawdopodobieństwo, że liczba rodzin żyjących w ubóstwie jest zawarta między 50 a 60, wynosi 0,4773.

(c) liczba rodzin żyjących w ubóstwie nie przekracza 70:

t

0 4

, gdyż działa tutaj reguła 3σ.

Odpowiedź: prawdopodobieństwo, że liczba rodzin żyjących w ubóstwie nie przekracza 70, wynosi 1.

Twierdzenie Lindeberga - Levy'ego (centralne twierdzenie graniczne):

Mamy ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach:

Każda zmienna ma parametry m i σ, czyli wartość oczekiwaną (średnią) oraz odchylenie standardowe.

Wobec tego:

oraz

Określamy nową zmienną losową równą sumie powyższych zmiennych:

Wobec tego:

Wartość oczekiwana:

Wariancja:

Odchylenie standardowe:

Nowa zmienna losowa ma w przybliżeniu rozkład normalny o parametrach:

Twierdzenie to mówi, że jeśli n jest duże, to rozkład zmiennej losowej Z_n można przybliżać rozkładem normalnym z wartością oczekiwaną
i odchyleniem standardowym
.

Przykład (zad. 2 lista nr 7):

Wiadomo, że średnia waga dorosłego człowieka wynosi 75 kg i odchylenie standardowe tej wagi 5 kg. Samolot zabiera 81 pasażerów. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że łączna waga pasażerów przekroczy 6 ton.

X - waga dorosłego człowieka

m=75 kg, σ=5 kg, n=81

Nowa zmienna równa sumie pasażerów:

wobec tego:

Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że łączna waga pasażerów przekroczy 6 ton.

t

-1,67 0

0,5

Odpowiedź: prawdopodobieństwo, że łączna waga pasażerów przekroczy 6 ton, wynosi 0,9505.

Wniosek z centralnego twierdzenia granicznego:

Mamy ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie:

Obliczamy nową zmienną losową równą średniej arytmetycznej tych zmiennych:

Wobec tego:

czyli: wartość oczekiwana wynosi m, a odchylenie standardowe wynosi
.

Nowa zmienna losowa równa średniej arytmetycznej wszystkich zmiennych ma w przybliżeniu rozkład normalny z wartością oczekiwaną m i odchyleniem standardowym
:

Przykład:

Z magazynu wybrano losowo 100 pudełek proszku do prania. Waga każdego pudełka jest zmienną losową o wartości oczekiwanej 1 kg i odchyleniu standardowym 0,05 kg. Należy obliczyć prawdopodobieństwo tego, że średnia waga proszku w wybranych pudełkach jest większa od 1,05 kg.

X - waga pudełka proszku do prania

m=1 kg, σ=0,05 kg, n=100

Nowa zmienna równa średniej wadze proszku w tych pudełkach jest równa:

czyli:

Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że średnia waga proszku w wybranych pudełkach jest większa od 1,05 kg.

t

0 10

0,5

, ponieważ działa tutaj reguła 3σ.

Odpowiedź: prawdopodobieństwo, że średnia waga proszku w wybranych pudełkach jest większa od 1,05 kg, wynosi 0.

STATYSTYKA - ĆWICZENIA

LISTA ZADAŃ NR 7 - TWIERDZENIA GRANICZNE

Zad. 1 Producent twierdzi, że jego wyroby mają wadliwość 10%. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 300 wyrobów zakupionych do hurtowni będzie:

1. więcej niż 30 wyrobów wadliwych,

2. mniej niż 20 wyrobów wadliwych,

3. od 20 do 30 wyrobów wadliwych.

Zad. 2 Wiadomo, że średnia waga dorosłego człowieka wynosi 75 kg i odchylenie standardowe wagi wynosi 5 kg. Samolot zabiera 81 pasażerów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że łączna waga pasażerów przekroczy 6 ton.

Zad. 3 Ciężar jaj kurzych zniesionych w okresie zimowym w pewnym gospodarstwie ma rozkład N(0,05kg, 0,005 kg). Jakie jest prawdopodobieństwo, że 20 sztuk losowo wybranych jajek przekroczy 1,02 kg?

Zad. 4 Z badań wynika, że żywotność opony radialnej ma rozkład N(90 000 km, 10 000 km).

1. Znaleźć prawdopodobieństwo, że losowo kupiona opona będzie miała żywotność 95 000 km lub więcej.

2. Zakupiono 5 opon. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ich łączna żywotność wyniesie 400 000 km lub więcej?

Zad. 5 W windach osobowych znajduje się instrukcja następującej treści: „maksymalne obciążenie 7 osób lub 500 kg”. Zakładając, że waga pasażera ma rozkład N(70,3), policzyć prawdopodobieństwo, że waga 7 osób przekroczy dopuszczalne obciążenie 500 kg.

Zad. 6 Wiadomo, że 40% społeczeństwa głosowało. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 100 losowo wybranych dorosłych więcej niż 50 osób głosowało.

Zad. 7 W wyniku badań ustalono, że rozkład płac pracowników fizycznych w przedsiębiorstwie X jest normalny z wartością oczekiwaną 3 tys. zł i odchyleniem standardowym 0,5 tys. zł. Wybrano próbkę 16 pracowników. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia płaca wylosowanych pracowników fizycznych jest większa od 2,9 tys. zł?

Zad. 8 Z magazynu wybieramy losowo 100 worków. Średnia waga worka równa jest 50 kg, a odchylenie standardowe wagi worków wynosi 5 kg. Jakie jest prawdopodobieństwo, że łączna waga wybranych worków przekroczy 4,8 tony?

Zad. 9 Prawdopodobieństwo uzyskania wygranej w pewnej grze liczbowej wynosi 0,1. Obliczyć prawdopodobieństwo, że spośród 500 grających osób wygra więcej niż 60 osób.

Zad. 10 Wiadomo, że wzrost dorosłych kobiet w Polsce ma rozkład N(165,5). Jakie jest prawdopodobieństwo, że średni wzrost 25 losowo wybranych kobiet nie przekracza 163 cm?

Zad. 11 Zmienna losowa
. Obliczyć:

(a)
,

(b)
.

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA

Zad. 1 Z magazynu w sposób losowy wybrano 100 pudełek proszku do prania. Waga każdego pudełka jest zmienną losową o wartości oczekiwanej równej 1 kg i odchyleniu standardowym równym 0,05 kg. Obliczyć prawdopodobieństwo, że:

(a) łączna waga wybranych pudełek jest:

• większa od 101 kg,

• mniejsza od 98 kg,

• zawarta między 99 kg i 101 kg,

(b) średnia waga proszku w wybranych pudełkach jest:

• większa od 1,05 kg,

• mniejsza od 1 kg,

• zawarta między 1 kg i 1,002 kg.

Zad. 2 Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca jest równe 0,515. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród 1000 noworodków będzie co najwyżej 480 dziewczynek?

Zad. 3 Żywotność żarówek produkowanych przez firmę Polamp ma rozkład normalny. Średnia żywotność żarówki wynosi 1000 h, a odchylenie standardowe czasu świecenia żarówki wynosi 200 h. Pewna firma zakupiła 25 żarówek. Policzyć prawdopodobieństwo, że:

1. średni czas świecenia kupionych żarówek jest dłuższy od 1100 h?

2. średni czas świecenia żarówek jest krótszy od 950 h?

3. średni czas świecenia żarówek jest zawarty między 900 h i 1100 h?

Zad. 4 Delikatesy w Krakowie mają własny samochód dostawczy - żuka o ładowności 900 kg. Kierowca pojechał do hurtowni po cukier w torebkach kilogramowych. Zmienna losowa oznaczająca wagę torebki cukru ma rozkład normalny N(1 kg; 0,015 kg). Kierowca załadował do samochodu 901 torebek cukru. Jakie jest prawdopodobieństwo, że waga towaru przekroczy ładowność żuka?

Zad. 5 Stosując twierdzenie Moivre'a - Laplace'a obliczyć prawdopodobieństwo tego, że w 800 niezależnych próbach ilość sukcesów będzie większa niż 150, a mniejsza niż 250, jeśli prawdopodobieństwo sukcesu w każdej próbie jest równe 0,25.

Zad. 6 W populacji wzrost mężczyzn jest zmienną losową X o rozkładzie N(175 cm; 5 cm).

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany mężczyzna będzie miał wzrost powyżej 180 cm?

2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna wzrostu losowo wybranych pięciu mężczyzn będzie większa niż 180 cm?

3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średni wzrost 100 mężczyzn będzie większy niż 180 cm?

Zad. 7 Worek cementu jest zmienną losową o wartości oczekiwanej 100 kg oraz odchyleniu standardowym 1 kg.

1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że 100 losowo wybranych worków będzie ważyło mniej niż 9800 kg?

2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna 50 losowo wybranych worków cementu będzie ważyła mniej niż 98 kg?

Zad. 8 W populacji zmienna losowa X ma rozkład N(80;20). Z populacji tej wylosowano próbę o liczebności 36. Obliczyć prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna z 36 elementowej próby będzie:

1. mniejsza od 75,

2. większa niż 60, ale mniejsza niż 80.

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy

Specjalność: Sterowanie Systemami Przemysłowymi

mgr Iwona Czerska

e-mail: [e-mail]

1

---