Podstawy metody elementów skończonych (MES)

MES jest numeryczną metodą analizy, stosowaną do wyznaczania przybliżonego rozwiązania w wielu problemach inżynierskich.

W teorii pola elektromagnetycznego MES jest wykorzystywa-na do rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych postaci:

(1)

gdzie:

u - szukana wielkość polowa (najczęściej potencjał skalarny
lub wektorowy
),

k, f - stałe.

W polu elektrostatycznym, w jednorodnym środowisku o gęs-tości ładunku przestrzennego w obszarze i przenikalności elektrycznej , obowiązuje równanie Poissona:

. (2)

Jeśli natomiast w danym obszarze nie ma ładunku (), to spełnione jest w nim równanie Laplace'a:

. (3)

W przypadku harmonicznego pola elektromagnetycznego przyjmuje się, że potencjał wektorowy
wewnątrz obszaru spełnia równanie Helmholtza:

, (4)

gdzie: ,

- wektor źródłowej gęstości prądu.

Na brzegu badanego obszaru występują najczęściej warunki brzegowe pierwszego lub drugiego rodzaju.

1. Warunek brzegowy pierwszego rodzaju (warunek Dirichleta):

u(P)=h(P) (5)

gdzie: h(P) - funkcja zadana na brzegu badanego obszaru
w punkcie P

2. Warunek brzegowy drugiego rodzaju (warunek Neumanna):

, (6)

gdzie: - pochodna funkcji u w kierunku normalnym do
brzegu obszaru w punkcie P,

g(P) - funkcja zadana na brzegu obszaru (jeśli g(P)=0,
mamy do czynienia z warunkiem jednorodnym).

Ideą MES jest podział analizowanego obszaru (tzw. dyskre-tyzacja) na pewną skończoną liczbę mniejszych podobszarów, zwanych elementami. Elementy te w narożnikach, a czasem też na bokach, mają węzły. Ponieważ węzły są wspólne dla elementów sąsiednich, więc dany obszar po dyskretyzacji staje się siatką elementów. Z węzłami związane są szukane wielkości polowe - są one takimi punktami siatki, w których dana wielkość pola jest znana bądź poszukiwana.

Do dyskretyzacji obszarów dwuwymiarowych używa się najczęściej elementów trójkątnych lub czworokątnych, a do obszarów trójwymiarowych - elementów czworościennych lub prostopadłościennych.

Jedną z metod rozwiązania równania różniczkowego postaci , jest znalezienie minimum wyrażenia funkcjonal-nego obrazującego energię lub moc zgromadzoną w badanym obszarze. Funkcjonał energetyczny jest to wyrażenie całkowe, które funkcji obszaru przyporządkowuje dokładnie jedną wartość energii w.

Dla uproszczenia rozważań zajmiemy się przypadkiem pól opisanych równaniem Laplace'a z warunkami brzegowymi Diri-chleta lub Neumanna.

Funkcjonał energetyczny w takim przypadku ma postać:

(7)

gdzie: k_x, k_y - stałe materiałowe środowiska, odpowiednio
w kierunku osi x i osi y.

D - obszar dwuwymiarowy,

L - brzeg obszaru,

l -długość łuku na brzegu L.

Rozwiązanie zagadnienia prostego przy pomocy MES jest równoważne wyznaczeniu minimum funkcjonału ze względu na zmienną .

Jeśli powyższy funkcjonał wyraża energię, to zgodnie z zasadami sformułowanymi przez Hamiltona, Rayleigha lub Fermata, układ przyjmuje minimum energii. W celu określenia minimum należy przyrównać do zera pierwszą wariację:

Element czworokątny

Zakładamy, że potencjał wewnątrz elementu jest okre-ślony za pomocą wielomianu: . Współczynniki ... można wyznaczyć znając wartości w węzłach elementu (wierz-chołkach czworokąta)

Współczynniki te można więc wyznaczyć z układu równań:

(8)

Po obliczeniu współczynników ... otrzymamy wzór:

,	gdzie - bazowa funkcja aproksymująca (funkcja kształtu).

Zadanie wyznaczenia funkcji ϕ sprowadza się zatem do obliczenia wektora kolumnowego w całym obszarze, poprzez minimalizację funkcjonału J(ϕ). Minimalizacji funkcjonału dokonuje się względem wartości funkcji we wszystkich węzłach, tzn. względem wektora:

, (9)

gdzie: r -całkowita liczba węzłów obszaru D.

Warunek konieczny istnienia minimum funkcjonału J ma postać:

. (10)

Całkowity funkcjonał jest sumą funkcjonałów dla poszczególnych elementów , więc typowe równanie na minimum funkcjonału ma postać:

, (11)

gdzie: s oznacza liczbę wszystkich elementów w obszarze D.

Zależność ta pozwala sformować układ równań minimalizu-jących funkcjonał. Rozwiązanie równania różniczkowego zostało więc sprowadzone do rozwiązania układu równań algebraicznych.

Różniczkując funkcjonał względem wartości w węzłach elementu, otrzymamy:

, (12)

przy czym m = 1, 2, 3, 4.

Po uwzględnieniu następujących zależności:

, ,

wzór (12) przekształci się do postaci:

, (13)

gdzie np.

. (14)

Występująca we wzorze (13) macierz nazywana jest macierzą elementu.

Dla całego obszaru zapiszemy:

, (15)

gdzie , a sumowanie należy przeprowadzić po wszystkich s elementach obszaru.

Układ równań (15) nazywany jest równaniem stanu obszaru, a macierz H - macierzą stanu. Ma ona wymiar r x r, a jej wyrazy są ułożone symetrycznie względem głównej przekątnej, w paśmie o szerokości d, gdzie (macierz pasmowa). Dla dużej liczby elementów większość wyrazów tej macierzy jest równa zeru (macierz rzadka).

W równaniu (15) uwzględnione są już jednorodne warunki brzegowe Neumanna. Natomiast warunki brzegowe Dirichleta uwzględnia się, modyfikując odpowiednio macierz H. Aby zagadnienie miało jedno rozwiązanie, co najmniej jedna wartość węzłowa musi spełniać warunek Dirichleta.

Formowanie macierzy stanu

Na rysunku zaznaczono lokalną i globalną numerację węzłów. Numeracja lokalna (1,2,3,4) przeprowadzana jest w pojedynczym elemencie, natomiast numeracją globalną (1-6) objęte są wszystkie węzły obszaru. Strzałka oznacza kierunek numeracji lokalnej. Na rysunku oznaczono także warunek brzegowy Dirichleta .

Oznaczając macierz elementu pierwszego jako , a macierz elementu drugiego jako , równania dla poszczególnych elementów można zapisać wzorami:

- dla elementu (1): , (16)

- dla elementu (2): . (17)

Sumując po obu elementach otrzymamy równanie:

(18)

Aby uwzględnić warunek brzegowy , z macierzy stanu obszaru eliminujemy wiersz i kolumnę odpowiadającą elementowi , przekształcając jednocześnie wektor prawych stron.

Otrzymujemy zmodyfikowany układ równań:

(19)

Oznaczając zmodyfikowaną macierz stanu jako K, a wektor prawych stron jako R, możemy zapisać:

. (20)

Macierz K, podobnie jak macierz H, jest symetryczna, rzadka i pasmowa, przy czym pasmo ma szerokość .

Rozwiązanie zadania przy pomocy MES sprowadza się do rozwiązania układu równań (20), na przykład metodą eliminacji Gaussa, bądź Gaussa-Seidla. W ten sposób wyznacza się wartości potencjału we wszystkich węzłach obszaru.

26

---