MECHANIKA - ZADANIA

1. zbieżny układ sił

Przykład 1
Dane są trzy siły: P₁ = 3i + 4j, P₂ = 2i  5j, P₃ = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt  nachylenia linii działania względem osi Ox układu.

R o z w i ą z a n i e
Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P_x i P_y

                 

Wektor i wartość wypadkowej wynoszą

                 

Kierunek wypadkowej określa kąt , który wyznaczamy z następującego wzoru

                 

Ponieważ składowe wypadkowej są następujące: P_x < 0, P_y > 0, to kąt  = 135º. Linia działania wypadkowej przechodzi przez punkt  A pod kątem  = 135º do osi Ox.




Przykład 2
Wzdłuż dwóch boków i głównej przekątnej sześcianu działają siły P₁, P₂, P₃. Wartości tych sił są równe: P₁ = P₂ = Q, P₃ = 3Q. Wyznaczyć ich wypadkową.


R o z w i ą z a n i e
Cosinusy kierunkowe sił P₁, P₂, P₃ wynoszą

                 

Wyznaczamy składowe wypadkowej

                 

Wartość wypadkowej wyznaczamy z następującego wzoru

                 

a jej cosinusy kierunkowe i kąty wynoszą odpowiednio

                 

Linia działania wypadkowej przebiega przez punkt przecięcia się linii działania sił P₁, P₂, P₃ pod kątami ,  i γ do osi układu współrzędnych Oxyz.

Przykład 3
Na punkt materialny o ciężarze G, leżący na gładkiej równi pochyłej o kącie pochylenia , działają dwie siły S tak, jak przedstawiono na rysunku. Wyznaczyć siłę S oraz reakcję równi, jeżeli punkt znajduje się w spoczynku.



R o z w i ą z a n i e
     Metoda analityczna. Na punkt materialny działają cztery siły, które są w równowadze. Na podstawie warunków równowagi sił zbieżnych można napisać następujące równania równowagi

                 

Z równania pierwszego otrzymamy

                 

Po podstawieniu do drugiego równania

                 

Stąd

                 


      Metoda geometryczna. Na rysunku przedstawiono zamknięty wielobok sił utworzony z czterech sił działających na punkt materialny, z którego wyznaczono wartości siły S i reakcji R

                 



Przykład 4
Nieważka belka AB o długości l opiera się jednym końcem A na stałej podporze przegubowej A. Drugi koniec B tej belki jest zamocowany na podporze przegubowej przesuwnej (rysunek). Wyznaczyć reakcje podpór A i B, jeżeli belka jest obciążona w punkcie C siłą P.




R o z w i ą z a n i e
      Metoda analityczna. Na rysunku b belka została uwolniona od więzów i przyłożone zostały reakcje R_Ax, R_Ay i R_B. Ponieważ belka jest obciążona trzema siłami R_A, R_B i P, wobec tego ich linie działania muszą przecinać się w jednym punkcie D, zaś trójkąt sił musi być zamknięty (rys. c).
W przyjętym układzie współrzędnych Axy równania równowagi będą następujące

                 

Ponadto
                 

gdzie
                 

Z rozwiązania powyższego układu trzech równań otrzymamy

                 


      Metoda geometryczna. Na rysunku c przedstawiono trójkąt sił R_A, R_B i P. Na podstawie twierdzenia równań sinusów otrzymamy

                 

Stąd
                 



Przykład 5
Walec o promieniu r i ciężarze G spoczywa na gładkiej równi pochyłej o kącie pochylenia  = 30º i jest utrzymywany w położeniu równowagi za pomocą liny OA, zgodnie z rysunkiem. Do środka walca zamocowano drugą linę, którą przerzucono przez nieważki krążek. Na końcu tej liny zawieszono ciężar P. Obliczyć wartość reakcji N w punkcie E zetknięcia się walca z równią oraz napięcie w linie OA, jeżeli lina OB jest pozioma, a lina OA tworzy z poziomem kąt   = 45º.




R o z w i ą z a n i e
      Metoda analityczna. Na walec działają siły P, G, S i N. Równania równowagi walca są następujące

                 

Stąd
                 


Metoda geometryczna. Na rysunku b przedstawiono zamknięty wielobok sił, utworzony ze wszystkich sił działających na walec. Korzystając z odpowiednich trójkątów otrzymamy

                 

Z rozwiązania tych równań otrzymamy takie same wartości sił S i N, jak przy zastosowaniu metody analitycznej.


Przykład 6
Ciało o ciężarze G jest zawieszone na wsporniku składającym się z trzech prętów połączonych przegubowo w sposób pokazany na rysunku. Pręty AO i BO, leżące w płaszczyźnie prostopadłej do pionowej ściany, tworzą z tą ścianą kąty  = 45º. Pręt CO tworzy z pionową ścianą kąt   = 60º i również leży w płaszczyźnie prostopadłej do tej ściany. Obliczyć siły w prętach, pomijając ich ciężary własne oraz tarcie w przegubach.




R o z w i ą z a n i e
      Metoda analityczna. Na przegub O działają siły wynikające z oddziaływania prętów OA, OB i OC: S₁, S₂ i S₃ oraz ciężar G. Na podstawie warunków równowagi otrzymujemy następujące równania

                 

Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy

                  



Przykład 7
Wyznaczyć siły w prętach konstrukcji pokazanej na rysunku. Nieważkie pręty AB, AC, BC, BE, CE i CD są połączone przegubowo w węzłach A, B, C, D i E. W węźle B działają dwie siły: 2P w kierunku pionowym i siła P w kierunku pręta BC.




R o z w i ą z a n i e
      Metoda analityczna. Na węzeł B działają reakcje S₁, S₂ i S₃, wynikające z oddziaływania prętów AB, BE i BC oraz siły P i 2P. Równania równowagi tego węzła są następujące

                 

Na węzeł C działają reakcje S₃, S₄, S₅ i S₆ oraz siła P. Równania równowagi rozpatrywanego węzła są równe

                 

Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy

                 

2. płaski układ sił

Przykład 1
Dany jest płaski układ czterech sił leżących w płaszczyźnie Oxy

                 

Obliczyć wektor główny i moment główny tego układu sił.

R o z w i ą z a n i e.
Wektor główny układu sił jest równy

                 

Moment główny układu wynosi

                 



Przykład 2
Nieważka belka AB = 4l została obciążona trzema siłami równoległymi P₁, P₂, P₃ prostopadłymi do belki. Znaleźć reakcje stałej podpory przegubowej w punkcie A i podpory przegubowej przesuwnej w punkcie B. Dane liczbowe: P₁ = 100 N, P₂ = 300 N, P₃ = 400 N, l = 1 m.


R o z w i ą z a n i e.
Reakcje w podporach A i B maja kierunek pionowy. Na belkę działa układ pięciu sił równoległych P₁, P₂, P₃, R_A i R_B. Dwie niewiadome reakcje  R_A i R_B wyznacza się z dwóch równań równowagi

                 

Stąd
                 



Przykład 3
Nieważka belka AB = 3l jest zamocowana w punkcie A na stałej podporze przegubowej, a w punkcie B na podporze przegubowej przesuwnej. Obciążenie belki stanowią siły  P₁ = 300 N i P₂ = 400 N, a kąt  = 30º. Obliczyć reakcje w punktach podparcia A i B.




R o z w i ą z a n i e.
Kierunek reakcji R_A w stałej podporze przegubowej A nie jest znany, wiadomo tylko, że linia działania tej siły przechodzi przez środek przegubu A. Reakcję tę rozkłada się na dwie składowe wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych Axy. Składowe reakcji R_A  zostały oznaczone przez R_Ax i R_Ay. Zatem, belka jest obciążona dwoma siłami zewnętrznymi P₁ i P₂ oraz trzema reakcjami więzów R_Ax, R_Ay i R_B. Wartości tych reakcji wyznacza się z trzech równań równowagi

                 

Z rozwiązania powyższego układu trzech równań z trzema niewiadomymi otrzymamy

                 

Reakcja R_B  jest ujemna, stąd jej kierunek jest przeciwny niż założono na rysunku. Wartość reakcji R_A oblicza się ze wzoru

                 



Przykład 4
Nieważka rama płaska została zamocowana na stałej podporze przegubowej w punkcie A i podporze przegubowej przesuwnej w punkcie B. Obciążenie zewnętrzne ramy stanowią siły P i siła 2P. Obliczyć reakcje podpór R_A i R_B, jeżeli P = 1000 N, l = 0,5 m.




R o z w i ą z a n i e.
Rama jest obciążona trzema siłami zewnętrznymi i reakcjami R_A i R_B. Ponieważ kierunek reakcji R_A jest nie znany, dlatego rozkłada się ją na dwie składowe R_Ax, R_Ay. Niewiadome reakcje wyznacza się z trzech równań równowagi ramy

                 

Stąd
                 



Przykład 5
Obliczyć reakcje podpór A i B w belce pokazanej na rysunku. Obciążenie zewnętrzne stanowią dwie siły P₁ = 200 N, P₂ = 100 N i moment M = 200 N · m. Pozostałe dane liczbowe wynoszą: l = 1 m,
 = 45º,  = 30º.




R o z w i ą z a n i e.
Belka jest obciążona dwiema siłami zewnętrznymi P₁, P₂, momentem M oraz reakcjami R_A i R_B. Ponieważ kierunek reakcji  R_A jest nie znany, dlatego rozkłada się ją na dwie składowe R_Ax, R_Ay. Niewiadome reakcje wyznacza się z trzech równań równowagi

                 

Stąd
                  

Reakcje R_Ax, R_Ay są ujemne, stąd ich kierunek jest przeciwny do założonego. Wartość reakcji R_A wynosi

                 



Przykład 6
Jednorodna pozioma belka AB o ciężarze równym G jest oparta końcem A na stałej podporze przegubowej oraz końcem B na gładkiej równi pochyłej. W punktach D i E do belki przyłożone są siły P₁, P₂. Obliczyć reakcje w punktach podparcia A i B. Dane liczbowe:
P₁ = 100 N, P₂ = 800 N, G = 200 N,  = 45º,  = 60º, l = 4 m.




R o z w i ą z a n i e.
Oddziaływanie równi na koniec belki B, czyli reakcja R_B więzów będzie prostopadła do płaszczyzny tej równi. Wynika to z faktu, że siła tarcia między płaszczyznami równi i belki równa się zeru. Kierunek reakcji R_A w przegubie A nie jest znany, wiadomo tylko, że linia działania tej siły przechodzi przez środek przegubu, tj. przez punkt A. Reakcję tę rozkładamy na dwie składowe R_Ax, R_Ay wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych  Axy. Tak więc belka jest obciążona trzema siłami zewnętrznymi i trzema reakcjami. Wyznaczamy wartości tych reakcji z trzech równań równowagi

                 

Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy

                 

Stąd
                 



Przykład 7
Po belce podsuwnicowej AB porusza się suwnica, której wózek, składający się z dwóch kół tocznych, oddziałuje na belkę siłami P₁, P₂. W jakiej odległości x od punktu A powinien wózek się zatrzymać, aby reakcja w punkcie B była dwukrotnie mniejsza od reakcji w punkcie A ? Dane liczbowe: P₁ = 4000 N i P₂ = 2000 N, b = 1 m, l = 10 m.




R o z w i ą z a n i e.
Ponieważ siły  P₁, P₂, działające na belkę, są pionowe oraz reakcja R_B ma kierunek pionowe, również reakcja R_A ma kierunek pionowy. Piszemy dwa równania równowagi

                 

Po rozwiązaniu tego układu równań, przy założeniu, że R_B = 0,5R_A, otrzymujemy

                 



Przykład 8
Wyznaczyć reakcje podpory przegubowej stałej A i dwóch podpór przegubowych przesuwnych B i D oraz wzajemne oddziaływanie w przegubie C obydwu części belki ABCD. Dane liczbowe: P₁ = 1000 N,
P₂ = 2000 N,  = 30º, l = 1 m.




R o z w i ą z a n i e.
W celu wyznaczenia reakcji  R_A, R_B, R_C i R_D rozważymy równowagę obu części belki.
Równania równowagi lewej części belki mają postać

                 

Równania równowagi prawej części belki

                 

Otrzymaliśmy układ sześciu równań równowagi z sześcioma niewiadomymi. Po rozwiązaniu tego układu otrzymujemy

                 

Reakcje R_A i R_C wynoszą

                 



Przykład 9
Dźwig o ciężarze własnym G = 5P, obciążony na wysięgniku siłą P, zainstalowano na torze jezdnym AB. Obliczyć reakcje kół dźwigu, reakcje utwierdzenia całkowitego w punkcie A i podpory przegubowej przesuwnej w punkcie B oraz reakcję w przegubie E, jeżeli AE = 4a,
BE = 8a, CE = DE = a.




R o z w i ą z a n i e.
Reakcje utwierdzenia całkowitego w punkcie A sprowadzają się do reakcji R_A o nie znanym kierunku oraz momentu utwierdzenia M_A. W podporze przegubowej przesuwnej w punkcie B i podporach kół dźwigu w punkcie C i D występują reakcje o kierunku pionowym, prostopadle do płaszczyzny poziomej (przesuwu). Reakcja przegubu E sprowadza się do siły o nie znanym kierunku działania, przechodzącej przez oś tego przegubu. Z dwóch równań równowagi dźwigu (rys. b) wyznaczamy reakcje R_C i R_D podpór jego kół

                 

Stąd
                 

Równania równowagi dwóch części belki AB, zgodnie z rys. d są następujące:

• część belki

BE

              

• część belki

AB
             

Po rozwiązaniu tego układu otrzymujemy

                 

3. tarcie

Przykład 1
Jednorodna belka o długości 2l i ciężarze G jest oparta dolnym końcem A o chropowatą poziomą płaszczyznę, a w punkcie C o gładki występ. W położeniu równowagi belka tworzy z płaszczyzną poziomą kąt , a odcinek AC = 1,5l. Znaleźć współczynnik tarcia ślizgowego statycznego  w punkcie A.




R o z w i ą z a n i e
W położeniu równowagi belki jej koniec A ma tendencję do przesuwania się w lewo. Siła tarcia T₁ jest skierowana przeciwnie do możliwego ruchu, a więc w prawo. Po przyjęciu prostokątnego układu współrzędnych otrzymuje się następujące równania równowagi belki

                 

W przypadku poszukiwania współczynnika tarcia ślizgowego  statycznego w położeniu granicznym równowagi belki (tarcie całkowicie rozwinięte) otrzymuje się

                 

Po rozwiązaniu powyższego układu równań współczynnik  tarcia  wynosi

                 



Przykład 2
Jednorodny pręt AB o ciężarze G opiera się końcem A o poziomą podłogę i końcem B o pionową ścianę. Dane są współczynniki tarcia o podłogę i ścianę, równe odpowiednio _ i _. Znaleźć reakcje w punktach A i B oraz graniczną wartość kąta  nachylenia pręta.




R o z w i ą z a n i e
Po przyjęciu prostokątnego układu współrzędnych Axy otrzymamy następujące równania równowagi

                 

W przypadku poszukiwania granicznej wartości kąta  nachylenia pręta, siły tarcia T₁ i T₂ osiągają swe graniczne wartości (są całkowicie rozwinięte), a wiec są równe

                 

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań otrzymany poszukiwane wartości reakcji R_A i R_B oraz kąta 





Przykład 3
Na dwóch równiach pochyłych, tworzących z poziomem kąty  i , ustawiono dwa ciała A i B o ciężarach G i Q połączone nieważkim cięgnem wiotkim przerzuconym przez krążek C. Współczynniki tarcia obu ciał o równie są równe  _ i ₂. Określić, w jakich granicach może się zmieniać wartość ciężaru Q ciała B ( przy założeniu, że ciężar G ciała A jest stały), aby układ ciał A i B pozostawał w równowadze.




R o z w i ą z a n i e
Zacznijmy od przypadku, gdy ciężar Q ciała B ma wartość maksymalną, przy której możliwa jest jeszcze równowaga. Po przekroczeniu tej wartości ciało B zacznie zjeżdżać z równi pochyłej o kącie , a ciało A zacznie się poruszać do góry po równi pochyłej o kącie . W rozważanym granicznym przypadku (rys. b) siły tarcia T₁ i T₂ osiągną maksymalne wartości i skierowane są przeciwnie do możliwego ruchu. Przyjmując prostokątne układy współrzędnych Oxy, związane z obydwoma ciałami, w których oś Oy jest prostopadła do równi, a oś  Ox równoległa do równi, otrzymujemy następujące równania równowagi dla:

ciała A
              

• ciała

B

                  

Ponadto na podstawie praw tarcia możemy napisać

                  

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań znajdujemy maksymalną wartość ciężaru ciała B

                 


Postępując podobnie jak poprzednio, przy założeniu, że wartość ciężaru Q będzie minimalna, tzn. układ będzie miał tendencję ruchu w przeciwną stronę  ciało A będzie miało tendencję do zjeżdżania z równi kącie , a ciało B zacznie poruszać się do góry po równi pochyłej o kącie . W tym granicznym przypadku (rys. c), siły tarcia T₁i T₂są skierowane przeciwnie do możliwego ruchu. Pisząc odpowiednie równania równowagi i zależności między siłami tarcia a siłami normalnymi (korzystając z praw tarcia), otrzymamy również układ równań. Po rozwiązaniu równań otrzymamy minimalną wartość ciężaru ciała B

                 

Na podstawie otrzymanych wyników możemy stwierdzić, że wartość ciężaru ciała B powinna pozostawać w następujących granicach

                 



Przykład 4
Ciało A o ciężarze G położono na płycie B o ciężarze Q i połączono je nieważkim cięgnem wiotkim przerzuconym przez krążek C. Obliczyć maksymalną wartość poziomej siły P przyłożonej do ciała A, przy której ciało A będzie pozostawać w spoczynku, jeżeli współczynnik tarcia ślizgowego (statycznego) ciała A o płytę B wynosi _, a płyty B o podłoże ₂.Tarcie cięgna o krążek C należy pominąć. Ponadto wyznaczyć napięcia cięgna  S₁ i S₂, reakcje normalne N₁ i N₂ oraz siły tarcia T₁ i T₂.




R o z w i ą z a n i e.
Przedmiotem rozważań jest układ złożony z dwóch ciał A, B i krążka C. Na ciało A działa ciężar własny G, siła P, napięcie sznura S₁ oraz siły T₁ i N₁ oddziaływania płyty B. Na płytę B działa jej ciężar Q, napięcie sznura S₂, reakcja normalna podłoża N₂ i nacisk N₁ ciała A oraz siły tarcia T₁ i T₂. Na krążek C działają napięcia sznura S₁ i S₂.
W rozpatrywanym układzie występuje zatem siedem niewiadomych: P, S₁, S₂, N₁, N₂, T₁ i T₂musimy więc ułożyć siedem równań.
Równania równowagi ciała A

                 

Równania równowagi płyty B

                 

Równanie równowagi krążka C

                 

Dalsze dwa związki wynikają z faktu, że maksymalna wartość siły P, przy której ciało A będzie jeszcze pozostawać w spoczynku, odpowiada siłom tarcia całkowicie rozwiniętego.

                 

Po rozwiązaniu powyższych równań otrzymujemy

                 



Przykład 5
Ciało A zostało zawieszone na linie CF, która została przerzucona przez nieruchomy, chropowaty krążek. Na drugim końcu liny w punkcie F przywiązano ciało B o ciężarze G, leżące na poziomej płaszczyźnie. Współczynnik tarcia ślizgowego (statycznego) ciała B o poziomą płaszczyznę wynosi _ i liny o powierzchnię krążka ₂. Wyznaczyć maksymalną wartość ciężaru ciała A w położeniu równowagi układu.




R o z w i ą z a n i e.
W rozpatrywanym przypadku, gdy ciężar ciała A ma wartość maksymalną, przy której możliwa jest jeszcze równowaga, siła S₂ w linie CD jest większa od siły S₁ w linie EF. Między tymi siłami istnieje zależność, zgodnie z którą

                 

Po przyjęciu układu współrzędnych Oxy, otrzymuje się równania równowagi:

• dla ciała

A
            

• dla ciała

B
             

Korzystając z praw tarcia, można napisać

                 

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań, znajduje się maksymalną wartość ciężaru ciała A.

                 



Przykład 6
Nieważki pręt AB o długości l opiera się w punkcie A na stałej podporze przegubowej. Na końcu pręta w punkcie B przymocowano cięgno, które przerzucono przez chropowaty krążek i na jego końcu E przywiązano ciało F o ciężarze G, leżące na równi pochyłej tworzącej z poziomem kąt  = 30º. Współczynnik tarcia ślizgowego ciała F o równię wynosi _, a cięgna o powierzchnię krążka ₂. Wyznaczyć, w jakich granicach musi się mieścić wartość pionowej siły P, przyłożonej w środku pręta AB, aby zachodziła równowaga?




R o z w i ą z a n i e.
Rozpatrzmy przypadek, gdy siła P ma wartość maksymalną, przy której jest jeszcze możliwa równowaga układu. Po przekroczeniu tej wartości ciało F zacznie poruszać się w górę równi pochyłej. W rozpatrywanym granicznym przypadku siła S₂ w linie BC jest większa od siły S₁ w linie DE i istnieje między nimi zależność

                 

Po przyjęciu odpowiednich układów współrzędnych otrzymujemy równania równowagi dla:

• ciała

F
              

• pręta

AB
             

Na podstawie praw tarcia

                 

Po rozwiązaniu otrzymanego układu równań znajdujemy maksymalną wartość siły P

                 


Rozpatrzmy drugi przypadek, gdy siła P osiąga wartość minimalną, przy której możliwa jest jeszcze równowaga układu. Ciało F ma wtedy tendencję do zsuwania się po równi pochyłej. Między siłami w cięgnie zachodzi teraz następująca zależność

                 

Po uwzględnieniu przeciwnego zwrotu siły tarcia otrzymujemy równania równowagi dla:

• ciała

F
              

• pręta

AB
             

Ponadto z praw tarcia mamy

                 

Rozwiązując ten układ równań, znajdujemy minimalną wartość siły P

                 

Wartość siły P powinna więc zawierać się w następujących granicach

                 



Przykład 7
Walec o promieniu r i ciężarze G spoczywa na równi pochyłej nachylonej do poziomu pod kątem . Znaleźć maksymalną wartość kąta , przy której równowaga walca jest jeszcze możliwa. Współczynnik tarcia tocznego jest równy f.

                           


R o z w i ą z a n i e.
Układamy równania równowagi walca. Równania równowagi rzutów sił na osie x i y są następujące

                 

Stąd
                 

Jeżeli walec ma być w równowadze, to moment siły G względem punktu A musi być mniejszy lub równy momentowi tarcia tocznego

                 

Po podstawieniu poprzednio uzyskanej wartości siły normalnej N otrzymujemy

                 

czyli
                 

Kąt , spełniający tę zależność, powinien wynosić

                 

Natomiast maksymalny kąt 

                 



Przykład 8
Walec o ciężarze Q spoczywa na płycie o ciężarze G i opiera się o pionową ścianę. Obliczyć maksymalną wartość siły P, jaką można przyłożyć do cięgna przywiązanego do płyty i przerzuconego przez chropowaty krążek, aby układ pozostawał w równowadze, jeżeli wiadomo, że walec będzie się toczył bez poślizgu po płycie, a ślizgał względem pionowej ściany. Współczynnik tarcia tocznego walca po płycie wynosi f. Współczynnik tarcia ślizgowego cięgna o krążek wynosi _, płyty o podłoże jest równy _, a walca o pionową ścianę _.




R o z w i ą z a n i e.
Związek między napięciami cięgna wyraża się wzorem

                 

Równania równowagi walca

                 

Równania równowagi płyty

                 

Na podstawie praw tarcia otrzymujemy dodatkowe dwa równania

                 

Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymujemy

                 

4. przestrzenny układ sił

Przykład 1
Prostokątna płyta ABCD o wymiarach a × 2a i ciężarze G została podparta na stałej podporze przegubowej w punkcie A i na przegubie walcowym w punkcie B oraz cięgnie DE. W punkcie C płytę obciążono dodatkowo siłą P. Obliczyć reakcje podpór i cięgna. Tarcie w przegubach należy pominąć.




R o z w i ą z a n i e.
Początek przestrzennego układu współrzędnych obrano w punkcie A. Reakcję w podporze A należy rozłożyć na trzy składowe R_Ax, R_Ay i R_Az. Reakcja w punkcie B jest prostopadła do osi Ax i należy ją rozłożyć na R_By i R_Bz. Cięgno DE może być tylko rozciągane siłą S. W przyjętym układzie współrzędnych otrzymujemy następujące równania równowagi

                 


gdzie
                 


Z rozwiązania powyższego układu równań otrzymujemy odpowiedź

                 



Przykład 2
Ciało sztywne o kształcie sześcianu zostało podparte na stałej podporze przegubowej w punkcie A i przegubie walcowym (łożysko szyjne) w punkcie B oraz cięgnie CD. Obliczyć reakcje podpór i cięgna na ciało w przypadku, gdy działają na nie dwie siły P₁ i P₂  oraz moment M. Ciężar ciała oraz tarcie w przegubach należy pominąć.




R o z w i ą z a n i e.
Początek prostokątnego układu współrzędnych obrano w punkcie A stałej podpory przegubowej. Reakcje w tej podporze należy rozłożyć na trzy składowe R_Ax, R_Ay i R_Az. Reakcja w punkcie B jest prostopadła do osi A_y i należy ją rozłożyć na dwie składowe R_Bx i R_Bz. Cięgno CD może być tylko rozciągane siłą S. W przyjętym układzie współrzędnych otrzymujemy następujące równania równowagi

                 


Po rozwiązaniu tego układu równań otrzymujemy

                 

5. środki ciężkości

Przykład 1
Wyznaczyć położenie środka ciężkości figury płaskiej przedstawionej na rysunku.




R o z w i ą z a n i e.
Obliczenia współrzędnych środka ciężkości rozpatrywanej figury płaskiej przeprowadza się przy zastosowaniu metody dzielenia. Pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości poszczególnych elementów składowych tej figury płaskiej są równe

                 

Stąd
                      



Przykład 2
Znaleźć położenie środka ciężkości figury płaskiej pokazanej na rysunku.




R o z w i ą z a n i e.
Współrzędne środka ciężkości rozpatrywanej figury płaskiej wyznacza się przy zastosowaniu metody mas ujemnych. Pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości prostokąta 2r  r, połowy koła o promieniu r i koła o promieniu  ^r/₄ wynoszą

                      

Stąd
                      



Przykład 3
Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości powierzchni wycinka koła o promieniu R i kącie środkowym 2.




R o z w i ą z a n i e.
Ponieważ rozpatrywana figura płaska ma oś symetrii, środek ciężkości będzie leżał na tej osi. Przyjmując oś symetrii jako oś Ox wystarczy określić współrzędną x_C środka ciężkości. Rozpatrzymy powierzchnię elementarną o kącie środkowym d

                 

i współrzędnej środka ciężkości tej powierzchni

                 

Moment statyczny wycinka koła względem osi y będzie równy

                 

Pole powierzchni tego wycinka wynosi

                 

Stąd współrzędna x_C wynosi

                 



Przykład 4
Wyznaczyć położenie środka ciężkości figury płaskiej ograniczonej parabolą  y = kx² oraz prostymi x = b, y = 0.




R o z w i ą z a n i e.
W celu obliczenia momentów statycznych rozważymy powierzchnię elementarną o szerokości dx i wysokości y

                 


Momenty statyczne figury płaskiej wynoszą

                 


Pole powierzchni figury płaskiej jest równe

                 


Współrzędne środka ciężkości wynoszą

                 


Jeżeli uwzględnimy, że dla x = b, y = h = kb², to ostatecznie otrzymamy

               



Przykład 5
Znaleźć położenie środka ciężkości jednorodnego stożka kołowego o wysokości H i promieniu podstawy R.




R o z w i ą z a n i e.
Środek ciężkości stożka leży na osi symetrii, która pokrywa się z jego wysokością. Stąd x_C = y_C = 0, a więc wystarczy obliczyć jedną współrzędną z_C. Przyjmujemy elementarną objętość w postaci krążka o grubości dz i promieniu podstawy r, oddaloną od podstawy stożka o odległość z

               


Promień podstawy krążka obliczamy z podobieństwa odpowiednich trójkątów

               


Stąd
               


Współrzędną środka ciężkości z_C  wyznaczamy metodą analityczną

               



Przykład 6
Znaleźć położenie środka ciężkości bryły złożonej z połowy walca o wysokości h i promieniu podstawy r oraz prostopadłościanu o wymiarach r × 0,5r × h.




R o z w i ą z a n i e.
Objętości i współrzędne środków ciężkości połowy walca i prostopadłościanu wynoszą

               


Współrzędne środka ciężkości bryły oblicz się przy zastosowaniu metody dzielenia

               



Przykład 7
Wyznaczyć położenie środka ciężkości powierzchni pokazanej na rysunku. Dane: r = 4 cm, R = 8 cm, h = 10 cm.




R o z w i ą z a n i e.
Obliczenia współrzędnych środka ciężkości rozpatrywanej powierzchni przeprowadzamy przy zastosowaniu metody mas ujemnych. Pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości poszczególnych elementów składowych powierzchni (połowa koła o promieniu R, koła o promieniu r, prostokąta R × 2R, trójkąta prostokątnego o podstawie 2R i wysokości h) wynoszą

               


Stąd współrzędne środka ciężkości powierzchni przedstawionej na rysunku są równe

               



Przykład 8
Znaleźć położenie środka ciężkości płaskiej linii łamanej, pokazanej na rysunku.




Rozwiązanie.
Długości i współrzędne środków ciężkości poszczególnych składowych rozpatrywanej linii łamanej ABCDE są równe

               


Zatem współrzędne środka ciężkości linii łamanej wynoszą

               

36

---