wykład1, Witaj w świecie geometrii wykreślnej


Witaj w świecie geometrii wykreślnej !

Geometrię dzielimy na planimetrię, czyli geometrię płaszczyzny oraz stereometrię, czyli geometrię przestrzeni trójwymiarowej.

Wykład #1           

Związki podstawowe i rzuty Monge'a  

Podstawowe elementy geometryczne

Punkt-oznaczany kółkiem z podaniem nazwy punktu dużą literą alfabetu Łacińskiego np. A

Prosta- oznaczona za pomocą linii prostych z podaniem ich nazwy małą literą alfabetu łacińskiego np. a

Płaszczyzny mogą być różnie określone, ale nazwy przyjmują liter alfabetu greckiego np.

Powierzchnie np. powierzchnię kuli, nie opisujemy w szczególny sposób

Związki podstawowe [dwoiste] pomiędzy elementami geometrycznymi

1. dwa dowolne, nie pokrywające się punkty tworzą prostą (rys.1.1)     dwie przecinające się płaszczyzny tworzą prostą  (rys.1.2)

0x01 graphic
0x01 graphic

2. trzy dowolne punkty nie leżące w jednej linii tworzą płaszczyznę (rys.1.3) trzy płaszczyzny z których żadne dwie nie są do siebie równoległe i nie pokrywają się  tworzą punkt.(rys.1.4)

0x01 graphic
0x01 graphic

3. punkt i prosta do siebie nie należące płaszczyzna i prosta nie należące do siebie wyznaczają płaszczyznę wyznaczają punkt

0x01 graphic

Elementy niewłaściwe

Punkt niewłaściwy

0x01 graphic

Termin punktu niewłaściwego został wprowadzony do geometrii przez francuskiego matematyka Ponceleta, a oznacza to samo co kierunek prostej Rozpatrzmy ciąg połączeń prostej a z punktem P. Prowadząc kolejno proste a1 ,a2 ,a3 uzyskujemy

punkty przecięcia z prostą a A1 ,A2 ,A3.

Jeżeli z punktu P poprowadzimy prostą ao

to proste a i ao przetną się w nieskończoności,

czyli w punkcie niewłaściwym.

Pewne więc zadania, lub aksjomaty mogą więc być inaczej formułowane np. każde dwie proste posiadają wspólny punkt właściwy lub niewłaściwy. Od tej więc pory dwie proste równoległe posiadają wspólny punkt niewłaściwy, mają wspólny kierunek.

Prosta niewłaściwa

Zbiór wszystkich punktów niewłaściwych na płaszczyźnie nazywamy prostą niewłaściwą l , która oznacza ustawienie płaszczyzny w przestrzeni. (rys.1.8)

0x01 graphic

Weźmy pod uwagę dwie płaszczyzny równoległe , 1 i przyjmijmy dwie proste a i b na płaszczyźnie a.

Przez dwa punkty niewłaściwe przechodzi prosta niewłaściwa, czyli ustawienie płaszczyzny w przestrzeni. Obie płaszczyzny są opisane identycznymi punktami niewłaściwymi.

  

Płaszczyzna niewłaściwa

Zbiór wszystkich elementów niewłaściwych

Dołączając do punktów właściwych przestrzeni euklidesowej płaszczyznę niewłaściwą z leżącymi na niej punktami niewłaściwymi i prostymi niewłaściwymi otrzymamy przestrzeń rzutową.

Możemy rozszerzyć teraz związki dwoiste pomiędzy elementami geometrycznymi o elementy niewłaściwe. Tak więc;

1. Dwie płaszczyzny równoległe posiadają tą samą prostą niewłaściwą (rys.1.9)

0x01 graphic

2. trzy płaszczyzny ,z których dwie są równoległe [dotąd nie mające punktu wspólnego] teraz mają. (rys.1.10)

0x01 graphic

3. Płaszczyzna i prosta do niej równoległa mają wspólny punkt niewłaściwy (rys.1.11)

0x01 graphic

Utwory podstawowe przestrzeni rzutowej

1. szereg punktów p -podstawa szeregu, ABC- elementy szeregu

0x01 graphic

2. pęk prostych W (W ) - wierzchołek pęku prostych, abc - promienie pęku

0x01 graphic

3. pęk płaszczyzn p (p ) - oś pęku płaszczyzn , , , - elementy pęku płaszczyzn

0x01 graphic

4. układ płaski

Jest to zbiór wszystkich punktów i wszystkich prostych należących do dowolnej płaszczyzny

5. wiązka

Jest to zbiór wszystkich prostych i wszystkich płaszczyzn przechodzących przez dowolny punkt S, właściwy lub niewłaściwy.

0x01 graphic

Działania w przestrzeni rzutowej

Niniejsze wykłady omawiają rzuty figur na płaszczyznę przy pomocy przekształcenia, które nazywamy rzutowaniem. Rzutowanie jest sumą dwóch innych przekształceń; rzucania i przecinania.

Rzucanie + przecinanie = rzutowanie

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Rzucamy szereg punktów przecinamy pęk prostych rzutowanie to przekształcenie

z punktu W dowolną prostą punktów A,B C na punkty A1,B1...

0x01 graphic
0x01 graphic

 A prostych a, b.. na proste a1,b1..

Otrzymujemy pęk prostych otrzymujemy szereg punktów

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Geometria wykreślna uczy metod odwzorowania utworów przestrzeni trójwymiarowej na utwory płaskie- dwuwymiarowe i odwrotnie, z płaskiego rysunku odczytujemy utwory przestrzenne. Takie odwzorowania muszą być jednoznaczne.

Metoda rzutowania polega na przyjęciu rzutni a oraz punktu S, lub S , który jest środkiem rzutów [S nie należy do ] . W zależności, czy punkt S jest właściwy czy też niewłaściwy otrzymujemy różne sposoby rzutowania

Rzut środkowy

W rzucie środkowym z przyjętego środka rzutowania są wysyłane promienie rzutujące w kierunku rzutni. Rzut obiektu możemy sobie wyobrazić jako jego cień na płaszczyznę z żarówki umieszczonej w punkcie S.

 0x01 graphic

Rzut równoległy

Środek rzutu jest punktem niewłaściwym S nie należącym do rzutni. Możemy wyobrazić sobie, że jest to rzut promieni słonecznych, ponieważ słońce jako źródło tych promieni jest tak odległe, że promienie słoneczne możemy uważać za równoległe.

0x01 graphic

Rzut równoległy ma następujące własności;

1.rzut punktu jest punktem

2.rzut prostej jest prostą [ jeśli kierunek prostej jest równoległy do kierunku rzutowania jest punktem]

3.rzut płaszczyzny jest płaszczyzną

4.rzuty dwóch prostych równoległych [ale nierównoległych do kierunku rzutowania] są rzutami równoległymi

5.stosunek długości odcinków [nierównoległych do kierunku rzutowania] jest równy stosunkowi ich rzutów. Innymi słowy, rzutowanie zachowuje proporcje.

Rzut prostokątny

W przypadku szczególnym, gdy S jest prostopadły do płaszczyzny rzutni.

0x01 graphic

Przypomnienie niektórych określeń i twierdzeń geometrii euklidesowej

Proste skośne

Dwie proste, które nie są do siebie ani równoległe ani się nie przecinają są względem siebie skośne (rys.1.22).

0x01 graphic

Krawędź

Dwie płaszczyzny w przestrzeni mają wspólną prostą - przecinają się w krawędzi. Jeżeli płaszczyzny są do siebie równoległe , wtedy mają wspólną prostą niewłaściwą (rys.1.23).

0x01 graphic

Prosta równoległa do płaszczyzny

Prosta jest równoległa do płaszczyzny, jeżeli na płaszczyźnie istnieje prosta równoległa do danej (rys.1.24).

0x01 graphic

Punkt przebicia

Jeżeli prosta nie leży na płaszczyźnie , ani nie jest do niej równoległa wtedy ma z nią jeden punkt wspólny nazywany punktem przebicia (rys.1.25).

0x01 graphic

Kąt między prostymi skośnymi

Proste skośne przesuwamy równolegle do przecięcia tak , aby tworzyły płaszczyznę. Kąt pomiędzy przesuniętymi prostymi ma taką samą miarę co kąt pomiędzy skośnymi (rys.1.26).

0x01 graphic

Kąt między prostą a płaszczyzną

Płaszczyzna szukanego kąta zawiera w sobie prostą i jest prostopadła do płaszczyzny. Ramionami kąta sąt z jednej strony prosta, a z drugiej krawędź między płaszczyznami (rys.1.27).

0x01 graphic

Kąt dwuścienny

Kąt pomiędzy dwiema płaszczyznami nierównoległymi do siebie nazywamy kątem dwuściennym. Kat ten leży w płaszczyźnie e prostopadłej do obu płaszczyzn , a w szczególności krawędzi między nimi. Ramiona kąta tworzą krawędzie obu płaszczyzn z płaszczyzną prostopadłą (rys.1.28).

0x01 graphic

Zakładając tylko jedną rzutnię otrzymujemy odwzorowanie tylko w jednym kierunku -na rzutnię .Dysponując rzutem nie możemy jednak odbudować sytuacji w przestrzeni. Odwzorowanie jest niejednoznaczne (rys.1.29).

0x01 graphic

RZUTY MONGE`A

Przyjmijmy więc dwie rzutnie prostopadłe względem siebie i dwa kierunki rzutowania, prostopadłe do każdej z rzutni . Ten sposób rzutowania nazywamy rzutami Monge`a od nazwiska matematyka, który ją pierwszy opisał.

1 2 1 2=x12 Indeksy umieszczone przy osi x są informacją pomiędzy jakimi rzutniami się ona znajduje.


Wyszukiwarka


Podobne podstrony:
Wyklad3, AGH, AGH, Geometria wykreślna
Geometria Wykreślna wykłady
Geometria wykreślna wykłady
13 wykładów z geometrii wykreślnej
Wyklad4, Geometria wykreślna
Program wykładów, BUDOWNICTWO, Geometria Wykreślna, KRESKA
Wykłady z GW z PG, STUDIA IŚ, semestr I, Rys. tech. i geometria wykreślna
Wykłady z GW z PG, STUDIA IŚ, semestr I, Rys. tech. i geometria wykreślna
Wyklad8, Górnictwo i Geologia AGH, Geometria wykreślna, wykłady
Wyklad1, Geometria wykreślna
Wyklad13, Geometria wykreślna
Wyklad1, Geometria wykreślna
Wyklad2, Górnictwo i Geologia AGH, Geometria wykreślna, wykłady
Wykłady z GW z PG, STUDIA IŚ, semestr I, Rys. tech. i geometria wykreślna
Geometria wykreślna, wyklad3

więcej podobnych podstron