LABORATORIUM FIZYCZNE Grupa lab. 4 |
||
Kolejny nr ćwiczenia: |
Nazwisko i imię: |
Wydział |
Symbol ćwiczenia: |
Paweł Kobylarz |
Elektronika |
Temat: |
Data odrobienia ćwiczenia: |
Semestr |
Wyznaczanie czasu |
94-04-18 |
II |
zderzenia kul sprężystych |
Data oddania sprawozdania : |
Grupa st. |
|
|
V |
|
Podpis |
Ocena: |
|
asystenta: |
|
Badane zderzenia nie są zderzeniami doskonale sprężystymi. Zasada zachowania pędu obowiązuje w zupełnoœci, ale zasady zachowania energii nie można tu odnosić tylko do energii kinetycznej, ponieważ ta nie jest zachowywana I zmienia się w inne rodzaje energii: energie cieplną, energię drgań akustycznych.
Na podstawie obserwacji można było tylko okreœlić, że kule po odbiciu nie docierają do wysokoœci, z której były wypuszczane przed zderzeniem, co œwiadczy o tym, że częœć energii kinetycznej została rozproszona.
Dokładniejsze pomiary (których nie można było przeprowadzić w danych warunkach) wskazują, że względna prędkoœć kul stalowych po zderzeniu zmniejsza się o 45% w stosunku do prędkoœci przed zderzeniem. Mimo tego podczas opracowywania wyników pomiarów zderzenia te będziemy traktowali jako zderzenia doskonale sprężyste.
Układ doœwiadczalny składa się z ramki, w której znajdują się dwie kule na drążkach mogące się wahać w jednej płaszczyŸnie. Na obu końcach ramy, w płaszczyŸnie wahania się kul znajdują się elektromagnesy, które umożliwiają jednoczesne wypuszczenie kul po przerwaniu przepływu prądu w cewkach elektromagnesów. Puszczone kule zderzają się, po czym mogą być powtórnie przyciągnięte przez elektromagnesy.
Oprócz tego kule są fragmentem innego obwodu elektrycznego, zawierającego oprócz nich obwód RC. Zderzając się, kule powodują zamknięcie tego obwodu i częœciowe rozładowanie się kondensatora, tym większe, im dłuższy jest czas zderzenia. Spadek napięcia podczas zderzenia okreœla się mierząc napięcie przed zderzeniem i po nim. Na tej podstawie oblicza się czas zderzenia (przyjmując, że czas zderzenia jest równy czasowi rozładowywania kondensatora):
T=RC ln(U0/U)
Należy tutaj wspomnieć, że przyjęcie czasu przepływu prądu za czas zderzenia nie jest œcisłe (patrz dyskusja błędów), co potwierdzają wyniki II serii pomiarowej.
Przez kule powinien płynąć prąd tylko w momencie zderzenia, toteż bardzo ważne jest odizolowanie ich od siebie: elektromagnesy muszą mieć założoną izolację w miejscu stykania się z kulami, a same kule muszą być zawieszone na łożyskach umieszczonych w rowkach z materiału izolującego.
Użyty woltomierz miał bardzo duży opór wewnętrzny i rozładowywanie kondensatora przez woltomierz było pomijalnie małe. (Czas, w którym napięcie spadało o jedną `podziałkę' był pomijalnie mały w stosunku do czasu odczytu tego napięcia). W związku z tym błąd wprowadzany przez czas upływający między dwoma odczytami można pominąć.
Przy obliczaniu maksymalnej działającej siły można skorzystać z przybliżenia I założyć, że podczas zderzenia kule poruszają się ruchem jednostajnie opóŸnionym. Otrzymujemy wówczas wyrażenia na maksymalne wgniecenie I na stałą działającą siłę:
Prędkoœć kuli przed zderzeniem można obliczyć ze wzoru:
Niestety, nie dysponowaliœmy możliwoœcią bezpoœredniego mierzenia kąta, pod jakim były odchylone kule. Kąt obliczaliœmy na podstawie pomiarów odległoœci kul od osi obrotu, odległoœci między swobodnie zwisającymi kulami oraz odległoœci między kulami przyczepionymi do elektromagnesów. Z dwóch ostatnich pomiarów uzyskiwaliœmy względne przesunięcie kul w poziomie, a następnie mogliœmy obliczyć kąt korzystając z faktu, że względne przesunięcie w poziomie I odległoœć kuli od osi obrotu stanowią dwa boki trójkąta prostokątnego:
Pomiary:
Uwaga! Wszystkie napięcia są mierzone z dokładnoœcią 0,075V
Pomiar czasu zderzeń: Różnice napięć przed i po zderzeniach. Po każdym zderzeniu kondensator był ładowany:
nr pomiaru |
napięcie przed zderzeniem |
napięcie po zderzeniu |
|
|||
1 |
10,2 |
7,5 |
0,74 |
|||
2 |
10,2 |
7,5 |
0,74 |
|||
3 |
10,05 |
7,5 |
0,746 |
|||
4 |
10,2 |
7,5 |
0,74 |
|||
5 |
10,2 |
7,425 |
0,7279 |
|||
6 |
10,05 |
7,35 |
0,7313 |
|||
7 |
10,05 |
7,425 |
0,73881 |
|||
8 |
10,2 |
7,65 |
0,75 |
|||
9 |
10,2 |
7,575 |
0,7426 |
|||
10 |
10,2 |
7,65 |
0,75 |
|||
11 |
10,2 |
7,575 |
0,7426 |
|||
12 |
10,2 |
7,575 |
0,7426 |
|||
13 |
9,9 |
7,5 |
0,76 |
|||
14 |
10,2 |
7,725 |
0,7574 |
|||
15 |
10,2 |
7,65 |
0,75 |
|||
16 |
10,35 |
7,65 |
0,7391 |
|||
17 |
10,2 |
8,25 |
0,809 |
|||
18 |
10,95 |
8,4 |
0,767 |
|||
19 |
10,35 |
7,95 |
0,7681 |
|||
20 |
10,35 |
7,95 |
0,7681 |
|||
Œredni spadek napięcia po zderzeniu do |
|
|
0,75053 U0 |
|||
Czas zderzenia tych kul można obliczyć korzystając ze wzoru
T=RC ln (U0/U)=8W*10-4F*ln(0,75)=2,3*10-4s
Obliczanie prędkoœci kul przed zderzeniem:
odległoœć œrodka ciężkoœci od osi: 28,75 cm
odległoœć między rozwartymi kulami 26 cm
odległoœć po zetknięciu kul: 10 cm
stąd
Maksymalny parametr odkształcenia:
Maksymalna działająca siła:
II Seria pomiarowa:
Pomiar czasu zderzeń dwóch kul: dwie kule stalowe po 4 kg każda. Kondensator był naładowany tylko raz, potem rozładowywał się podczas każdego zderzenia:
|
U [V] |
Un/Un+1 |
Stan początkowy |
10.35 |
------ |
po 1-szym zderzeniu |
7.725 |
0.746 |
po 2-gim |
5.925 |
0.767 |
po 3-cim |
4.575 |
0.772 |
po 4-tym |
3.6 |
0.787 |
po 5-tym |
2.775 |
0.771 |
po 6-tym |
2.175 |
0.784 |
po 7-mym |
1.65 |
0.758 |
œredni stosunek napięć przed i po zderzeniu |
0,769 |
|
Po każdym zderzeniu wartoœć napięcia maleje wykładniczo (wykres). Jak widać, stosunkowy spadek napięcia na kulach po każdym zderzeniu jest w miarę stały (rozpiętoœć zaledwie 5%, co można uważać za błąd pomiarowy). Jednakże œredni spadek napięcia w tym przypadku różni się dosyć znacznie od obliczonego dla stałego napięcia ładowania kondensatora. Œredni czas zderzenia obliczony na podstawie tego pomiaru wynosi
T=2,1*10-4s
Daje to różnicę czasów ok. 10%, mimo że czas zderzenia w rzeczywistoœci nie uległ zmianie. Jedynym czynnikiem zmieniającym się w tej serii pomiarowej jest napięcie i to właœnie różnica napięć jest powodem różnych stosunków Un/Un-1. Patrząc na wyniki zamieszczone w powyższej tabeli wyraŸnie widać, że im niższe napięcie, tym mniejszy stosunkowy spadek napięcia (pojawiające się fluktuacje są zapewne spowodowane błędami pomiarowymi). W pewnej mierze winę za to ponosi zjawisko przebicia dielektryka (patrz dyskusja błędów).
Obliczanie maksymalnego wgniecenia I maksymalnej działającej siły:
Początkowe parametry zderzenia są takie same, a więc prędkoœci kul są również takie same:
v0=0,47 m/s
Maksymalny parametr odkształcenia:
Maksymalna działająca siła:
III seria pomiarowa:
Zderzenie dwóch kul stalowych o różnych masach: 4 kg i 2,3kg
nr pomiaru |
napięcie przed zderzeniem [V] |
napięcie po zderzeniu [ V ] |
U/U0 |
|||
1 |
10,2 |
7,5 |
0,74 |
|||
2 |
10,2 |
7,65 |
0,75 |
|||
3 |
10,35 |
7,65 |
0,7391 |
|||
4 |
10,2 |
7,8 |
0,76 |
|||
5 |
10,35 |
7,95 |
0,7681 |
|||
Œredni spadek napięcia do |
|
|
0,7514 U0 |
|||
Czas zderzenia oblicza się tak samo jak wyżej:
T = 2,28 s-4
Wynik ten bardzo niewiele różni się od wyniku uzyskanego dla dwóch kul stalowych po 4 kg każda
Obliczanie prędkoœci kul przed zderzeniem:
odległoœć œrodka ciężkoœci od osi: 28,75 cm
odległoœć między rozwartymi kulami 27 cm
odległoœć po zetknięciu kul: 9,5 cm
stąd
Maksymalny parametr odkształcenia:
IV seria pomiarowa:
Badanie czasu zderzenia dwóch kul stalowych o masach 2,43 kg każda
nr pomiaru |
napięcie przed zderzeniem [V] |
napięcie po zderzeniu [ V ] |
U/U0 |
||
1 |
10,35 |
8,55 |
0,8261 |
||
2 |
10,2 |
8,55 |
0,838 |
||
3 |
10,35 |
8,55 |
0,8261 |
||
4 |
10,2 |
8,55 |
0,838 |
||
Œredni spadek napięcia do |
|
|
0,8321 U0 |
||
Czas zderzenia obliczamy jak wyżej. Otrzymujemy
T=1,47 s-4
Ten wynik już znacznie różni się od poprzednich.
Obliczanie prędkoœci kul przed zderzeniem:
odległoœć œrodka ciężkoœci kuli od osi: 28,75 cm
odległoœć między rozwartymi kulami 28 cm
odległoœć po zetknięciu kul: 9 cm
stąd
Maksymalny parametr odkształcenia:
Maksymalna działająca siła:
V Seria pomiarowa:
Badanie czasu zderzenia dwóch kul mosiężnych po 1,57 kg każda
nr pomiaru |
napięcie przed zderzeniem [V] |
napięcie po zderzeniu [ V ] |
U/U0 |
||
1 |
10,35 |
8,25 |
0,7971 |
||
2 |
10,35 |
8,4 |
0,812 |
||
3 |
10,35 |
8,4 |
0,812 |
||
4 |
10,35 |
8,4 |
0,812 |
||
Œredni spadek napięcia do |
|
|
0,8083 U0 |
||
Czas zderzenia obliczamy jak w poprzednich pomiarach. Otrzymujemy
T=1.7 s-4
Obliczanie prędkoœci kul przed zderzeniem:
odległoœć œrodka ciężkoœci od osi: 28,75 cm
odległoœć między rozwartymi kulami 29 cm
odległoœć po zetknięciu kul: 9 cm
stąd
Maksymalny parametr odkształcenia:
Maksymalna działająca siła:
Dyskusja błędów:
Obliczanie błędu pojedyńczego pomiaru:
Błąd pojedyńczego pomiaru jest sumą błędu wynikającego z klasy przyrządu (1,5) oraz błędu odczytu (0,075 V).
Można zauważyć, że błąd ten jest stosunkowo duży w stosunku do błędu powodowanego samorzutnym rozładowywaniem się kondensatora. Podczas prób napięcie na kondensatorze spadało o najmniejszą rozróżnialną podziałkę (0,075 V) w czasie rzędu sekund, czyli w czasie wystarczającym do odczytania wyników. W dodatku czas między puszczeniem kul a odczytem był w przybliżeniu taki sam (odczyt zaraz po ustabilizowaniu się wskazówki). Dlatego też można ten błąd pominąć.
Maksymalny błąd pojedyńczego pomiaru czasu:
Błąd ten można obliczyć metodą różniczki zupełnej:
Jest to błąd stosunkowo duży, sięgający 25%. Uzyskane w pomiarach wyniki są jednak znacznie dokładniejsze dzięki wielokrotnemu powtarzaniu pomiarów.
Błąd popełniany przy opracowywaniu wyników wielokrotnych pomiarów można obliczyć ze wzoru na błąd œredni kwadratowy:
Obliczenia są dosyć żmudne, więc do obliczeń wykorzystaliœmy komputer:
Sumowanie danych:
U0 [V] U [V]
0.00 + 10.20 = 10.20 0.00 + 7.50 = 7.50
10.20 + 10.20 = 20.40 7.50 + 7.50 = 15.00
20.40 + 10.05 = 30.45 15.00 + 7.50 = 22.50
30.45 + 10.20 = 40.65 22.50 + 7.50 = 30.00
40.65 + 10.20 = 50.85 30.00 + 7.43 = 37.43
50.85 + 10.05 = 60.90 37.43 + 7.35 = 44.77
60.90 + 10.05 = 70.95 44.77 + 7.43 = 52.20
70.95 + 10.20 = 81.15 52.20 + 7.65 = 59.85
81.15 + 10.20 = 91.35 59.85 + 7.57 = 67.42
91.35 + 10.20 = 101.55 67.42 + 7.65 = 75.07
101.55 + 10.20 = 111.75 75.07 + 7.57 = 82.65
111.75 + 10.20 = 121.95 82.65 + 7.57 = 90.22
121.95 + 9.90 = 131.85 90.22 + 7.50 = 97.72
131.85 + 10.20 = 142.05 97.72 + 7.72 = 105.45
142.05 + 10.20 = 152.25 105.45 + 7.65 = 113.10
152.25 + 10.35 = 162.60 113.10 + 7.65 = 120.75
162.60 + 10.20 = 172.80 120.75 + 8.25 = 129.00
172.80 + 10.95 = 183.75 129.00 + 8.40 = 137.40
183.75 + 10.35 = 194.10 137.40 + 7.95 = 145.35
194.10 + 10.35 = 204.45 145.35 + 7.95 = 153.30
Wartosci srednie napiec:
U0 = 10.222 V U = 7.665 V
Sumowanie kwadratow odchylen:
(U0-U0i)2 [V2] (U-Ui)2 [V2]
+ 0.00051 = 0.0005 + 0.02722 = 0.0272
+ 0.00051 = 0.0010 + 0.02722 = 0.0544
+ 0.02976 = 0.0308 + 0.02722 = 0.0817
+ 0.00051 = 0.0313 + 0.02722 = 0.1089
+ 0.00051 = 0.0318 + 0.05760 = 0.1665
+ 0.02976 = 0.0615 + 0.09922 = 0.2657
+ 0.02976 = 0.0913 + 0.05760 = 0.3233
+ 0.00051 = 0.0918 + 0.00022 = 0.3235
+ 0.00051 = 0.0923 + 0.00810 = 0.3316
+ 0.00051 = 0.0928 + 0.00022 = 0.3319
+ 0.00051 = 0.0933 + 0.00810 = 0.3400
+ 0.00051 = 0.0938 + 0.00810 = 0.3481
+ 0.10401 = 0.1978 + 0.02722 = 0.3753
+ 0.00051 = 0.1983 + 0.00360 = 0.3789
+ 0.00051 = 0.1988 + 0.00022 = 0.3791
+ 0.01626 = 0.2151 + 0.00022 = 0.3793
+ 0.00051 = 0.2156 + 0.34223 = 0.7216
+ 0.52926 = 0.7449 + 0.54023 = 1.2618
+ 0.01626 = 0.7611 + 0.08123 = 1.3430
+ 0.01626 = 0.7774 + 0.08123 = 1.4242
Obliczanie DU0 i DU :
DU0 = 0.045 [V] DU = 0.061 [V]
Obliczanie DT :
DT = 5.3196920750E-06 [s]
DT = 5.32*10-6 s
Zgodnie z oczekiwaniami błąd popełniany przy wielokrotnych pomiarach jest znacznie mniejszy. Mimo to powinien być jeszcze mniejszy.
Przy szacowaniu błędów braliœmy pod uwagę różnicę między kolejnymi pomiarami a wartoœcią œrednią. Zawyżyło to znacznie obliczony błąd, ponieważ na wynik pomiaru mają wpływ nie tyle bezwzględne wartoœci mierzonych napięć, co ich stosunek. Natomiast podczas pomiarów zdarzało się, że kondensator ładował się początkowo do różnych napięć (niestabilne Ÿródło zasilania ?) , natomiast napięcie końcowe powtarzało proporcjonalnie wszystkie fluktuacje. Przyjrzawszy się tabeli z wynikami I serii pomiarowej możemy stwierdzić, że stosunek napięć (a więc także wynik pomiaru) cechuje się znacznie większą stabilnoœcią I zapewne mniejszymi odchyleniami kwadratowymi niż bezwzględne wartoœci napięć.
W I serii pomiarowej można jeszcze przyjąć taki sposób obliczania, ale w II spowodowałby on katastrofalne skutki: Napięcie zmienia się znacznie dla każdego pomiaru, natomiast stosunek napięć waha się wokół wartoœci œredniej w granicach 3% jej wartoœci.
Błędy systematyczne:
Błąd wprowadzony przez zjawisko przebicia dielektryka:
Zjawisko przebicia dielektryka polega na utracie zdolnoœci izolacyjnych dielektryka po przekroczeniu pewnego natężenia pola elektrycznego. Dielektryk zachowuje się wówczas jak przewodnik. Zjawisko to występuje w powietrzu po przekroczeniu natężenia pola równego 3*106 V/m.
W doœwiadczeniu mierzymy czas zderzenia kul obliczając czas, przez który płynie prąd. Jednak czas zderzenia kul i czas, przez który płynie prąd nie są równe: prąd zaczyna płynąć już zanim kulki się zetkną, a przestaje płynąć po pewnym czasie od chwili rozdzielenia się kul.
Dla przykładu obliczmy wprowadzany błąd dla najczęœciej występujących danych (dane mocno zaokrąglone):
napięcie przed zderzeniem 10V
napięcie po zderzeniu 8V
prędkoœć względna przed zderzeniem 0,95m/s
prędkoœć względna po zderzeniu 0,5m/s
(Prędkoœć względna po zderzeniu jest słuszna dla stali. Współczynnik restytucji dla stali, czyli stosunek względnych prędkoœci po i przed zderzeniem wynosi 0,55)
Natężenie pola powodujące przebicie wynosi 3*106 V, a więc odległoœć między kulkami, poniżej której zaczyna płynąć prąd, wynosi 3,3*10-6m dla napięcia 10V I 2,7*10-6m dla napięcia 8V. Zatem przed zderzeniem prąd będzie płynął przez czas 3,5*10-6s, a po zderzeniu przez 2,7*10-6s, co w sumie daje 8,8*10-6s, czyli błąd ok 4%.
Taki błąd tylko częœciowo może tłumaczyć duże rozbieżnoœci między pomiarami dla różnych napięć początkowych. Być może wchodzą tu w grę jeszcze inne zjawiska zachodzące na krawędzi zderzenia, np drgania.
Błędy wprowadzane przez przyjęty model:
Błędy te nie dotyczą pomiarów czasu zderzenia, a jedynie oszacowań maksymalnego wgniecenia I maksymalnej działającej siły. Przyjęliœmy model, w którym ruch zderzających się kul jest jednostajnie opóŸniony, a więc siła działająca między kulami jest stała. W rzeczywistoœci działająca siła wyraża się wzorem
Gdzie n jest parametrem bardzo nieznacznie zmieniającym się wraz z odkształceniem.
Zmianę pędu można wyrazić jako całkę siły po czasie. Aby w takim samym czasie zmienić pęd o taką samą wartoœć, siła ta musi mieć naturalnie większą wartoœć maksymalną od stałej siły. Analiza numeryczna (całkowanie metodą prostokątów) dała zdumiewający wynik: Rzeczywista siła maksymalna powinna być 1,8 raza większa od siły modelowanej (patrz rysunek).
Podobnie ma się rzecz z maksymalnym wgnieceniem, chociaż w tym przypadku trudno o jakieœ proste kryterium, pokazujące, ile razy oszacowanie jest zawyżone czy zaniżone.
Według przyjętego modelu zderzające się kule poruszają się ruchem jednostajnie opóŸnionym. W rzeczywistoœci na początku I na końcu zderzenia kule doznają minimalnego przyœpieszenia, natomiast w chwili, gdy osiągają maksymalne odkształcenie, doznają również maksymalnego przyœpieszenia. Pozwala im to przebyć dłuższą drogę w tym samym czasie, a więc w rzeczywistoœci maksymalne wgniecenie jest większe niż obliczone na podstawie modelu.