Koncentracja nośników samoistnych:

n_i=(N_CN_V)^1/2 exp(-W_g/2kT)

N_C - efektywna gęstość stanów w pasmie przewodnictwa, N_V - efektywna gęstość stanów w pasmie walencyjnym, W_g - wartość energii określającej szerokość pasma zabronionego, T - temperatura półprzewodnika[K], k - stała Boltzmanna

n_i=2.5 10¹⁹[(m_Cm_V)/m₀²]^3/4(T/300)^3/2exp(-W_g/2kT)

n_i - koncentracja nośników samoistnych [cm^-3], m_C - masa efektywna gęstości stanów dla pasma przewodnictwa m_C = 1.18⋅m₀, m_V - masa efektywna gęstości stanów dla pasma walencyjnego m_V = 0.81⋅m₀, m₀ - masa spoczynkowa elektronu.

I wzór: Zakres temperatur 200 ÷ 500 [K]

n_i=5.71 10¹⁹(T/300)^2.365 exp(-6733/T)

II wzór:

n_i=3.87 10¹⁶T^3/2 exp(-7014/T)

Jeżeli w półprzewodnik samoistny wprowadzono jeden typ domieszki, wówczas wyznaczenie typu i koncentracji domieszki przebiega następująco:

a) w półprzewodnik samoistny wprowadzono donory o koncentracji N_D:

- półprzewodnik jest typu n,

- koncentracja nośników większościowych - elektronów (T = 300 [K]):

n_n=N_D

- koncentracja nośników mniejszościowych - dziur (T = 300 [K]):

p_n=n_i²/ n_n

b) w półprzewodnik samoistny wprowadzono akceptory o koncentracji N_A:

- półprzewodnik jest typu p,

- koncentracja nośników większościowych - dziur (T = 300 [K]):

p_p=N_A

- koncentracja nośników mniejszościowych - elektronów (T = 300 [K]):

n_p= n_i²/p_p

Najczęstszą sytuacją, z którą mamy do czynienia przy wytwarzaniu przyrządów półprzewodnikowych, jest wprowadzanie w półprzewodnik domieszek obu typów - donorów i akceptorów.

a) w półprzewodnik samoistny wprowadzono domieszki donorowe i akceptorowe, przy czym koncentracja donorów przewyższa koncentrację akceptorów:

N_D>N_A

- półprzewodnik jest typu n,

- koncentracja nośników większościowych - elektronów:

n_n=[( N_D- N_A)/2]+([( N_D- N_A)/2]²+n_i²)^1/2

Jeżeli n_n >> n_i, co w praktyce jest najczęściej spotykanym przypadkiem, wówczas równanie powyższe upraszcza się do postaci:

n_n= N_D- N_A

koncentracja nośników mniejszościowych - dziur:

p_n=n_i²/ n_n

b) w półprzewodnik samoistny wprowadzono domieszki donorowe i akceptorowe, przy czym koncentracja akceptorów przewyższa koncentrację donorów:

N_A> N_D

- półprzewodnik jest typu p,

- koncentracja nośników większościowych - dziur:

p_p=[( N_A- N_D)/2]+([( N_A- N_D)/2]²+n_i²)^1/2

Jeżeli p_p>> n_i, co w praktyce jest najczęściej spotykanym przypadkiem, równanie powyższe upraszcza się do postaci:

p_p= N_A- N_D

- koncentracja nośników mniejszościowych - elektronów:

n_p= n_i²/p_p

Energia Fermiego (poziom Fermiego) „W_F” jest ważnym parametrem opisującym materiał półprzewodnikowy. W przypadku elektronów, zgodnie z zakazem Pauliego, w każdym stanie kwantowym może znajdować się co najwyżej jeden elektron. W warunkach równowagi termodynamicznej w danym układzie fizycznym ustala się określony rozkład obsadzeń opisany funkcją Fermiego - Diraca, w której pojawia się omawiany parametr zwany poziomem Fermiego „W_F”.

f(W)=1/(1+exp[(W-W_F)/kT])

W - energia cząstki, W_F - energia (poziom) Fermiego.

Zgodnie z podaną powyżej zależnością dla:

W=W_F

f(W_F)=0.5

stąd wynika, że energia Fermiego jest to poziom energetyczny, którego prawdopodobieństwo obsadzenia przez elektron w dowolnej temperaturze wynosi 0.5.

W przypadku półprzewodnika samoistnego poziom Fermiego nazywany jest poziomem samoistnym i oznaczany jest jako „W_i”:

W_F=W_i

Położenie poziomu Fermiego w półprzewodniku samoistnym wyznacza się ze wzoru:

W_i=[(W_C+W_V)/2]-1/2[kT ln(N_C/N_V)]

W_C - energia dna pasma przewodnictwa, W_V - energia wierzchołka pasma walencyjnego,

N_C - efektywna gęstość stanów w pasmie przewodnictwa, N_V - efektywna gęstość stanów w pasmie walencyjnym

lub z zależności:

W_i=[(W_C+W_V)/2]-3/4[kT ln(m_C/m_V)]

m_C - masa efektywna gęstości stanów dla pasma przewodnictwa (m_C = 1.18⋅m₀),

m_V - masa efektywna gęstości stanów dla pasma walencyjnego (m_V = 0.81⋅m₀).

Z powyższych zależności wynika, że w półprzewodniku samoistnym energia (poziom) Fermiego leży prawie dokładnie w środku pasma zabronionego. Niewielkie przesunięcie poziomu Fermiego wynika z różnicy w wartości mas efektywnych.

W przypadku półprzewodnika domieszkowanego następuje „przesunięcie” poziomu Fermiego względem położenia poziomu Fermiego w półprzewodniku samoistnym, przy czym wartość tego przesunięcia w jednostkach energii powiązana jest z koncentracją nośników większościowych następującymi wzorami (zależnościami Boltzmanna):

- w półprzewodniku typu n:

n_n=n_iexp[(W_F-W_i)kT]

W_F-W_i=∆W - poszukiwana wartość przesunięcia poziomu Fermiego,

- w półprzewodniku typu p:

p_p=n_iexp[(W_i-W_F)kT]

W_i-W_F=∆W- poszukiwana wartość przesunięcia poziomu Fermiego.

Z przedstawionych zależności wynika, że w półprzewodniku typu n poziom Fermiego „przesuwa” się w stronę dna pasma przewodnictwa, a w półprzewodniku typu p poziom Fermiego „przesuwa” się w stronę wierzchołka pasma walencyjnego.

Wprowadzając pojęcie potencjału Fermiego:

Ф_F=(W_i-W_F)/q

wzory przedstawione powyżej można przedstawić w postaci:

n_n=n_iexp[-q Ф_F /kT]

p_p=n_iexp[-q Ф_F /kT]

Bor jest pierwiastkiem trójwartościowym, dlatego domieszkowany borem krzem będzie półprzewodnikiem typu p. Koncentrację domieszki akceptorowej wyznaczamy z zależności:

N_A=C/V

N_A- koncentracja [1/m³], C - ilość atomów domieszki, V - objętość półprzewodnika [m³].

Ruchliwość nośników ładunku

Jeżeli obszar półprzewodnika znajduje się pod wpływem pola elektrycznego, wówczas na elektron będzie działała siła równa F = -qE. Z zależności:

-qEτ_zd=m_nv_u

E - wartość natężenia pola elektrycznego,

Τ_zd - średni czas pomiędzy zderzeniami,

M_n - masa efektywna elektronu,

V_u - prędkość unoszenia,

wynika, że elektron będzie poruszał się z prędkością unoszenia:

v_u=-μ_nE, ruchliwość: μ_n=qτ_zd/m_n

Z powyższej zależności wynika, że prędkość unoszenia nośników ładunku jest proporcjonalna do wartości natężenia pola elektrycznego E. Należy pamiętać, że twierdzenie to jest słuszne tylko w ograniczonym zakresie. Podobne rozważania dla dziur prowadzą do zależności:

v_u=μ_pE

Ruchliwość jest ważnym parametrem materiałowym w technologii półprzewodnikowej, toteż opracowano szereg empirycznych zależności pozwalających na wyznaczenie wartości tego parametru w zależności od koncentracji domieszek w półprzewodniku oraz temperatury. Zależność przedstawiona poniżej pozwala na wyznaczenie wartości ruchliwości elektronów i dziur przy koncentracji domieszek zmieniającej się w zakresie od 10¹³[cm^-3] do 10¹⁹[cm^-3]:

μ=μ_min+(μ_max-μ_min)/[1+(N/N_ref)^α]

μ_min - minimalna wartość ruchliwości w danym półprzewodniku,

μ_max - maksymalna wartość ruchliwości w danym półprzewodniku,

N - sumaryczna koncentracja domieszek,

N_ref, α - parametry zależne od domieszki.

Nie mniej istotnym zagadnieniem jest zależność ruchliwości od temperatury. Poniżej podano empiryczne zależności pozwalające na obliczenie wartości ruchliwości w zależności od całkowitej koncentracji domieszek oraz temperatury:

ruchliwość elektronów w krzemie typu n:

μ_n=88T_n^-0.57+[7.4 10⁸T ^-2.33]/[1+[N/(1.26 10¹⁷T_n^2.4)]0.88T_n^-0.146]

ruchliwość dziur w krzemie typu p:

μ_p=54.3T_n^-0.57+[1.36 10⁸T ^-2.33]/[1+[N/(2.35 10¹⁷T_n^2.4)]0.88T_n^-0.146]

T_n= T/300,

T - temperatura półprzewodnika w [K],

N - sumaryczna koncentracja domieszek.

Zależnościami przedstawionymi powyżej można posługiwać się przy koncentracjach nie przekraczających 10²⁰[cm^-3] oraz w zakresie temperatur od 250 ÷ 500 K.

---