1.WSTĘP TEORETYCZNY.
1.1 Cel ćwiczenia :
- stwierdzenie zależności okresu drgań wahadła od momentu bezwładności ,
- doświadczalne potwierdzenie twierdzenia Steinera ,
- wyznaczanie momentu bezwładności ciał względem osi przechodzącej przez środek masy ( tzw. osi środkowej ).
1.2 Wiadomości ogólne.
Rozpatrzmy jako przykład drgań harmonicznych niewielkie wahania wahadła fizycznego pod wpływem siły cięzkości
. Odchylamy wahadło z położenia równowagi o niewielki kąt . Wówczas z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego mamy : (1)
, gdzie :
(2)
- moment siły
powodującej ruch względem osi , przechodzącej przez punkt zawieszenia ,
m - masa wahadła ,
d - odległość środka masy od osi obrotu ,
I - moment bezwładności wahadła względem tej osi .
(3)
- chwilowe przyspieszenie kątowe
Po podstawieniu we wzorze (1) wartości ze wzorów (2) i (3) otrzymujemy :
Rozwiązaniem tego równania różniczkowego jest funkcja : =0( t + 0 )
określająca zależność wychylenia kątowego od czasu t gdzie :
- częstość kołowa ,
0 - amplituda drgań ,
0 - faza początkowa.
(4) Okres drgań harmonicznych
1.2.1 Twierdzenie Steinera.
Po przekształceniu wzoru (4) otrzymujemy wyrażenie na moment bezwładności mierzony względem osi obrotu wahadła :
(5)
W praktyce często przydatna jest znajomość obliczania momentów bezwładności mierzonych względem osi przechodzących przez środki ciężkości tych ciał.
Służy do tego twierdzenie Steinera : różnica momentów bezwładności ciała względem dwu równoległych osi , z których jedna przechodzi przez środek masy , równa jest iloczynowi masy ciała m i kwadratu odległości d między osiami.
Z powyższego twierdzenia wynika następujący wniosek : dla dwu różnych odległości d1 i d2 od osi przechodzącej przez środek masy ciała mamy :
Podstawiając za I1 i I2 wyrażenie (5) otrzymujemy :
Otrymana stała C może służyć jako potwierdzenie twierdzenia Steinera. Stała C pozwala również obliczyć w prosty sposób moment bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez środek masy :
2. ZESTAW PRZYRZĄDÓW :
- tarcza metalowa z symetrycznie naciętymi otworami ,
- podpora w postaci metalowej pryzmy ,
- pierścień metalowy ,
- suwmiarka ,
- stoper ,
- waga.
3. WYNIKI POMIARÓW.
3.1 Tarcza metalowa.
m = ( 1061,5 0,1 ) g ; g = 9,81 m/s2 ; = 3,14
3.1.1 2d = ( 139,6 0,1 ) mm d = ( 69,8 0,1 ) mm
LP. |
T [ s ] |
t [ s ] |
C [ m2 ] |
I0 [ 10-3 kg m2 ] |
1. |
0,694 0,002 |
69,4 0,2 |
||
2. |
0,694 0,002 |
69,4 0,2 |
||
3. |
0,694 0,002 |
69,4 0,2 |
||
< śr. > |
0,694 0,002 |
69,4 0,2 |
0,1346 0,0245 |
3,621 |
3.1.2 2d = ( 90,1 0,1 ) mm d = ( 45,1 0,1 ) mm
LP. |
T [ s ] |
t [ s ] |
C [ m2 ] |
I0 [ 10-3 kg m2 ] |
1. |
0,690 0,005 |
69,0 0,5 |
||
2. |
0,680 0,005 |
68,0 0,5 |
||
3. |
0,684 0,001 |
68,4 0,1 |
||
< śr > |
0,685 0,037 |
68,5 0,4 |
0,1274 0,0227 |
3,427 |
3.1.3 2d = ( 40,5 0,1 ) mm d = ( 20,3 0,1 ) mm
LP. |
T [ s ] |
t [ s ] |
C [ m2 ] |
I0 [ 10-3 kg m2 ] |
1. |
0,778 0,002 |
77,8 0,2 |
||
2. |
0,778 0,002 |
77,8 0,2 |
||
3. |
0,778 0,002 |
77,8 0,2 |
||
< śr. > |
0,778 0,002 |
77,8 0,2 |
0,1043 0,0008 |
2,806 |
3.2 Pierścień metalowy.
m = ( 215,7 0,1 ) g ; 2d = ( 95,0 0,1 ) mmd = ( 47,5 0,1 ) mm
2D = ( 119,5 0,1 ) mm D = ( 56,8 0,1 ) mm
LP.
|
T [ s ] |
t [ s ] |
C [ m2 ] |
I [ * ] |
I01 [ * ] |
I02 [ * ] |
1. |
0,670 0,002 |
67,0 0,2 |
||||
2. |
0,672 0,002 |
67,2 0,2 |
||||
3. |
0,670 0,002 |
67,0 0,2 |
||||
4. |
0,670 0,002 |
67,0 0,2 |
||||
5. |
0,670 0,002 |
67,0 0,2 |
||||
6. |
0,670 0,002 |
67,0 0,2 |
||||
< śr > |
0,670 0,002 |
67,0 0,2 |
0,1202 0,0016 |
1,144 |
0,657 |
0,591 |
[ * ] - 10-3kg m2 ; 01 = 0,9 %
4.PRZYKŁADOWE OBLICZENIA.
Z twierdzenia Steinera :
Ze wzoru tablicowego :
5. UWAGI I WNIOSKI.
Jednym z czynników wpływających na dokładnośc pomiarów i opartych na nich następnie obliczeniach , była bezwładność oka ludzkiego , ponieważ bardzo trudno jest dokładnie określić moment amplitud drgań. Dodatkowo układ pomiarowy narażony był na drgania przenoszone na stół przez podłoże. Staraliśmy się uniknąc poślizgów tarczy i pierścienia oraz odbić od pryzmy , wychylając wahadło o tak mały kąt , przy którym równanie ruchu ( sin ) zachowuje liniowość.Błędy przy pomiarach czasu drgań spowodowane były głównie błędami przyrządu pomiarowego (stopera) . Istotny wpływ na wartości odchyleń miały zaokrąglenia wartości oraz stałej g.
Przy obliczaniu momentu bezwładności pierścienia metalowego można zauważyć , że dokładniejszym wzorem jest wzór tablicowy.
5. UWAGI I WNIOSKI.
5.1 Wahadło należy odchylić o mały kąt , aby funkcja sinus była w przybliżeniu liniowa , a także aby uniknąć poślizgu i odbicia tarczy.
5.2 Przy obliczaniu T i t błędem decydującym o odchyłce jest błąd przyrządu ( stopera ). Jest to wynikiem tego , iż liczono czas stu drgnięć.
5.3 Odchyłki spowodowane są także przybliżonymi wartościami oraz g.
5.4 Duże odchyłki powstały przy pomiarze 2D pierścienia wskutek małych szczęk suwmiarki.