Przykład 11-12

Belka swobodnie podparta o rozpiętości l = 6,0 m, będąca elementem nośnym pomostu roboczego, jest obciążona równomiernie na całej długości obciążeniem stałym g = 0,7 kN/m i użytkowym p = 0,65 kN/m. Belka jest wykonana z ceownika C200 (rys. 11-15) i jest usztywniona na podporach i w połowie rozpiętości w sposób zabezpieczający przeciwko obrotowi przekroju i przemieszczeniu w płaszczyźnie prostopadłej do środnika. Stal S355 o granicy plastyczności materiału wyjściowego f_yb = 355 MPa,
= 0,81. Sprawdzić nośność belki z uwzględnieniem możliwości zwichrzenia.

Dane geometryczne pojedynczego profilu: b = 80 mm, h = 200 mm, c = 25 mm, t = 2,5 mm, r = 4,0 mm,
=
= 1,54 mm.

Rys. 11-15 Przekrój rzeczywisty kształtownika

Określenie sił wewnętrznych

- obciążenie charakterystyczne

1,35 kN/m = 1,35 N/mm

- obciążenie obliczeniowe

kN/m,

- moment zginający w połowie rozpiętości

kNm = 6075
Nmm,

kNm =
Nmm,

- siła poprzeczna na podporze

kN = 5760 N.

Ustalenie przekroju równoważnego o ostrych narożach

mm < 5t = 12,5 mm.

Usztywnione ścianki (stopka górna, stopka dolna)

Zastępcza szerokość wyodrębnionej ścianki płaskiej stopki.

74,4 mm.

Warunek smukłości ścianki

.

Nieusztywniona ścianka zginana (usztywnienie brzegowe)

Sprawdzenie proporcji geometrycznych usztywnienia

.

Zastępcza szerokość wyodrębnionej ścianki płaskiej usztywnienia

22,2 mm.

Usztywniona ścianka zginana (środnik)

Zastępcza szerokość wyodrębnionej ścianki płaskiej środnika

194,4 mm.

Warunek smukłości ścianki

= 500.

Przekrój równoważny składający się ze ścianek płaskich o umownej szerokości b_p zbiegających się w narożach ostrych, rozsuniętych na odległość g_r - 0,5t = 1,54 - 1,25 = 0,29 mm, przedstawiono na rys. 11-16. Zgodnie z normą PN-EN 1993-1-3 przy spełnieniu warunku r = 4 mm < 5t = 12,5 mm przekrój poprzeczny można przyjmować jako składający się z płaskich ścianek zbiegających się w narożach ostrych.

Rys. 11-16 Przekrój idealizowany

Parametry geometryczne przekroju równoważnego o ostrych narożach

= 969,0 mm²,

+

+
= 24220 mm³,

= 25,0 mm,

= 5985000 mm⁴,

= 850000 mm⁴

= 78,6 mm,

= 29,6 mm,

59850 mm³.

Określenie przekroju zastępczego przy sprawdzaniu stanu granicznego nośności

Ścianka usztywniona ściskana osiowo (pas górny)

142,6 MPa <
MPa,

Przy stosunku naprężeń brzegowych
współczynnik utraty stateczności miejscowej
.

Smukłość względna ścianki

=
= 0,64,

= 0,406<
= 0,673,

.

Szerokość współpracująca ścianki

= 74,4 mm.

Ścianka usztywniona, zginana (środnik)

140,3 MPa <
MPa,

-140,3 MPa,

, (naprężenia o różnym znaku),

.

Smukłość względna ścianki środnika

=
= 0,69,

= 0,43 <
= 0,673,

.

Szerokość współpracująca ścianki

= 97,2 mm.

Usztywnienie brzegowe

0,3 < 0,35, stąd
.

= 61570 mm³,

= 79800 mm³,

140,3 MPa <
MPa,

Smukłość względna ścianki usztywnienia

=
= 0,54,

=
= 0,34 < 0,748, stąd
.

Szerokość współpracująca ścianki

= 22,2 mm.

Ocena skuteczności usztywnienia brzegowego. Stosuje się procedurę uproszczoną wg rozdz. 5.3.2.3.

Pole przekroju zastępczego usztywnienia brzegowego składa się pola przekroju pojedynczego zagięcia oraz połowy pola przekroju współpracującego pasa.

Rys. 11-17 Przekrój zastępczy usztywnienia brzegowego

= 148,5 mm²,

887 mm³,

= 6,0 mm,

= 7881 mm⁴,

2060 mm³,

= 13,9 mm,

Sztywność translacyjna pasa

= 60,5 mm,

,

=1,254 N/mm²,

Naprężenia krytyczne przy wyboczeniu sprężystym

= 613,6 MPa,

Współczynnik redukcyjny ze względu na wyboczenie dystorsyjne

0,761.

Ponieważ
stąd
0,92.

Zredukowane pole przekroju usztywnienia ze względu na wyboczenie dystorsyjne przy naprężeniach σ_com,Ed = f_yb/γ_M0.

=
= 136,6 mm².

Zredukowana grubość ścianek przekroju współpracującego usztywnienia

= 2,3 mm.

Przekrój zastępczy kształtownika ze zredukowana grubością usztywnienia przedstawiono na rys. 11-18.

Rys. 11-18 Przekrój zastępczy

Parametry geometryczne przekroju zastępczego ze zredukowaną grubością usztywnienia

= 957 mm²,

+

= 96828 mm³

= 101,2 mm,

= 23432 mm³ ,

= 24,5 mm,

=

= 5876360 mm⁴,

149631,2

109298,5

11624,3

26296,7

130426,9

= 427277,6 mm⁴,

58763,6 mm³.

Nośność przekroju przy zginaniu w płaszczyźnie obciążenia

Nmm = 20,9 kNm.

Określenie współczynnika zwichrzenia

Moment bezwładności stopki bez usztywnienia względem osi y-y.

=
= 1757300 mm⁴.

Moment bezwładności usztywnienia względem linii środkowej stopki

=
= 8390 mm⁴ .

Moment bezwładności środnika względem osi głównej x-x

=
= 1530600 mm².

Rzędne środka ścinania

=
=

= -34,5 mm.

Wycinkowy moment bezwładności przekroju o ostrych narożach

=

=
+

=
mm⁶,

Momenty bezwładności przy swobodnym skręcaniu (wzór 4-46)

=
= 2019 mm⁴.

Współczynnik zwichrzenia określono ze wzoru uproszczonego (8-27), w którym uwzględnia się współczynnik równoważnego momentu C_b według (8-31) oraz długość przy zwichrzeniu
m. Współczynnik równoważnego momentu zależny jest od kształtu wykresu momentu zginającego. Współczynniki momentów w 1/4, 1/2 i 3/4 rozpiętości
miedzy usztywnieniami poprzecznymi

;
;
,

Nmm =

= 40,6 kNm.

Współczynnik zwichrzenia

,

=
= 1,08,

=
= 0,56.

Współczynnik zwichrzenia można również obliczać przyjmując wyboczenie stopki górnej (ściskanej) na odcinku
m, tak jak w przypadku dolnej stopki swobodnej płatwi współpracującej z poszyciem (ściskanej przy występowaniu ssania wiatru).

Parametry geometryczne stopki ściskanej (rys. 11-19).

Rys. 11-19 Przekrój stopki ściskanej

= 229,6 mm²,

= 7302 mm³,

= 31,8 mm,

47989,4

19498,4

71387,9

= 138875 mm⁴,

=24,6 mm.

Współczynnik wyboczeniowy określono w przypadku naprężeń zmiennych parabolicznie na długości ściskanej stopki belki
= 0,8.

Smukłość wyboczenia giętnego (krzywa wyboczeniowa b -
= 0,34):

97,6,

= 76,4,
1,28.

Współczynnik zwichrzenia

=
= 1,5,

=
= 0,42.

Sprawdzenie nośności

- przy uwzględnieniu współczynnika zwichrzenia

< 1,

- przy uwzględnieniu współczynnika wyboczenia stopki ściskanej

< 1.

Sprawdzenie ugięcia

Określenie przekroju zastępczego przy sprawdzaniu stanu granicznego użytkowalności

Ścianka usztywniona ściskana osiowo (pas górny)

96,5 MPa <
MPa,

Przy stosunku naprężeń brzegowych
współczynnik utraty stateczności miejscowej
.

Smukłość względna ścianki

=
= 0,65,

= 0,34<
= 0,673,

.

Szerokość współpracująca ścianki

= 74,4 mm.

Ścianka usztywniona, zginana (środnik)

95,0 MPa,

-95,0 MPa,

, (naprężenia o różnym znaku),

.

Smukłość względna ścianki środnika

=
= 0,70,

= 0,36<
= 0,874,

.

Szerokość współpracująca ścianki

= 97,2 mm.

Usztywnienie brzegowe

= 61570 mm³,

= 79800 mm³,

95,0 MPa <
MPa,

73,3 MPa,

,

= 0,52.

Smukłość względna ścianki usztywnienia

=
= 0,53,

=
= 0,274 < 0,748, stąd
.

Szerokość współpracująca ścianki

= 22,2 mm.

Ocena skuteczności usztywnienia w stanie granicznym użytkowalności. Stosuje się procedurę uproszczoną wg rozdz. 6.3.2.

W stanach granicznych użytkowalności do oceny skuteczności usztywnienia przyjęto wartość
MPa. Do obliczeń przyjęto pole przekroju zastępczego usztywnienia brzegowego z grubością rzeczywistą ścianki t, (a nie grubością zredukowaną). Moment bezwładności przekroju
mm⁴.

Maksymalne przemieszczenie δ

mm <
mm.

Nośność przekroju podporowego na ścinanie

=
= 1,1.

Ponieważ
stąd
MPa,

200 - 2,5 = 197,5 mm,

=
= 63743 N = 63,7 kN,

V_d = 5,73 kN < V_R = 63,7 kN.

Nośność obliczeniowa środnika na obciążenie lokalne

Warunki geometryczne

,
,
.

Określenie wartości współczynnika k

= 0,816,

= 0,91 < 1,

= 1,0,

=

=
= 10,8,

gdzie: s_s = 220 mm - szerokość oparcia.

Nośność obliczeniowa środnika obciążonego reakcją podporową

= 21782,2 N = 21,8 kN.

Sprawdzenie nośności

V_d = 5,73 kN <
= 21,8 kN.

294