Przykład 11-12
Belka swobodnie podparta o rozpiętości l = 6,0 m, będąca elementem nośnym pomostu roboczego, jest obciążona równomiernie na całej długości obciążeniem stałym g = 0,7 kN/m i użytkowym p = 0,65 kN/m. Belka jest wykonana z ceownika C200 (rys. 11-15) i jest usztywniona na podporach i w połowie rozpiętości w sposób zabezpieczający przeciwko obrotowi przekroju i przemieszczeniu w płaszczyźnie prostopadłej do środnika. Stal S355 o granicy plastyczności materiału wyjściowego fyb = 355 MPa,
= 0,81. Sprawdzić nośność belki z uwzględnieniem możliwości zwichrzenia.
Dane geometryczne pojedynczego profilu: b = 80 mm, h = 200 mm, c = 25 mm, t = 2,5 mm, r = 4,0 mm,
=
= 1,54 mm.
Rys. 11-15 Przekrój rzeczywisty kształtownika
Określenie sił wewnętrznych
- obciążenie charakterystyczne
1,35 kN/m = 1,35 N/mm
- obciążenie obliczeniowe
kN/m,
- moment zginający w połowie rozpiętości
kNm = 6075
Nmm,
kNm =
Nmm,
- siła poprzeczna na podporze
kN = 5760 N.
Ustalenie przekroju równoważnego o ostrych narożach
mm < 5t = 12,5 mm.
Usztywnione ścianki (stopka górna, stopka dolna)
Zastępcza szerokość wyodrębnionej ścianki płaskiej stopki.
74,4 mm.
Warunek smukłości ścianki
.
Nieusztywniona ścianka zginana (usztywnienie brzegowe)
Sprawdzenie proporcji geometrycznych usztywnienia
.
Zastępcza szerokość wyodrębnionej ścianki płaskiej usztywnienia
22,2 mm.
Usztywniona ścianka zginana (środnik)
Zastępcza szerokość wyodrębnionej ścianki płaskiej środnika
194,4 mm.
Warunek smukłości ścianki
= 500.
Przekrój równoważny składający się ze ścianek płaskich o umownej szerokości bp zbiegających się w narożach ostrych, rozsuniętych na odległość gr - 0,5t = 1,54 - 1,25 = 0,29 mm, przedstawiono na rys. 11-16. Zgodnie z normą PN-EN 1993-1-3 przy spełnieniu warunku r = 4 mm < 5t = 12,5 mm przekrój poprzeczny można przyjmować jako składający się z płaskich ścianek zbiegających się w narożach ostrych.
Rys. 11-16 Przekrój idealizowany
Parametry geometryczne przekroju równoważnego o ostrych narożach
= 969,0 mm2,
+
+
= 24220 mm3,
= 25,0 mm,
= 5985000 mm4,
= 850000 mm4
= 78,6 mm,
= 29,6 mm,
59850 mm3.
Określenie przekroju zastępczego przy sprawdzaniu stanu granicznego nośności
Ścianka usztywniona ściskana osiowo (pas górny)
142,6 MPa <
MPa,
Przy stosunku naprężeń brzegowych
współczynnik utraty stateczności miejscowej
.
Smukłość względna ścianki
=
= 0,64,
= 0,406<
= 0,673,
.
Szerokość współpracująca ścianki
= 74,4 mm.
Ścianka usztywniona, zginana (środnik)
140,3 MPa <
MPa,
-140,3 MPa,
, (naprężenia o różnym znaku),
.
Smukłość względna ścianki środnika
=
= 0,69,
= 0,43 <
= 0,673,
.
Szerokość współpracująca ścianki
= 97,2 mm.
Usztywnienie brzegowe
0,3 < 0,35, stąd
.
= 61570 mm3,
= 79800 mm3,
140,3 MPa <
MPa,
Smukłość względna ścianki usztywnienia
=
= 0,54,
=
= 0,34 < 0,748, stąd
.
Szerokość współpracująca ścianki
= 22,2 mm.
Ocena skuteczności usztywnienia brzegowego. Stosuje się procedurę uproszczoną wg rozdz. 5.3.2.3.
Pole przekroju zastępczego usztywnienia brzegowego składa się pola przekroju pojedynczego zagięcia oraz połowy pola przekroju współpracującego pasa.
Rys. 11-17 Przekrój zastępczy usztywnienia brzegowego
= 148,5 mm2,
887 mm3,
= 6,0 mm,
= 7881 mm4,
2060 mm3,
= 13,9 mm,
Sztywność translacyjna pasa
= 60,5 mm,
,
=1,254 N/mm2,
Naprężenia krytyczne przy wyboczeniu sprężystym
= 613,6 MPa,
Współczynnik redukcyjny ze względu na wyboczenie dystorsyjne
0,761.
Ponieważ
stąd
0,92.
Zredukowane pole przekroju usztywnienia ze względu na wyboczenie dystorsyjne przy naprężeniach σcom,Ed = fyb/γM0.
=
= 136,6 mm2.
Zredukowana grubość ścianek przekroju współpracującego usztywnienia
= 2,3 mm.
Przekrój zastępczy kształtownika ze zredukowana grubością usztywnienia przedstawiono na rys. 11-18.
Rys. 11-18 Przekrój zastępczy
Parametry geometryczne przekroju zastępczego ze zredukowaną grubością usztywnienia
= 957 mm2,
+
= 96828 mm3
= 101,2 mm,
= 23432 mm3 ,
= 24,5 mm,
=
= 5876360 mm4,
149631,2
109298,5
11624,3
26296,7
130426,9
= 427277,6 mm4,
58763,6 mm3.
Nośność przekroju przy zginaniu w płaszczyźnie obciążenia
Nmm = 20,9 kNm.
Określenie współczynnika zwichrzenia
Moment bezwładności stopki bez usztywnienia względem osi y-y.
=
= 1757300 mm4.
Moment bezwładności usztywnienia względem linii środkowej stopki
=
= 8390 mm4 .
Moment bezwładności środnika względem osi głównej x-x
=
= 1530600 mm2.
Rzędne środka ścinania
=
=
= -34,5 mm.
Wycinkowy moment bezwładności przekroju o ostrych narożach
=
=
+
=
mm6,
Momenty bezwładności przy swobodnym skręcaniu (wzór 4-46)
=
= 2019 mm4.
Współczynnik zwichrzenia określono ze wzoru uproszczonego (8-27), w którym uwzględnia się współczynnik równoważnego momentu Cb według (8-31) oraz długość przy zwichrzeniu
m. Współczynnik równoważnego momentu zależny jest od kształtu wykresu momentu zginającego. Współczynniki momentów w 1/4, 1/2 i 3/4 rozpiętości
miedzy usztywnieniami poprzecznymi
;
;
,
Nmm =
= 40,6 kNm.
Współczynnik zwichrzenia
,
=
= 1,08,
=
= 0,56.
Współczynnik zwichrzenia można również obliczać przyjmując wyboczenie stopki górnej (ściskanej) na odcinku
m, tak jak w przypadku dolnej stopki swobodnej płatwi współpracującej z poszyciem (ściskanej przy występowaniu ssania wiatru).
Parametry geometryczne stopki ściskanej (rys. 11-19).
Rys. 11-19 Przekrój stopki ściskanej
= 229,6 mm2,
= 7302 mm3,
= 31,8 mm,
47989,4
19498,4
71387,9
= 138875 mm4,
=24,6 mm.
Współczynnik wyboczeniowy określono w przypadku naprężeń zmiennych parabolicznie na długości ściskanej stopki belki
= 0,8.
Smukłość wyboczenia giętnego (krzywa wyboczeniowa b -
= 0,34):
97,6,
= 76,4,
1,28.
Współczynnik zwichrzenia
=
= 1,5,
=
= 0,42.
Sprawdzenie nośności
- przy uwzględnieniu współczynnika zwichrzenia
< 1,
- przy uwzględnieniu współczynnika wyboczenia stopki ściskanej
< 1.
Sprawdzenie ugięcia
Określenie przekroju zastępczego przy sprawdzaniu stanu granicznego użytkowalności
Ścianka usztywniona ściskana osiowo (pas górny)
96,5 MPa <
MPa,
Przy stosunku naprężeń brzegowych
współczynnik utraty stateczności miejscowej
.
Smukłość względna ścianki
=
= 0,65,
= 0,34<
= 0,673,
.
Szerokość współpracująca ścianki
= 74,4 mm.
Ścianka usztywniona, zginana (środnik)
95,0 MPa,
-95,0 MPa,
, (naprężenia o różnym znaku),
.
Smukłość względna ścianki środnika
=
= 0,70,
= 0,36<
= 0,874,
.
Szerokość współpracująca ścianki
= 97,2 mm.
Usztywnienie brzegowe
= 61570 mm3,
= 79800 mm3,
95,0 MPa <
MPa,
73,3 MPa,
,
= 0,52.
Smukłość względna ścianki usztywnienia
=
= 0,53,
=
= 0,274 < 0,748, stąd
.
Szerokość współpracująca ścianki
= 22,2 mm.
Ocena skuteczności usztywnienia w stanie granicznym użytkowalności. Stosuje się procedurę uproszczoną wg rozdz. 6.3.2.
W stanach granicznych użytkowalności do oceny skuteczności usztywnienia przyjęto wartość
MPa. Do obliczeń przyjęto pole przekroju zastępczego usztywnienia brzegowego z grubością rzeczywistą ścianki t, (a nie grubością zredukowaną). Moment bezwładności przekroju
mm4.
Maksymalne przemieszczenie δ
mm <
mm.
Nośność przekroju podporowego na ścinanie
=
= 1,1.
Ponieważ
stąd
MPa,
200 - 2,5 = 197,5 mm,
=
= 63743 N = 63,7 kN,
Vd = 5,73 kN < VR = 63,7 kN.
Nośność obliczeniowa środnika na obciążenie lokalne
Warunki geometryczne
,
,
.
Określenie wartości współczynnika k
= 0,816,
= 0,91 < 1,
= 1,0,
=
=
= 10,8,
gdzie: ss = 220 mm - szerokość oparcia.
Nośność obliczeniowa środnika obciążonego reakcją podporową
= 21782,2 N = 21,8 kN.
Sprawdzenie nośności
Vd = 5,73 kN <
= 21,8 kN.
294