ÿþW e r y f i k a c j a z a Bo |e D m o d e l u K M N K
Z a Bo |e n i a k l a s y c z n e j r e g r e s j i l i n i o w e j :
1 . P r a w d z i w e p o w i z a n i e z m i e n n e j o b j a [n i a n e j Y z e z m i e n n y m i o b j a [n i a j c y m i X r e p r e z e n t u j e s t a b i l n y h i p o t e t y c z n y
m o d e l l i n i o w y : y t = ²1 x t 1 + ²2 x t 2 + & + ²K x t K ,
w z a p i s i e m a c i e r z o w y m Y = X ².
².
².
².
2 . Z a o b s e r w o w a n a w a r t o [ z m i e n n e j o b j a [n i a n e j Y w m o m e n c i e t t o w a r t o [ z m o d e l u h i p o t e t y c z n e g o z a k Bó c o n a
d z i a Ba n i e m s k Ba d n i k a l o s o w e g o , t z n . Y t z m i e n n a l o s o w a
Y t = ( ²1 x t 1 + ²2 x t 2 + & + ²K x t K ) + µt ,
w z a p i s i e m a c i e r z o w y m Y = X ² µ.
² + µ
² µ
² µ
3 . Z m i e n n e o b j a [n i a j c e X 1 , . . . , X K s n i e l o s o w e , z n a n e .
4 . O c e n y p a r a m e t r ó w m o d e l u ( z p u n k t u 1 ) w y z n a c z a n e s z k l a s y c z n e j m n k : b = ( X X ) - 1 X y
5 . P r z y z a Bo |e n i u , |e z m i e n n a o b j a [n i a n a Y j e s t z m i e n n l o s o w e s t y m a t o r w e k t o r a p a r a m e t r ó w ² ( z p u n k t u 2 ) j e s t t e |
²
²
²
z m i e n n l o s o w : b
b = ( X X ) - 1 X Y .
b
b
6 . P o z o s t a Be z a Bo |e n i a d o t y c z s k Ba d n i k a l o s o w e g o µ, t z n .
µ
µ
µ
" w a r t o [ o c z e k i w a n a s k Ba d n i k a l o s o w e g o j e s t r ó w n a z e r o , t j . E ( µ
µ) = 0 ,
µ
µ
" w s z y s t k i e s k Ba d n i k i l o s o w e m a j t s a m w a r i a n c j r ó w n Ã2 i s w z a j e m n i e n i e s k o r e l o w a n e , t j . v a r ( µ) =
µ
µ
µ
E ( µµ2
µµ2 ) = Ã2 I , g d z i e I m a c i e r z j e d n o s t k o w a o r a z Ã1 2 = Ã2 2 = & = ÃT 2 = Ã2 ,
µµ2
µµ2
( o z n a c z a , |e d y s p e r s j a Bc z n e g o w p By w u z m i e n n y c h n i e u j t y c h w m o d e l u n i e z m i e n i a s i w c z a s i e ) ,
" s k Ba d n i k l o s o w y m a r o z k Ba d n o r m a l n y , t z n . µ <" N ( 0 , Ã) .
µ
µ
µ
Z p o w y |s z e g o w y n i k a , |e :
- ) w a r t o [ o c z e k i w a n a l o s o w e j z m i e n n e j o b j a [n i a n e j E ( Y ) = X ²
² ,
²
²
- ) k o w a r i a n c j e s k Ba d n i k ó w l o s o w y c h w r ó |n y c h o b s e r w a c j a c h s z e r o w e , t z n . c o v ( µs , µr ) = 0 d l a s `" r ,
- ) E ( X 2 µ) = 0 , c o o z n a c z a , |e z m i e n n e o b j a [n i a j c e s n i e s s k o r e l o w a n e z e s k Ba d n i k i e m l o s o w y m i n i e l o s o w e .
- ) d o d a t n i e i u j e m n e w a h a n i a l o s o w e s i z n o s z ,
- ) l i c z b a d o d a t n i c h o d c h y l e D z b l i |o n a j e s t d o l i c z b y o d c h y l e D u j e m n y c h ,
- ) w g r a n i c a c h ± t r z e c h o d c h y l e D s t a n d a r d o w y c h p o w i n n o z n a l e z s i p o n a d 9 9 , 7 % w s z y s t k i c h o d c h y l e D l o s o w y c h .
W e r y f i k a c j a w y b r a n y c h z a Bo |e D K M N K :
1 . A u t o k o r e l a c j a s k Ba d n i k a l o s o w e g o
A u t o k o r e l a c j s k Ba d n i k a l o s o w e g o r z d u I m o |n a z a p i s a µt = Áµt - 1 + ¾t , g d z i e ¾t <" N ( 0 , Ã) .
T e s t D u r b i n a - W a t s o n a
H 0 : Á = 0 w o b e c h i p o t e z y a l t e r n a t y w n e j H 1 : Á > 0 . S p r a w d z i a n e m j e s t s t a t y s t y k a :
n
- e t - 1 ) 2
"( e t
t = 2
D W =
n
2
"e t
t = 1
Z t a b l i c r o z k Ba d u s t a t y s t y k i D u r b i n a W a t s o n a o d c z y t u j e m y w a r t o [c i d ( ±, T , K ) o r a z g ( ±, T , K ) , s t o w a r t o [c i :
_
o d p o w i e d n i o d o l n a o r a z g ó r n a w a r t o [ k r y t y c z n a :
1 . j e |e l i D W < d , h i p o t e z H 0 o d r z u c a m y n a r z e c z h i p o t e z y a l t e r n a t y w n e j H 1 , o z n a c z a t o a u t o k o r e l a c j
s k Ba d n i k a l o s o w e g o ,
2 . j e |e l i D W > q , n i e m a m y p o d s t a w d o o d r z u c e n i a h i p o t e z y H 0 , o z n a c z a t o b r a k i s t o t n e j a u t o k o r e l a c j i
s k Ba d n i k a l o s o w e g o ,
3 . j e |e l i d d" D W d" g , n i e m a m y p o d s t a w d o p r z y j c i a b d z o d r z u c e n i a |a d n e j z d w u h i p o t e z , j e s t t o t z w .
o b s z a r n i e o k r e [l o n o [c i t e s t u D u r b i n a W a t s o n a .
D l a w s p ó Bc z y n n i k a k o r e l a c j i z p r z e d z i a Bu [ - 1 , 0 ) l i c z y m y D W = 4 D W i w y k o r z y s t u j e m y t a b l i c e j a k b y t o b y Ba
k o r e l a c j a d o d a t n i a .
1
T e s t B r e u s c h a - G o d f r e y a d o t e s t o w a n i a a u t o k o r e l a c j i w y |s z e g o r z d u .
N a p o d s t a w i e r e s z t z m o d e l u b u d u j e m y m o d e l t e s t o w y :
K m
e t = a 0 + X + e t - s + µt
"a i i t "Ás
i = 1 s = 1
H 0 : b r a k a u t o k o r e l a c j i : Á1 = & = Ám = 0 ; H 1 : i s t o t n a a u t o k o r e l a c j a r z d u m .
S t a t y s t y k a t e s t o w a ( m n o |n i k a L a g r a n g e a ) L M = T R 2 m a r o z k Ba d Ç2 z m s t o p n i a m i s w o b o d y l u b l e p s z a
T - Q 1 R 2
S t a t y s t y k a L M F = Å" ( Q 1 = K + m + 1 ) m a r o z k Ba d F d l a m i T - Q 1 s t o p n i s w o b o d y .
m 1 - R 2
2 . H o m o s k e d a s t y c z n o [ s k Ba d n i k a l o s o w e g o
T e s t o w a n i e r ó w n o [c i w a r i a n c j i w p o d p r ó b a c h m o |n a p o p r o w a d z i w o p a r c i u o t e s t G o l d f e l d a Q u a n t a :
H 0 : Ãa 2 = Ãb 2 = Ã2 w o b e c H 1 : Ãa 2 `" Ãb 2
W n i o s k o w a n i e o p i e r a s i n a p o r ó w n a n i u S K R d w ó c h f u n k c j i r e g r e s j i o s z a c o w a n y c h K M N K i p r z e b i e g a n a s t p u j c o :
a ) Z b i ó r o b s e r w a c j i d z i e l i m y n a 2 c z [c i o l i c z e b n o [c i L ( j e [l i T j e s t n i e p a r z y s t e u s u w a m y [r o d k o w
o b s e r w a c j , u p o r z d k o w a n e w z g l d e m c z a s u l u b w y b r a n e j z m i e n n e j ) .
b ) S z a c u j e m y p a r a m e t r y f u n k c j i r e g r e s j i w p o d p r ó b a c h i w y z n a c z a m y S K R a i S K R b ,
c ) W a r t o [ e m p i r y c z n a s t a t y s t y k i F :
S K R a
, j e [l i S K R a > S K R b .
F =
S K R b
m a g r a n i c z n y r o z k Ba d F i s h e r a S n e d e c k o r a . W a r t o [ k r y t y c z n o d c z y t u j e m y d l a o k r e [l o n e g o p o z i o m u
i s t o t n o [c i ± o r a z Q s t o p n i s w o b o d y l i c z n i k a i Q s t o p n i s w o b o d y m i a n o w n i k a ( Q = ½ * T - K - 1 ) = L - K - 1 .
d ) J e [l i F e" F ( ±; Q ; Q ) , t o H 0 o d r z u c a m y n a k o r z y [ h i p o t e z y a l t e r n a t y w n e j ( s k Ba d n i k i l o s o w e m a j r ó |n e
w a r i a n c j e ) .
T e s t W h i t e a z a k Ba d a s p r a w d z e n i e i s t o t n o [c i r e g r e s j i w y z n a c z o n e j d l a k w a d r a t ó w r e s z t z z e s t a w e m z m i e n n y c h m o d e l u i i c h
k w a d r a t a m i . J e |e l i :
Y t = ²0 + ²1 X t 1 + & ²2 X 2 + µt ,
a Ãt 2 = ±0 + ±1 X t 1 + ±2 X t 2 + ±3 X t 1 2 + ±4 X t 2 2 + ±5 X 1 t X 2 t ,
t o d l a h i p o t e z y H 0 : ±1 = ±2 = ±3 = ±4 = ±5 = 0 , w a r t o [ s t a t y s t y k i T R 2 m a r o z k Ba d Ç2 d l a k s t o p n i s w o b o d y . T R 2 > Ç2 ( k )
n a k a z u j e o d r z u c i h i p o t e z H 0 i p r z y j , |e s k Ba d n i k l o s o w y j e s t h e t e r o s k e d a s t y c z n y .
3 . N o r m a l n o [ r o z k Ba d u s k Ba d n i k a l o s o w e g o
T e s t J a r q u e - B e r a w y k o r z y s t u j e w Ba s n o [c i r o z k Ba d u n o r m a l n e g o : s y m e t r y c z n o [, s k o [n o [ ( w = 0 t r z e c i m o m e n t
c e n t r a l n y ) i k u r t o z , b d c m i a r k o n c e n t r a c j i w o k ó B [r e d n i e j ( k = 3 - c z w a r t y m o m e n t c e n t r a l n y ) .
H 0 : µ~ N ( 0 , Ã) ; r o z k Ba d s k Ba d n i k a l o s o w e g o m o d e l u j e s t r o z k Ba d e m n o r m a l n y m ,
H 1 : ¬ µ~ N ( 0 , Ã) ; s k Ba d n i k l o s o w y m o d e l u m a r o z k Ba d r ó |n y o d n o r m a l n e g o .
S p r a w d z i a n e m t e s t u j e s t s t a t y s t y k a
2
îø - 3 ) 2 ùø
S ( K
J B = n ïø +
úø
6 2 4
ðø ûø
g d z i e :
µ 3
S =
3 /
t o w s p ó Bc z y n n i k s k o [n o [c i ,
µ 2 2
( e t - e ) k
"
µ 4
µ k =
K =
n
2
µ 2 t o w s p ó Bc z y n n i k k u r t o z y .
P r z y z a Bo |e n i u p r a w d z i w o [c i H 0 s t a t y s t y k a J B m a r o z k Ba d Ç2 z d w o m a s t o p n i a m i s w o b o d y . O b s z a r o d r z u c e n i a h i p o t e z y
z e r o w e j j e s t p r a w o s t r o n n y .
2