Ciągi funkcyjne
Niech X – zbiór,
 Y , d  – przestrzeń metryczna.
∀ n∈ℕ f : X Y ,
oraz niech
n
 f n∈ℕ.
czyli określony jest ciąg funkcyjny 
n
Niech f : X Y.
Definicja
 f n∈ℕ zmierza punktowo do funkcji na zbiorze X ,
Mówimy, że ciąg funkcyjny f
n
 f  xn∈ℕ zmierza do f  x
jeśli dla każdego x ∈ X ciąg w przestrzeni Y
n
z metryką d, tzn.
 X
f  f :⇔ ∀ x∈ X lim d  f  x , f  x=0 ⇔
n n
n ∞
⇔ ∀ x∈ X ∀ 0 ∃n0 ∈ℕ ∀ nn0 d  f  x , f  x
n
Funkcję f nazywamy funkcją graniczną.
Definicja
 f n∈ℕ zmierza jednostajnie do na zbiorze , gdy:
Ciąg f X
n
X
f
f :⇔ ∀ 0 ∃n0 ∈ℕ ∀ nn0 ∀ x∈ X d  f  x , f  x
n
n
Niech
 X ,Y – przestrzenie metryczne,
f : X Y ,
n
f : X Y .
Definicja
 f n∈ℕ zmierza niemal jednostajnie do funkcji f na zbiorze X, gdy:
Ciąg
n
E
Comp X
f
f :⇔ ∀ E ∈Comp X f
f
n
n
Uwaga
 f n∈ℕ - zbieżny jednostajnie ⇒  f n∈ℕ - zbieżny niemal jednostajnie
⇒  f n∈ℕ -
n n n
zbieżny punktowo.
- 1 -
Przykład
Niech X =[0;1]
oraz niech f  x=xn dla n∈ℕ.
n
y f(x)=x
1.2
y
f(x)=x^2
f(x)=x^3
1
f(x)=x^4
f(x)=x^5
f(x)=0.15
0.8
f(x)=-0.15
Series 1
0.6
f
1
f
2
f
3
1 f
0.4
f
5
f
2
f
f f 5
f3 4
4
0.2
ε

x
x
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8
11 1.2
-ε
-
-
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
Ponieważ
-1
0 dla x∈[ 0,1)
lim xn=
n ∞ {
1 dla x=1
-1.2
 f n∈ℕ jest zbieżny punktowo. Natomiast nie jest zbieżny jednostajnie, bo dla
więc ciąg
n
x∈[ 0,1) f
wykres żadnej z funkcji nie znajduje się w całości w pasie 
n
[ 0,1)×-,.
 f n∈ℕ.
Zbadajmy teraz w X =[ 0,1) zbieżność niemal jednostajną ciągu funkcyjnego 
n
Niech E ∈ Comp X . Stąd na podstawie twierdzenia charakteryzującego zbiory zwarte w
przestrzeni standardowej, zbiór E jest domknięty i ograniczony, tzn. 
E=[a ; b], gdzie 0≤a≤b1 .
Ponieważ oraz zatem z twierdzenia o 3 ciągach wynika, że
0≤d  xn,0≤bn1 lim bn=0
n  ∞
E
f
a stąd wynika, że f .
lim d  xn, 0=0, 
n
n ∞
 f n∈ℕ jest zbieżny niemal jednostajnie w 
Zatem X =[ 0,1).
n
- 2 -
y f(x)=x
y
f(x)=x^2
1.5
f(x)=x^3
f(x)=x^4
f(x)=x^5
Series 1
Series 2
1
0.5
a b

x
-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
E
b
a
x
-
-0.5
Twierdzenie (o ciągłości funkcji granicznej)
∀ n∈ℕ f ∈C  X 
n
⇒ f ∈C  X 
X
}
f f
n
Wniosek
Jeśli funkcja graniczna ciągu funkcyjnego funkcji ciągłych nie jest ciągła, to ciąg nie jest
zbieżny jednostajnie.
- 3 -
Przykład c.d.
0 dla x∈[0;1 ,
Jeżeli f  x=xn, X =[0;1], to f  x=
n
{
1 dla x=1,
f ∈C  X 
a wtedy i f ∉C  X 
n
zatem
X
X
f
f .
n
Twierdzenie
 f n∈ℕ⊂B ( X ,Y ), gdzie B ( X ,Y )={ f | f : X Y , f -funkcja graniczna }.
Niech
n
Wtedy
X
f ⇔ lim dsup f , f =0
f n
n
n  ∞
Przykład
2
f :ℝ ℝ
Zbadać zbieżność jednostajną ciągu , gdzie f  x=nxe-nx
n
n
Dp Dj
oraz określić obszary zbieżności punktowej i jednostajnej .
x∈ℝ.
I. Aby zbadać zbieżność punktową, wybierzmy
Wtedy
2
0 , gdy x=0,
lim f  x=lim nxe-nx =
n
{
n ∞ n ∞
0 , gdy x≠0,
bo dla x≠0 mamy:
nx H x 1 
∞
lim = =lim =lim =0.
2 [ ] 2 2
∞
n ∞ n  ∞
enx x2enx n ∞ xenx
Zatem
∀ x∈ℝ lim f  x=0 ⇒ f ≡0 ⇒ Dp=ℝ.
 n
n  ∞
f
II. Sprawdzamy, czy f .
n
f ∈C
n
f -x=- f  x, tzn. f jest funkcją nieparzystą
n n
⇒ f ∈Bℝ ,ℝ
n
nx H n
}
lim f  x=lim =lim =0
2 2
n
x  ∞ x  ∞ x  ∞
enx 2 nxenx
Dla dowolnego n∈ℕ mamy
dsup f , f =sup∣ f  x- f  x∣=sup∣ f  x∣= sup f  x
n n n n
x∈ℝ x∈ℝ x∈[0 ;∞ )
- 4 -
f ,
Aby wyznaczyć kres górny wartości funkcji zbadajmy jej ekstrema lokalne.
n
Ponieważ
2 2 2
f '  x=ne-nx -2 n2 x2e-nx =n1-2 nx2e-nx =0
n
1-2 nx2 =0 
1 
x=±
2 n

min max
min max
x
x
1
1
11
-
-
2 n
2 n

 22nn

zatem
1 n
  f max= f = .
n n
 
2 n 2 e
 
Stąd
n n
 sup∣ f  x∣=max{ f max, lim f  x}=max , 0 = ,
n n n
{ }
2e 2e
x∈ℝ x ∞  
więc
n
f f
lim dsup f , f =lim =∞≠0 ⇒
n
n
2e
n ∞ n ∞ 
Wykażemy, że
Dj=(-∞ ; a ]∪[ b ;∞), gdzie a0b.
- 5 -
y f(x)=x e^(-x^2)
y
y
f(x)=2x e^(-2x^2)
f(x)=3x e^(-3x^2)
2
1.5
1
f
3
f
f3
1
f2
0.5
f
f12
f 2
f
3
xx
x
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
-0.5
-1
-1.5
-2
Ponieważ
∃nb: ∀ nnb 1 b
1 2 n

∞ 0 ⇒
n 
 {
2 n
 1 
∃na : ∀ nna - a
2 n

n>max{na , nb}
Niech .
Wtedy
2 2
dsup f , f =max{ f b ,| f a|, 0 }=max{nbe-nb ,-nae-na }.
n n n
Stąd
lim dsup f , f =0.
n
n ∞
Zatem
Dj=(-∞ ; a ]∪[ b ;∞), gdzie a0b.
Twierdzenie (o przejściu do granicy przy różniczkowaniu ciągu funkcyjnego)
Niech przedział I ⊂ℝ
f : I ℝ , n∈ℕ
n
⇒ lim f '  x= f  x
f ∈D I  ∀ n∈ℕ
n n
n
[lim ]'
n ∞ n ∞
 f n∈ℕ-zbieżny punktowo na I
n }
 f ' n∈ℕ-zbieżny jednostajnie na I
n
- 6 -
Twierdzenie (o przejściu do granicy przy całkowaniu ciągu funkcyjnego)
Niech przedział I ⊂ℝ
f : I ℝ , n∈ℕ
n x x
x0 ∈I
⇒ ∀ x∈I lim f t dt=
∫ ∫
n n
lim f t dt
n ∞
x0 x0 n ∞
f -całkowalna ∀ n∈ℕ
n }
 f n∈ℕ-zbieżny jednostajnie
n
Przykład c.d.
2
Jeśli f  x=nxe-nx , to funkcja graniczna f ≡0 .
n
x0 =0 .
Niech Wtedy
x x
∫
n
lim f t dt=∫0 dt=0 
n ∞
0 0 
f
⇒ f
n
x x
x
2 2 2
1 1 1
 }
 
f t dt= nte-nt dt=- e-nt = 1 -e-nx n∞
∫ ∫
n

2 2 2
0 
0 0 
- 7 -