��Cigi funkcyjne
Niech X zbi�r,
��Y , d �� przestrzeD metryczna.
" n"! f : X ��Y ,
oraz niech
n
�� f ��n"!.
czyli okre[lony jest cig funkcyjny
n
Niech f : X ��Y.
Definicja
�� f ��n"! zmierza punktowo do funkcji na zbiorze X ,
M�wimy, |e cig funkcyjny f
n
�� f �� x����n"! zmierza do f �� x��
je[li dla ka|dego x " X cig w przestrzeni Y
n
z metryk d, tzn.
X
f �� f :�! " x" X lim d �� f �� x�� , f �� x����=0 �!
n n
n �� "
�! " x" X " ����0 "n0 "! " n��n0 d �� f �� x�� , f �� x��������
n
Funkcj f nazywamy funkcj graniczn.
Definicja
�� f ��n"! zmierza jednostajnie do na zbiorze , gdy:
Cig f X
n
X
f
f :�! " ����0 "n0 "! " n��n0 " x" X d �� f �� x�� , f �� x��������
n
n
Niech
X ,Y przestrzenie metryczne,
f : X ��Y ,
n
f : X ��Y .
Definicja
�� f ��n"! zmierza niemal jednostajnie do funkcji f na zbiorze X, gdy:
Cig
n
E
Comp X
f
f :�! " E "Comp X f
f
n
n
Uwaga
�� f ��n"! - zbie|ny jednostajnie �! �� f ��n"! - zbie|ny niemal jednostajnie
�! �� f ��n"! -
n n n
zbie|ny punktowo.
- 1 -
PrzykBad
Niech X =[0;1]
oraz niech f �� x��=xn dla n"!.
n
y f(x)=x
1.2
y
f(x)=x^2
f(x)=x^3
1
f(x)=x^4
f(x)=x^5
f(x)=0.15
0.8
f(x)=-0.15
Series 1
0.6
f
1
f
2
f
3
1 f
0.4
f
5
f
2
f
f f 5
f3 4
4
0.2
�
����
x
x
-1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8
11 1.2
-�
-��
-��
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
Poniewa|
-1
0 dla x"[ 0,1)
lim xn=
n �� " {
1 dla x=1
-1.2
�� f ��n"! jest zbie|ny punktowo. Natomiast nie jest zbie|ny jednostajnie, bo dla
wic cig
n
x"[ 0,1) f
wykres |adnej z funkcji nie znajduje si w caBo[ci w pasie
n
[ 0,1)���-��,����.
�� f ��n"!.
Zbadajmy teraz w X =[ 0,1) zbie|no[ niemal jednostajn cigu funkcyjnego
n
Niech E " Comp X . Std na podstawie twierdzenia charakteryzujcego zbiory zwarte w
przestrzeni standardowej, zbi�r E jest domknity i ograniczony, tzn.
E=[a ; b], gdzie 0d"ad"b��1 .
Poniewa| oraz zatem z twierdzenia o 3 cigach wynika, |e
0d"d �� xn,0��d"bn��1 lim bn=0
n �� "
E
f
a std wynika, |e f .
lim d �� xn, 0��=0,
n
n �� "
�� f ��n"! jest zbie|ny niemal jednostajnie w
Zatem X =[ 0,1).
n
- 2 -
y f(x)=x
y
f(x)=x^2
1.5
f(x)=x^3
f(x)=x^4
f(x)=x^5
Series 1
Series 2
1
0.5
a b
��
x
-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
E
b
a
x
-��
-0.5
Twierdzenie (o cigBo[ci funkcji granicznej)
" n"! f "C �� X ��
n
�! f "C �� X ��
X
}
f f
n
Wniosek
Je[li funkcja graniczna cigu funkcyjnego funkcji cigBych nie jest cigBa, to cig nie jest
zbie|ny jednostajnie.
- 3 -
PrzykBad c.d.
0 dla x"[0;1 ��,
Je|eli f �� x��=xn, X =[0;1], to f �� x��=
n
{
1 dla x=1,
f "C �� X ��
a wtedy i f "C �� X ��
n
zatem
X
X
f
f .
n
Twierdzenie
�� f ��n"!�"B ( X ,Y ), gdzie B ( X ,Y )={ f | f : X ��Y , f -funkcja graniczna }.
Niech
n
Wtedy
X
f �! lim dsup�� f , f ��=0
f n
n
n �� "
PrzykBad
2
f : ! �� !
Zbada zbie|no[ jednostajn cigu , gdzie f �� x��=nxe-nx
n
n
Dp Dj
oraz okre[li obszary zbie|no[ci punktowej i jednostajnej .
x" !.
I. Aby zbada zbie|no[ punktow, wybierzmy
Wtedy
2
0 , gdy x=0,
lim f �� x��=lim nxe-nx =
n
{
n �� " n �� "
0 , gdy x`"0,
bo dla x`"0 mamy:
nx H x 1
"
lim = =lim =lim =0.
2 [ ] 2 2
"
n �� " n �� "
enx x2enx n �� " xenx
Zatem
" x" ! lim f �� x��=0 �! f a"0 �! Dp= !.
n
n �� "
f
II. Sprawdzamy, czy f .
n
f "C
n
f ��-x��=- f �� x��, tzn. f jest funkcj nieparzyst
n n
�! f "B�� ! , !��
n
nx H n
}
lim f �� x��=lim =lim =0
2 2
n
x �� " x �� " x �� "
enx 2 nxenx
Dla dowolnego n"! mamy
dsup�� f , f ��=sup#" f �� x��- f �� x��#"=sup#" f �� x��#"= sup f �� x��
n n n n
x" ! x" ! x"[0 ;�� " )
- 4 -
f ,
Aby wyznaczy kres g�rny warto[ci funkcji zbadajmy jej ekstrema lokalne.
n
Poniewa|
2 2 2
f ' �� x��=ne-nx -2 n2 x2e-nx =n��1-2 nx2��e-nx =0
n
1-2 nx2 =0
1
x=�
2 n
��
min max
min max
x
x
1
1
11
-
-
2 n
2 n
��
�� 22nn
����
zatem
1 n
�� f ��max= f = .
n n
�� ��
2 n 2 e
�� ��
Std
n n
sup#" f �� x��#"=max{�� f ��max, lim f �� x��}=max , 0 = ,
n n n
{ }
2e 2e
x" ! x ���� " �� ��
wic
n
f f
lim dsup�� f , f ��=lim = "`"0 �!
n
n
2e
n �� " n �� " ��
Wyka|emy, |e
Dj=(- " ; a ]*"[ b ;�� "), gdzie a��0��b.
- 5 -
y f(x)=x e^(-x^2)
y
y
f(x)=2x e^(-2x^2)
f(x)=3x e^(-3x^2)
2
1.5
1
f
3
f
f3
1
f2
0.5
f
f12
f 2
f
3
xx
x
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
-0.5
-1
-1.5
-2
Poniewa|
"nb: " n��nb 1 ��b
1 2 n
��
�� " 0 �!
n ��
{
2 n
�� 1
"na : " n��na - ��a
2 n
��
n>max{na , nb}
Niech .
Wtedy
2 2
dsup�� f , f ��=max{ f ��b�� ,| f ��a��|, 0 }=max{nbe-nb ,-nae-na }.
n n n
Std
lim dsup�� f , f ��=0.
n
n �� "
Zatem
Dj=(- " ; a ]*"[ b ;�� "), gdzie a��0��b.
Twierdzenie (o przej[ciu do granicy przy r�|niczkowaniu cigu funkcyjnego)
Niech przedziaB I �" !
f : I �� ! , n"!
n
�! lim f ' �� x��= f �� x��
f "D�� I �� " n"!
n n
n
[lim ]'
n �� " n �� "
�� f ��n"!-zbie|ny punktowo na I
n }
�� f ' ��n"!-zbie|ny jednostajnie na I
n
- 6 -
Twierdzenie (o przej[ciu do granicy przy caBkowaniu cigu funkcyjnego)
Niech przedziaB I �" !
f : I �� ! , n"!
n x x
x0 "I
�! " x"I lim f ��t ��dt=
+" +"
n n
��lim f ��t ����dt
n �� "
x0 x0 n �� "
f -caBkowalna " n"!
n }
�� f ��n"!-zbie|ny jednostajnie
n
PrzykBad c.d.
2
Je[li f �� x��=nxe-nx , to funkcja graniczna f a"0 .
n
x0 =0 .
Niech Wtedy
x x
+"
n
��lim f ��t ����dt=+"0 dt=0
n �� "
0 0
f
�! f
n
x x
x
2 2 2
1 1 1
}
�� ��
f ��t ��dt= nte-nt dt=- e-nt = 1 -e-nx n�� "
+" +"
n
��
2 2 2
0
0 0
- 7 -