C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 1
9 .
9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H
9 . 1 . W s t p
O m w i e n i e z a g a d n i e n i a s t a t e c z n o [c i s p r |y s t e j u k Ba d w p r t o w y c h n a l e |y r o z p o c z o d p r z y b l i |e n i a
p r o b l e m u w s e n s i e f i z y c z n y m . Z u t r a t s t a t e c z n o [c i m a m y d o c z y n i e n i a , g d y n i e w i e l k a z m i a n a p r z y c z y n y
p o w o d u j e b a r d z o d u | z m i a n s k u t k u . I d e a l n i e s p r |y s t y p r t p r z y p e w n e j w a r t o [c i s i By [c i s k a j c e j z m i e n i a w
s p o s b n a g By s w p r o s t o l i n i o w p o s t a i p r z y j m u j e p o Bo |e n i e w y g i t e , c z y l i p r t d o z n a j e w y b o c z e n i a
( r y s . 9 . 1 ) .
N
w
N
R y s . 9 . 1 . P o s t a w y b o c z e n i a p o d w p By w e m d z i a Ba n i a s i By o s i o w e j
W [r o d k u r o z p i t o [c i p r t a b d z i e w y s t p o w a B m o m e n t j a k o s k u t e k d z i a Ba n i a s i By [c i s k a j c e j n a
p e w n y m m i m o [r o d z i e , n a r a m i e n i u r w n y m w a r t o [c i u g i c i a t e g o p r t a w . O d c h o d z i m y o d z a s a d y
z e s z t y w n i e n i a , k t r a z a k Ba d a , |e c i a Ba p r z e d , j a k i p o o d k s z t a Bc e n i u t r a k t o w a n e s j a k b r y By s z t y w n e ,
z a j m u j c e t a k |e p o o b c i |e n i u k o n f i g u r a c j p i e r w o t n . U t r a t a s t a t e c z n o [c i n a s t p i p o o s i g n i c i u p r z e z s i B
o s i o w p e w n e j w a r t o [c i k r y t y c z n e j , k t r e j t o w a r z y s z d w a s t a n y r w n o w a g i o d p o w i a d a j c e p r o s t o l i n i o w e j l u b
k r z y w o l i n i o w e j o s i p r t a . O z n a c z a t o , |e d a l s z y w z r o s t o b c i |e n i a m o |e n a s t p o w a p o d w c h [c i e |k a c h
r w n o w a g i . P u n k t w k t r y m w y s t p u j e r o z d w o j e n i e [c i e |k i ( s t a n u r w n o w a g i ) n a z y w a m y p u n k t e m b i f u r k a c j i .
9 . 2 . W y z n a c z a n i e s i By k r y t y c z n e j
A n a l i z u t r a t y s t a t e c z n o [c i ( w y b o c z e n i a ) u k Ba d w p r t o w y c h d o k o n a m y n a p r z y k Ba d z i e d o w o l n e g o
p r t a ( r y s . 9 . 2 ) , k t r y j e s t d o w o l n i e z a m o c o w a n y i o b c i |o n y d o w o l n y m i s i Ba m i . D o t a k i e g o p r t a
p r z y k Ba d a m y s t a B s i B n o r m a l n ( [c i s k a j c ) N .
q ( x )
i k
N
N
x
E J
l
y , w
R y s . 9 . 2 . P r t d o w o l n i e o b c i |o n y p o d d a n y d z i a Ba n i u s i By o s i o w e j N
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 2
P o d w p By w e m d z i a Ba n i a s i B u k Ba d d o z n a j e p e w n e g o o d k s z t a Bc e n i a . W s t a n i e o d k s z t a Bc o n y m w y c i n a m y z
u k Ba d u m a By e l e m e n t d x ( r y s 9 . 3 ) n a k t r y d z i a Ba j s i By z a r w n o w e w n t r z n e j a k i z e w n t r z n e .
q ( x )
M
M + d M
N
d w
T
N + d N
T + d T
d x
R y s . 9 . 3 . N i e s k o Dc z e n i e m a By e l e m e n t p o d d a n y d z i a Ba n i u s i B w e w n t r z n y c h i z e w n t r z n y c h
D l a e l e m e n t u d x z a p i s u j e m y w a r u n k i r w n o w a g i :
Y = 0
"
- T q x d x T d T = 0
d T
q x = -
( 9 . 1 )
d x
M = 0
"
M q x d x "d x T d T d x - M d M N "d w = 0
2
d x 2
M q x T "d x d T "d x - M d M N "d w = 0
2
p o m i j a j c w a r t o [c i m a Be w y |s z e g o r z d u o r a z r e d u k u j c w y r a z y p o d o b n e o t r z y m u j e m y o s t a t e c z n i e :
d M
= T N "d w = T N "w ' ( 9 . 2 )
d x d x
P o n i e w a | s i Ba n o r m a l n a n i e m a z w i z k u z k r z y w i z n p r t a o b o w i z u j e z a l e |n o [:
2
E J "d w = - M x
d x 2
P o z r |n i c z k o w a n i u i p o d s t a w i e n i u w y r a |e n i a ( 9 . 2 ) o t r z y m u j e m y r w n a n i e r |n i c z k o w e o s i o d k s z t a Bc o n e j :
E J "w I I I = - d M = - T - N "w I ( 9 . 3 )
d x
K o l e j n e r |n i c z k o w a n i e i p o d s t a w i e n i e z a l e |n o [c i ( 9 . 1 ) d a j e :
E J "w I V N "w I I = q x
c z y l i
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 3
4 2
E J "d w N "d w = q x
d x 2 d x 2
A b y r o z w i z a r w n a n i e r |n i c z k o w e n a j p i e r w z a j m u j e m y s i c a Bk o g l n r o z w i z a n i a . R o z w i z u j e m y
p r z y p a d e k r w n a n i a j e d n o r o d n e g o ( z a k Ba d a m y q x = 0 ) :
4
d w "d 2 w = 0
2
( 9 . 4 )
d x 2 d x 2
g d z i e
N
2 =
E J
R o z w i z a n i e m o |n a p r z y j w p o s t a c i w i e l o m i a n u :
w x = C 0 C 1 "x C 2 "s i n x C 3 "c o s x
( 9 . 5 )
N a j e g o p o d s t a w i e o k r e [l i m y r w n a n i e k t a o b r o t u
d w x
x = t g x = = C 1 "C 2 "c o s x - "C 3 "s i n x ( 9 . 6 )
d x
i r w n a n i e m o m e n t u z g i n a j c e g o
2
M x = - d w "E J = E J 2 "C 2 "s i n x 2 "C 3 "c o s x ( 9 . 7 )
[ ]
d x 2
Z w a r u n k u ( 9 . 3 ) w y z n a c z y m y r w n a n i e s i By p o p r z e c z n e j
d M x - N "d w
T x = = E J 3 "C 2 "c o s x - 3 "C 3 "s i n x - N " "C 2 "c o s x - "C 3 "s i n x
[ ] [ C ] =
1
d x d x
= E J 3 2 "c o s x - C 3 "s i n x "c o s x - C 3 "s i n x =
[ C ] - N [ C ] - N "C ( 9 . 8 )
2 1
N
= "c o s x - C 3 "s i n x E J " "- N - N "C 1 = - N "C 1
[ C ] " E J
2
S t a Be C t r z e b a w y z n a c z y n a p o d s t a w i e w a r u n k w b r z e g o w y c h . D a l s z e r o z w a |a n i a p r z e p r o w a d z i m y d l a
i
p r t w o z d e f i n i o w a n y c h p o d p o r a c h .
P r z y k Ba d 1
O k r e [l e n i e s t a n u r w n o w a g i b e l k i w o l n o p o d p a r t e j o j e d n o r o d n y c h w a r u n k a c h b r z e g o w y c h ( r y s . 9 . 4 )
i k
N N
l
R y s . 9 . 4 . B e l k a w o l n o p o d p a r t a p o d d a n a d z i a Ba n i u s i By o s i o w e j
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 4
N a j p i e r w n a l e |y o k r e [l i w a r u n k i b r z e g o w e , k t r e p o s Bu | d o w y z n a c z e n i a s t a By c h z e w z o r w ( 9 . 5 ) , ( 9 . 6 ) ,
( 9 . 7 ) , ( 9 . 8 ) :
d l a x = 0
w i = 0
M = 0
i k
d l a x = l
w k = 0
M = 0
k i
K o r z y s t a j c z r w n a n i a o s i o d k s z t a Bc o n e j w ( x ) o t r z y m u j e m y z a l e |n o [c i :
w i x = 0 = 0 C 0 C 3 = 0
w k x = l C 0 C 1 "l C "s i n l C 3 "c o s l = 0
2
n a t o m i a s t z e w z o r u ( 9 . 7 ) o t r z y m u j e m y z w i z k i :
M x = 0 = 0 E J "2 "C 3 = 0
i k
M x = l = 0 E J 2 "C 2 "s i n l 2 "C 3 "c o s l = 0
[ ]
k i
W t e n s p o s b o t r z y m a l i [m y u k Ba d r w n a D a l g e b r a i c z n y c h j e d n o r o d n y c h z c z t e r e m a n i e w i a d o m y m i C , C , C ,
0 1 2
C , d l a k t r e g o n i e t r y w i a l n e r o z w i z a n i e ( t r y w i a l n e r o z w i z a n i e t o C = C = C = C = 0 ) u z y s k a m y , g d y
3 0 1 2 3
w y z n a c z n i k u k Ba d u b d z i e r w n y z e r o . P o z r e d u k o w a n i u r w n a D p i e r w s z e g o i t r z e c i e g o ( C = C = 0 )
0 3
C 1 "l C 2 "s i n l = 0
{
E J 2 "C 2 "s i n l = 0
l s i n l
d e t #"W #"= d e t = 0
#" #"
0 s i n l
Z p r z y r w n a n i a w y z n a c z n i k a d o z e r a o t r z y m u j e m y r w n a n i e c h a r a k t e r y s t y c z n e ,
l s i n l = 0
a z n i e g o p i e r w i a s t k i , c z y l i w a r t o [c i w Ba s n e . P o n i e w a | f u n k c j a s i n x o s i g a z e r o d l a x = n t o :
i
n
l = n = ( 9 . 9 )
l
g d z i e n o k r e [l a l i c z b n a t u r a l n .
Z w a r u n k u ( 9 . 4 ) w i e m y , |e :
N
( 9 . 1 0 )
=
E J
W o b e c t e g o
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 5
n
N
=
E J l
2 "E J
N = "n 2 ( 9 . 1 1 )
l 2
1 , 2 , . . . , n "
W a r t o [c i w Ba s n y c h j e s t n i e s k o Dc z e n i e w i e l e z u w a g i n a p o s t a f u n k c j i s i n x a k a |d e j
o d p o w i a d a j e d n a p o s t a w y b o c z e n i a . R o z w a |a n a b e l k a m o |e d o z n a w y b o c z e n i a p o p r z e k r o c z e n i u p r z e z s i B
o s i o w w a r t o [c i k r y t y c z n e j o k r e [l o n e j w z o r e m ( 9 . 1 1 ) .
P r z y k Ba d 2
W y z n a c z e n i e s i By k r y t y c z n e j d l a b e l k i p o d d a n e j d z i a Ba n i u s i B o s i o w y c h N i m o m e n t w M ( r y s . 9 . 5 ) .
M M
i k
N N
l
R y s . 9 . 5 . B e l k a w o l n o p o d p a r t a p o d d a n a d z i a Ba n i u m o m e n t w i s i By o s i o w e j
Z r w n a n i a p r a c y w i r t u a l n e j w y z n a c z a m y w a r t o [ u g i c i a w [r o d k u r o z p i t o [c i b e l k i :
l 1 "M l 2
=
2 8 E J
F u n k c j l i n i i u g i c i a w y r a |o n p r z e z z m i e n n b e z w y m i a r o w :
x
= ( 9 . 1 2 )
l
p r z y j m u j e m y w p o s t a c i w i e l o m i a n u :
w = C 0 C 1 C 2 "s i n C 3 "c o s
( 9 . 1 3 )
g d z i e
N l 2
= "l 2 = ( 9 . 1 4 )
E J
O k r e [l a m y w a r u n k i b r z e g o w e d l a a n a l i z o w a n e j b e l k i :
d l a x = 0 , = 0
w 0 = 0
M 0
w ' ' 0 = - "l 2
E J
d l a x = l , = 1
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 6
w 1 = 0
M 1
w ' ' 1 = - "l 2
E J
W y k o r z y s t u j c w z o r y ( 9 . 5 ) , ( 9 . 6 ) , ( 9 . 7 ) , ( 9 . 8 ) m o |n a w y z n a c z y w a r t o [c i C , C , C , C z u k Ba d u r w n a D:
0 1 2 3
w 0 = C 0 C 1 "0 C 2 "s i n "0 C 3 "c o s "0 = 0
w 1 = C 0 C 1 "1 C 2 "s i n "1 C 3 "c o s "1 = 0
M 0
w ' ' 0 = -
2 "C 2 "s i n "0 2 "C 3 "c o s "0 = - "l 2
E J
M 1
{
w ' ' 1 = -
2 "C 2 "s i n "1 2 "C 3 "c o s "1 = - "l 2
E J
k t r y p o u p r o s z c z e n i u p r z y j m u j e p o s t a :
C 0 C 3 = 0
C 0 C 1 C 2 "s i n C 3 "c o s = 0
M 0
- 2 "C 3 = - "l 2 = - M l 2
E J E J
M 1
{
- 2 C 2 "s i n C 3 "c o s = - "l 2 = - M l 2
E J E J
P o d s t a w i a j c z a l e |n o [ ( 9 . 1 4 ) m o |e m y z r w n a n i a t r z e c i e g o w y z n a c z y w a r t o [ C :
3
N M M
- "l 2 "C 3 = - "l 2 C 3 =
E J E J N
N a s t p n i e n a m o c y r w n a n i a p i e r w s z e g o w y l i c z a m y w a r t o [ C :
0
M
C 0 = - C 3 = -
N
Z r w n a n i a c z w a r t e g o l i c z y m y w a r t o [ C :
2
1 - c o s
N M M M
- "l 2 C "s i n "c o s = - "l 2 C 2 = "
2
E J N E J N s i n
N a k o n i e c w y z n a c z a m o s t a t n i w a r t o [ C :
1
1 - c o s
M M M
- C 1 " "s i n "c o s = 0
N N s i n N
M M M M
C 1 = - "c o s - "c o s C 1 = 0
N N N N
O t r z y m a n e w a r t o [c i p o z w o l n a m w y z n a c z y o s t a t e c z n e r w n a n i e l i n i i u g i c i a :
1 - c o s 1 - c o s
M M M M
w = - 0 "" " "s i n "c o s = " "s i n c o s - 1
[ ]
N N s i n N N s i n
p o n a d t o p o d s t a w i a j c p r z e k s z t a Bc o n e w y r a |e n i e ( 9 . 1 4 ) m o |e m y z a p i s a r w n a n i e l i n i i u g i c i a w l e k k o
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 7
z m i e n i o n e j p o s t a c i :
1 - c o s
M l 2
w = " "s i n c o s - 1
( 9 . 1 5 )
[ ]
E J 2 s i n
1 l
W a r t o [ u g i c i a b e l k i d l a = x =
z a l e |y o d p a r a m e t r u , z g o d n i e z ( 9 . 1 5 ) :
2 2
1 - c o s 2 s i n 2
1 - c o s
1 M l 2 M l 2 2 2 "s i n c o s - 1 =
w = " "s i n c o s - 1 = "
[ ]
2 s i n 2 2 2 2
E J 2 E J 2 2 s i n "c o s
[ ]
2 2
1 - c o s 2 s i n 2 2 c o s 2 - 2 c o s 1 - c o s 2 1 c o s 2 - 2 c o s
M l 2 2 2 2 2 M l 2 " 2 2 2
= " = =
E J 2 E J 2
2 c o s 2 c o s
2 2
2 - 2 c o s 1 - c o s
M l 2 2 M l 2 " 2
= " =
E J 2 2 c o s E J 2 c o s
2 2
O s t a t e c z n i e w a r t o [ l i n i i u g i c i a b e l k i w p o Bo w i e j e j r o z p i t o [c i w y n o s i :
1 - c o s
1 M l 2 2
w = f = "
2
E J 2 c o s
2
M l 2
D l a b e l k i n i e o b c i |o n e j s i B o s i o w N = 0 = 0 p o w i n n i [m y o t r z y m a w a r t o [ . P o n i e w a |:
8 E J
1 - c o s
2 1
l i m =
( 9 . 1 6 )
8
0
2 "c o s
2
M l 2
t o f = 0 = .
8 E J
P r z y r w n u j c p r z e m i e s z c z e n i e w y b o c z e n i o w e f ( ) ( b e l k a o b c i |o n a s i B N ) d o p r z e m i e s z c z e n i a w b e l c e b e z
l
[c i s k a n i a o t r z y m u j e m y f u n k c j :
2
1 - c o s
M l 2 " 2
E J 2 c o s
( 9 . 1 7 )
8 " 1 - c o s
2
f 2
F = = =
l 1 "M l 2
2 "c o s
2 8 E J 2
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 8
W y k r e s p o w y |s z e j f u n k c j i w z a l e |n o [c i o d w i e l k o [c i p a r a m e t r u p r z e d s t a w i o n o n a r y s . 9 . 6 .
F ( )
1
R y s . 9 . 6 . F u n k c j a p o r w n a w c z a
F u n k c j a p o s i a d a a s y m p t o t d l a = . W o b e c t e g o w y b o c z e n i e ( d u |y w z r o s t p r z e m i e s z c z e n i a b e z z m i a n y
o b c i |e n i a ) n a s t p i g d y :
N l 2
2 = = 2 ( 9 . 1 8 )
E J
S t d s i Ba k r y t y c z n a w y n o s i :
2 "E J
S k r = N = ( 9 . 1 9 )
l 2
D l a s i By r o z c i g a j c e j m u s i m y z m i e n i z n a k s i By o s i o w e j :
2
2 = - N l ( 9 . 2 0 )
E J
O b l i c z e n i a p r z e p r o w a d z a m y a n a l o g i c z n i e j a k d l a s i By [c i s k a j c e j l u b t e | s t o s u j c t e o r i l i c z b z e s p o l o n y c h
m o |n a w p r o s t z a s t o s o w a w z o r y t r a n s f o r m a c y j n e w p r o w a d z a j c w m i e j s c e p a r a m e t r u p a r a m e t r z a s t p c z y ,
k t r y w y n o s i :
= i " ( 9 . 2 1 )
g d z i e :
i = ( 9 . 2 2 )
- 1
D l a z m i e n n y c h z e s p o l o n y c h w p r o w a d z a m y f u n k c j e h i p e r b o l i c z n e ,
c o s i = c o s h
( 9 . 2 3 )
s i n i = i s i n h
k t r y c h p o c h o d n e w y n o s z o d p o w i e d n i o :
c o s h ' = s i n h
s i n h ' = c o s h
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 9
J a k w i e m y f u n k c j e h i p e r b o l i c z n e ( s i n h i c o s h ) n i e s f u n k c j a m i o k r e s o w y m i , z a t e m n i e i s t n i e j e s i Ba
k r y t y c z n a d l a p r t a r o z c i g a n e g o .
D l a r |n e g o t y p u b e l e k , w z a l e |n o [c i o d s p o s o b u p o d p a r c i a o t r z y m u j e m y r |n e w a r t o [c i s i By k r y t y c z n e j :
b e l k a o b u s t r o n n i e u t w i e r d z o n a ( r y s . 9 . 7 ) :
N
N
l
R y s . 9 . 7 . B e l k a o b u s t r o n n i e u t w i e r d z o n a p o d d a n a d z i a Ba n i u s i By o s i o w o [c i s k a j c e j
E J "2
S k r =
( 9 . 2 4 )
0 , 5 l 2
b e l k a j e d n o s t r o n n i e u t w i e r d z o n a ( r y s . 9 . 8 ) :
N
N
l
R y s . 9 . 8 . B e l k a u t w i e r d z o n a p o d d a n a d z i a Ba n i u s i By o s i o w o [c i s k a j c e j
E J "2
S k r =
( 9 . 2 5 )
2 l 2
b e l k a u t w i e r d z o n a i z p r z e g u b e m ( r y s . 9 . 9 ) :
N
N
l
R y s . 9 . 9 . B e l k a u t w i e r d z o n a z p r z e g u b e m n a j e d n y m k o Dc u p o d d a n a d z i a Ba n i u s i By o s i o w o [c i s k a j c e j
E J "2
S k r =
( 9 . 2 6 )
0 , 7 l 2
M n o |n i k , k t r y w y s t p u j e w m i a n o w n i k u w y r a |e n i a n a s i B k r y t y c z n n a z y w a n y j e s t w s p Bc z y n n i k i e m
w y b o c z e n i o w y m .
9 . 3 . O k r e [l e n i e w z o r w t r a n s f o r m a c y j n y c h d l a p r t w p o d d a n y c h d z i a Ba n i u s i By n o r m a l n e j
W z o r y t r a n s f o r m a c y j n e m e t o d y p r z e m i e s z c z e D, p o d o b n i e j a k w a r t o [ s i By k r y t y c z n e j z a l e |e b d o d
s p o s o b u p o d p a r c i a b e l k i . P o n i |e j p r z e d s t a w i o n o k i l k a p r z y k Ba d w r |n e g o s p o s o b u p o d p a r :
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 1 0
P r z y k Ba d 3
W y z n a c z y w z o r y t r a n s f o r m a c y j n e d l a b e l k i o b u s t r o n n i e u t w i e r d z o n e j ( r y s . 9 . 1 0 ) .
N a l e |y r o z w i z a z a d a n i e n i e j e d n o r o d n e . W a r t o [c i p r z e m i e s z c z e D p r z y w z Bo w y c h p r z y j m u j e m y j a k o
z n a n e . Z w r o t y s i B i p r z e m i e s z c z e D p r z y j m u j e m y j a k o d o d a t n i e t e , k t r e s z a z n a c z o n e n a r y s . 9 . 1 0 .
i k
E J
N
N
l
i k
i
i
v i v k
R y s . 9 . 1 0 . B e l k a o b u s t r o n n i e u t w i e r d z o n a p o d d a n a d z i a Ba n i u s i By o s i o w o [c i s k a j c e j
Z a d a n i e p o l e g a n a z n a l e z i e n i u r e l a c j i p o m i d z y w z Bo w y m i p r z e m i e s z c z e n i a m i , a s i Ba m i p r z y w z Bo w y m i
M i , k , v i , v k
( n p . ) . W y z n a c z a s i j e z w a r u n k w b r z e g o w y c h , k t r e w t y m p r z y p a d k u w s z y s t k i e s
i k
n i e z e r o w e :
w x = 0 = v i
w x = l = v k
x = 0 = i
x = l = k
P r z y j m u j e m y f u n k c j l i n i i u g i c i a w p o s t a c i w i e l o m i a n u :
w x = C 0 C 1 "x C 2 "s i n x C 3 "c o s x
D a l e j k o r z y s t a m y z e z w i z k w ( 9 . 5 ) i ( 9 . 6 ) , c o p r o w a d z i d o u k Ba d u r w n a D n i e j e d n o r o d n y c h :
v i = C 0 C 1 "0 C 2 "s i n 0 C 3 "c o s 0 = C 0 C 3
v k = C 0 C 1 "l C 2 "s i n l C 3 "c o s l
i = C 1 "C 2 "c o s 0 - "C 3 "s i n 0 = C 1 "C 2
{
k = C 1 "C 2 "c o s l - "C 3 "s i n l
Z p o w y |s z e g o u k Ba d u r w n a D w y z n a c z a m y w a r t o [c i C , C , C , C . Z n a j c j u | w a r t o [c i s t a By c h C m o |n a w
0 1 2 3 j
p r o s t y s p o s b , z e z w i z k w ( 9 . 7 ) i ( 9 . 8 ) d o j [ d o w z o r w t r a n s f o r m a c y j n y c h , k t r e w o g l n e j p o s t a c i m o |n a
z a p i s a :
E J
M = M 0 = " ' "i ' "k - ' "i k ( 9 . 2 7 )
i k
l
E J
M = M l = " ' "i ' "k - ' "i k ( 9 . 2 8 )
k i
l
E J
T = T = T 0 = T l = - " i k - ' "i k
( 9 . 2 9 )
' "
i k k i
l 2
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 1 1
v k - v i
K t o b r o t u c i c i w y p r t a j e s t z a l e |n y o d p r z e m i e s z c z e D w z Bo w y c h : i k =
l
P r z y j m u j c o z n a c z e n i a :
N l 2
2 =
E J
1
f =
( 9 . 3 0 )
2 t g -
2
m o |e m y z a p i s a w s p Bc z y n n i k i ' , ' , ' , ' w p r o s t y c h p o s t a c i a c h :
' = " t g - "f ( 9 . 3 1 )
t g
' = " - s i n "f ( 9 . 3 2 )
s i n
' = ' ' = 2 "t g "f ( 9 . 3 3 )
2
' = 3 "f ( 9 . 3 4 )
M o |n a w y k o n a p r z e j [c i e g r a n i c z n e j e |e l i p r z y j m i e m y N = 0 = 0 , t o w p r o s t y l e c z b a r d z o
p r a c o c h Bo n n y s p o s b k o r z y s t a j c z r e g u By d e l ' H o s p i t a l a m o |e m y p o l i c z y w a r t o [c i w s p Bc z y n n i k w :
l i m ' = 4
( 9 . 3 5 )
0
l i m ' = 2
( 9 . 3 6 )
0
l i m ' = l i m ' l i m ' = 4 2 = 6
( 9 . 3 7 )
0 0 0
l i m ' = 1 2
( 9 . 3 8 )
0
k t r e p o k r y w a j s i z w a r t o [c i a m i w y s t p u j c y m i w e w z o r a c h t r a n s f o r m a c y j n y c h p r t a u t w i e r d z o n e g o b e z
s i By o s i o w e j .
P r z y k Ba d 4
W y z n a c z y w z o r y t r a n s f o r m a c y j n e d l a b e l k i z p r z e g u b e m ( r y s . 9 . 1 1 ) .
i
k
E J
N
N
l
i
v i v k
R y s . 9 . 1 1 . B e l k a u t w i e r d z o n a z p r z e g u b e m n a j e d n y m k o Dc u p o d d a n a d z i a Ba n i u s i By o s i o w o [c i s k a j c e j
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 1 2
T y m r a z e m w a r u n k i b r z e g o w e o b e j m u j p r z e m i e s z c z e n i a i s i By ( w a r u n k i k i n e m a t y c z n e i s t a t y c z n e ) :
w x = 0 = v i
w x = l = v k
x = 0 = i
M x = l = 0
N a p o d s t a w i e w z o r w ( 9 . 5 ) , ( 9 . 6 ) , ( 9 . 7 ) t w o r z y m y u k Ba d r w n a D:
v i = C 0 C 1 "0 C 2 "s i n 0 C 3 "c o s 0 = C 0 C 3
v k = C 0 C 1 "l C 2 "s i n l C 3 "c o s l
i = C 1 "C 2 "c o s 0 - "C 3 "s i n 0 = C 1 "C 2
{
E J 2 "C 2 "s i n l 2 "C 3 "c o s l = 0
[ ]
z k t r e g o w y z n a c z a m y w a r t o [c i C , C , C , C . N a i c h p o d s t a w i e z e w z o r w ( 9 . 7 ) i ( 9 . 8 ) t w o r z y m y f u n k c j e :
0 1 2 3
E J
M = M 0 = " ' ' "i - ' ' "i k ( 9 . 3 9 )
i k
l
M = M l = 0
( 9 . 4 0 )
k i
E J
T = T = T 0 = T l = - " ' ' "i - ' ' "i k
( 9 . 4 1 )
i k k i
l 2
g d z i e :
2 "t g
' ' = ( 9 . 4 2 )
t g -
3
' ' = ( 9 . 4 3 )
t g -
N l 2
2 =
E J
I t y m r a z e m p r z e j [c i e g r a n i c z n e , g d y N = 0 = 0
p r o w a d z i d o p o p r a w n y c h r e z u l t a t w .
2
2 "t g
2 "t g c o s 2 2 "t g "c o s 2 2
H
l i m ' ' = l i m = l i m = l i m =
t g - 1
0 0 0 0 1 - c o s 2
- 1
c o s 2
2 "t g "c o s 2 2 - 2 "t g "s i n 2 2 2 "t g "c o s 2 - 2 "t g "s i n 2 4
= l i m = l i m =
s i n 2 s i n 2
0 0
( 9 . 4 4 )
2 "s i n 2
2 - 2 "t g "s i n 2 - 2 "t g "s i n 2 - - 4 "c o s 2 "t g 4
c o s 2
= l i m =
2 c o s 2
0
2 "s i n 2
2 - 4 "t g "s i n 2 - - 4 "c o s 2 "t g 4
c o s 2
2 - 0 - 0 - 0 4
= l i m = = 6 = 3
[ ]
2 c o s 2 2 2
0
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 1 3
3 3 2 3 2 "c o s 2
H
l i m ' ' = l i m = l i m = l i m =
t g - 1
0 0 0 1 - c o s 2
- 1
c o s 2
6 "c o s 2 - 3 2 "s i n 2 6 "c o s 2 - 6 "s i n 2 - 6 "s i n 2 - 6 2 "c o s 2 ( 9 . 4 5 )
H
= l i m = = l i m =
s i n 2 2 c o s 2
0 0
6 "c o s 2 - 1 2 "s i n 2 - 6 2 "c o s 2
6 - 0 - 0 6
= l i m = = = 3
[ ]
2 c o s 2 2 2
0
P r z y k Ba d 5
W y z n a c z y w z o r y t r a n s f o r m a c y j n e d l a b e l k i o s c h e m a c i e j a k n a r y s . 9 . 1 2 .
i k
E J
N
N
l
i k
v i
R y s . 9 . 1 2 . B e l k a u t w i e r d z o n a z p o d p o r [l i z g o w n a j e d n y m k o Dc u p o d d a n a d z i a Ba n i u s i By o s i o w o [c i s k a j c e j
T a k j a k w p o p r z e d n i m z a d a n i u o k r e [l a m y w a r u n k i b r z e g o w e :
w x = 0 = v i
T x = l = 0
x = 0 = i
x = l = k
W r z e c z y w i s t o [c i u g i c i e w p u n k c i e i b d z i e r w n e z e r o , n i e m a t o j e d n a k w p By w u n a w a r t o [c i m o m e n t w i s i B
p o p r z e c z n y c h d l a d a n e j b e l k i , g d y | w a r t o [ C n i e w y s t p u j e w e w z o r z e n a M i T .
0 i k i k
P o r o z p i s a n i u p o w y |s z y c h w a r u n k w b r z e g o w y c h o t r z y m u j e m y u k Ba d r w n a D n i e j e d n o r o d n y c h :
v i = C 0 C 1 "0 C 2 "s i n 0 C 3 "c o s 0 = C 0 C 3 = 0
- N "C 1 = 0
i = C 1 "C 2 "c o s 0 - "C 3 "s i n 0 = C 1 "C
2
{
k = C 1 "C 2 "c o s l - "C 3 "s i n l
Z p o w y |s z y c h r w n a D w y z n a c z a m y w a r t o [c i C , C , C , C . P o n i e w a | w e w z o r z e n a M z n a j d u j s i t y l k o
0 1 2 3 i k
w a r t o [c i C i C , a z d r u g i e g o r w n a n i a b r z e g o w e g o w i e m y , |e C = 0 , z a t e m :
2 3 1
i
C =
2
P o d s t a w i a m y p o w y |s z z a l e |n o [ d o o s t a t n i e g o r w n a n i a b r z e g o w e g o :
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 1 4
i
k = 0 " "c o s l - "C 3 "s i n l
i p r z e k s z t a Bc a m y j e w n a s t p u j c y s p o s b :
"C 3 "s i n l = i "c o s l - k
O t r z y m u j e m y s z u k a n w a r t o [ C , k t r a w y n o s i :
3
1
C 3 = " i "c o s l - k
"s i n l
P o d s t a w i a m y w a r t o [c i C i C , d o r w n a n i a n a M , p r z y x = 0 :
2 3 i k
1
M x = E J "2 "C 2 "s i n 0 2 "C 3 "c o s 0 = E J " 2 " " i "c o s l - k "1
[ ]
"s i n l
M x = E J " " i "c o s l - k "1
[ ]
s i n l
Z a l e |n o [c i o k r e [l a j c e p o s z c z e g l n e w s p Bc z y n n i k i :
2
N
N N "l 2 = =
= 2 =
E J E J l
l 2 E J
p o d s t a w i a m y d o r w n a n i a n a M . O t r z y m u j e m y w z r t r a n s f o r m a c y j n y :
i k
1
M = E J " " i "c o s - k "1
i k
[ ]
l s i n
E J
M = " i " - k "
k i
l t g s i n
A n a l o g i c z n i e p o s t p u j e m y o b l i c z a j c w z r n a M . O s t a t e c z n i e w z o r y t r a n s f o r m a c y j n e d l a d a n e j b e l k i m o |e m y
k i
z a p i s a w n a s t p u j c y s p o s b :
E J
M = M 0 = " ' ' ' "i ' ' ' "k ( 9 . 4 6 )
i k
l
E J
M = M l = " ' ' ' "i ' ' ' "k ( 9 . 4 7 )
k i
l
T = T = T 0 = T l = 0
( 9 . 4 8 )
i k k i
g d z i e :
' ' ' = ( 9 . 4 9 )
t g
' ' ' = - ( 9 . 5 0 )
s i n
N l 2
2 =
E J
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 1 5
N = 0 = 0
J e |e l i p r z y j m i e m y , m o |e m y z r e g u By d e l ' H o s p i t a l a p o l i c z y w a r t o [c i w s p Bc z y n n i k w :
H 1
l i m ' ' ' = l i m = l i m = l i m c o s 2 = 1
t g 1
0 0 0 0 ( 9 . 5 1 )
c o s 2
- 1 H - 1
l i m ' ' ' = l i m = l i m = - 1
( 9 . 5 2 )
s i n c o s
0 0 0
k t r e s z g o d n e z e w z o r a m i d l a b e l k i b e z [c i s k a n i a .
P r z y k Ba d 6
W y z n a c z y w z o r y t r a n s f o r m a c y j n e d l a b e l k i l e w o s t r o n n i e u t w i e r d z o n e j ( r y s . 9 . 1 3 ) .
i k
E J
N
N
l
i
v i
R y s . 9 . 1 3 . B e l k a u t w i e r d z o n a p o d d a n a d z i a Ba n i u s i By o s i o w o [c i s k a j c e j
T y m r a z e m m a m y d w a w a r u n k i s t a t y c z n e i d w a k i n e m a t y c z n e :
w x = 0 = v i
M x = l = 0
x = 0 = i
T x = l = 0
W r z e c z y w i s t o [c i u g i c i e w p u n k c i e i p o d o b n i e j a k w p o p r z e d n i m p r z y p a d k u b d z i e r w n e z e r o i t a k s a m o n i e
m a w p By w u n a w a r t o [ m o m e n t w i s i B p o p r z e c z n y c h d l a d a n e j b e l k i .
P o d s t a w i a j c p o w y |s z e z a l e |n o [c i d o z n a n y c h n a m j u | w c z e [n i e j w z o r w o t r z y m u j e m y k o l e j n o r w n a n i a :
v i = C 0 C 1 "0 C 2 "s i n 0 C 3 "c o s 0 = C 0 C 3 = 0
E J 2 "C 2 "s i n l 2 "C 3 "c o s l = 0
[ ]
i = C 1 "C 2 "c o s 0 - "C 3 "s i n 0 = C 1 "C
2
{
- N "C 1 = 0
Z u k Ba d u r w n a D n i e j e d n o r o d n y c h w y z n a c z a m y w a r t o [c i C , C , C , C . P o n i e w a | w e w z o r z e n a M z n a j d u j
0 1 2 3 i k
s i t y l k o w a r t o [c i C i C , a z o s t a t n i e g o r w n a n i a b r z e g o w e g o w i e m y , |e C = 0 , z a t e m :
2 3 1
i
C =
2
P o d s t a w i a m y p o w y |s z z a l e |n o [ d o r w n a n i a d r u g i e g o :
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 1 6
i
E J 2 " "s i n l 2 "C 3 "c o s l = 0
[ ]
o r a z d z i e l i m y p r z e z w y r a |e n i e E J "2 i p r z e k s z t a Bc a m y :
i
s i n l
C 3 = - "
c o s l
O t r z y m u j e m y s z u k a n w a r t o [ C , k t r a w y n o s i :
3
i
C 3 = - "t g l
P o d s t a w i a m y w a r t o [c i C i C , d o r w n a n i a n a M , p r z y x = 0 :
2 3 i k
i
M = M x = 0 = E J "2 "C 2 "s i n 0 2 "C 3 "c o s 0 = E J "2 " - "t g l
i k
K o r z y s t a j c z z a l e |n o [c i :
2
N
N N "l 2 = =
= 2 =
E J E J l
l 2 E J
o t r z y m u j e m y o s t a t e c z n p o s t a w z o r u t r a n s f o r m a c y j n e g o n a m o m e n t :
M = E J "" - i "t g
i k
E J
M = ""
- i "t g
i k
l
O s t a t e c z n i e w z o r y t r a n s f o r m a c y j n e d l a d a n e j b e l k i m o |e m y z a p i s a w n a s t p u j c y s p o s b :
E J
M = M 0 = "I V "i ( 9 . 5 3 )
i k
l
M = M l = 0
( 9 . 5 4 )
k i
T = T = T 0 = T l = 0
( 9 . 5 5 )
i k k i
g d z i e :
I V = - "t g ( 9 . 5 6 )
N l 2
2 =
E J
J e |e l i p r z y j m i e m y N = 0 = 0
t o :
l i m I V = 0
( 9 . 5 7 )
0
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 1 7
P r z e m i e s z c z e n i e p o d p o r y n i e p o w o d u j e p o w s t a n i a s i B w e w n t r z n y c h . N a t o m i a s t w e w s p o r n i k u z s i B o s i o w
w y s t p u j e z g i n a n i e ( s i Ba p o p r z e c z n a j e s t z e r o w a ) .
P r z y k Ba d 7
W y z n a c z y w z o r y t r a n s f o r m a c y j n e d l a b e l k i p o d d a n e j d z i a Ba n i u s i By r o z c i g a j c e j ( r y s . 9 . 1 4 ) .
i
k
N
N E J
l
k
v i
v i
R y s . 9 . 1 4 . B e l k a z p r z e g u b e m i z u t w i e r d z e n i e m [l i z g o w y m p o d d a n a d z i a Ba n i u s i By o s i o w o r o z c i g a j c e j .
W p r z y p a d k u b e l k i p o d d a n e j d z i a Ba n i u s i By r o z c i g a j c e j n a l e |y r o z w i z a r w n a n i e r |n i c z k o w e :
4
d w - "d 2 w
2
= 0 ( 9 . 5 8 )
d x 2 d x 2
Z n a k - o z n a c z a d z i a Ba n i e s i By r o z c i g a j c e j , p o n a d t o :
#"N #"
2 = l 2 ( 9 . 5 9 )
E J
C a Bk o g l n w t y m p r z y p a d k u p r z y j m u j e m y w p o s t a c i w i e l o m i a n u :
w x = C 0 C 1 "x C 2 "s i n h x C 3 "c o s h x
( 9 . 6 0 )
N a j e g o p o d s t a w i e o k r e [l i m y r w n a n i e k t a o b r o t u
d w x = C x "C 3 "s i n h x
1 "C 2 "c o s h
x = t g x = ( 9 . 6 1 )
d x
r w n a n i e m o m e n t u z g i n a j c e g o
2
d w "E J = - E J 2 "C 2 "s i n h x 2 "C 3 "c o s h x
M x = ( 9 . 6 2 )
[ ]
d x 2
i r w n a n i e s i By p o p r z e c z n e j
d M x N "d w
T x = = N "C 1 ( 9 . 6 3 )
d x d x
O k r e [l a m y w a r u n k i b r z e g o w e :
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 1 8
w x = 0 = v i
T x = l = 0
M x = 0 = 0
x = l = k
P o r o z p i s a n i u p o w y |s z y c h w a r u n k w b r z e g o w y c h o t r z y m u j e m y u k Ba d r w n a D n i e j e d n o r o d n y c h , z k t r y c h
2
C 0 , C 1 , C , C 3
w y z n a c z y m y w a r t o [c i :
v i = C 0 C 1 "0 C 2 "s i n h 0 C 3 "c o s h 0 = C 0 C 3 = 0
- N "C 1 = 0
C 1 = 0
C 3 = 0
- E J 2 "C 2 "s i n h 0 2 "C 3 "c o s h 0 = 0
[ ]
{
2 "c o s h
k = C 1 "C l "C 3 "s i n h l
J a k w i d a w s z y s t k i e w a r t o [c i p o z a w a r t o [c i C z n a j d u j c s i w e w z o r z e n a M s r w n e z e r o , z a t e m :
2 i k
k
C 2 =
"c o s h l
P o d s t a w i a m y w a r t o [ C d o r w n a n i a n a M , p r z y x = l :
2 k i
k
M = M x = l = - E J " 2 "C 2 "s i n h l 2 "C 3 "c o s h l = - E J " 2 " "s i n h l =
k i
[ ]
"c o s h l
"k
= - E J " "s i n h l = - E J " "k "t g h l
[ ]
[ ]
c o s h l
K o r z y s t a j c z z a l e |n o [c i :
N
N N "l 2 2 = =
= 2 =
E J E J l
l 2 E J
o t r z y m u j e m y w z r t r a n s f o r m a c y j n y :
"
M = - E J " "t g h
k i k
[ ]
l
E J
M = - "
"k "t g h
k i
l
Z a u w a |m y , |e d l a b e l k i o i d e n t y c z n y m s c h e m a c i e s t a t y c z n y m , a l e p o d d a n e j s i l e [c i s k a j c e j o t r z y m a l i b y [m y
n a s t p u j c y w z r t r a n s f o r m a c y j n y :
E J
M = " "k "t g
k i
l
O z n a c z a t o , |e m o |e m y w p r o s t y s p o s b z a p i s a w z o r y t r a n s f o r m a c y j n e d l a p r t a p o d d a n e g o s i l e
r o z c i g a j c e j , n a p o d s t a w i e w z o r w o t r z y m a n y c h d l a t e g o s a m e g o p r t a , g d y d z i a Ba n a n i e g o s i Ba [c i s k a j c a .
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 1 9
A b y o t r z y m y w a n e w y r a |e n i e m o |n a b y Bo Ba t w o p r z e k s z t a Bc a , d o p r o w a d zm y r w n a n i e r |n i c z k o w e d l a p r t a
r o z c i g a n e g o d o p o s t a c i i d e n t y c z n e j j a k d l a p r t a [c i s k a n e g o . W y k o n u j e m y p o d s t a w i e n i e
= i
N a p o d s t a w i e w y r a |e n i a
4
d w - 2 w
2 "d = 0
d x 2 d x 2
o t r z y m u j e m y
4
d w "d 2 w
2
= 0
d x 2 d x 2
p o n i e w a |:
2 = - 2
S k o r o o b y d w a r w n a n i a r |n i c z k o w e m a j a t a k s a m p o s t a , t o r o z w i z a n i a o t r z y m a n e d l a p r t a [c i s k a n e g o ,
s p r a w d z i w e ( p r z y o d p o w i e d n i m p o d s t a w i e n i u ) r w n i e | d l a p r t a r o z c i g a n e g o . W t e j s y t u a c j i , a b y u z y s k a
o d p o w i e d n i p o s t a r w n a D, n a l e |y w y k o n a n a s t p u j c e p o d s t a w i e n i a :
= i
s i n = s i n i = i s i n h
c o s = c o s i = c o s h
p a m i t a j c j e d n o c z e [n i e , |e .
i 2 = - 1
O s t a t e c z n i e w z o r y t r a n s f o r m a c y j n e d l a d a n e j b e l k i ( r y s . 9 . 1 4 ) p o d d a n e j s i l e r o z c i g a j c e j m o |e m y z a p i s a w
n a s t p u j c y s p o s b :
M = M 0 = 0
( 9 . 6 4 )
i k
E J
M = M l = - "' ' ' ' "k ( 9 . 6 5 )
k i
l
T = T = T 0 = T l = 0
( 9 . 6 6 )
i k k i
g d z i e :
' ' ' ' = "t g h ( 9 . 6 7 )
N l 2
2 =
E J
N = 0 = 0
J e |e l i p r z y j m i e m y t o :
l i m ' ' ' ' = 0
( 9 . 6 8 )
0
c o o z n a c z a , |e m o m e n t p r z y w z Bo w y M w b e l c e n i e o b c i |o n e j o s i o w o w y n o s i z e r o .
k i
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 2 0
9 . 4 . O g l n e w z o r y t r a n s f o r m a c y j n e d l a p r t w p o d d a n y c h d z i a Ba n i u s i By n o r m a l n e j
W y z n a c z o n e d o t y c h c z a s w z o r y t r a n s f o r m a c y j n e m o |n a w y r a z i w i n n e j f o r m i e :
" d l a p r t a o b u s t r o n n i e u t w i e r d z o n e g o ( r y s 9 . 1 5 ) :
i k
N N
E J
l
i k
i
i
v i v k
R y s . 9 . 1 5 . B e l k a o b u s t r o n n i e u t w i e r d z o n a
W z o r y t r a n s f o r m a c y j n e m a j p o s t a ( j e s t t o i n n a p o s t a w z o r w t r a n s f o r m a c y j n y c h z p r z y k Ba d u 3 ) :
E J
M = " c i s k - r i k ( 9 . 6 9 )
i k
l
E J
M = " s i c k - r i k
( 9 . 7 0 )
k i
l
P o m i d z y w s p Bc z y n n i k a m i z a c h o d z i r e l a c j a :
r = s c ( 9 . 7 1 )
W a r t o [c i w s p Bc z y n n i k w m o |e m y w y z n a c z y z e w z o r w :
p r z y [c i s k a n i u
s i n - "c o s
c s = ( 9 . 7 2 )
2 1 - c o s
- "s i n
- s i n
s s = ( 9 . 7 3 )
2 1 - c o s
- "s i n
p r z y r o z c i g a n i u
s i n h - "c o s h
c r = ( 9 . 7 4 )
2 c o s h - 1
- "s i n h
- s i n h
s r = ( 9 . 7 5 )
2 c o s h - 1
- "s i n h
B e z w z g l d u n a z n a k d z i a Ba j c e j s i By o s i o w e j w s p Bc z y n n i k w y n o s i
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r
C z [ 2 9 . S T A T E C Z N O Z S P R {Y S T A U K AA D W P R T O W Y C H 2 1
N l 2
=
E J
" d l a p r t a z p r z e g u b e m ( r y s . 9 . 1 6 ) :
i
k
N E J N
l
i
v i v k
R y s . 9 . 1 6 . B e l k a u t w i e r d z o n a z p r z e g u b e m n a j e d n y m k o Dc u
W z o r y t r a n s f o r m a c y j n e m a j p o s t a ( j e s t t o i n n a p o s t a w z o r w t r a n s f o r m a c y j n y c h z p r z y k Ba d u 4 ) :
E J
M = "" i - i k
c
( 9 . 7 6 )
i k
l
W a r t o [ w s p Bc z y n n i k a w y z n a c z a m y w z a l e |n o [c i o d z w r o t u s i By o s i o w e j :
p r z y [c i s k a n i u :
2 "s i n
c s = ( 9 . 7 7 )
s i n - "c o s
p r z y r o z c i g a n i u :
2 "s i n h
c r = ( 9 . 7 8 )
- s i n h "c o s h
P o d o b n i e j a k p o p r z e d n i o p a r a m e t r n i e z a l e |y o d z n a k u s i By o s i o w e j
#"N #"l 2
2 =
E J
p o n i e w a | j e j z n a k u w z g l d n i o n o w f u n k c j a c h t r y g o n o m e t r y c z n y c h .
D o b r a D . , D z i a k i e w i c z A. , J a m b r o |e k S . , K o m o s a M . , M i k o Ba j c z a k E . , P r z y b y l s k a P . , S y s a k A . , W d o w s k a A .
A l m a M a t e r