ÿþ1
M a t e r i a By d y d a k t y c z n e :
P r o b a b i l i s t y k a
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
2
L i t e r a t u r a :
1 . W . K r y s i c k i , J . B a r t o s , W . D y c z k a , K . K r ó l i k o w s k a , M . W a s i l e w s k i ,
R a c h u n e k p r a w d o p o d o b i e Ds t w a i s t a t y s t y k a m a t e m a t y c z n a
w z a d a n i a c h , c z . I R a c h u n e k p r a w d o p o d o b i e Ds t w a , W y d a w n i c t w o
N a u k o w e P W N , W a r s z a w a , 1 9 9 3 ;
2 . T . G e r s t e n k o r n , T . Zr ó d k a , K o m b i n a t o r y k a i r a c h u n e k
p r a w d o p o d o n i e Ds t w a , P W N , W a r s z a w a , 1 9 7 2 ;
3 . W . K o r d e c k i , R a c h u n e k p r a w d o p o d o b i e Ds t w a i s t a t y s t y k a
m a t e m a t y c z n a . D e f i n i c j e , t w i e r d z e n i a , w z o r y , O f i c y n a W y d a w n i c z a
G i S , W r o c Ba w , 2 0 0 3 ;
4 . H . J a s i u l e w i c z , W . K o r d e c k i , R a c h u n e k p r a w d o p o d o b i e Ds t w a
i s t a t y s t y k a m a t e m a t y c z n a . P r z y k Ba d y i z a d a n i a , O f i c y n a
W y d a w n i c z a G i S , W r o c Ba w , 2 0 0 3 .
5 . K . D o b r o w o l s k a , W . D y c z k a , H . J a k u s z e n k o w , M a t e m a t y k a d l a
s t u d e n t ó w s t u d i ó w t e c h n i c z n y c h 2 , H E L P M A T H , Aó d z 1 9 9 9 .
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
3
R a c h u n e k p r a w d o p o d o b i e Ds t w a - p r o b a b i l i s t y k a t o d z i e d z i n a
m a t e m a t y k i , k t ó r a p o z w a l a b u d o w a m o d e l e m a t e m a t y c z n e d l a
d o [w i a d c z e D l o s o w y c h .
1 . E L E M E N T Y K O M B I N A T O R Y K I
D e f i n i c j a . P e r m u t a c j b e z p o w t ó r z e D z b i o r u n - e l e m e n t o w e g o
n a z y w a m y k a |d y n - e l e m e n t o w y , r ó |n o w a r t o [c i o w y c i g
e l e m e n t ó w t e g o z b i o r u . L i c z b w s z y s t k i c h p e r m u t a c j i z b i o r u
P n
n - e l e m e n t o w e g o o z n a c z a m y s y m b o l e m .
T w i e r d z e n i e . L i c z b a w s z y s t k i c h p e r m u t a c j i z b i o r u
n - e l e m e n t o w e g o w y r a |a s i w z o r e m :
P n = n !
D e f i n i c j a . P e r m u t a c j z p o w t ó r z e n i a m i z b i o r u n - e l e m e n t o w e g o
n a z y w a m y k a |d y n - e l e m e n t o w y c i g e l e m e n t ó w t e g o z b i o r u .
L i c z b w s z y s t k i c h p e r m u t a c j i z b i o r u n - e l e m e n t o w e g o o
n 1 , n 2 , . . . , n k
p o w t a r z a j c y c h s i e l e m e n t a c h o d p o w i e d n i o r a z y
o z n a c z a m y s y m b o l e m .
P n n 1 , n 2 , . . . , n k
T w i e r d z e n i e . L i c z b a w s z y s t k i c h p e r m u t a c j i z b i o r u
n - e l e m e n t o w e g o o p o w t a r z a j c y c h s i e l e m e n t a c h o d p o w i e d n i o
n 1 , n 2 , . . . , n k
r a z y w y r a |a s i w z o r e m :
n !
P n n 1 , n 2 , . . . , n k =
n 1 ! n 2 ! . . . n k !
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
4
D e f i n i c j a . K o m b i n a c j b e z p o w t ó r z e D k - e l e m e n t o w z b i o r u
k d" n
n - e l e m e n t o w e g o ( ) n a z y w a m y k a |d y k - e l e m e n t o w y
p o d z b i ó r r ó |n y c h e l e m e n t ó w t e g o z b i o r u . L i c z b w s z y s t k i c h
k o m b i n a c j i k - e l e m e n t o w y c h z b i o r u n - e l e m e n t o w e g o o z n a c z a m y
k
C n
s y m b o l e m .
T w i e r d z e n i e . L i c z b a w s z y s t k i c h k o m b i n a c j i k - e l e m e n t o w y c h
z b i o r u n - e l e m e n t o w e g o w y r a |a s i w z o r e m :
d e f
n
n ! ëø öø
k
C n = = ìø ÷ø
( n - k ) ! Å" k ! k
íø øø
D e f i n i c j a . K o m b i n a c j z p o w t ó r z e n i a m i k - e l e m e n t o w z b i o r u
k d" n
n - e l e m e n t o w e g o ( ) n a z y w a m y k a |d y k - e l e m e n t o w y
p o d z b i ó r t e g o z b i o r u e l e m e n t ó w r ó |n y c h l u b n i e r ó |n i c y c h s i
m i d z y s o b . L i c z b w s z y s t k i c h k o m b i n a c j i k - e l e m e n t o w y c h
k
z b i o r u n - e l e m e n t o w e g o o z n a c z a m y s y m b o l e m .
C n
T w i e r d z e n i e . L i c z b a w s z y s t k i c h k o m b i n a c j i k - e l e m e n t o w y c h
z p o w t ó r z e n i a m i z b i o r u n - e l e m e n t o w e g o w y r a |a s i w z o r e m :
d e f
n + k - 1 n + k - 1
ëø öø ëø öø
k
C n = ìø ÷ø = ìø ÷ø
k n - 1
íø øø íø øø
D e f i n i c j a . W a r i a c j b e z p o w t ó r z e D k - e l e m e n t o w z b i o r u
k d" n
n - e l e m e n t o w e g o ( ) n a z y w a m y k a |d y k - e l e m e n t o w y ,
r ó |n o w a r t o [c i o w y c i g e l e m e n t ó w t e g o z b i o r u . L i c z b w s z y s t k i c h
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
5
w a r i a c j i b e z p o w t ó r z e D k - e l e m e n t o w y c h z b i o r u n - e l e m e n t o w e g o
V n k
o z n a c z a m y s y m b o l e m .
T w i e r d z e n i e . L i c z b a w s z y s t k i c h w a r i a c j i b e z p o w t ó r z e D
k - e l e m e n t o w y c h z b i o r u n - e l e m e n t o w e g o w y r a |a s i w z o r e m :
n !
k
V n =
( n - k ) !
D e f i n i c j a . W a r i a c j z p o w t ó r z e n i a m i k - e l e m e n t o w z b i o r u
n - e l e m e n t o w e g o n a z y w a m y k a |d y k - e l e m e n t o w y c i g e l e m e n t ó w
t e g o z b i o r u ( r ó |n y c h l u b n i e r ó |n i c y c h s i m i d z y s o b ) . L i c z b
w s z y s t k i c h w a r i a c j i z p o w t ó r z e n i a m i k - e l e m e n t o w y c h z b i o r u
V n k
n - e l e m e n t o w e g o o z n a c z a m y s y m b o l e m .
T w i e r d z e n i e . L i c z b a w s z y s t k i c h w a r i a c j i z p o w t ó r z e n i a m i
k - e l e m e n t o w y c h z b i o r u n - e l e m e n t o w e g o w y r a |a s i w z o r e m :
k
V n = n k
2 . P R A W D O P O D O B I E CS T W O
D - d o [w i a d c z e n i e l o s o w e
( r e a l i z a c j a o k r e [l o n e g o z e s p o Bu w a r u n k ó w , w r a z z o k r e [l o n y m
z g ó r y z b i o r e m w y n i k ó w )
&! - p r z e s t r z e D z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h
( z b i ó r w s z y s t k i c h , w z a j e m n i e w y k l u c z a j c y c h s i w y n i k ó w
d a n e g o d o [w i a d c z e n i a )
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
6
É , É , . . . - z d a r z e n i a e l e m e n t a r n e
1 2
( n a j p r o s t s z e , n i e p o d z i e l n e , w z a j e m n i e w y k l u c z a j c e s i w y n i k i
d a n e g o d o [w i a d c z e n i a )
A , B , . . . - z d a r z e n i a l o s o w e
( d o w o l n e p o d z b i o r y p r z e s t r z e n i z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h &!)
Z - z b i ó r z d a r z e D l o s o w y c h
( r o d z i n a p o d z b i o r ó w p r z e s t r z e n i z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h &!)
G d y p r z e s t r z e D &! j e s t n i e p r z e l i c z a l n a , w t e d y n i e k a |d y j e j
p o d z b i ó r p r z y j m u j e s i z a z d a r z e n i e l o s o w e . S p o [r ó d
w s z y s t k i c h p o d z b i o r ó w w y r ó |n i a s i r o d z i n Z p o d z b i o r ó w &!
t a k , a b y s p e Bn i o n e b y By w a r u n k i :
1 . &!"Z ;
2 . J e |e l i A "Z , t o A "Z ;
"
Uð A n " Z
3 . J e |e l i A , A , A , & , A & "Z , t o .
1 2 3 n
n = 1
D e f i n i c j a . R o d z i n Z p o d z b i o r ó w &! s p e Bn i a j c w a r u n k i 1 - 3
n a z y w a m y Ã- c i a Be m z d a r z e D.
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
7
D e f i n i c j a k l a s y c z n a p r a w d o p o d o b i e Ds t w a ( P i e r r e - S i m o n d e
L a p l a c e , 1 8 1 2 ) J e |e l i p r z e s t r z e D &! s k Ba d a s i z n ( n < ")
j e d n a k o w o m o |l i w y c h z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h i z d a r z e n i e A
s k Ba d a s i z k z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h , t o l i c z b
k
P ( A ) =
n
n a z y w a m y p r a w d o p o d o b i e Ds t w e m z a j [c i a z d a r z e n i a A .
D e f i n i c j a a k s j o m a t y c z n a p r a w d o p o d o b i e Ds t w a ( A n d r i e j
K o Bm o g o r o w 1 9 3 3 ) N i e c h &! b d z i e p r z e s t r z e n i z d a r z e D
e l e m e n t a r n y c h d o [w i a d c z e n i a l o s o w e g o D , Z - j e g o z b i o r e m
z d a r z e D l o s o w y c h . P r a w d o p o d o b i e Ds t w e m n a z y w a m y f u n k c j
P p r z y p o r z d k o w u j c k a |d e m u z d a r z e n i u A "Z l i c z b
r z e c z y w i s t P ( A ) z g o d n i e z n a s t p u j c y m i a k s j o m a t a m i :
( a 1 ) D l a k a |d e g o z d a r z e n i a A "Z
e"
P ( A ) 0
( a 2 ) P r a w d o p o d o b i e Ds t w o z a j [c i a z d a r z e n i a p e w n e g o j e s t
r ó w n e 1 , t j .
P ( &!) = 1
( a 3 ) D l a d o w o l n e g o c i g u A , A , . . . p a r a m i r o z Bc z n y c h
1 2
z d a r z e D z e z b i o r u Z
*" *"
P ( A A & ) = P ( A ) + P ( A ) + &
1 2 1 2
D e f i n i c j a . ( &!, Z , P ) n a z y w a m y p r z e s t r z e n i p r o b a b i l i s t y c z n .
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
8
E L E M E N T A R N E W AA S N O ZC I P R A W D O P O D O B I E CS T W A
( w 1 ) P ( Ø ) = 0
d"
( w 2 ) P ( A ) 1 d l a k a |d e g o A "Z
‚" Ò!
d"
( w 3 ) A B P ( A ) P ( B )
‚" Ò!
( w 4 ) A B P ( B \ A ) = P ( B ) P ( A )
( w 5 ) P ( B \ A ) = P ( B ) P ( A )"B )
( w 6 ) P ( A ) = 1 P ( A )
*"
( w 7 ) P ( A B ) = P ( A ) + P ( B ) P ( A )"B )
( w 8 ) J e |e l i z d a r z e n i a A , A , . . . , A s p a r a m i r o z Bc z n e , t o
1 2 n
*" *" *"
P ( A A & A ) = P ( A ) + P ( A ) + & + P ( A )
1 2 n 1 2 n
( w 9 ) J e |e l i &!= { É , É , . . . , É } i P ( { É } ) = P ( { É } ) = . . . = P ( { É } ) = 1 / n , t o
1 2 n 1 2 n
d l a d o w o l n e g o z d a r z e n i a A
l i c z b a z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h s p r z y j a j a c y c h z d a r z e n i u A A
P ( A ) = =
l i c z b a w s z y s t k i c h z d a r z e D e l e m e n t a r n y c h p r z e s t r z e n i ©
©
( w 1 0 ) J e |e l i &!= { É , É , . . . } l u b &!= { É , É , . . . , É } i s p e Bn i o n e s
1 2 1 2 n
e"
w a r u n k i P ( { É } ) = p 0 o r a z "i p i = 1 , t o p r a w d o p o d o b i e Ds t w o
i i
A = { É , É , . . . , É } w y n o s i
z a j [c i a z d a r z e n i a
i 1 i 2 i k
P ( A ) = P ( { Éi 1 } ) + P ( { Éi 2 } ) + . . . P ( { Éi k } ) = p i 1 + p i 2 + . . . + p i k
( w 1 1 ) J e |e l i
© ‚" R n , &! - z b i ó r o g r a n i c z o n y o m i e r z e
( )
m A
( )
P A : =
( )
0 < m © < " , t o . J e s t t o t z w . p r a w d o p o d o b i e Ds t w o
m ( ©)
g e o m e t r y c z n e .
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
9
3 . P R A W D O P O D O B I E CS T W O W A R U N K O W E
N i e c h ( &!, Z , P ) b d z i e p r z e s t r z e n i p r o b a b i l i s t y c z n p e w n e g o
d o [w i a d c z e n i a , B "Z z a [ d o w o l n y m u s t a l o n y m z d a r z e n i e m
t a k i m , |e P ( B ) > 0 .
D e f i n i c j a . P r a w d o p o d o b i e Ds t w e m w a r u n k o w y m P ( A | B ) z a j [c i a
z d a r z e n i a A "Z p o d w a r u n k i e m z a j [c i a z d a r z e n i a B n a z y w a m y
l i c z b
P ( A )" B )
P ( A B ) =
P ( B )
4 . N I E Z A L E {N O Z Z D A R Z E C
D e f i n i c j a . M ó w i m y , |e z d a r z e n i a A , B " Z s n i e z a l e |n e , g d y
P ( A )"B ) = P ( A ) Å"P ( B )
T w i e r d z e n i e . N i e c h P ( B ) > 0 . W ó w c z a s z d a r z e n i a A i B s
n i e z a l e |n e w t e d y i t y l k o w t e d y , g d y
P ( A | B ) = P ( A )
A 1 , A 2 , . . . , A n
D e f i n i c j a . M ó w i m y , |e z d a r z e n i a "Z s p a r a m i
n i e z a l e |n e , j e [l i k a |d e d w a z n i c h s n i e z a l e |n e .
A 1 , A 2 , . . . , A n
D e f i n i c j a . M ó w i m y , |e z d a r z e n i a "Z s
z e s p o Bo w o n i e z a l e |n e , j e [l i p r a w d o p o d o b i e Ds t w o k o n i u n k c j i
d o w o l n y c h k s p o [r ó d n i c h j e s t r ó w n e i l o c z y n o w i
p r a w d o p o d o b i e Ds t w t y c h z d a r z e D.
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
1 0
5 . T W I E R D Z E N I E O P R A W D O P O D O B I E CS T W I E
C A AK O W I T Y M .
T w i e r d z e n i e ( o p r a w d o p o d o b i e Ds t w i e c a Bk o w i t y m ) .
J e |e l i z d a r z e n i a B , B , . . . , B "Z s p e Bn i a j w a r u n k i :
1 2 n
B 1 *" . . . *" B n = ©
( c 1 )
B i )" B = "
( c 2 ) , g d y i `"j ,
j
( c 3 ) P ( B ) > 0 d l a k a |d e g o i ,
i
t o d l a d o w o l n e g o z d a r z e n i a A "Z z a c h o d z i r ó w n o [
P ( A ) = P ( B ) Å"P ( A | B ) + P ( B ) Å" P ( A | B ) + & + P ( B ) Å"P ( A | B ) =
1 1 2 2 n n
n n
P ( B i ) Å" P ( A B i ) P ( A )" B i )
" "
=
i = 1 i = 1
T w i e r d z e n i e ( B a y e s a ) J e |e l i z d a r z e n i a B , B , . . . , B "Z s p e Bn i a j
1 2 n
w a r u n k i ( c 1 ) - ( c 3 ) t w i e r d z e n i a o p r a w d o p o d o b i e Ds t w i e
c a Bk o w i t y m o r a z P ( A ) > 0 , t o d l a k a |d e g o z d a r z e n i a B
j
z a c h o d z i r ó w n o [
P ( B ) Å" P ( A B ) P ( B ) Å" P ( A B )
j j j j
P ( B A ) = =
j
n
( )
P A
P ( B i ) Å" P ( A B i )
"
i = 1
D e f i n i c j a . M ó w i m y , |e z d a r z e n i a B , B , . . . , B "Z t w o r z u k Ba d
1 2 n
z u p e Bn y z d a r z e D, g d y s p e Bn i a j w a r u n k i ( c 1 ) i ( c 2 ) t w i e r d z e n i a
o p r a w d o p o d o b i e Ds t w i e c a Bk o w i t y m .
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
1 1
6 . Z M I E N N E L O S O W E
N i e c h ( &!, Z , P ) b d z i e d o w o l n p r z e s t r z e n i p r o b a b i l i s t y c z n .
D e f i n i c j a . Z m i e n n l o s o w ( Z L ) X b d z i e m y n a z y w a f u n k c j
X : &! ’! R s p e Bn i a j c w a r u n e k :
{ É " &! : X ( É ) < x } " Z
'"
x " R
D e f i n i c j a . M ó w i m y , |e d a n y j e s t r o z k Ba d p r a w d o p o d o b i e Ds t w a ,
g d y d l a d o w o l n e g o z b i o r u o k r e [l o n e j e s t
A ‚" R
p r a w d o p o d o b i e Ds t w o
d e f
P ( X " A ) = P { É " &! : X ( É ) " A }
( p r a w d o p o d o b i e Ds t w o z d a r z e n i a , |e z m i e n n a l o s o w a p r z y j m u j e
w a r t o [c i z e z b i o r u A ) .
D e f i n i c j a . D y s t r y b u a n t Z L X n a z y w a m y f u n k c j
F : R ’! [ 0 , 1 ]
o k r e [l o n w z o r e m
d e f
{ }
F ( x ) = P ( X < x ) = P É " &! : X ( É ) < x
.
'"
x " R
( p r a w d o p o d o b i e Ds t w o p r z y j c i a p r z e z z m i e n n l o s o w X w a r t o [c i
m n i e j s z e j n i | x )
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
1 2
T w i e r d z e n i e . D y s t r y b u a n t a F m a n a s t p u j c e w Ba s n o [c i :
( d 1 ) F j e s t f u n k c j n i e m a l e j c
( d 2 ) F j e s t f u n k c j l e w o s t r o n n i e c i g B
l i m F ( x ) = 0 '" l i m F ( x ) = 1
( d 3 )
x ’! - " x ’! "
P o n a d t o :
( d 4 ) F ( x ) - F ( x ) = P ( x d" X < x ) d l a x < x
2 1 1 2 1 2
+
( d 5 ) F ( x ) - F ( x ) = P ( X = x ) d l a x "R
0 0 0 0
( d 6 ) d l a x "R
(
F ( x 0 + ) = P X d" x 0 )
0
F : R ’! [ 0 , 1 ] s p e Bn i a j c a
T w i e r d z e n i e . D o w o l n a f u n k c j a
w a r u n k i ( d 1 ) - ( d 3 ) j e s t d y s t r y b u a n t p e w n e j Z L X .
7 . Z M I E N N A L O S O W A T Y P U S K O K O W E G O ( Z L S )
D e f i n i c j a . Z L X n a z y w a m y t y p u s k o k o w e g o ( Z L S ) , g d y i s t n i e j e
p r z e l i c z a l n y z b i ó r W = { x , x , . . . } ‚"R ( w s z c z e g ó l n o [c i z b i ó r W j e s t
1 2
s k o Dc z o n y ) d l a k t ó r e g o s p e Bn i o n e s w a r u n k i :
P ( X = x i ) > 0
'"
( s 1 )
x i " W
( x - p u n k t s k o k o w y , P ( X = x ) = p ( x ) = p - s k o k )
i i i i
p ( x i ) = 1
"
( s 2 ) ( w a r u n e k u n o r m o w a n i a )
x i " W
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
1 3
D e f i n i c j a . D y s t r y b u a n t Z L S X o p u n k t a c h s k o k o w y c h x i
i
( )
p x i F : R ’! [ 0 , 1 ]
s k o k a c h j e s t f u n k c j a o k r e [l o n a w z o r e m
d e f
F ( x ) = p ( x i )
"
'"
x i < x
x " R
T w i e r d z e n i e . D y s t r y b u a n t a Z L S X m a w Ba s n o [c i ( d 1 ) - ( d 6 ) .
P o n a d t o d y s t r y b u a n t a Z L S X j e s t f u n k c j p r z e d z i a Ba m i c i g B
( n i e c i g B, p r z e d z i a Ba m i s t a B) .
8 . Z M I E N N A L O S O W A T Y P U C I G AE G O ( Z L C )
D e f i n i c j a . Z L X n a z y w a m y t y p u c i g Be g o ( Z L C ) , g d y i s t n i e j e
f : R ’! R + *" { 0 }
c a Bk o w a l n a f u n k c j a
t a k a , |e d l a d o w o l n e g o
[ x 1 , x 2 ]
p r z e d z i a Bu
x 2
P ( X " [ x 1 , x 2 ] ) = f ( x ) d x
+"
x 1
Y
y = f ( x )
( )
P x 1 d" x d" x 2
x 1 x 2
X
F u n k c j f n a z y w a m y g s t o [c i p r a w d o p o d o b i e Ds t w a Z L C X .
P r z y k Ba d y z m i e n n e j l o s o w e j t y p u c i g Be g o : c z a s [w i e c e n i a
|a r ó w k i , b Bd l o s o w y p o m i a r u , c z a s c z e k a n i a n a w y k o n a n i e u s Bu g i .
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
1 4
T w i e r d z e n i e . G s t o [ f p r a w d o p o d o b i e Ds t w a Z L C X s p e Bn i a
w a r u n e k
"
f ( x ) d x = 1
( w a r u n e k u n o r m o w a n i a )
+"
- "
Y
y = f ( x )
1
X
T w i e r d z e n i e . W a r u n k i e m k o n i e c z n y m i d o s t a t e c z n y m n a t o ,
a b y f u n k c j a f b y Ba g s t o [c i p r a w d o p o d o b i e Ds t w a j e s t a b y
"
( ) ( )
f x e" 0 f x d x = 1
, o r a z .
+"
- "
D e f i n i c j a . D y s t r y b u a n t Z L C X o g s t o [c i f j e s t f u n k c j a
F : R ’! [ 0 , 1 ] o k r e [l o n a w z o r e m
d e f
x
F ( x ) = f ( t ) d t
+"
'"
x " R
- "
Y
y = f ( x )
( )
F x 0
x 0
X
T w i e r d z e n i e . D y s t r y b u a n t a F Z L C X s p e Bn i a w a r u n k i ( d 1 ) -
( d 6 ) . P o n a d t o F j e s t f u n k c j c i g B.
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
1 5
T w i e r d z e n i e . J e |e l i F j e s t d y s t r y b u a n t Z L C X , t o f u n k c j a
F ' ( x ) d l a t y c h x , d l a k t ó r y c h i s t n i e j e s k o n c z . F ' ( x )
ñø
f ( x ) =
( * )
òø
0 d l a p o z o s t a y c h x " R
óø
j e s t g s t o [c i Z L C X .
T w i e r d z e n i e . Z m i e n n a l o s o w a c i g Ba X m a n a s t p u j c e
w Ba s n o [c i :
P ( X = c ) = 0
'"
"
c " R
P ( a d" X d" b ) = P ( a < X d" b ) = P ( a d" X < b ) = P ( a < X < b ) =
'"
" a < b
a , b " R
b
( )
= F ( b ) - F ( a ) = f x d x
+"
a
T w i e r d z e n i e . J e |e l i F j e s t d y s t r y b u a n t p e w n e j z m i e n n e j
l o s o w e j X o r a z f j e s t f u n k c j p o s t a c i ( * ) i s p e Bn i a j c w a r u n e k
u n o r m o w a n i a , t o X j e s t z m i e n n l o s o w c i g B, a f j e s t j e j
g s t o [c i .
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
1 6
4 . C H A R A K T E R Y S T Y K I L I C Z B O W E Z M I E N N Y C H
L O S O W Y C H
N i e c h g b d z i e f u n k c j o k r e [l o n n a z b i o r z e w a r t o [c i z m i e n n e j
l o s o w e j X t a k , |e Y = g ( X ) j e s t z m i e n n l o s o w .
M I A R Y ZR E D N I E
D e f i n i c j a . W a r t o [ o c z e k i w a n ( p r z e c i t n , n a d z i e j
m a t e m a t y c z n ) f u n k c j i g ( X ) z m i e n n e j l o s o w e j X o z n a c z a m y
s y m b o l e m E [ g ( X ) ] i o k r e [l a m y w n a s t p u j c y s p o s ó b :
x i p ( x i )
" g d y X j e s t Z L S o p u n k t a c h s k o k o w y c h i s k o k a c h
g ( x i ) p ( x i ) < " E [ g ( X ) ] = g ( x i ) Å" p ( x i )
" "
o r a z , t o
i
i
"
g ( x ) f ( x ) d x < "
" g d y X j e s t Z L C o g s t o [c i f o r a z ,
+"
- "
"
E [ g ( X ) ] = ( )
t o . W s z c z e g ó l n o [c i , d l a
+"g x Å" f ( x ) d x
- "
E X = x i Å" p ( x i ) x i Å" p ( x i ) < "
"
"
( )
g x = x
: , g d y
i
i
"
"
E X =
o r a z +"x Å" f ( x ) d x , g d y x Å" f ( x ) d x < " .
+"
- "
- "
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
1 7
T w i e r d z e n i e . ( W Ba s n o [c i w a r t o [c i o c z e k i w a n e j )
N i e c h X , Y b d d o w o l n y m i Z L , o r a z n i e c h a , b , c "R . W ó w c z a s
E ( a X ) = a E X
( E 1 )
E ( X + b ) = E X + b
( E 2 )
E ( a X ± b Y ) = a E X ± b E Y
( E 3 )
E ( X Å" Y ) = E X Å" E Y
( E 4 ) J e |e l i X , Y s Z L n i e z a l e |n y m i , t o
P ( X = c ) = 1 , t o E X = c
( E 5 ) J e |e l i
P ( X e" 0 ) = 1 , t o E X e" 0
( E 6 ) J e |e l i
P ( a d" X d" b ) = 1 , t o a d" E X d" b
( E 7 ) J e |e l i
P ( X d" Y ) = 1 , t o E X d" E Y
( E 8 ) o i l e E X i E Y i s t n i e j
D e f i n i c j a . K w a n t y l e m r z d u p ( p "( 0 , 1 ) ) Z L X n a z y w a m y
l i c z b x s p e Bn i a j c w a r u n k i :
p
( ) ( )
P X d" x e" p P X e" x e" 1 - p
o r a z
p p
x 0 , 5
D e f i n i c j a . M e d i a n ( M e , ) n a z y w a m y k w a n t y l r z d u
p = 0 , 5 .
D e f i n i c j a . M o d ( w a r t o [c i m o d a l n , d o m i n a n t D o ) ,
n a z y w a m y
( ) ( )
x k m i n x i m a x x i
- d l a Z L S p u n k t s k o k o w y , r ó |n y o d i ,
( )
p x k
d l a k t ó r e g o o s i g a m a k s i m u m a b s o l u t n e ;
d l a Z L C o d c i t m a k s i m u m a b s o l u t n e g o g s t o [c i .
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
1 8
M I A R Y R O Z R Z U T U ( D Y S P E R S J I )
D e f i n i c j a . M o m e n t e m z w y k By m r z d u z m i e n n e j
r " N
r
l o s o w e j X n a z y w a m y l i c z b o i l e i s t n i e j e . W
( )
m r = E X
m 1 = E X
s z c z e g ó l n o [c i .
D e f i n i c j a . M o m e n t e m c e n t r a l n y m r z d u z m i e n n e j
r " N
l o s o w e j X n a z y w a m y l i c z b .
(
µ = E X - E X ) r
r
µ = 0
U w a g a .
1
T w i e r d z e n i e . J e [l i i s t n i e j e s k o Dc z o n y m o m e n t r z d u r , t o
i s t n i e j s k o Dc z o n e m o m e n t y r z d ó w k d" r .
D e f i n i c j a . M o m e n t c e n t r a l n y r z d u I I - g o n a z y w a m y w a r i a n c j
z m i e n n e j l o s o w e j X i o z n a c z a m y s y m b o l e m V X ( l u b V a r X ,
D 2 X ) . Z a t e m :
V X = E ( X - E X ) 2
W s z c z e g ó l n o [c i :
p ( x i ) , t o
" g d y X j e s t Z L S o s k o k a c h
V X = ( x i - E X ) 2 Å" p ( x i ) ;
"
i
" g d y X j e s t Z L C o g s t o [c i f , t o
"
V X =
+"( x - E X ) 2 Å" f ( x ) d x
- "
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
1 9
T w i e r d z e n i e . ( W Ba s n o [c i w a r i a n c j i )
N i e c h X , Y b d d o w o l n y m i Z L , o r a z n i e c h a , b , c "R . W ó w c z a s
( )
V X = 0 Ô! P X = c = 1
( V 1 ) V X e" 0 ,
( V 2 )
V ( a X + b ) = a 2 V X
2
( V 3 )
V X = E X - ( E X ) 2
V ( X ± Y ) = V X + V Y
( V 4 ) J e |e l i X , Y s Z L n i e z a l e |n y m i t o
( V 5 ) ( )
( ) 2 c
( ) 2 V X = E X - c - ( - E X ) 2
V X d" E X - c
D e f i n i c j a . O d c h y l e n i e s t a n d a r d o w e z m i e n n e j l o s o w e j X
( )
l u b à , S
o z n a c z a m y s y m b o l e m D X i o k r e [l a m y z a
x
p o m o c w z o r u :
D X = V X
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
2 0
P R Z Y K AA D Y R O Z K AA D Ó W T Y P U S K O K O W E G O
Z M I E N N A O R O Z K AA D Z I E R Ó W N O M I E R N Y M
x x x . . . x
i 1 2 n
1 1 1
p . . .
i
n n
n
x 1 + x 2 + . . . + x n
E X =
n
Z M I E N N A O R O Z K AA D Z I E J E D N O P U N K T O W Y M
x x
i 1
p 1
i
E X = x 1
V X = 0
Z M I E N N A O R O Z K AA D Z I E D W U P U N K T O W Y M ( Z E R O -
J E D Y N K O W Y M )
x x = 1 x = 0
i 1 2
p p q = 1 - p
i
E X = p V X = p Å" q
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
2 1
Z M I E N N A O R O Z K AA D Z I E G E O M E T R Y C Z N Y M
Z L X m a r o z k Ba d g e o m e t r y c z n y o p a r a m e t r z e p , g d y W = N ,
p r z y c z y m p " ( 0 , 1 ) , k = 1 , 2 , . . .
,
p k = P ( X = k ) = p q k - 1
p + q = 1
q
1
V X =
E X =
,
p
p 2
Z M I E N N A O R O Z K AA D Z I E D W U M I A N O W Y M
( B E R N O U L L I E G O ) X <" b ( n , p )
n
Z L X m a r o z k Ba d B e r n o u l l i e g o , g d y W = { 0 , 1 , . . . , n } ( n e"1 )
n
n
ëø öø
p k = P ( X n = k ) = ìø ÷ø p k q n - k
k
íø øø
p r z y c z y m p " ( 0 , 1 ) , k = 0 , 1 , . . . , n p + q = 1
, .
E X n = n Å" p V X n = n Å" p Å" q
Z M I E N N A O R O Z K AA D Z I E P O I S S O N A X <" P o ( »)
Z L X m a r o z k Ba d P o i s s o n a , g d y W = { 0 , 1 , . . . }
k
e - » »
p r z y c z y m »> 0 , k = 0 , 1 , . . . .
p k = P ( X = k ) =
k !
E X = » V X = »
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
2 2
T w i e r d z e n i e . ( o z b i e |n o [c i r o z k Ba d u B e r n o u l l i e g o d o
r o z k Ba d u P o i s s o n a )
N i e c h Z L X m a r o z k Ba d B e r n o u l l i e g o X <"b ( n , p ) . J e |e l i
n n
l i m n p ( n ) = »
p = p ( n ) s p e Bn i a w a r u n e k ,
n ’! "
k
n
ëø öø e - » »
t o .
l i m ìø ÷ø p k q n - k =
k k !
n ’! "
íø øø
W n i o s e k ( p r z y b l i |e n i e P o i s s o n a )
k
n
ëø öø e - » »
ìø ÷ø p k q n - k H" , » = n p , k = 0 , 1 , . . . , n
k k !
íø øø
P r z y b l i |e n i e t o j e s t w y s t a r c z a j c o d o k Ba d n e , g d y :
p < 0 . 1 , n > 5 0 , n p < 1 0 .
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
2 3
P R Z Y K AA D Y R O Z K AA D Ó W T Y P U C I G AE G O
Z M I E N N A L O S O W A O R O Z K AA D Z I E J E D N O S T A J N Y M ( r ó w n o m i e r n y m ,
p r o s t o k t n y m ) X <"R ( a , b )
D e f i n i c j a . Z L C X m a r o z k Ba d j e d n o s t a j n y n a p r z e d z i a l e
( a , b ) , g d y
1
ñø
d l a a < x < b
ôø
f ( x ) = - a
b
òø
ôø
0 d l a x d" a (" x e" b
óø
Y
f ( x ) =
a b
X
T w i e r d z e n i e . G d y Z L C X m a r o z k Ba d j e d n o s t a j n y , t o
0 d l a x d" a
ñø
ôø
x - a
ôø
òø
" F ( x ) = d l a a < x < b
b - a
ôø
ôø 1 d l a x e" b
óø
Y
y = F ( x )
a b
X
a + b
" E X =
2
( b - a ) 2
" V X =
1 2
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
2 4
Z M I E N N A L O S O W A O R O Z K AA D Z I E W Y K AA D N I C Z Y M X <"E x ( »)
D e f i n i c j a . Z L C X m a r o z k Ba d w y k Ba d n i c z y z p a r a m e t r e m »
( »> 0 ) , g d y
ñø
ôø
» Å" e - » Å" x d l a x e" 0
f ( x ) =
òø
ôø
0 d l a x < 0
óø
Y
»
y = f ( x )
X
T w i e r d z e n i e . G d y Z L C X m a r o z k Ba d w y k Ba d n i c z y , t o
ñø
ôø - e - » Å" x d l a x e" 0
1
" F ( x ) =
òø
ôø
0 d l a x < 0
óø
Y
1
y = F ( x )
X
1
" E X =
»
1
" V X =
2
»
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
2 5
Z M I E N N A L O S O W A O R O Z K AA D Z I E N O R M A L N Y M ( G A U S S A )
X <"N ( µ , Ã)
D e f i n i c j a . Z L C X m a r o z k Ba d n o r m a l n y z p a r a m e t r a m i
( µ , Ã) ( µ "R , Ã> 0 ) , g d y
( x - µ ) 2
-
2
1
2 Ã
f ( x ) = Å" e , x " R
à Å" 2 À
Y
1
y = f ( x )
k r z y w a G a u s s a
à 2 µ
X
T w i e r d z e n i e . G d y Z L C X m a r o z k Ba d n o r m a l n y , t o
" E X = µ
2
"
V X = Ã
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
2 6
Z M I E N N A L O S O W A O S T A N D A R Y Z O W A N Y M R O Z K AA D Z I E
N O R M A L N Y M X <"N ( 0 , 1 )
D e f i n i c j a . Z L C X m a s t a n d a r y z o w a n y r o z k Ba d n o r m a l n y ,
g d y m a r o z k Ba d n o r m a l n y o µ = 0 i Ã= 1 . J e j g s t o [ ( o z n a c z a n a
1
- u 2
1
p r z e z Õ ) w y r a |a s i w z o r e m
2
Õ ( u ) = e , u " R
2 À
Y
1
y = ( x )
2 À
- x x
X
T w i e r d z e n i e . G d y Z L C X m a s t a n d a r y z o w a n y r o z k Ba d
n o r m a l n y , t o
" E X = 0
" V X = 1
" d l a d o w o l n e g o u "R d y s t r y b u a n t a w y r a |a s i w z o r e m
1
2
u - t
1
¦ ( u ) =
+"e 2 d t
2 À
- "
p r z y c z y m d l a d o w o l n e g o u e"0 ¦( - u ) = 1 - ¦( u ) .
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
2 7
X - E X
U =
D e f i n i c j a . Z m i e n n l o s o w n a z y w a m y
Ã
x
s t a n d a r y z o w a n z m i e n n l o s o w .
X - µ
( )
T w i e r d z e n i e . J e |e l i X ~ N ( µ , Ã ) , t o U = ~ N 0 , 1 .
Ã
T w i e r d z e n i e . ( R e g u Ba 3 - Ã m o w a ) J e |e l i X ~ N ( µ , Ã ) , t o
( )
P X - µ < 3 Ã H" 0 , 9 9 7 3
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
2 8
W E K T O R Y L O S O W E
N i e c h
X i : &! ’! R 1 , i = 1 , 2 , . . . , n b d j e d n o w y m i a r o w y m i
{ }
&! , Z , p
z m i e n n y m i l o s o w y m i o k r e [l o n y m i w .
D e f i n i c j a . C i g n j e d n o w y m i a r o w y c h z m i e n n y c h l o s o w y c h
X i , i = 1 , 2 , . . . , n
n a z y w a m y w e k t o r e m l o s o w y m
i o z n a c z a m y :
( ) [ ( ) ( ) ( ) ]
X É = X 1 É , X 2 É , . . . , X n É
X i
n a z y w a m y w s p ó Br z d n y m i w e k t o r a X .
G d y n = 2 o z n a c z a b d z i e m y t r a d y c y j n i e :
( ) [ ( ) ( ) ] (
X É = X É , Y É X , Y )
l u b k r ó c e j : .
D e f i n i c j a . D y s t r y b u a n t w e k t o r a l o s o w e g o X = ( X , Y )
n a z y w a m y f u n k c j , g d y d l a k a |d e g o
[ ]
F : R 2 ’! 0 , 1
( x , y " R 2 z a c h o d z i
)
( ) [ { ( ) ( ) } ] ( )
F x , y = P É : X É < x , Y É < y = P X < x , Y < y
T w i e r d z e n i e . W Ba s n o [c i d y s t r y b u a n t y
( )
F x , y
( W D 1 ) j e s t n i e m a l e j c f u n k c j j e d n e g o a r g u m e n t u
p r z y u s t a l o n y m d r u g i m ;
( )
F x , y
( W D 2 ) j e s t l e w o s t r o n n i e c i g B f u n k c j j e d n e g o z
a r g u m e n t ó w p r z y u s t a l o n y m d r u g i m ;
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
2 9
( ) ( ) ( ) F ( x , y ) = 1
F x , y = 0 = F x , y = F x , y
l i m
l i m l i m l i m
x ’! - " x ’! "
y ’! - "
( W D 3 ) x ’! - "
y ’! - "
y ’! "
x 1 < x 2 , y 1 < y 2
( W D 4 ) D l a k a |d e g o ,
( ) ( ) ( ) ( )
F x 2 , y 2 - F x 1 , y 2 - F x 2 , y 1 + F x 1 , y 1 e" 0
.
W a r u n k i ( W D 1 ) - ( W D 4 ) s w a r u n k a m i k o n i e c z n y m i
( )
F x , y
i w y s t a r c z a j c y m i n a t o , b y b y Ba d y s t r y b u a n t
( X , Y )
z m i e n n e j l o s o w e j .
R o z k Ba d y b r z e g o w e ( m a r g i n a l n e )
D e f i n i c j a . R o z k Ba d y j e d n o w y m i a r o w y c h z m i e n n y c h l o s o w y c h
o d y s t r y b u a n t a c h :
( ) ( ) ,
F X x = l i m F x , y
( ) ( )
F Y y = l i m F x , y
y ’! "
x ’! "
n a z y w a m y r o z k Ba d a m i b r z e g o w y m i w e k t o r a ( X , Y ) .
F X F Y
F u n k c j e i m a j w Ba s n o [c i d y s t r y b u a n t y
j e d n o w y m i a r o w y c h z m i e n n y c h l o s o w y c h o r a z
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
F X x = l i m F x , y = l i m P X < x , Y < y = P X < x , Y < " = P X < x
y ’! " y ’! "
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
3 0
W E K T O R Y L O S O W E T Y P U S K O K O W E G O
( D Y S K R E T N E G O )
( X , Y )
D e f i n i c j a . D w u w y m i a r o w a z m i e n n a l o s o w a j e s t t y p u
s k o k o w e g o , j e [l i p r z y j m u j e s k o Dc z o n l u b p r z e l i c z a l n l i c z b
( x i , y k )
w a r t o [c i o d p o w i e d n i o z p r a w d o p o d o b i e Ds t w a m i
( )
P X = x i , Y = y k = p i k , i , k " N , p i k = 1 .
" "
i k
( )
p : x i , y k ’! [ 0 , 1 ]
i , k " N
D e f i n i c j a . F u n k c j , ,
(
p i k = P X = x i , Y = y k )
o w a r t o [c i a c h n a z y w a m y f u n k c j
p r a w d o p o d o b i e Ds t w a w e k t o r a l o s o w e g o ( X , Y ) .
( X , Y )
D y s t r y b u a n t a w e k t o r a w t y m p r z y p a d k u t o f u n k c j a
( )
F x , y = p i k
" "
i k
x i < x y k < y
T A B L I C A D W U D Z I E L C Z A
m
y y . . . y
1 2 n
Y p i j = p i "
"
X j = 1
x p p . . . p p
"
1 1 1 1 2 1 n 1
x p p . . . p p
"
2 2 1 2 2 1 n 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
x p p . . . p p
"
m m 1 m 2 m n k
m n
n
. . .
p " 1 p " 2 p " n " p i " = p " j = 1
"
p i j = p " j
"
i = 1 j = 1
i = 1
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
3 1
W E K T O R Y L O S O W E T Y P U C I G AE G O
( X , Y )
D e f i n i c j a . D w u w y m i a r o w a z m i e n n a l o s o w a
( )
F x , y
o d y s t r y b u a n c i e j e s t t y p u c i g Be g o , j e [l i i s t n i e j e
n i e u j e m n a i c a Bk o w a l n a f u n k c j a
f : R 2 ’! R t a k a , |e
y
x
( ) ( )
F x , y = f t , s d t d s
+" +"
- " - "
F u n k c j f n a z y w a m y g s t o [c i p r a w d o p o d o b i e Ds t w a w e k t o r a
( X , Y )
l o s o w e g o .
Z
z = f ( x , y )
X
Y
T w i e r d z e n i e . W Ba s n o [c i g s t o [c i :
( W G 1 ) f j e s t g s t o [c i p r a w d o p o d o b i e Ds t w a
" "
( ) ( )
Ô! f x , y e" 0 f x , y d x d y = 1
i
+" +"
- " - "
( W G 2 ) J e |e l i ( x , y ) j e s t p u n k t e m c i g Bo [c i f , t o
2
( )
" F x , y
( )
f x , y =
" x " y
[ ( ) ] ( )
P X , Y " B = f x , y d x d y
+"+"
( W G 3 ) D l a
B ‚" R 2 ,
B
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
3 2
( X , Y )
T w i e r d z e n i e . J e |e l i j e s t w e k t o r e m l o s o w y m t y p u
( )
f x , y
c i g Be g o o g s t o [c i , t o r o z k Ba d y b r z e g o w e s
r o z k Ba d a m i j e d n o w y m i a r o w y c h z m i e n n y c h l o s o w y c h t y p u
c i g Be g o o g s t o [c i a c h :
" "
( ) ( ) ( ) ( )
f x = f x , y d y f Y y = f x , y d x
,
+" +"
X
- "
- "
N I E Z A L E {N O Z Z M I E N N Y C H L O S O W Y C H
D e f i n i c j a . Z m i e n n e l o s o w e X i Y s n i e z a l e |n e , j e [l i d l a k a |d e g o
x , y " R
( ) ( ) ( )
F x , y = F X x F Y y
( ) ( ) ( )
P X < x , Y < y = P X < x P Y < y
R ó w n o w a |n i e : .
T a k w i c w p r z y p a d k u n i e z a l e |n y c h z m i e n n y c h l o s o w y c h ,
r o z k Ba d y b r z e g o w e w y z n a c z a j j e d n o z n a c z n i e r o z k Ba d w e k t o r a
l o s o w e g o .
T w i e r d z e n i e . W a r u n k i e m k o n i e c z n y m i d o s t a t e c z n y m n a t o , b y
z m i e n n e l o s o w e X i Y t y p u s k o k o w e g o b y By n i e z a l e |n e j e s t , a b y
x i , y k " R
d l a k a |d e g o
( ) ( ) ( )
P X = x i , Y = y k = P X x i P Y y k Ô! p i k = p i " Å" p " k
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
3 3
T w i e r d z e n i e . W a r u n k i e m k o n i e c z n y m i d o s t a t e c z n y m n a t o , b y
z m i e n n e l o s o w e X i Y t y p u c i g Be g o b y By n i e z a l e |n e j e s t , a b y d l a
x , y " R
k a |d e g o
( ) ( ) ( )
f x , y = f x f Y y
X
R O Z K AA D Y W A R U N K O W E
G d y X , Y s z a l e |n e , b a d a s i t z w . r o z k Ba d y w a r u n k o w e :
( )
P X < x , Y " B
( )
P X < x | Y " B =
( )
P Y " B > 0
o i l e , .
B ‚" R
( )
P Y " B
( ) ( )
F X x | B = P X < x | Y " B
D e f i n i c j a . F u n k c j z m i e n n e j x
n a z y w a m y d y s t r y b u a n t w a r u n k o w z m i e n n e j l o s o w e j X p o d
Y " B
w a r u n k i e m , |e .
(
I . N i e c h X , Y )
b d z i e w e k t o r e m t y p u s k o k o w e g o , t a k i m , |e
( ) { }
p " k = P Y = y k > 0 B = y k
. W t e d y d l a m a m y :
1
P ( X < x | Y = y k ) = p i k
"
p " k i
x i < x
i s t d f u n k c j e p r a w d o p o d o b i e Ds t w a r o z k Ba d u w a r u n k o w e g o
s p o s t a c i :
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
3 4
p i k
( )
P X = x i | Y = y k =
p " k > 0
o i l e o r a z
p " k
p i k
( )
P Y = y k | X = x i =
p i " > 0
o i l e .
p i "
( X , Y )
I I . N i e c h b d z i e w e k t o r e m t y p u c i g Be g o . W t e d y
g s t o [c i r o z k Ba d ó w w a r u n k o w y c h s p o s t a c i :
( )
f x , y
( )
f x | y =
( )
f Y y > 0
o i l e ;
X
( )
f Y y
( )
f x , y
( )
f Y y | x =
( )
f x > 0
o i l e .
X
( )
f x
X
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
3 5
C H A R A K T E R Y S T Y K I L I C Z B O W E W E K T O R A
L O S O W E G O ( X , Y )
( X , Y )
N i e c h b d z i e w e k t o r e m l o s o w y m o z n a n y m r o z k Ba d z i e
(
Z = g X , Y )
p r a w d o p o d o b i e Ds t w a , o r a z n i e c h b d z i e
z m i e n n l o s o w .
D e f i n i c j a : W a r t o [c i p r z e c i t n z m i e n n e j l o s o w e j
(
Z = g X , Y )
j e s t l i c z b a o k r e [l o n a w z o r e m :
- " - "
[ ( ) ]
E Z = E g X , Y =
+" +"g ( x , y ) f ( x , y ) d x d y
- " - "
- " - "
( ) ( )
( X , Y ) g x , y f x , y d x d y < "
d l a t y p u c i g Be g o ( o i l e )
+" +"
- " - "
[ ( ) ] ( )
E Z = E g X , Y = g x i , y k p i k
" "
i k
( )
g x i , y k p i k < "
" "
( X , Y )
d l a t y p u s k o k o w e g o ( o i l e )
i k
M O M E N T Y
{ }
r + s , r , s " N *" 0
D e f i n i c j a . M o m e n t e m z w y k By m r z d u
r s
( X , Y )
w e k t o r a n a z y w a m y w a r t o [ p r z e c i t n
X Y
r s
(
m r s = E X Å" Y )
( o i l e i s t n i e j e )
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
3 6
{ }
r + s , r , s " N *" 0
D e f i n i c j a . M o m e n t e m c e n t r a l n y m r z d u
( X , Y )
w e k t o r a n a z y w a m y :
[ ( ) r (
µ = E X - E X Å" Y - E Y ) s ] ( o i l e i s t n i e j e )
r s
m 1 0 = E X , m 0 1 = E Y
N p . : ,
(
S m 1 0 , m 0 1 )
p u n k t - [r o d e k c i |k o [c i m a s y
p r a w d o p o d o b i e Ds t w a ,
µ = 0 = µ
, , .
µ = D 2 X µ = D 2 Y
0 1 1 0
2 0 0 2
D e f i n i c j a . K o w a r i a n c j n a z y w a m y :
( ) [ ( ) (
µ = c o v X , Y = E X - E X Å" Y - E Y ) ]
1 1
W Ba s n o [c i m o m e n t ó w :
( ) ( )
c o v X , Y = E X Å" Y - E X Å" E Y
1 .
( ) E X < " E Y < "
2 . E a X + b Y = a E X + b E Y o i l e ,
3 .
( ) (
D 2 a X + b Y = a 2 D 2 X + b 2 D 2 Y + 2 a b c o v X , Y )
( )
E X Å" Y = E X Å" E Y
4 . J e [l i X , Y s n i e z a l e |n e t o ( o d w r o t n a
z a l e |n o [ n i e m u s i z a c h o d z i ; n p . X ~ r . s y m e t r y c z n y o E X = 0
3
o r a z Y = X 2 , w t e d y = 0 )
E X
( )
c o v X , Y = 0
5 . J e [l i X , Y s n i e z a l e |n e t o
6 . J e [l i X , Y s n i e z a l e |n e t o
( )
D 2 a X + b Y = a 2 D 2 X + b 2 D 2 Y
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
3 7
W S P Ó AC Z Y N N I K K O R E L A C J I
( X , Y )
Z a Bó |m y , |e m a s k o Dc z o n e m o m e n t y r z d u I I - g o o r a z
2 2
à = D 2 X > 0 , à = D 2 Y > 0 .
X Y
D e f i n i c j a . W s p ó Bc z y n n i k i e m k o r e l a c j i z m i e n n y c h X , Y
n a z y w a m y l i c z b o k r e [l o n w z o r e m :
(
c o v X , Y )
Á =
X , Y
à Å" Ã
X Y
W Ba s n o [c i :
Á
1 . j e s t n i e z m i e n n i k i e m p r z e k s z t a Bc e n i a l i n i o w e g o
X , Y
a , c `" 0
Á Á
z m i e n n y c h X , Y t z n . = , g d y
X , Y a X + b , c Y + d
Á d" 1
2 .
X , Y
( )
Á = 1 Ô! " P Y = a X + b = 1
3 .
X , Y a , b " R
Á = 0 , t o z m i e n n e X i Y n a z y w a m y
D e f i n i c j a . J e [l i
X , Y
n i e s k o r e l o w a n y m i .
O p r a c o w a n i e : M o n i k a P o t y r a Ba
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