��Automatyka i Robotyka Analiza WykBad 13 dr Adam miel cmiel@agh.edu.pl
PrzestrzeD metryczna
Def: Dla dowolnego X `" " funkcj � : X � X �! R speBniajc warunki:
1� "x, y"X �(x, y) e" 0 '" (�(x, y) = 0 �! x = y)
2� "x, y"X �(x, y) = �(y, x)
3� "x, y, z"X �(x, z) d" �(x, y) + �(y, z)
nazywamy metryk (odlegBo[ci) w X, a par (X,�) przestrzeni metryczn.
PrzykBady
" X = R �(x, y) = x - y
n
2
" X = Rn �E (x, y) = - yi )
"(xi
i=1
�1(x, y) = max xi - yi
i
n
�2 (x, y) = xi - yi
"
i=1
0 dla x = y
��
" X `" " �(x, y) =
��1 dla x `" y (metryka dyskretna)
��
�(x, y)
" (X,�) prz. metr. �! �1(x, y) = r�wnie| jest metryk w X (ograniczon przez 1)
1 + �(x, y)
PrzestrzeD unormowana
X przestrzeD liniowa (wektorowa) nad ciaBem K (K = R)
Def. Norm w przestrzeni liniowej nad ciaBem K nazywamy rzeczywist funkcj
�" : x" X �! x e" 0 , przy czym:
1� "x"X x = 0 �! x = 0
2� "�"K "x"X � x = � x
3� "x,y"X x + y d" x + y
(X , ) nazywamy przestrzeni unormowan. Norma jest odpowiednikiem pojcia dBugo[ci wektora.
Np. X = Rn x = (x1,..., xn )
n
- x = xi 2 - norma euklidesowa (norma l2 )
"
i=1
- x = max xi - norma max lub l "
l "
1d"id"n
n
- x = xi - norma l1
"
l1
i=1
Np. X = C[a,b] - zbi�r wszystkich funkcji rzeczywistych cigBych na [a,b]
f = sup f (x) = max f (x) - norma supremum (sup=max bo f jest cg. na przedziale [a,b])
ad"xd"b
ad"xd"b
1
Automatyka i Robotyka Analiza WykBad 13 dr Adam miel cmiel@agh.edu.pl
Fakt. PrzestrzeD unormowana jest przestrzeni metryczn z metryk �(x, y) = x - y .
Kula w przestrzeni X = C[a,b]
K( f , r) - wszystkie funkcje cigBe, kt�rych wykresy le| pomidzy f - r a f + r .
Pojcia zwizane z metryk:
(X,�) - przestrzeD metryczna.
" Kula : K(x0 , r) = {x " X : �(x, x0 ) <� r}, Kule w R2 w r�|nych metrykach
" Otoczenie (kuliste) punktu x0: Ot(x0 ,r) = K(x0 , r)
" Ssiedztwo punktu x0: S(x0 , r) = K(x0 , r) -{x0}
Def. (granicy cigu o warto[ciach w przestrzeni metrycznej (X,�):
lim an = g �! "� >0"n "N "ne"n �(an , g) d" �
0 0
n�! "
1
Pytanie. Czy cig ( ) jest zbie|ny w przestrzeni R z metryk dyskretn. Jak wygldaj cigi zbie|ne
n
w przestrzeni metrycznej z metryk dyskretn
Podobnie jak w przypadku cig�w rzeczywistych mo|emy wprowadzi pojcie cigu
fundamentalnego czyli speBniajcego warunek Cauchy ego
(C) "� >0"n "N "n,me"n �(am ,an ) d" � .
0 0
Tw. Je|eli cig (an ) punkt�w przestrzeni metrycznej (X , �) jest zbie|ny, to speBnia on warunek
Cauchy ego "� >0"n "N "m,ne"n �(am ,an ) <� � .
0 0
Uwaga. W przypadku cig�w rzeczywistych prawdziwe jest twierdzenie odwrotne, a w og�lnym
przypadku nie.
Def. PrzestrzeD metryczn (X,�) nazywamy zupeBn, je|eli ka|dy cig Cauchy ego element�w
przestrzeni (X,�) jest zbie|ny (do elementu przestrzeni (X,�)).
PrzykBady
" (R, | �" | ) jest przestrzeni zupeBn a (W, | �" | ) nie jest przestrzeni zupeBn
" (Rn, �E) jest przestrzeni zupeBn
2
Automatyka i Robotyka Analiza WykBad 13 dr Adam miel cmiel@agh.edu.pl
Def. Zbie|no[ cigu w przestrzeni unormowanej a wic tak|e metrycznej z metryk indukowan
przez norm, nazywamy zbie|no[ci w sensie normy.
Def. Przestrzeni Banacha nazywamy przestrzeD liniow, unormowan i zupeBn
Metryka dc ( f , g) = sup f (x) - g(x) (Czebyszewa) w przestrzeni C[a,b] rzeczywistych funkcji
ad"xd"b
cigBych na przedziale [a,b] indukowana przez norm f = sup f (x) , jest metryk zbie|no[ci
ad"xd"b
jednostajnej. ( wr�cimy do tego przy cigach i szeregach funkcyjnych)
Def. Punkt x0 " X nazywamy punktem skupienia zbioru A �" X �! istnieje cig (an)�"A taki,
|e "n an `" x0 i lim an = x0
n�! "
Def. Punkt zbioru A, kt�ry nie jest punktem skupienia nazywamy punktem izolowanym.
Charakteryzacja otoczeniowa punkt�w i zbior�w w przestrzeni metrycznej.
(X , �) - przestrzeD metryczna, A�"X, A `" ", ( przypomnienie - K(x0 , r) = {x " X : �(x0 , x) <� r})
Def. Punkt a"A nazywamy punktem izolowanym zbioru A �! " r>0 K(a,r) )"A={a}.
Def. Punkt a"A nazywamy punktem wewntrznym zbioru �! " r>0 K(a,r) �"A.
Def. Punkt a"X jest punktem brzegowym zbioru A �! "r>0 K(a,r) )"A`"" '" K(a,r) )"(X-A) `""
Def. Punkt a"X-A jest punktem zewntrznym zbioru A �! " r>0 K(a,r) )"A`""
Uwaga. Punkt wewntrzny zbioru A nale|y do A, punkt zewntrzny nale|y do jego dopeBnienia, a
brzegowy mo|e nale|e do A albo do X-A.
Def. Punkt a"X jest punktem skupienia zbioru A �!"r>0 (K(a,r)-{a}) )"A`"".
Def. Zbi�r A�"X jest otwarty, gdy skBada si z samych punkt�w wewntrznych.
Def. Zbi�r A�"X jest domknity �! A'= X \ A jest zbiorem otwartym.
Def. Wntrze zbioru A (oznaczenie - int A) to zbi�r wszystkich punkt�w wewntrznych.
Def. Brzeg zbioru A (oznaczenia - Fr A lub "A), to zbi�r wszystkich punkt�w brzegowych.
Wnioski:
" A jest otwarty �! A=int A
" Wntrze zbioru A to najwikszy zbi�r otwarty zawarty w danym zbiorze.
Def: Domkniciem zbioru A�"X nazywamy najmniejszy zbi�r domknity A nakrywajcy zbi�r A.
Def. Punkt a"X jest punktem domknicia zbioru A �!"r>0 K(a,r))"A`"".
Wnioski
" Ka|dy punkt skupienia zbioru A jest punktem domknicia, ale nie odwrotnie, bo np. punkt
izolowany jest punktem domknicia, ale nie jest punktem skupienia.
" Zbi�r domknity zawiera wszystkie swoje punkty skupienia.
3