plik


ÿþAutomatyka i Robotyka  Analiza  WykBad 13  dr Adam miel  cmiel@agh.edu.pl PrzestrzeD metryczna Def: Dla dowolnego X `" " funkcj Á : X × X ’! R speBniajc warunki: 1º "x, y"X Á(x, y) e" 0 '" (Á(x, y) = 0 Ô! x = y) 2º "x, y"X Á(x, y) = Á(y, x) 3º "x, y, z"X Á(x, z) d" Á(x, y) + Á(y, z) nazywamy metryk (odlegBo[ci) w X, a par (X,Á) przestrzeni metryczn. PrzykBady " X = R Á(x, y) = x - y n 2 " X = Rn ÁE (x, y) = - yi ) "(xi i=1 Á1(x, y) = max xi - yi i n Á2 (x, y) = xi - yi " i=1 0 dla x = y ñø " X `" " Á(x, y) = òø1 dla x `" y (metryka dyskretna) óø Á(x, y) " (X,Á) prz. metr. Ò! Á1(x, y) = równie| jest metryk w X (ograniczon przez 1) 1 + Á(x, y) PrzestrzeD unormowana X  przestrzeD liniowa (wektorowa) nad ciaBem K (K = R) Def. Norm w przestrzeni liniowej nad ciaBem K nazywamy rzeczywist funkcj Å" : x" X ’! x e" 0 , przy czym: 1º "x"X x = 0 Ô! x = 0 2º "±"K "x"X ± x = ± x 3º "x,y"X x + y d" x + y (X , ) nazywamy przestrzeni unormowan. Norma jest odpowiednikiem pojcia dBugo[ci wektora. Np. X = Rn x = (x1,..., xn ) n - x = xi 2 - norma euklidesowa (norma l2 ) " i=1 - x = max xi - norma max lub l" l" 1d"id"n n - x = xi - norma l1 " l1 i=1 Np. X = C[a,b] - zbiór wszystkich funkcji rzeczywistych cigBych na [a,b] f = sup f (x) = max f (x) - norma supremum (sup=max bo f jest cg. na przedziale [a,b]) ad"xd"b ad"xd"b 1 Automatyka i Robotyka  Analiza  WykBad 13  dr Adam miel  cmiel@agh.edu.pl Fakt. PrzestrzeD unormowana jest przestrzeni metryczn z metryk Á(x, y) = x - y . Kula w przestrzeni X = C[a,b] K( f , r) - wszystkie funkcje cigBe, których wykresy le| pomidzy f - r a f + r . Pojcia zwizane z metryk: (X,Á) - przestrzeD metryczna. " Kula : K(x0 , r) = {x " X : Á(x, x0 ) < r}, Kule w R2 w ró|nych metrykach " Otoczenie (kuliste) punktu x0: Ot(x0 ,r) = K(x0 , r) " Ssiedztwo punktu x0: S(x0 , r) = K(x0 , r) -{x0} Def. (granicy cigu o warto[ciach w przestrzeni metrycznej (X,Á): lim an = g Ô! "µ >0"n "N "ne"n Á(an , g) d" µ 0 0 n’!" 1 Pytanie. Czy cig ( ) jest zbie|ny w przestrzeni R z metryk dyskretn. Jak wygldaj cigi zbie|ne n w przestrzeni metrycznej z metryk dyskretn Podobnie jak w przypadku cigów rzeczywistych mo|emy wprowadzi pojcie cigu fundamentalnego czyli speBniajcego warunek Cauchy ego (C) "µ >0"n "N "n,me"n Á(am ,an ) d" µ . 0 0 Tw. Je|eli cig (an ) punktów przestrzeni metrycznej (X , Á) jest zbie|ny, to speBnia on warunek Cauchy ego "µ >0"n "N "m,ne"n Á(am ,an ) < µ . 0 0 Uwaga. W przypadku cigów rzeczywistych prawdziwe jest twierdzenie odwrotne, a w ogólnym przypadku nie. Def. PrzestrzeD metryczn (X,Á) nazywamy zupeBn, je|eli ka|dy cig Cauchy ego elementów przestrzeni (X,Á) jest zbie|ny (do elementu przestrzeni (X,Á)). PrzykBady " (R, | Å" | ) jest przestrzeni zupeBn a (W, | Å" | ) nie jest przestrzeni zupeBn " (Rn, ÁE) jest przestrzeni zupeBn 2 Automatyka i Robotyka  Analiza  WykBad 13  dr Adam miel  cmiel@agh.edu.pl Def. Zbie|no[ cigu w przestrzeni unormowanej a wic tak|e metrycznej z metryk indukowan przez norm, nazywamy zbie|no[ci w sensie normy. Def. Przestrzeni Banacha nazywamy przestrzeD liniow, unormowan i zupeBn Metryka dc ( f , g) = sup f (x) - g(x) (Czebyszewa) w przestrzeni C[a,b] rzeczywistych funkcji ad"xd"b cigBych na przedziale [a,b] indukowana przez norm f = sup f (x) , jest metryk zbie|no[ci ad"xd"b jednostajnej. ( wrócimy do tego przy cigach i szeregach funkcyjnych) Def. Punkt x0 " X nazywamy punktem skupienia zbioru A ‚" X Ô! istnieje cig (an)‚"A taki, |e "n an `" x0 i lim an = x0 n’!" Def. Punkt zbioru A, który nie jest punktem skupienia nazywamy punktem izolowanym. Charakteryzacja otoczeniowa punktów i zbiorów w przestrzeni metrycznej. (X , Á) - przestrzeD metryczna, A‚"X, A `" ", ( przypomnienie - K(x0 , r) = {x " X : Á(x0 , x) < r}) Def. Punkt a"A nazywamy punktem izolowanym zbioru A Ô! " r>0 K(a,r) )"A={a}. Def. Punkt a"A nazywamy punktem wewntrznym zbioru Ô! " r>0 K(a,r) ‚"A. Def. Punkt a"X jest punktem brzegowym zbioru A Ô! "r>0 K(a,r) )"A`"" '" K(a,r) )"(X-A) `"" Def. Punkt a"X-A jest punktem zewntrznym zbioru A Ô! " r>0 K(a,r) )"A`"" Uwaga. Punkt wewntrzny zbioru A nale|y do A, punkt zewntrzny nale|y do jego dopeBnienia, a brzegowy mo|e nale|e do A albo do X-A. Def. Punkt a"X jest punktem skupienia zbioru A Ô!"r>0 (K(a,r)-{a}) )"A`"". Def. Zbiór A‚"X jest otwarty, gdy skBada si z samych punktów wewntrznych. Def. Zbiór A‚"X jest domknity Ô! A'= X \ A jest zbiorem otwartym. Def. Wntrze zbioru A (oznaczenie - int A) to zbiór wszystkich punktów wewntrznych. Def. Brzeg zbioru A (oznaczenia - Fr A lub "A), to zbiór wszystkich punktów brzegowych. Wnioski: " A jest otwarty Ô! A=int A " Wntrze zbioru A to najwikszy zbiór otwarty zawarty w danym zbiorze. Def: Domkniciem zbioru A‚"X nazywamy najmniejszy zbiór domknity A nakrywajcy zbiór A. Def. Punkt a"X jest punktem domknicia zbioru A Ô!"r>0 K(a,r))"A`"". Wnioski " Ka|dy punkt skupienia zbioru A jest punktem domknicia, ale nie odwrotnie, bo np. punkt izolowany jest punktem domknicia, ale nie jest punktem skupienia. " Zbiór domknity zawiera wszystkie swoje punkty skupienia. 3

Wyszukiwarka