plik


ÿþCel wiczenia Celem wiczenia jest poznanie ruchu drgaj cego wahadBa fizycznego, ruchu obrotowego bryBy sztywnej, zasad dynamiki dla takiego ruchu oraz do wiadczalne sprawdzenie twierdzenia Steinera poprzez okre lenie zale no maBych drga fizycznego wahadBa grawitacyjnego od momentu bezwBadno ci badanych ciaB wzgl dem osi rodkowej. UkBad i metody pomiarowe Moment bezwBadno ci bryBy wzgl dem wybranej osi mo na wyznaczy zawieszaj c j tak, aby stanowiBa ona wahadBo fizyczne. Naszymi badanymi bryBami b d : metalowa tarcza koBowa z symetrycznie wyci tymi otworami, pier cie oraz jednorodny metalowy pr t. W celu zrobienia z nich wahadBa fizycznego: " w przypadku tarczy i pier cienia posBu ymy si odpowiedni podstaw z poziom pryzmatyczn belk , która b dzie stanowiBa o wahadBa " dla jednorodnego pr ta skorzystamy ze statywu z Bo yskiem Schematy badanych ciaB prezentuj Rysunki 1-3: Rysunek 1. Schemat tarczy koBowej Rysunek 2. Schemat pier cienia Rysunek 3. Schemat jednorodnego z zaznaczonymi otworami dla oraz jego tablicowy moment pr ta oraz jego tablicowy moment których zostaBy wykonane pomiary. bezwBadno ci. bezwBadno ci. Schematy ukBadów pomiarowych znajduj si na Rysunkach 4-6: Rysunek 4. Schemat ukBadu Rysunek 5. Schemat ukBadu Rysunek 6. Schemat ukBadu pomiarowego tarczy z pomiarowego pier cienia z pomiarowego pr ta zaznaczonymi osiami zaznaczonymi osiami Pomiary b d wygl daBy nast puj co: wa ymy badany przedmiot oraz mierzymy 6-krotnie suwmiark zaznaczone na rysunkach odpowiednie dla ka dej bryBy parametry. Nast pnie wychylaj c badany przedmiot nie wi cej ni o k t = 9Ú, mierzymy (równie 6-krotnie) czas, w jakim bryBa wykona 20 wahni . Na podstawie tak uzyskanych danych, obliczymy redni okres drga , a nast pnie ró nymi metodami moment bezwBadno ci bryBy wzgl dem osi obrotu wedBug wzorów odpowiednich dla ka dej z badanych bryB. Dla jednorodnego pr ta pomiary zostaBy wykonane dla 2 ró nych odlegBo ci osi obrotu pr ta od osi rodkowej w w/w celu. Pomiary i obliczenia CZ.I Tarcza koBowa z otworami Moment bezwBadno ci tarczy wyliczymy na dwa sposoby. Bezpo rednio z twierdzenia Steinera, które mówi, e moment bezwBadno ci wzgl dem dowolnej osi O równolegBej do osi S przechodz cej przez rodek masy jest równy sumie momentu bezwBadno ci wzgl dem osi O i iloczynu caBej masy bryBy i kwadratu odlegBo ci mi dzy osiami (d), czyli: IS = IO - m d2 Jednym z wniosków wynikaj cych z twierdzenia Steinera jest fakt, e wyra enie: 2 2 2 T gd - 4À d = const Wyra enie to w dalszej cz ci b dziemy oznacza jako C. Pomiary dla tarczy wykonamy dla 3 ró nych otworów w celu sprawdzenia czy twierdzenie Steinera jest zachowane tzn. czy wyliczona na podstawie pomiarów wielko C jest staBa. Wybrane przez nas otwory zostaBy zaznaczone na Rysunku 1. Przy pomocy C mo emy wyznaczy moment bezwBadno ci ciaBa wzgl dem osi S ze wzoru: m I = C S 2 4À B dzie to drugi sposób wyliczenia momentu bezwBadno ci dla tej bryBy, który zaprezentujemy w sprawozdaniu. Istnieje równie trzecia metoda i jest ni policzenie caBki: nie jest to jednak proste zadanie ze wzgl du na nieregularny ksztaBt tarczy. Do oblicze wykorzystane zostaBy nast puj ce parametry i warto ci staBe: Tabela 1. Warto ci i staBe wykorzystane w obliczeniach m m n n g [g] [g] 966,3 ± 0,1 20 ± 1 9,8 3,14 Natomiast uporz dkowane pomiary prezentuje Tabela 2: Tabela 2. Pomiary i przygotowanie danych do obliczenia momentu bezwBadno ci L.p. d d d r d r ti t r t r T T [mm] [mm] [mm] [mm] [s] [s] [s] [s] [s] 1. 62,80 12,90 2. 62,75 12,92 3. 62,80 12,95 62,77 12,90 0,07 0,64 0,04 4. 62,75 12,82 5. 62,70 13,02 6. 62,80 12,76 1. 54,80 12,60 2. 54,80 12,77 3. 54,80 12,67 0,10 54,78 0,06 12,70 0,06 0,63 0,03 4. 54,78 12,60 5. 54,73 12,72 6. 54,75 12,60 1. 34,80 12,79 2. 34,80 12,62 3. 34,80 12,76 34,78 12,70 0,06 0,64 0,03 4. 34,80 12,69 5. 34,75 12,77 6. 34,75 12,71 otwór 1 otwór 2 otwór 3 Wykorzystuj c powy sze dane liczymy moment bezwBadno ci ciaBa wzgl dem osi wahadBa O oraz wzgl dem osi rodka masy S: Tabela 3. Moment bezwBadno ci tarczy liczony z twierdzenia Steinera Io Io Io/Io IS IS IS/ IS [kgm2] [kgm2] % [kgm2] [kgm2] % 0,006265 0,000700 11,18% 0,002458 0,000693 28,17% 0,005270 0,000587 11,15% 0,002371 0,000581 24,50% 0,003380 0,000378 11,18% 0,002211 0,000374 16,90% Wyliczamy równie staBe C dla ka dego z otworów oraz moment bezwBadno ci metod , która je anga uje: Tabela 4. Moment bezwBadno ci tarczy liczony z wykorzystaniem staBej C C C C r C r ISc ISc ISc /ISc [m2] [m2] [m2] [m2] [kgm2] [kgm2] [%] 0,10 0,03 0,10 0,02 0,0958 0,0030 0,002347 0,000073 3,09% 0,09 0,02 otwór 1 otwór 2 otwór 3 otwór 1 otwór 2 otwór 3 Wzory i przykBadowe obliczenia Przeanalizujmy teraz wzory wykorzystane podczas uzupeBniania tabel. B dziemy omawia tylko te wzory, które zostaBy wykorzystane pierwszy raz. Je li dana metoda lub wzór zostanie wykorzystany ponownie b dzie on pomini ty. DokBadn analiz oblicze przeprowadzimy dla otworu nr 1: Pierwszym godnym uwago wzorem jest wzór na niepewno redniej liczony wg wzoru: \ 1 s(c) = (sx )2 + ("d.e.)2 = 0,0003 + 0,0033 = 0,06 x 3 Niepewno redniego czasu jest równie niepewno ci zBo ona, liczymy ja z wykorzystaniem w/w wzoru. Okres to czas niezb dny do wykonania jednego wahni cia. t r 12,9 T = = = 0,64s n 20 Warto T wyznaczymy metod ró niczki zupeBnej: "T "T 1 t 0,07 12,90 *1 "T = Å" " t + Å" "n = Å" "t + Å" "n = + = 0,04s "t "n n n2 20 202 Moment bezwBadno ci wokóB osi wahadBa liczymy ze wzoru: 2 T Å" m Å" g Å" d 0,642 * 0,9663*9,8* 0,06277 I0 = = = 0,006265kgm2 2 4 Å"À 4 *3,142 Licz c niepewno Io ponownie skorzystamy z metody ró niczki zupeBnej. Wyprowadzony wzór wygl da nast puj co: "IO "I0 "I0 g 2 2 "IO = Å" "T + Å" "m + Å" "d = Å" (2 Å" T Å" m Å" d Å" "T + T Å" d Å" "m + T Å" m Å" "d) 2 "T "m "d 4 Å" À A po podstawieniu danych otrzymujemy I0=0,0007 kgm2 Uwzgl dniaj c odlegBo mi dzy osi wahadBa a osi rodka masy mo emy obliczy moment bezwBadno ci wzgl dem osi S: 2 T Å" m Å" g Å" d 2 2 IS = Io - m Å" d = - m Å" d = 0,006265 - 0,9663* 0,62772 = 0,002458kgm2 2 4 Å"À Niepewno IS policzymy ponownie z ró niczki zupeBnej: 2 2 "I0 "I0 "I0 2Tmgd T gd T mg 2 "I0 = Å" "T + Å" "m + Å""d = Å" "T + - d Å""m + - 2md "d Å" =0,000693kgm2 2 2 2 "T "m "d 4À 4À 4À W celu sprawdzenia twierdzenia Steinera wyliczymy staBe C dla ka dego otworu ze wzoru: 2 2 C = T Å" g Å" d - 4À Å" d A nast pnie je u rednimy. Niepewno zBo on redniej liczymy tak jak w przypadku czasu. Niepewno tak wyliczonej staBej liczymy metod ró niczki zupeBnej: 2 2 2 "C = 2Tgd * "d + T gd * "T + (T g - 8dÀ ) * "d = 0,003m2 Moment bezwBadno ci ISc z wykorzystaniem staBej C wygl da nast puj co: 0,9663* 0,0958 m Å"C = = 0,002347kgm2 I0 = 2 4 *3,142 4Å"À Natomiast jego niepewno : "I0 "I0 "mÅ"C mÅ""C "I0 = "m + "C = + =0,000073 kgm2 2 2 "m "C 4Å"À 4Å"À CZ.II Pier cie Moment bezwBadno ci pier cienia policzymy dwoma metodami, pierwsza metoda b dzie analogiczna jak dla tarczy, wykorzystamy twierdzenie Steinera. Drug metod b dzie obliczenie momentu bezwBadno ci z caBki po masie wcze niej zaprezentowanej. Jest to mo liwe ze wzgl du na regularny ksztaBt przedmiotu. Wzór ten b dziemy w dalszej cz ci nazywa wzorem tablicowym i b dzie on wygl daB nast puj co: 1 IStab = m(R2 + r2) 2 Do oblicze wykorzystane zostaBy nast puj ce parametry i warto ci staBe: Tabela 5. Warto ci i staBe wykorzystane w obliczeniach m m n n g [kg] [kg] 0,0774 0,0001 20 ± 1 9,8 3,14 Natomiast uporz dkowane pomiary rednic pier cienia oraz wyliczony okres prezentuje Tabela 6: Tabela 6. Pomiary i przygotowanie danych do obliczenia momentu bezwBadno ci Ri R R r R r ri r r r r r ti t r t r T T [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [s] [s] [s] [s] [s] 69,35 59,7 14,72 69,40 59,7 14,72 69,40 59,7 14,77 0,10 69,35 0,18 0,1 59,67 0,18 14,71 0,06 0,74 0,04 69,35 59,6 14,68 69,30 59,7 14,73 69,30 59,6 14,65 Wykorzystuj c powy sze dane liczymy moment bezwBadno ci ciaBa wzgl dem osi wahadBa O oraz wzgl dem osi rodka masy S z twierdzenia Steinera oraz z wzoru tablicowego: Tabela 7. Moment bezwBadno ci pier cienia liczony z twierdzenia Steinera Io Io Io/Io IS IS IS/ IS [kgm2] [kgm2] % [kgm2] [kgm2] % 0,000621 0,000070 11,26% 0,000345 0,000068 19,64% Tabela 8. Moment bezwBadno ci pier cienia liczony ze wzoru tablicowego IStab IStab IStab/IStab [kgm2] [kgm2] % 0,0003239 0,000002 0,70% Wzory i przykBadowe obliczenia Jedynym nowo wykorzystanym wzorem jest wzór tablicowy na moment bezwBadno ci ciaBa: 1 1 IStab = m(R2 + r2)= 0,0774* (0,06935 + 0,059672) = 0,0003239kgm2 2 2 Jego niepewno : "IStab "IStab "IStab "m "IStab = + + = (R2 + r2) + mR"R + mr"r = 0,000002kgm2 "m "R "r 2 CZ.III Pr t Moment bezwBadno ci metalowego pr ta policzymy trzema metodami, pierwsza dwie metody b d analogiczne jak dla tarczy, wykorzystamy te same wzory. Trzeci metod b dzie, jak w przypadku pier cienia, obliczenie momentu bezwBadno ci z caBki po masie. Wzór tablicowy dla pr ta b dzie wygl daB nast puj co: ml2 IStab = 12 Do oblicze wykorzystane zostaBy nast puj ce parametry i warto ci staBe: Tabela 9. Warto ci i staBe wykorzystane w obliczeniach m m a1 a2 n n g [kg] [kg] [mm] [mm] 0,9241 0,0001 20 1 98 38 9,8 3,14 Natomiast uporz dkowane pomiary rednic pier cienia oraz wyliczony okres prezentuje Tabela 10: Tabela 10. Pomiary i przygotowanie danych do obliczenia momentu bezwBadno ci li l r l r ai ai ti t r t r T T [mm] [mm] [mm] [mm] [mm] [s] [s] [s] [s] [s] 15,7 249,60 15,66 15,56 249,60 98,0 15,65 0,06 0,78 0,04 15,63 15,71 249,60 15,62 249,58 0,06 0,5 17,06 249,50 16,98 17,01 249,60 38,0 17,01 0,06 0,85 0,05 17,01 16,94 249,60 17,04 Wykorzystuj c powy sze dane liczymy moment bezwBadno ci w/w trzema metodami: Tabela 11. Moment bezwBadno ci pr ta liczony z twierdzenia Steinera Io Io Io/Io IS IS IS/ IS [kgm2] [kgm2] % [kgm2] [kgm2] % 0,013773 0,001558 11,31% 0,004898 0,001467 29,95% 0,006309 0,000676 10,72% 0,004975 0,000676 13,59% Tabela 12. Moment bezwBadno ci pr ta liczony z wykorzystaniem staBej C C C C r C r ISc ISc ISc /ISc [m2] [m2] [m2] [m2] [kgm2] [kgm2] [%] 0,209042 0,062578 0,210682 0,001639 0,004937 0,000039 0,79% 0,212321 0,030881 Tabela 13. Moment bezwBadno ci pr ta liczony ze wzoru tablicowego IStab IStab IStab/IStab [kgm2] [kgm2] % 0,004797 0,000003 0,06% Wzory i przykBadowe obliczenia Wykorzystane do oblicze wzory byBy prezentowane wcze niej. Jedyn  nowo ci  jest tablicowy wzór na moment bezwBadno ci pr ta: ml2 0,9241* 0,249,582 IStab = = = 0,004797kgm2 12 12 Oraz jego niepewno liczona metod ró niczki zupeBnej: "IStab "IStab "ml2 2ml IStab = "m + "l = + "l = 0,000039kgm2 "m "l 12 12 Wnioski ko cowe Naszym zadaniem byBo do wiadczalne sprawdzenie twierdzenia Steinera. Po przeprowadzonych pomiarach i wykonanych obliczeniach otrzymali my nast puj ce warto ci momentów bezwBadno ci badanych bryB: dla metalowej tarczy: obliczony z tw. Steinera dla otworu nr 1 0,0025 ± 0,0007 kgm2 obliczony z tw. Steinera dla otworu nr 2 0,0024 ± 0,0006 kgm2 obliczony z tw. Steinera dla otworu nr 3 0,0022 ± 0,0006 kgm2 redni z tw. Steinera dla wszystkich otworów 0,0024 ± 0,0006 kgm2 obliczony z wykorzystaniem staBej C 0,0023 ± 0,0001 kgm2 dla pier cienia: obliczony z tw. Steinera 0,000345 ± 0,000068 kgm2 obliczony ze wzoru tablicowego 0,0003239 ± 0,000002 kgm2 dla jednorodnego pr ta: obliczony z tw. Steinera dla odlegBo ci a1 0,004898 ± 0,001467 kgm2 obliczony z tw. Steinera dla odlegBo ci a2 0,004975 ± 0,000676 kgm2 redni dla obu odlegBo ci obliczony z tw. Steinera 0,004937 ± 0,001072 kgm2 obliczony z wykorzystaniem staBej C 0,004937 ± 0,000039 kgm2 obliczony ze wzoru tablicowego 0,004797 ± 0,000003 kgm2 Analizuj c wy ej zaprezentowane wyniki widzimy, e dla tarczy otrzymane momenty bezwBadno ci s bardzo do siebie zbli one. Ka dy z otrzymanych wyników mie ci si w przedziaBach niepewno ci innych otrzymanych warto ci. Dodatkowo dla ka dego z otworów warto wyra enia, które oznaczyli my jako C jest sobie równa, a wi c staBa. Wniosek z powy szych obserwacji: bez wzgl du na odlegBo jaka dzieli o obrotu od osi rodka masy otrzymali my taki sam moment bezwBadno ci bryBy czyli twierdzenie Steinera jest dla tej bryBy speBnione. Trzeba tutaj jednak zaznaczy , e im odlegBo mi dzy osiami jest wi ksza tym bB d wzgl dny jest wi kszy. W naszym przypadku dla najdalej poBo onego otworu wyniósB ok. 30%. Dla pier cienia zale no któr prezentuje twierdzenie Steinera jest równie zachowana. Moment bezwBadno ci obliczony ze wzoru tablicowego mie ci si w przedziaBach niepewno ci wyniku obliczonego z twierdzenia Steinera. Jest to lepszy dowód na prawdziwo tw. Steinera, poniewa mamy tu niezale ny wzór i mo e on by pewniejszym punktem odniesienia przy porównywaniu wyników. Metoda obliczania momentu bezwBadno ci wykorzystuj ca staB C jest innym zapisem tw. Steinera, wi c siB rzeczy wyniki ni otrzymane b d bardzo zbli one do wyników otrzymanych bezpo rednio ze wzoru w/w twierdzenia. Dla jednorodnego pr ta moment bezwBadno ci nie jest zachowany. Wynika to z tego, e nasz pr t na jednym z ko ców miaB 11 naci , które miaBy uBatwi mocowanie go w Bo ysku statywu, a jedynie spowodowaBy przesuni cie rodka masy w stron nieponacinanej ko cówki. Jako, e nie byli my w stanie okre li przybli onego punktu rodka masy, mimo prób ustawienia pr ta w równowadze na pryzmatycznej belce z wcze niej wykorzystywanych ukBadów pomiarowych, przyj li my rodek masy jako rodek pr ta, co bezpo rednio  popsuBo otrzymane wyniki. Prawdopodobnie gdyby my byli w stanie okre li rodek masy pr ta i wykorzystali ta warto w obliczeniach okazaBoby si , e twierdzenie Steinera dla pr ta jest równie speBnione.

Wyszukiwarka