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��Lista Nr 1 CIGI LICZBOWE Zad.1. Wyznaczy nastpujce wyrazy cig�w liczbowych: a3, a5 , a7 , a14 , a21, a100 , an+1, a2n , je|eli ��2 + n+1 �� n (-1) n� a) an = 5 b) an = -n E�� c) an = n(-1) d) an = sin �� 3 2 �� n n� 2 1 n+2 n e) an = 1+ cos f) an = (-1) g) an = n2 +1 h) an = n +1 2 n + 3 (2n)! Uwaga: W przykBadzie b) E(x) oznacza funkcj entier (cz[ caBkowita liczby). Zad.2. Zbada monotoniczno[ nastpujcych cig�w o wyrazach og�lnych: 1 + 2 + 3 + ... + n n -1 2 (n +1)! + n! a) an = - b) bn = c) cn = n (n +1)! - n! n2 n + 3 n d) dn = 2n2 + 5 - 2n2 e) an = 7 - 3 f) fn = log4(n + 2) 7n 4n2 +1 n + 3 g) an = h) bn = i) bn = n! 2n + 5 3n2 + 2 Zad.3. Czy podane poni|ej cigi s ograniczone? Z jakim rodzajem ograniczono[ci mamy do czynienia? n 1 1 n� ��1+ �� a) an = 1 - b) an = c) an = sin �� 4n n 2 �� n+1 d) an = 2 - n2 e) an = (-1) f) an = n + 4 Zad.4*. Korzystajc z odpowiednich definicji granic cigu, wykaza, |e: n �� 2n +1 1 (-1) �� a) lim = b) lim��2 + = 2 c) lim(10 - n)= -" �� n�!" n�!" n�!" 4n + 3 2 3n �� Zad.5. Obliczy granice cig�w: 5n2 + 6n + 3 4n2 + 6n5 + 3n -1 n2 - 3n +1 a) lim b) lim c) lim n�!" n�!" n�!" 5 + 4n 3n5 + 4n 7n7 + 3n - 2 n �� 1 �� 2 1- ��4�� (3 - n) �� n d) lim e) lim f) lim n�!" n�!" n�!" 5 + 4n 2 + 7n - n2 1 1 2 + 2 - - n n2 �� g) lim�� n2 + 4n + 3 - n2 + 2n h) lim n��n - n2 -1�� i) lim��n 2 - 2n2 - n + 1�� n�!" �� n�!" �� n�!" �� 2n + 5 1 �� 3 j) lim�� n + n - n - n k) lim l) lim �� n�!" n�!" n�!" �� 7 - 8n n2 + n +1 - n2 + 3 n 1 �� 3 n m) lim��3 n3 + n2 + 1 - n3 - n2 +1�� n) lim 11n + 9n +1+ o) lim(9n - 5n - 3n) �� n�!" �� n�!" �� n�!" 3 �� 2n+3 + 3n+1 3 n �� p) lim��n3 2 - 2n3 + 5n2 - 3 r) lim 2 �" 3n + 3�" 4n+1 + 4 �" 5n s) lim �� n�!" �� n�!" n�!" �� 2n + 3�" 3n n n n 1 2 1 5 �" 2n+1 +13 �� n n t) lim n9 - 2n5 + 3n +12 u) lim + + w) lim �� n�!" n�!" n�!" 5 3 2 3�" 4n + 22n + 3n �� log2(n +1) n n n n �� x) lim y) lim 1010000 - 10-10001 z) lim en + 3n + � �� n�!" n�!" �� n�!" �� log3(n +1) 1 Zad.6. Obliczy granice cig�w o wyrazach og�lnych: 2n + 5n sin2 n + 5n 1+ 2 + 3 + ... + n n a) an = b) bn = c) cn = cos n! 4n + 7 3n + 4n n3 +1 3 12 + 22 + 32 + ... + n2 27log n 1 4 d) cn = e) an = f) bn = cos n4 - 2n 16n + 3 n3 e4ln n 3 �� ln��1 + �� n 5n2 - 2sin2(2n + 3) �� g) dn = n(ln(n + 1)- ln n) h) cn = i) an = 1 (4n + 7)(3n + n) n n n n �� 1 1 1 �� j) en = + + k) wn = (2n + 3)[ln(n + 3)- ln(n + 4)] l) cn = 4n + 2n - 4n +1 ��1 �� 2�� n n2 �� n3 ��3 �� n 1+ a + a2 + ... + an 1 ��3 �� m) cn = n) bn = o) dn = n n3 + n - n �� " 3 1 1 1 �� k =1 n6 + k 1+ + + ... + 4 16 4n n10 2n (2n)! p)* an = r)* an = s)* pn = n! 2n n2n 1+ 5 + 9 +...+ (4n -1) 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... + (2n -1)- 2n n + 2 cos3 (n + 5) t) hn = u) bn = w) an = 2 1+ 2 + 3 +...+ n (n + 1) (n + 3) n2 +1 n(n +1)(2n +1) Uwaga: W przykBadzie d) wykorzysta r�wno[:12 + 22 + 32 + ... + n2 = , 6 Zad.7. Obliczy granice cig�w wykorzystujc liczb e 2n+3 n2 +5 3n+7 9n-1 n + 5 �� 1- 1 n 5n + 3 �� - 2 �� a) lim b) lim c) lim d) lim �� n�!" n�!" n�!" n�!" n n + 5 5n + 8 n4 �� n �� 3n+1 -2n+11 n+3 �� 2 �� 5 n2 + 3n + 2 n2 + 1 n + 5 ��1+ �� e) lim f) lim g) an = h) lim �� n�!" n�!" n�!" n 7n - 4 n2 + 2n n2 �� n �� 3n2 +2 6n-3 1-n �� 2 �� 4n2 + 6n - 4 8n + 5 2n + 5 n2 + 9 �� i) lim j) lim k) lim l) lim�� n�!" n�!" n�!" n�!" 8n - 7 n 4n2 + 5n + 3 n2 + 2 �� 3n2 +3n n2 +3 3-7n 5-2n �� n2 + 6n - 4 2n2 + n + 4 7n + 2 n + 4 �� m) lim�� n) lim�� o) lim�� p) lim�� n�!" n�!" n�!" n�!" 4n + 5 n -1 n2 + 5n �� 10 + n2 + 5n �� 1+ n 2-n �� n �� n2 + n + 2 (n �� - 3)�� 2�� 1 �� 2 r) lim�� s) lim�� t) lim��(12 - n)��ln(7 + n)+ ln�� n�!" n�!" �� n�!" n �� n +10 ��1+ 2 + 3 +... + n�� 3�� 3 �� n + 2 �� an 2 Zad.8. Dane s cigi (an ) i (bn ), gdzie an = �� lim ��n +1 �� , bn = 2 + 4 + ... + 2n . Obliczy n�!" bn �� 2n 3 2n + 3n n2 + 2n -1 + n + 3 3 �� Zad.9. Niech g1 = lim , g2 = lim , g3 = lim��1+ . �� n�!" n�!" 2n +1�� 4n + 5n n�!" 7 + 5 + 9 +10 �� n6 n8 Czy prawd jest, |e: a) g1 = g2 i g3 `" 0 b) g2 = +" c) g3 <� e an2 -1 Zad.10. Dany jest cig o wyrazie og�lnym bn = . Wyznaczy warto[ parametru a tak, aby lim bn = 2 . n�!" (a -1)n2 + n Czy dla znalezionej warto[ci parametru a dany cig jest rosncy? 2

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