plik

��ALGEBRA WYKAAD 14/15 Wyznaczniki Jacek Jdrzejewski AJD 2008/2009 1 1 Wyznaczniki, definicja i podstawowe infor- macje ZakBadamy, |e ciaBo K jest r�wne R lub C. Symbolem M(K) oznaczamy zbi�r wszystkich macierzy kwadratowych o wsp�Bczynnikach z ciaBa K, tzn. M(K) = Mn(K). n"N Definicja 1 Funkcj det : M(K) -�! K okre[lamy nastpujco: je[li A = [a11] , to det A = a11, �� a11 a12 . . . a1n �� a21 a22 . . . a2n �� je[li A = �� , gdy n > 1, to �� . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . ann n det A = (-1)1+i�ai1 � det Ai1, i=1 gdzie Aij jest macierz powstaB z macierzy A przez skre[lenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Funkcj det nazywamy wyznacznikiem, natomiast warto[ tej funkcji dla macierzy A nazywamy wyznacznikiem macierzy A. Wyznacznik zostaB wic zdefiniowany w spos�b indukcyjny. Symbol det pochodzi od BaciDskiego sBowa determinare . Sam wyznacznik macierzy A oznacza si r�wnie| jako |A| lub aij . Je[li np. �� 1 -2 4 �� A = 3 1 6 , �� 0 5 11 to wyznacznik tej macierzy zapisujemy w postaci: 1 -2 4 det A, lub |A| lub 3 1 6 . 0 5 11 M�wic o wierszach lub kolumnach wyznacznika mamy na uwadze wier- sze lub kolumny odpowiedniej macierzy. Stopniem wyznacznika nazywamy stopieD macierzy tego wyznacznika. 2 Obliczanie wyznacznik�w macierzy jest do[ |mudne. Jak si p�zniej oka- |e, wyznacznik macierzy stopnia n jest sum n! skBadnik�w, z kt�rych ka|dy ma n czynnik�w. Obliczanie wyznacznik�w macierzy zaczniemy jednak od wyznacznik�w macierzy stopnia drugiego i trzeciego. Dla macierzy stopnia drugiego wy- znacznik obliczamy ze wzoru: a11 a12 = a11�a22 - a12�a21, a21 a22 kt�ry wynika bezpo[rednio z definicji wyznacznika. Dla macierzy trzeciego stopnia mamy: a11 a12 a13 det A = a21 a22 a23 = a31 a32 a33 a22 a23 a12 a13 a12 a13 a11 � - a21 � + a31 � = a32 a33 a32 a33 a22 a23 = a11a22a33 - a11a23a32 - a21a12a33 + a21a13a32 + a31a12a23 - a13a22a31 = = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31. Na podstawie powy|szych przykBad�w zauwa|amy, |e w warto[ciach wy- znacznika jest suma skBadnik�w, z kt�rych ka|dy jest iloczynem wyraz�w macierzy wybranych w taki spos�b, |e znajduje si w nim po jednym ele- mencie z ka|dego wiersza i po jednym elemencie z ka|dej kolumny. We wzorze na obliczanie wyznacznika stopnia drugiego wystpuj dwa skBadniki, dla wyznacznika stopnia trzeciego odpowiedni wz�r ma 6 skBad- nik�w. Nietrudno zauwa|y, |e dla wyznacznika n-tego stopnia wz�r ma n! skBadnik�w. Praktyczna jest metoda Sarrusa obliczania wyznacznik�w stopnia trzecie- go (i tylko trzeciego!!!). Poza wyznacznikiem dopisujemy dwie kolumny. Wtedy gB�wna przektna oraz dwie r�wnolegBe do niej dodatkowe prawie przektne tworz iloczyny ze znakiem +, natomiast poboczna przektna i dwie r�wnolegBe do niej dodatkowe poboczne prawie przektne tworz iloczyny ze znakiem -. Mamy zatem a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 = a31 a32 a33 a31 a32 3 a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 -a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31. Dla macierzy A stopnia n, gdzie n > 1, minorem, odpowiadajcym ele- mentowi aij, nazywamy wyznacznik macierzy Aij, powstaBej z macierzy A przez skre[lenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Minor taki czasami oznaczamy symbolem Mij. DopeBnieniem algebraicznym elementu aij nazywamy (-1)i+j � det Aij. DopeBnienie to oznaczamy kr�tko symbolem A" . ij Stosujc te oznaczenia wz�r rekurencyjny, okre[lajcy wyznacznik, mo|na zapisa w postaci det A = a11�M11 - a21�M21 + . . . + (-1)n+1�an1�Mn1 = a11�A" + a21�A" + . . . + an1�A" . 11 21 n1 Kr�cej zapisujemy te wzory w postaci n n det A = (-1)i+1�ai1�Mi1 = ai1�A" . i1 i=1 i=1 M�wimy te|, |e wyznacznik macierzy A jest sum iloczyn�w element�w pierwszej kolumny macierzy A przez ich algebraiczne dopeBnienia. PrzykBad 2 Obliczmy odpowiednie minory drugiego stopnia, dopeBnienia algebraiczne i wyznacznik macierzy �� -2 4 7 �� 1 �� -3 1 . 5 2 1 -3 1 M11 = = -3 - 2 = -5, 2 1 4 7 M21 = = 4 - 14 = -10, 2 1 4 7 M31 = = 4 + 21 = 25, -3 1 4 zatem A" = -5, A" = 10, A" = 25. 11 21 31 Na koniec det A = -2 � (-5) + 1 � 10 + 5 � 25 = 145. 2 WBasno[ci wyznacznik�w Oto podstawowe wBasno[ci wyznacznik�w: WBasno[ 3 Wyznacznik, majcy wiersz zerowy, jest r�wny zeru. WBasno[ 4 Wyznacznik, kt�ry ma dwa wiersze r�wne, jest r�wny zeru. WBasno[ 5 Wyznacznik, majcy dwa wiersze proporcjonalne, jest r�wny zeru. WBasno[ 6 Wyznacznik, kt�rego wiersze s liniowo zale|ne, jest r�wny ze- ru. WBasno[ 7 Je[li macierz A powstaje z macierzy A przez zamian miej- scami dw�ch wierszy, to det A = - det A. WBasno[ 8 Je[li macierz A powstaje z macierzy A przez dodanie do jed- nego wiersza kombinacji liniowej pozostaBych wierszy, to det A = det A. WBasno[ 9 Je[li macierz A powstaje z macierzy A przez pomno|enie jed- nego wiersza przez element �, to det A = ��det A. WBasno[ 10 Je[li �� a1,1 � � � a1,n+1 �� ak-1,1 � � � ak-1,n+1 �� A = �� a � � � a �� , �� k,1 k,n+1 �� ak+1,1 � � � ak+1,n+1 �� an+1,1 � � � an+1,n+1 5 �� a1,1 � � � a1,n+1 �� ak-1,1 � � � ak-1,n+1 �� A = �� a � � � a �� , �� k,1 k,n+1 �� ak+1,1 � � � ak+1,n+1 �� an+1,1 � � � an+1,n+1 oraz �� a1,1 � � � a1,n+1 �� ak-1,1 � � � ak-1,n+1 �� A = �� a + a � � � a + a �� , �� k,1 k,1 k,n+1 k,n+1 �� ak+1,1 � � � ak+1,n+1 �� an+1,1 � � � an+1,n+1 to det A = det A + det A . Przypominamy, |e macierz tr�jktn g�rn (doln) nazywamy macierz, w kt�rej elementy znajdujce si pod (nad) gB�wn przektn s r�wne zeru. WBasno[ 11 Wyznacznik macierzy tr�jktnej jest r�wny iloczynowi ele- ment�w, znajdujcych si na gB�wnej przektnej tej macierzy. D o w � d. Dow�d poprowadzimy dla macierzy tr�jktnej g�rnej, stosujc metod indukcji matematycznej wzgldem stopnia macierzy. Je[li stopieD macierzy jest r�wny 1, to A = a11 , wic det A = a11, czyli jest iloczynem element�w, znajdujcych si na gB�wnej przektnej tej macierzy. Udowodnimy teraz, |e je[li dla ka|dej macierzy tr�jktnej, majcej stopieD n, wyznacznik tej macierzy jest r�wny iloczynowi element�w, znajdujcych si na gB�wnej przektnej tej macierzy, to dla ka|dej macierzy tr�jktnej, ma- jcej stopieD n + 1, wyznacznik jest te| r�wny iloczynowi element�w, znaj- dujcych si na gB�wnej przektnej tej macierzy. 6 Niech �� a1,1 a1,2 . . . a1,n a1,n+1 �� 0 a2,2 . . . a2,n a2,n+1 �� A = . . . . . . . . . . . . . . . . �� 0 0 . . . an,n an,n+1 �� 0 0 . . . 0 an+1,n+1 Wtedy n+1 det A = (-1)i+1�ai,1�Mi,1 = i=1 n+1 = a1,1�M1,1 + (-1)i+1�0�Mi,1 = a1,1�M1,1. i=2 Minor M1,1 jest wyznacznikiem tr�jktnej macierzy stopnia n, zatem ko- rzystajc z zaBo|enia indukcyjnego, wnioskujemy, |e M1,1 = a2,2�. . .�an+1,n+1, a skd wynika r�wno[ det A = a1,1�M1,1 = a1,1�a2,2�. . .�an+1,n+1, co, na mocy zasady indukcji matematycznej, koDczy dow�d. Twierdzenie 12 n det A = (-1)i+j �ai,j �Mi,j, i=1 czyli n det A = ai,j �A" i,j i=1 dla ka|dej liczby j ze zbioru {1, . . . , n}, gdzie n 2. Ostatni wz�r nazywamy rozwiniciem Laplace a wyznacznika macierzy A wzgldem j-tej kolumny. WBasno[ 13 Wyznacznik, majcy zerow kolumn, jest r�wny zeru. WBasno[ 14 Wyznacznik, majcy dwie kolumny r�wne, jest r�wny zeru. 7 WBasno[ 15 Wyznacznik, majcy dwie kolumny proporcjonalne, jest r�w- ny zeru. WBasno[ 16 Wyznacznik, kt�rego kolumny s liniowo zale|ne, jest r�wny zeru. WBasno[ 17 Je[li macierz A powstaje z macierzy A przez zamian miej- scami dw�ch kolumn, to det A = - det A. WBasno[ 18 Je[li macierz A powstaje z macierzy A przez dodanie do jed- nej kolumny kombinacji liniowej pozostaBych kolumn, to det A = det A. WBasno[ 19 Je[li macierz A powstaje z macierzy A przez pomno|enie jednej kolumny przez liczb �, to det A = ��det A. WBasno[ 20 Je[li A = �� a1,1 � � � a1,j-1 a + a a1,j+1 � � � a1,n+1 1,j 1,j �� , �� an+1,1 � � � an+1,j-1 a + a an+1,j+1 � � � an+1,n+1 n+1,j n+1,j A = �� a1,1 � � � a1,j-1 a a1,j+1 � � � a1,n+1 1,j �� an+1,1 � � � an+1,j-1 a an+1,j+1 � � � an+1,n+1 n+1,j A = �� a1,1 � � � a1,j-1 a a1,j+1 � � � a1,n+1 1,j �� , �� an+1,1 � � � an+1,j-1 a an+1,j+1 � � � an+1,n+1 n+1,j to det A = det A + det A . 8 Twierdzenie 21 Dla ka|dej macierzy kwadratowej A det At = det A. Z twierdzenia tego i wBasno[ci wyznacznik�w wynika, |e wiersze i kolum- ny macierzy s r�wnoprawne, gdy m�wimy o wyznacznikach macierzy. Ka|de twierdzenie o wierszach macierzy ma sw�j odpowiednik o kolumnach macie- rzy i odwrotnie. Jednym z takich twierdzeD jest tzw. rozwinicie Laplace a wyznacznika macierzy wzgldem wiersza tej macierzy. Std bezpo[rednio wynika: Twierdzenie 22 n det A = (-1)i+j �ai,j �Mi,j j=1 czyli n det A = ai,j �A" i,j j=1 dla ka|dej liczby i ze zbioru {1, . . . , n}, gdzie n 2. Ostatni wz�r nazywamy rozwiniciem Laplace a wyznacznika macierzy A wzgldem i-tego wiersza. Twierdzenie 23 Dla ka|dej macierzy A stopnia n, wyznacznik jej jest r�w- ny 0 wtedy i tylko wtedy, gdy rzd macierzy A jest mniejszy ni| n. Twierdzenie 24 (Cauchy) Dla kwadratowych macierzy A i B tego samego stopnia " det(A B) = det A � det B. 3 Permutacje Niech Nn oznacza zbi�r {1, . . . , n}. Permutacj n-elementow lub permutacj rzdu n nazywamy wzajemnie jednoznaczne przeksztaBcenie (czyli bijekcj) zbioru Nn na siebie. Zbi�r Sn wszystkich permutacji zbioru Nn jest grup; nazywamy j grup symetryczn rzdu n. 9 Dla permutacji � rzdu n zamiast �(k) bdziemy stosowali oznaczenie �k, jak zwykle dla cig�w (w tym przypadku skoDczonych). Stosujc tak konwencj, permutacj � bdziemy czsto oznaczali w spos�b nastpujcy: 1 2 . . . n � = . �1 �2 . . . �n W dalszym cigu przydatne bdzie nastpujce twierdzenie, dotyczce liczby funkcji wzajemnie jednoznacznych przeksztaBcajcych zbi�r skoDczony na zbi�r skoDczony. Twierdzenie 25 Liczba funkcji wzajemnie jednoznacznych przeksztaBcaj- cych zbi�r n-elementowy na zbi�r n-elementowy jest r�wna n!. D o w � d. Je[li n = 1, to liczba funkcji 1-elementowych jest r�wna, oczy- wi[cie 1 oraz 1! = 1. Udowodnimy teraz, |e z faktu, i| liczba funkcji wzajemnie jednoznacznych przeksztaBcajcych zbi�r n-elementowy na zbi�r n-elementowy jest r�wna n!, wynika, |e liczba funkcji wzajemnie jednoznacznych przeksztaBcajcych zbi�r (n + 1)-elementowy na zbi�r (n + 1)-elementowy jest r�wna (n + 1)!. Niech A = {a1, . . . , an+1} i B = {b1, . . . , bn+1}. Ustalmy jeden z element�w zbioru B, powiedzmy, bn+1. Dla wzajemnie jednoznacznej funkcji � : A -�! B takiej, |e � (an+1) = bn+1, funkcja �|{a ,...,an} jest wzajemnie jednoznaczn funkcj, przeksztaBca- 1 jc zbi�r {a1, . . . , an} na zbi�r {b1, . . . , bn}. Z zaBo|enia indukcyjnego wnioskujemy, |e liczba takich funkcji jest r�w- na n!. Poniewa| na (n + 1)-szym miejscu mo|e by ustalony jeden z (n + 1) element�w, wic razem wszystkich funkcji wzajemnie jednoznacznych prze- ksztaBcajcych zbi�r (n + 1)-elementowy na zbi�r (n + 1)-elementowy jest r�wna (n + 1) � n!, czyli (n + 1)!. Z zasady indukcji matematycznej wynika teza twierdzenia. Jako wniosek z powy|szego twierdzenia otrzymujemy: Twierdzenie 26 Liczba permutacji n-elementowych jest r�wna n!. Je[li � jest permutacj rzdu n oraz (i, k) " N2, to m�wimy, |e para (i, k) n tworzy inwersj, je[li i < k i �i > �k. 10 Liczb wszystkich inwersji permutacji � oznaczamy symbolem inv (�) lub inv (�1, . . . , �n) . Na przykBad, dla permutacji � i �, gdzie 1 2 3 4 1 2 3 4 � = i � = , 4 1 3 2 1 3 4 2 mamy: inv (�) = inv (4, 1, 3, 2) = 1 + 2 + 1 = 4, inv (�) = inv (1, 3, 4, 2) = 0 + 2 + 0 = 2. Zamian miejsc dw�ch ssiednich wyraz�w w dolnym wierszu permutacji � nazywamy transpozycj. Zauwa|my, |e po wykonaniu inv (�) odpowiednich transpozycji w permu- tacji � mo|emy otrzyma permutacj to|samo[ciow, czyli permutacj 1 2 . . . n . 1 2 . . . n Wykonujc takie same transpozycje w odwrotnej kolejno[ci wychodzc od permutacji to|samo[ciowej, otrzymamy permutacj �. Znakiem permutacji � nazywamy liczb (-1)inv(�). Znak permutacji � b- dziemy oznaczali symbolem sgn �. Permutacj � nazywamy permutacj parzyst, je[li sgn � = 1; permutacj � nazywamy permutacj nieparzyst, je[li sgn � = -1. Mo|na udowodni: sgn (� �% �) = sgn (�) � sgn (�). Z powy|szych rozwa|aD wynika, |e zBo|enie dw�ch permutacji parzystych jest permutacj parzyst; zBo|enie dw�ch permutacji nieparzystych jest per- mutacj parzyst; natomiast zBo|enie permutacji parzystej i permutacji nie- parzystej jest permutacj nieparzyst. Twierdzenie 27 Je[li �� a1,1 a1,2 . . . a1,n �� a2,1 a2,2 . . . a2,n �� A = �� , �� . . . . . . . . . . . . an,1 an,2 . . . an,n 11 gdzie n 2, to det A = sgn � � a1,� � a2,� � . . . � an,� . 1 2 n �"Sn Lemat 28 Je[li w dolnym wierszu permutacji n-elementowej �, gdzie n 2, przestawimy dwa wyrazy, to otrzymamy permutacj � tak, |e sgn � = -sgn �. Twierdzenie 29 Liczba n-elementowych permutacji parzystych, gdzie n n! 2, jest r�wna i liczba n-elementowych permutacji nieparzystych jest r�wna 2 n! . 2 D o w � d. Niech p oznacza liczb permutacji parzystych, natomiast q niech oznacza liczb permutacji nieparzystych. Przestawiajc w dolnym wierszu permutacji parzystej dwa elementy, otrzy- mujemy permutacj nieparzyst, zatem liczba permutacji parzystych nie mo- |e by wiksza ni| liczba permutacji nieparzystych, czyli p q. Podobnie dowodzi si, |e q p. Ostatecznie mamy: p = q. Z powy|szego twierdzenia wynika, |e liczba skBadnik�w ze znakiem plus n! w rozwiniciu wyznacznika macierzy kwadratowej stopnia n jest r�wna 2 n! i liczba skBadnik�w ze znakiem minus w tym rozwiniciu jest te| r�wna . 2 4 PrzykBady obliczania wyznacznik�w Aatwo jest obliczy wyznaczniki stopnia drugiego i stopnia trzeciego. Obli- czajc wyznaczniki wy|szych stopni, korzystamy czsto z wBasno[ci wyznacz- nik�w, kt�re udowodnili[my w poprzednim paragrafie. Chcc obliczy wyznacznik do[ du|ego stopnia, czsto przeksztaBcamy go, korzystajc z wBasno[ci wyznacznik�w, w taki spos�b, aby w jakim[ wier- szu lub w jakiej[ kolumnie otrzyma du|o element�w r�wnych zeru. Wtedy rozwijamy wyznacznik wzgldem tego wiersza (lub kolumny). Tak mo|na po- stpowa a| do chwili, gdy pojawi si wyznaczniki stopnia trzeciego, a te obliczamy, stosujc metod Sarrusa. 12 Postpujc w podobny spos�b, jak w obliczeniach rzd�w macierzy, mo|e- my sprowadzi obliczanie wyznacznika do obliczenia wyznacznika tr�jkt- nego , z kolei taki wyznacznik jest ju| bardzo Batwo obliczy; w tym celu mno|ymy elementy przektnej takiej macierzy. PrzykBad 30 Obliczymy wyznacznik macierzy A, gdzie �� 3 -2 3 2 �� -2 4 2 2 �� A = �� . �� 4 3 -2 1 5 2 5 6 �� 3 -2 3 2 3 -2 3 2 �� -2 4 2 2 -1 2 1 1 �� det �� = 2 � det �� = �� 4 3 -2 1 4 3 -2 1 5 2 5 6 5 2 5 6 teraz do wiersza pierwszego dodajemy drugi, pomno|ony przez 3, do wier- sza trzeciego dodajemy wiersz drugi, pomno|ony przez 4 i, na koniec, do czwartego wiersza dodajemy wiersz drugi, pomno|ony przez 5; otrzymujemy �� 0 4 6 5 �� -1 2 1 1 �� = 2 � det �� . �� 0 11 2 5 0 12 10 11 Stosujemy nastpnie rozwinicie Laplace a wzgldem pierwszej kolumny. �� 4 6 5 �� det A = 2 � (-1)2+1 � (-1) � det 11 2 5 = �� 12 10 11 W nastpnym kroku do pierwszego wiersza dodajemy drugi, pomno|o- ny przez -3 i do trzeciego wiersza dodajemy drugi, pomno|ony przez -5; nastpnie rozwijamy wzgldem drugiej kolumny; otrzymujemy wtedy �� -29 0 -10 �� = 2 � det 11 2 5 = �� -43 0 -14 -29 -10 2 � 2 � (-1)2+2 � det = -43 -14 13 = 4 � (29 � 14 - 43 � 10) = -96. PrzykBad 31 Obliczymy wyznacznik tej samej macierzy A, gdzie �� 3 -2 3 2 �� -2 4 2 2 �� A = �� , �� 4 3 -2 1 5 2 5 6 stosujc metod sprowadzania macierzy do postaci tr�jktnej. �� 3 -2 3 2 3 -2 3 2 �� -2 4 2 2 -1 2 1 1 �� det �� = 2 � det �� = �� 4 3 -2 1 4 3 -2 1 5 2 5 6 5 2 5 6 zamieniamy miejscami wiersze pierwszy i drugi �� -1 2 1 1 �� 3 -2 3 2 �� = (-1) � 2 � det �� = �� 4 3 -2 1 5 2 5 6 Pierwszy wiersz mno|ymy kolejno przez 3, 4 i 5 i dodajemy odpowiednio do wierszy: drugiego, trzeciego i czwartego; otrzymujemy: �� -1 2 1 1 �� 0 4 6 5 �� = -2 � det �� = �� 0 11 2 5 0 12 10 11 zamieniamy miejscami wiersz trzeci i drugi oraz zamieniamy miejscami kolumny trzeci i drug: �� -1 1 2 1 �� 0 2 11 5 �� = -2 � det �� = �� 0 6 4 5 0 10 12 11 do trzeciego wiersza dodajemy teraz drugi wiersz, pomno|ony przez -3 oraz do czwartego wiersza dodajemy drugi, pomno|ony przez -5 : 14 �� -1 1 2 1 �� 0 2 11 5 �� = -2 � det �� = �� 0 0 -29 -10 0 0 -43 -14 Do wiersza czwartego dodajemy teraz wiersz trzeci, pomno|ony przez -1 : �� -1 1 2 1 �� 0 2 11 5 �� = -2 � det �� = �� 0 0 -29 -10 0 0 -14 -4 �� -1 1 2 1 �� 0 2 11 5 �� = -2 � (-2) � det �� = �� 0 0 -29 -10 0 0 7 2 Zamieniamy miejscami wiersze trzeci i czwarty oraz zamieniamy miejscami kolumny trzeci i czwart: �� -1 1 1 2 �� 0 2 5 11 �� = 4 � det �� = �� 0 0 2 7 0 0 -10 -29 Na koniec do czwartego wiersza dodajemy trzeci wiersz, pomno|ony przez 5; otrzymujemy: �� -1 1 1 2 �� 0 2 5 11 �� = 4 � det �� = 4 � (-1) � 2 � 2 � 6 = -96. �� 0 0 2 7 0 0 0 6 PrzykBad 32 Obliczymy wyznacznik macierzy An stopnia n, gdzie �� 1 5 5 � � � 5 �� 5 1 5 � � � 5 �� An = 5 5 1 � � � 5 . �� 5 5 5 � � � 5 15 Do pierwszej kolumny dodajemy kolejno kolumn drug, trzeci i wszyst- kie nastpne; otrzymujemy det An = �� 1 + (n - 1)�5 5 5 � � � 5 �� 1 + (n - 1)�5 1 5 � � � 5 �� det 1 + (n - 1)�5 5 1 � � � 5 = �� 1 + (n - 1)�5 5 5 � � � 1 �� 1 5 5 � � � 5 �� 1 1 5 � � � 5 �� = (5n - 4) � det 1 5 1 � � � 5 = �� 1 5 5 � � � 1 Dodajemy do kolumny drugiej i nastpnych kolumn pierwsz, pomno|on przez -5 i otrzymujemy �� 1 0 0 � � � 0 �� -4 0 � � � 0 �� 1 �� = (5n - 4) � det 1 0 -4 � � � 0 = �� 1 0 0 � � � -4 = (5n - 4) � (-4)n-1. PrzykBad 33 Wyznacznik Vandermonde a, czyli wyznacznik Vn(x1, . . . xn), gdzie 1 1 � � � 1 x1 x2 � � � xn Vn(x1, . . . xn) = x2 x2 � � � x2 1 2 n � � � � � � � � � � � � xn-1 xn-1 � � � xn-1 1 2 n i x1, . . ., xn s dowolnymi elementami ciaBa K, jest r�wny iloczynowi (x2 - x1)�(x3 - x1)�(x3 - x2) � � � (xn - x1)�(xn - x2) � � � (xn - xn-1), 16 gdy n > 1, tzn. Vn(x1, . . . xn) = (x2 - x1) � (1) �(x3 - x1) � (x3 - x2) � � � � �(xn - x1) � (xn - x2) � � � (xn - xn-1). Oczywi[cie, wyznacznik Vandermonde a Vn(x1, . . . , xn) jest r�wny zeru wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej dwa spo[r�d element�w x1, . . . , xn s r�wne. PrzykBad 34 Niech A " Km�m, B " Kn�n oraz C " Km�n. Mo|na udo- wodni, |e wyznacznik macierzy klatkowej D, majcej posta A C D = O B jest r�wny iloczynowi wyznacznik�w macierzy A i macierzy B. 5 Wzory Cramera W tym paragrafie przedstawimy wyznacznikow metod wyznaczania ma- cierzy odwrotnej oraz wzory Cramera, pozwalajce znalez (jedyne zreszt) rozwizania specjalnych ukBad�w r�wnaD liniowych, zwanych ukBadami Cra- mera. Macierz kwadratow, kt�rej wyznacznik jest r�|ny od zera nazywamy ma- cierz nieosobliw. Macierz, kt�rej wyznacznik jest r�wny zeru nazywamy macierz osobliw. Macierz kwadratowa stopnia n ma wyznacznik r�|ny od zera wtedy i tylko wtedy, gdy jej rzd jest r�wny n. Z kolei wiemy, |e macierz kwadratowa stopnia n jest odwracalna wte- dy i tylko wtedy, gdy jej rzd jest r�wny n. Tak wic mo|na sformuBowa nastpujc wBasno[. WBasno[ 35 Macierz kwadratowa stopnia n jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy jest odwracalna. 17 Lemat 36 Niech �� a11 . . . a1n �� A = . . . . . . . . . , �� an1 . . . ann gdzie n 2. Je[li B jest macierz powstaB z macierzy A przez zamian l-tej kolumny przez kolumn o wyrazach b1, . . . , bn, to det B = b1 � A" + . . . + bn � A" . 1l nl D o w � d. Zauwa|my, |e dopeBnienia algebraiczne element�w l-tej kolum- ny obu macierzy A i B s takie same. Zatem rozwijajc wyznacznik macierzy B wzgldem l-tej kolumny otrzymujemy tez. ZupeBnie podobnie dowodzi si nastpujcego lematu. Lemat 37 Niech �� a11 . . . a1n �� A = . . . . . . . . . , �� an1 . . . ann gdzie n 2. Je[li B jest macierz powstaB z macierzy A przez zamian k-tego wiersza przez wiersz [b1, . . . , bn], to det B = b1 � A" + . . . + bn � A" . k1 kn Lemat 38 Niech �� a11 . . . a1n �� A = . . . . . . . . . , �� an1 . . . ann gdzie n 2. Dla ka|dych liczb k, l ze zbioru {1, . . . , n} speBnione s warunki: det A, gdy k = l, a1k�A" + . . . + ank�A" = 1l nl 0, gdy k = l oraz det A, gdy k = l, ak1�A" + . . . + akn�A" = l1 ln 0, gdy k = l. D o w � d. Je[li k = l, to lewa strona pierwszego wzoru jest rozwiniciem Laplace a wyznacznika macierzy A wzgldem k-tej kolumny, zatem a1k�A" + . . . + ank�A" = det A. 1l nl 18 Je[li k = l, to lewa strona tego| wzoru jest rozwiniciem wyznacznika macierzy powstaBej z macierzy A przez zamian l-tej kolumny przez kolumn k-t. W tej macierzy dwie kolumny s jednakowe, zatem jej wyznacznik jest r�wny zeru, co koDczy dow�d pierwszego z warunk�w tezy. Podobnie dowodzi si drugiego z tych warunk�w. Definicja 39 Niech �� a11 . . . a1n �� A = . . . . . . . . . , �� an1 . . . ann gdzie n 2. Macierz �� A" A" . . . A" 11 21 n1 �� A" A" . . . A" �� 12 22 n2 �� . . . . . . . . . . . . A" A" . . . A" 1n 2n nn nazywamy macierz doBczon macierzy A i oznaczamy symbolem AD. Twierdzenie 40 Niech �� a11 . . . a1n �� A = . . . . . . . . . , �� an1 . . . ann gdzie n 2, bdzie macierz nieosobliw. Wtedy �� A" A" A" 11 21 n1 . . . �� det A det A det A �� 1 A" A" A" �� 12 22 n2 A-1 = � AD = �� . . . . �� det A det A det A det A �� . . . . . . . . . . . . �� A" A" A" 1n 2n nn . . . det A det A det A PrzykBad 41 Sprawdzmy, czy macierz �� 2 1 -1 �� 3 1 -2 �� 3 1 0 jest odwracalna i je[li tak, to znajdzmy macierz odwrotn do niej. 19 Obliczamy wyznacznik tej macierzy. �� 2 1 -1 �� det 3 1 -2 = . . . = -2. �� 3 1 0 Macierz ta jest nieosobliwa, jest wic odwracalna. Obliczamy teraz alge- braiczne dopeBnienia element�w tej macierzy: 1 -2 A" = (-1)1+1 � det = 2, 11 1 0 3 -2 A" = (-1)1+2 � det = -6, 12 3 0 3 1 A" = (-1)1+3 � det = 0, 13 3 1 1 -1 A" = (-1)2+1 � det = -1, 21 1 0 2 -1 A" = (-1)2+2 � det = 3, 22 3 0 2 1 A" = (-1)2+3 � det = 1, 23 3 1 1 -1 A" = (-1)3+1 � det = -1, 31 1 -2 2 -1 A" = (-1)3+2 � det = 1, 32 3 -2 2 1 A" = (-1)3+3 � det = -1. 33 3 1 Tak wic �� 1 1 2 -1 -1 -1 2 2 1 1 �� A-1 = - � AD = - � -6 3 1 = 3 -3 -1 �� . �� 2 2 2 2 0 1 -1 0 -1 1 2 2 20 " PrzykBad 42 Rozwi|emy r�wnanie macierzowe A X = B, gdzie 5 -4 3 2 A = i B = . -8 6 4 3 Sprawdzamy, czy macierz A jest odwracalna. det A = 5 � 6 - (-8) � (-4) = -2 = 0. Macierz A jest wic odwracalna, zatem rozwa|ane r�wnanie ma jedyne roz- " wizanie; jest nim X = A-1 B. Aatwo zauwa|amy, |e 1 6 4 A-1 = - � , 8 5 2 zatem 1 6 4 3 2 -17 -12 " X = - � = . 8 5 4 3 -22 -31 2 2 W dalszym cigu tego paragrafu zajmiemy si specjalnymi ukBadami r�w- naD liniowych, mianowicie ukBadami r�wnaD liniowych majcych tyle r�wnaD ile jest w nich niewiadomych. Niech �� a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1, �� a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2, (2) �� . . . . . . . . . �� an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn, bdzie rozwa|anym ukBadem. Wyznacznik macierzy A, gdzie �� a11 a12 . . . a1n �� A = � � � � � � � � � � � � , �� an1 an2 . . . ann nazywamy wyznacznikiem ukBadu (2). Je[li ten wyznacznik jest r�|ny od zera, to taki ukBad nazywamy ukBadem Cramera. Je[li ukBad ma jedno r�wnanie z jedn niewiadom, czyli jest wBa[ciwie jednym r�wnaniem liniowym, to jest ukBadem Cramera wtedy i tylko wte- dy, gdy jedyny wsp�Bczynnik przy niewiadomej jest r�|ny od zera. Wtedy r�wnanie to ma jedno rozwizanie, Batwe do obliczenia. W dalszym cigu zajmiemy si wic ukBadami, w kt�rych s przynajmniej dwa r�wnania (i tyle samo niewiadomych). 21 Twierdzenie 43 (Cramer) UkBad Cramera, majcy posta (2), ma jedyne "i rozwizanie (x1, . . . , xn), gdzie xi = dla ka|dego i ze zbioru {1, . . . , n}, det A za[ "i jest wyznacznikiem macierzy powstaB z macierzy A przez zastpienie �� b1 �� . �� . i-tej kolumny przez kolumn . . �� bn D o w � d. UkBad Cramera, majcy posta (2), jest r�wnowa|ny r�wnaniu macierzowemu " A X = B, (3) gdzie �� x1 b1 �� . . �� . . X = i B = . . �� xn bn i macierz A jest odwracalna. Zauwa|my, |e je[li X jest rozwizaniem r�wnania macierzowego (3), to " A X = B, zatem " " " A-1 A X = A-1 B, " X = A-1 B, (4) co dowodzi, |e r�wnanie (3) ma co najwy|ej jedno rozwizanie. " Aatwo sprawdzamy, |e macierz A-1 B jest rozwizaniem r�wnania (3), gdy| " " " " " A A-1 B = A A-1 B = E B = B. Tak wic r�wnanie (3) ma jedyne rozwizanie. Poniewa| rozwizanie r�wnania (3) ma posta (4), wic i-ty element tego " rozwizania jest i-tym elementem macierzy A-1 B, ma wic posta A" A" 1i ni xi = �b1 + . . . + �bn, det A det A czyli, "i xi = . (5) det A Otrzymane wzory (8) nosz nazw wzor�w Cramera. 22 PrzykBad 44 Rozwi|emy ukBad r�wnaD �� - x2 + 2x3 = 11 x1 �� x1 + 2x2 - x3 = 11 . �� 4x1 - 3x2 - 3x3 = 24 Poniewa| �� 1 -1 2 �� det A = det 1 2 -1 = -30, �� 4 -3 -3 �� 11 -1 2 �� "1 = det 11 2 -1 = -270, �� 24 -3 -3 �� 1 11 2 �� "2 = det 1 11 -1 = -60, �� 4 24 -3 �� 1 -1 11 �� "3 = det 1 2 11 = -60, �� 4 -3 24 wic -270 -60 -60 x1 = = 9, x2 = = 2, x3 = = 2. -30 -30 -30 Jedynym rozwizaniem rozwa|anego ukBadu jest wic cig (9, 2, 2). 23

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wykład 14 15 z ekon matem
KPC Wykład (14) 15 01 2013
Program wykładu Fizyka II 14 15
Egzamin Teoria Wykład 01 (10) 14 (15) v 0 12 63 BETA
Wyklad 05 14 15 GW
Wyklad 01 14 15 GW
Wyklad 02 14 15 GW
Wyklad 12,13,14,15 Alkeny (eliminacja i addycja)
Wyklad 06 14 15 GW
Wyklad 04 14 15 GW
Wyklad 03 14 15 GW
Wykład 14
wyklad 14 2012
Praca kontrolna sem IV LO 14 15 10 V
Ćw 3 PTW 14 15

więcej podobnych podstron