ÿþ N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
P R Ó B N Y E G Z A M I N M A T U R A L N Y
Z M A T E M A T Y K I
Z E S T A W P R Z Y G O T O W A N Y P R Z E Z S E R W I S
W W W . Z A D A N I A . I N F O
P O Z I O M R O Z S Z E R Z O N Y
1 7 K W I E T N I A 2 0 1 0
C Z A S P R A C Y : 1 8 0 M I N U T
Z A D A N I E 1 ( 3 P K T . )
P o d s t a w o s t r o s Bu p a A B C D S j e s t p r o s t o k t A B C D , a k r a w d z b o c z n a S A j e s t j e g o w y s o -
k o [c i . W y k a |, |e s u m a k w a d r a t ó w p ó l [c i a n A B S i B C S j e s t r ó w n a s u m i e k w a d r a t ó w p ó l
[c i a n A D S i D C S .
R O Z W I Z A N I E
R o z p o c z y n a m y o d r y s u n k u o z n a c z m y o d r a z u A B = a , B C = b i S A = H .
S
H
D
C
a
b
b
A
B
a
Z a u w a |m y , |e k r a w d z B C j e s t p r o s t o p a d Ba d o A B i d o S A , c z y l i j e s t p r o s t o p a d Ba d o
[c i a n y A B S . Z a t e m j e s t p r o s t o p a d Ba d o k a |d e j p r o s t e j w t e j [c i a n i e , c z y l i t r ó j k t S B C j e s t
p r o s t o k t n y ( j e |e l i k t o [ w o l i , t o m o |e s k o r z y s t a z t w i e r d z e n i a o t r z e c h p r o s t y c h p r o s t o p a -
d By c h ) . P o d o b n i e z a u w a |a m y , |e k r a w d z D C j e s t p r o s t o p a d Ba d o [c i a n y A D S , c z y l i t r ó j k t
S D C t e | j e s t p r o s t o k t n y . T e r a z Ba t w o p o l i c z y i n t e r e s u j c e n a s p o l a .
1
P A B S = a H
2
1 1
P B C S = b · B S = b a 2 + H 2
2 2
1
P A D S = b H
2
1 1
P D C S = a · D S = a b 2 + H 2 .
2 2
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
M a m y z a t e m
1 1 1
2 2
P A B S + P B C S = a 2 H 2 + b 2 ( a 2 + H 2 ) = ( a 2 H 2 + b 2 a 2 + b 2 H 2 )
4 4 4
1 1 1
2 2
P A D S + P D C S = b 2 H 2 + a 2 ( b 2 + H 2 ) = ( b 2 H 2 + a 2 b 2 + a 2 H 2 ) .
4 4 4
2 2 2 2
W i d a z a t e m , |e P A B S + P B C S = P A D S + P D C S .
Z A D A N I E 2 ( 4 P K T . )
R o z w i | r ó w n a n i e l o g ( 1 + ( x 2 - 2 x ) 2 ) + | 4 - | 5 - | 3 - x | | | = 0 .
R O Z W I Z A N I E
Z a u w a |m y , |e 1 + ( x 2 - 2 x ) 2 1 , c z y l i
l o g ( 1 + ( x 2 - 2 x ) 2 ) 0 .
N i e u j e m n y j e s t t a k |e d r u g i s k Ba d n i k l e w e j s t r o n y r ó w n a n i a , z a t e m l e w a s t r o n a m o |e b y
r ó w n a 0 t y l k o w t e d y , g d y o b a s k Ba d n i k i s r ó w n e 0 . P a t r z c n a p i e r w s z y s k Ba d n i k , m a m y
w i c
1 + ( x 2 - 2 x ) 2 = 1
x 2 ( x - 2 ) 2 = 0
x = 0 (" x = 2 .
Z a u w a |m y t e r a z , |e n i e m u s i m y r o z w i z y w a r ó w n a n i a
| 4 - | 5 - | 3 - x | | | = 0
w y s t a r c z y t y l k o s p r a w d z i , k t ó r a z l i c z b x = 0 i x = 2 j e s p e Bn i a . L i c z y m y
| 4 - | 5 - | 3 - 0 | | | = | 4 - | 5 - 3 | | = | 4 - 2 | = 2 .
| 4 - | 5 - | 3 - 2 | | | = | 4 - | 5 - 1 | | = | 4 - 4 | = 0 .
Z a t e m j e d y n e r o z w i z a n i e d a n e g o r ó w n a n i a t o x = 2 .
O d p o w i e d z: x = 2
Z A D A N I E 3 ( 3 P K T . )
W y k a |, |e j e |e l i s i n ± - c o s ± j e s t l i c z b w y m i e r n t o w y m i e r n a j e s t r ó w n i e | l i c z b a c o s 4 ±.
R O Z W I Z A N I E
B d z i e m y p r z e k s z t a Bc a w y r a |e n i e s i n ± - c o s ± t a k , b y o t r z y m a c o s 4 ±. P o d r o d z e b d z i e -
m y k o r z y s t a z e w z o r ó w
s i n 2 ± = 2 s i n ± c o s ±
c o s 2 ± = 1 - 2 s i n 2 ±.
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
2
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
J e |e l i o z n a c z y m y s i n ± - c o s ± = x t o m a m y
s i n ± - c o s ± = x / ( ) 2
s i n 2 ± - 2 s i n ± c o s ± + c o s 2 ± = x 2
1 - s i n 2 ± = x 2
s i n 2 ± = 1 - x 2 .
A t o j u | p r a w i e c o s 4 ±, b o
c o s 4 ± = 1 - 2 s i n 2 2 ± = 1 - 2 ( 1 - x 2 ) 2 .
W i d a t e r a z , |e j e |e l i x j e s t l i c z b w y m i e r n t o w y m i e r n e j e s t t e | w y r a |e n i e 1 - 2 ( 1 - x 2 ) 2 ,
c z y l i c o s 4 ±.
Z A D A N I E 4 ( 5 P K T . )
P r z e k t n e c z w o r o k t a A B C D s p r o s t o p a d Be .
a ) W y k a |, |e s u m y k w a d r a t ó w p r z e c i w l e g By c h b o k ó w t e g o c z w o r o k t a s r ó w n e .
b ) W y k a |, |e j e |e l i d Bu g o [c i j e g o b o k ó w A B , B C , C D , D A s k o l e j n y m i w y r a z a m i c i g u
g e o m e t r y c z n e g o t o c z w o r o k t t e n j e s t r o m b e m .
R O Z W I Z A N I E
R o z p o c z n i j m y o d s z k i c o w e g o r y s u n k u .
D
a q 2
a q 3 t
C
S
p
s
A
r
a q
a
B
a ) J e |e l i p r z e z p , r , s , t o z n a c z y m y d Bu g o [c i o d c i n k ó w Bc z c y c h w i e r z c h o Bk i c z w o r o k t a
z p u n k t e m p r z e c i c i a s i p r z e k t n y c h t o n a m o c y t w i e r d z e n i a P i t a g o r a s a m a m y
ñø
2
= +
ôø
ôøA B p 2 r 2
ôø
òøB C r 2 s 2
2
= +
ôøC D 2 s 2 t 2
= +
ôø
ôø
óø
D A 2 = t 2 + p 2
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
3
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
W t a k i m r a z i e
A B 2 + C D 2 = ( p 2 + r 2 ) + ( s 2 + t 2 ) = ( r 2 + s 2 ) + ( t 2 + p 2 ) = B C 2 + D A 2 .
b ) S k o r o d Bu g o [c i b o k ó w s k o l e j n y m i w y r a z a m i c i g u g e o m e t r y c z n e g o , t o m o |e m y j e
o z n a c z y p r z e z a , a q , a q 2 , a q 3 . N a m o c y p o p r z e d n i e g o p o d p u n k t u m a m y
a 2 + ( a q 2 ) 2 = ( a q ) 2 + ( a q 3 ) 2
a 2 + a 2 q 4 = a 2 q 2 + a 2 q 6 / : a 2
1 + q 4 = q 2 + q 6 = q 2 ( 1 + q 4 ) / : ( 1 + q 4 )
1 = q 2 .
O c z y w i [c i e q n i e m o |e b y u j e m n e , c z y l i q = 1 i w s z y s t k i e b o k i c z w o r o k t a m a j
r ó w n e d Bu g o [c i .
Z A D A N I E 5 ( 5 P K T . )
N a b o k a c h A B i A C t r ó j k t a A B C w y b r a n o p u n k t y E i D w t e n s p o s ó b , |e | A E | = 2 | E B | i
| A D | = | D C | . P u n k t M j e s t p u n k t e m w s p ó l n y m o d c i n k ó w C E i B D .
B
E
b
M
C A
D
c
- ’! - ’! - ’! ’! ’!
’!
a ) P r z e d s t a w k a |d y z w e k t o r ó w B C , B D o r a z C E w p o s t a c i p · b + q · c , g d z i e b =
- ’! ’!
’!
A B , c = A C o r a z p , q " R .
- ’! - ’! - ’!
b ) K o r z y s t a j c z r ó w n o [c i B C + C M = B M o b l i c z w j a k i m s t o s u n k u p u n k t M d z i e l i o d -
c i n k i B D i C E .
R O Z W I Z A N I E
a ) L i c z y m y
- ’! - ’! - ’! - ’! - ’! ’!
’!
B C = B A + A C = - A B + A C = - b + c
- ’! - ’! ’! ’! ’! ’!
1 1 ’!
B D = B A + A D = - A B + A C = - b + c
2 2
- ’! - ’! - ’! - ’! - ’!
2 ’! 2 ’!
C E = C A + A E = - A C + A B = - c + b .
3 3
- ’! ’! ’! ’! - ’! ’!
’! ’! ’!
1 2
O d p o w i e d z: B C = - b + c , B D = - b + c , C E = b - c
2 3
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
4
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
- ’! - ’! - ’! - ’!
b ) P o w i e d z m y , |e C M = x C E i B M = y B D . W s t a w i a j c t e w y r a |e n i a d o p o d a n e j r ó w n o -
[c i i k o r z y s t a j c z p o p r z e d n i e g o p o d p u n k t u m a m y
- ’! - ’! - ’!
B C + C M = B M
- ’! - ’! - ’!
B C + x C E = y B D
’! ’!
’! 2 ’! ’! 1 ’!
c - b + x b - c = y c - b
3 2
’! ’! ’!
’! ’! 1 ’! 2
c - x c - y c = b - x b - y b
2 3
’!
1 ’! 2
1 - x - y c = 1 - x - y b .
2 3
’!
’!
W e k t o r y b i c n i e s j e d n a k r ó w n o l e g Be , c o o z n a c z a , |e l i c z b y w n a w i a s a c h w p o w y |-
s z e j r ó w n o [c i m u s z b y r ó w n e 0 ( i n a c z e j j e d e n w e k t o r b y Bb y w i e l o k r o t n o [c i d r u g i e -
g o , c o n i e j e s t m o |l i w e ) . M a m y s t d
1
1 - x - y = 0
2
2
1 - x - y = 0
3
1
P o d s t a w i a m y x = 1 - y z p i e r w s z e g o r ó w n a n i a d o d r u g i e g o i m a m y
2
2 1
1 - + y - y = 0
3 3
1 2 1
= y Ò! y = .
3 3 2
Z a t e m
1 1 3
x = 1 - y = 1 - = .
2 4 4
M a m y w i c B M = M D i C M = 3 M E .
O d p o w i e d z: B M = M D i C M = 3 M E
Z A D A N I E 6 ( 5 P K T . )
W y z n a c z w s z y s t k i e w a r t o [c i p a r a m e t r ó w a , b , d l a k t ó r y c h n i e r ó w n o [
( x 2 - x - 2 ) ( x 2 - 2 a x + 3 b x - 6 a b ) 0
j e s t s p e Bn i o n a p r z e z k a |d l i c z b r z e c z y w i s t .
R O Z W I Z A N I E
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
5
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
R o z k Ba d a m y p i e r w s z y t r ó j m i a n n a c z y n n i k i .
x 2 - x - 2 = 0
" = 1 + 8 = 9
1 - 3 1 + 3
x = = - 1 (" x = = 2
2 2
x 2 - x - 2 = ( x + 1 ) ( x - 2 )
T e r a z r o z k Ba d a m y d r u g i t r ó j m i a n
x 2 - ( 2 a - 3 b ) x - 6 a b = 0
" = ( 2 a - 3 b ) 2 + 2 4 a b = 4 a 2 - 1 2 a b + 9 b 2 + 2 4 a b = 4 a 2 + 1 2 a b + 9 b 2 = ( 2 a + 3 b ) 2
2 a - 3 b - ( 2 a + 3 b ) 2 a - 3 b + ( 2 a + 3 b )
x = = - 3 b (" x = = 2 a
2 2
x 2 - ( 2 a - 3 b ) x - 6 a b = ( x + 3 b ) ( x - 2 a ) .
D a n n i e r ó w n o [ m o |e m y w i c z a p i s a w p o s t a c i
( x + 1 ) ( x - 2 ) ( x + 3 b ) ( x - 2 a ) 0 .
J e |e l i n i e r ó w n o [ m a b y s p e Bn i o n a p r z e z k a |d l i c z b r z e c z y w i s t t o k a |d y p i e r w i a s t e k
l e w e j s t r o n y m u s i b y p o d w ó j n y , c o d a j e n a m d w i e m o |l i w o [c i
- 3 b = - 1 - 3 b = 2
l u b
2 a = 2 2 a = - 1
1
M a m y z a t e m ( a , b ) = ( 1 , ) l u b ( a , b ) = ( - 1 , - 2 ) .
3 2 3
1
O d p o w i e d z: ( a , b ) = ( 1 , ) l u b ( a , b ) = ( - 1 , - 2 )
3 2 3
Z A D A N I E 7 ( 6 P K T . )
D a n y j e s t c z w o r o k t A B C D , g d z i e A = ( - 1 , 4 ) , B = ( - 3 , - 1 ) , C = ( 2 , - 2 ) , D = ( 1 , 2 ) .
a ) O b l i c z p o l e c z w o r o k t a A B C D .
2 2
s i n D B C s i n D B A
b ) O b l i c z w a r t o [ w y r a |e n i a + .
s i n B C D s i n B A D
R O Z W I Z A N I E
R o z p o c z y n a m y o d n a s z k i c o w a n i a c z w o r o k t a .
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
6
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
y
A
+ 4
+ 2 D
+ 1
- 3 + 1 + 2 x
- 1
B
- 2
C
a ) P o l e c z w o r o k t a A B C D o b l i c z y m y j a k o s u m p ó l t r ó j k t ó w A B D i C D B .
S p o s ó b I
K o r z y s t a m y z e w z o r u n a p o l e t r ó j k t a o w i e r z c h o Bk a c h A = ( x A , y A ) , B = ( x B , y B ) i
C = ( x C , y C ) .
1
P A B C = | ( x B - x A ) ( y C - y A ) - ( y B - y A ) ( x C - x A ) | .
2
M a m y z a t e m
1 1
P A B D = | ( - 3 + 1 ) ( 2 - 4 ) - ( - 1 - 4 ) ( 1 + 1 ) | = | 4 + 1 0 | = 7
2 2
1 1 1 9
P C D B = | ( 1 - 2 ) ( - 1 + 2 ) - ( 2 + 2 ) ( - 3 - 2 ) | = | - 1 + 2 0 | = .
2 2 2
Z a t e m
1 9 3 3
P A B C D = P A B D + P C D B = 7 + = .
2 2
S p o s ó b I I
J e |e l i n i e c h c e m y k o r z y s t a z g o t o w e g o w z o r u n a p o l e t o m o |e m y o b l i c z y p o l a t r ó j -
k t ó w A B D i C D B w p r o s t . L i c z y m y n a j p i e r w d Bu g o [ o d c i n k a D B .
"
D B = ( - 3 - 1 ) 2 + ( - 1 - 2 ) 2 = 1 6 + 9 = 5 .
N a p i s z e m y t e r a z r ó w n a n i e p r o s t e j D B i p o l i c z y m y o d l e g Bo [c i p u n k t ó w A i C o d t e j
p r o s t e j ( c z y l i d Bu g o [c i w y s o k o [c i t r ó j k t ó w A B D i C D B ) .
S z u k a m y p r o s t e j p o s t a c i y = a x + b i p o d s t a w i a m y w s p ó Br z d n e p u n k t ó w D i B .
2 = a + b
- 1 = - 3 a + b
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
7
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
3
O d e j m u j c o d p i e r w s z e g o r ó w n a n i a d r u g i e m a m y 3 = 4 a , c z y l i a = . Z a t e m
4
3 5
b = 2 - a = 2 - =
4 4
i p r o s t a B D m a m r ó w n a n i e
3 5
y = x + / · 4
4 4
4 y - 3 x - 5 = 0 .
L i c z y m y t e r a z o d l e g Bo [c i p u n k t ó w A i C o d t e j p r o s t e j
| 1 6 + 3 - 5 | 1 4
" =
5
1 6 + 9
| - 8 - 6 - 5 | 1 9
" = .
5
1 6 + 9
S t d
1 1 4
P A B D = · 5 · = 7
2 5
1 1 9 1 9
P C D B = · 5 · =
2 5 2
1 9 3 3
P A B C D = P A B D + P C D B = 7 + = .
2 2
3 3
O d p o w i e d z:
2
b ) L i c z e n i e s i n u s ó w w u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h t o u d r k a , a l e d z i k i t w i e r d z e n i u s i n u -
s ó w m o |e m y z a m i e n i s i n u s y n a d Bu g o [c i o d c i n k ó w . P a t r z c n a t r ó j k t y A B D i C D B
m a m y
D A D B s i n D B A A D
= Ò! =
s i n D B A s i n B A D s i n B A D D B
D C D B s i n D B C D C
= Ò! = .
s i n D B C s i n B C D s i n B C D D B
M a m y w i c
2 2 2 2
s i n D B C s i n D B A D C A D
+ = + =
s i n B C D s i n B A D D B D B
D C 2 + A D 2 ( 2 - 1 ) 2 + ( - 2 - 2 ) 2 + ( 1 + 1 ) 2 + ( 2 - 4 ) 2
= = =
D B 2 ( - 3 - 1 ) 2 + ( - 1 - 2 ) 2
1 + 1 6 + 4 + 4
= = 1 .
1 6 + 9
O d p o w i e d z: 1
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
8
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z A D A N I E 8 ( 6 P K T . )
N a r y s u n k u p r z e d s t a w i o n o w y k r e s p e w n e j f u n k c j i w y k Ba d n i c z e j f ( x ) = a x d l a x " R .
y
5
3
1
- 5 - 1 + 5 x
- 1
- 5
W y k r e s t e n p r z e k s z t a Bc o n o w s y m e t r i i [r o d k o w e j w z g l d e m p u n k t u ( 1 , - 1 ) , a n a s t p n i e
w s y m e t r i i o s i o w e j w z g l d e m p r o s t e j x = - 2 . O t r z y m a n o w t e n s p o s ó b w y k r e s f u n k c j i
g ( x ) = b · a x + c .
a ) W y z n a c z l i c z b y a , b , c i n a s z k i c u j w y k r e s f u n k c j i y = g ( x ) .
b ) O d c z y t a j z w y k r e s u r o z w i z a n i e n i e r ó w n o [c i g ( x ) - 5 .
R O Z W I Z A N I E
R o z p o c z n i j m y o d w y z n a c z e n i a a . Z w y k r e s u w i d z i m y , |e f ( - 1 ) = 3 , c z y l i
1 1
3 = a - 1 = Ð!Ò! a = .
a 3
b
a ) S z u k a m y f u n k c j i p o s t a c i y = + c , w i c w y s t a r c z y z n a l e z d w a p u n k t y n a j e j w y -
3 x
k r e s i e , a b y w y z n a c z y b i c ( m a m y d w i e n i e w i a d o m e , w i c p o t r z e b u j e m y d w ó c h r ó w -
n a D) . M o |n a w y b r a r ó |n e p u n k t y m y z o b a c z y m y n a c o p r z e j d p u n k t y A = ( 0 , 1 ) i
B = ( - 1 , 3 ) .
y y
5
+ 5
3
B
1
+ 1
A
- 5 - 1 + 5 x - 5 - 1 + 5 x
- 1 - 1
A ' ' A ' '
A '
B ' '
B ' '
- 5 - 5
B '
y = - 5
x = - 2
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
9
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
N a j p i e r w s y m e t r i a [r o d k o w a w z g l d e m p u n k t u ( 1 , - 1 ) . S z u k a m y p u n k t ó w A i B
t a k i c h , |e b y p u n k t ( 1 , - 1 ) b y B [r o d k i e m o d c i n k ó w A A i B B .
0 + x A 1 + y A
( 1 , - 1 ) = , Ò! A = ( 2 , - 3 )
2 2
- 1 + x B 3 + y B
( 1 , - 1 ) = , Ò! B = ( 3 , - 5 ) .
2 2
T e r a z z n a j d u j e m y o b r a z y A i B p u n k t ó w A i B w s y m e t r i i w z g l d e m p r o s t e j x =
- 2 . P u n k t y t e b d m i a By t a k i e s a m e d r u g i e w s p ó Br z d n e j a k p u n k t y A i B , a i c h
p i e r w s z e w s p ó Br z d n e m u s z b y t a k i e , |e b y [r o d k i o d c i n k ó w A A i B B l e |a By n a
p r o s t e j x = - 2 . M a m y w i c
x A + x A 2 + x A
- 2 = = Ò! A = ( - 6 , - 3 )
2 2
x B + x B 3 + x B
- 2 = = Ò! B = ( - 7 , - 5 ) .
2 2
T e r a z Ba t w o w y z n a c z y l i c z b y b i c p o d s t a w i a m y w s p ó Br z d n e p u n k t ó w A i B d o
w z o r u f u n k c j i g .
ñø
- 6
ôø
1
òø
- 3 = b · + c = b · 3 6 + c
3
- 7
ôø
1
óø
- 5 = b · + c = b · 3 7 + c .
3
P o r ó w n u j c c z o b u r ó w n a D m a m y
b · 3 6 + 3 = b · 3 7 + 5
- 2 = b · 3 6 ( 3 - 1 )
1
- 1 = b · 3 6 Ò! b = - .
3 6
Z a t e m
c = - 3 - b · 3 6 = - 3 + 1 = - 2 .
1
O d p o w i e d z: ( a , b , c ) = ( 1 , - 7 2 9 , - 2 )
3
b ) P o n i e w a |
1 1 1
g ( x ) = - · - 2 = - + 2 ,
3 6 3 x 3 x + 6
1
w y k r e s f u n k c j i g ( x ) p o w s t a j e z w y k r e s u f u n k c j i y = p r z e z p r z e s u n i c i e o w e k t o r
3 x
[ - 6 , 2 ] , a n a s t p n i e o d b i c i e w z g l d e m o s i O x . B e z t r u d u s z k i c u j e m y w y k r e s .
Z w y k r e s u w i d a , |e r o z w i z a n i e m n i e r ó w n o [c i g ( x ) - 5 j e s t p r z e d z i a B ( - ", - 7 .
O d p o w i e d z: ( - ", - 7
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 0
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
Z A D A N I E 9 ( 5 P K T . )
O d l e g Bo [ [r o d k a w y s o k o [c i s t o |k a o d j e g o p o w i e r z c h n i b o c z n e j j e s t t r z y r a z y m n i e j s z a n i |
p r o m i e D j e g o p o d s t a w y . O b l i c z s i n u s k t a r o z w a r c i a s t o |k a .
R O Z W I Z A N I E
R o z p o c z y n a m y o d r y s u n k u , o d r a z u s k u p i a m y s i n a p r z e k r o j u o s i o w y m .
C
± ±
h
E
x
D
h
3 x
A B
N i e c h D b d z i e [r o d k i e m w y s o k o [c i i p o w i e d z m y , |e d z i e l i o n w y s o k o [ n a o d c i n k i
d Bu g o [c i h . O z n a c z m y t e | p r z e z x o d l e g Bo [ t e g o p u n k t u o d p o w i e r z c h n i b o c z n e j s t o |k a .
Z a u w a |m y , |e t r ó j k t y C E D i C A B s p r o s t o k t n e i m a j w s p ó l n y k t p r z y w i e r z c h o Bk u
C . S w i c p o d o b n e . M a m y w i c
C E C A
=
D E A B
C A 2 h 2
C E = · D E = · x = h .
A B 3 x 3
P i s z e m y t e r a z t w i e r d z e n i e P i t a g o r a s a w t r ó j k c i e C D E .
C E 2 + D E 2 = C D 2
4
h 2 + x 2 = h 2
9
5
x 2 = h 2
9
"
5
x = h .
3
M a m y z a t e m
"
"
5
h
x 5
3
s i n ± = = = .
h h 3
T o j e d n a k n i e k o n i e c , b o m a m y w y l i c z y s i n 2 ±, a n i e s i n ±. A b y m ó c s k o r z y s t a z e w z o r u
s i n 2 ± = 2 s i n ± c o s ±,
w y l i c z y m y j e s z c z e c o s ±.
2
h
C E 2
3
c o s ± = = = .
C D h 3
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 1
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
M a m y w i c
" "
5 2 4 5
s i n 2 ± = 2 s i n ± c o s ± = 2 · · = .
3 3 9
"
4 5
O d p o w i e d z:
9
Z A D A N I E 1 0 ( 3 P K T . )
2 7 3 1 8 - 1
U z a s a d n i j , |e l i c z b a j e s t l i c z b c a Bk o w i t .
9 5 3 - 1
R O Z W I Z A N I E
B d z i e m y k o r z y s t a z e w z o r u
a n - 1 = ( a - 1 ) ( a n - 1 + a n - 2 + · · · + a + 1 ) .
M a m y z a t e m
2 7 3 1 8 - 1 3 3 · 3 1 8 - 1 9 3 · 1 5 9 - 1 ( 9 5 3 ) 9 - 1
= = = =
9 5 3 - 1 9 5 3 - 1 9 5 3 - 1 9 5 3 - 1
8 7
( 9 5 3 - 1 ) ( ( 9 5 3 ) 8 + ( 9 5 3 ) 7 + · · · + 1 )
= = 9 5 3 + 9 5 3 + · · · + 1 .
9 5 3 - 1
W i d a w i c , |e j e s t t o l i c z b a c a Bk o w i t a .
Z A D A N I E 1 1 ( 5 P K T . )
D o 1 2 p o n u m e r o w a n y c h s z u f l a d w k Ba d a m y l o s o w o 1 3 p o j e d y n c z y c h s k a r p e t e k , p r z y c z y m
d o k Ba d n i e d w i e z n i c h t w o r z p a r . J a k i e j e s t p r a w d o p o d o b i e Ds t w o o t r z y m a n i a k o n f i g u -
r a c j i , w k t ó r e j |a d n a s z u f l a d a n i e j e s t p u s t a o r a z s k a r p e t k i t w o r z c e p a r z n a j d u j s i w
r ó |n y c h s z u f l a d a c h .
R O Z W I Z A N I E
K a |d s k a r p e t k m o |e m y w Bo |y d o j e d n e j z 1 2 s z u f l a d , w i c j e |e l i z a z d a r z e n i a e l e m e n t a r -
n e p r z y j m i e m y c i g i n u m e r ó w s z u f l a d , d o k t ó r y c h t r a f i By k o l e j n e s k a r p e t k i t o
| &!| = 1 2 · 1 2 · 1 2 · · · 1 2 = 1 2 1 3 .
Z a u w a |m y , |e p r z y t a k i m p o d e j [c i u o d r ó |n i a m y o d s i e b i e d w i e s k a r p e t k i t w o r z c e p a r .
R ó w n i e d o b r z e m o g l i b y [m y u z n a j e z a n i e o d r ó |n i a l n e , a l e n i e u p r o [c i Bo b y t o r a c h u n k ó w .
Z d a r z e n i a s p r z y j a j c e p o l i c z y m y n a d w a s p o s o b y , a l e z a n i m t o z r o b i m y z a u w a |m y , |e
p o n i e w a | s k a r p e t e k j e s t 1 3 , a s z u f l a d 1 2 , o r a z w k a |d e j s z u f l a d z i e m a b y c o n a j m n i e j j e d n a
s k a r p e t k a , w i c d o k Ba d n i e w j e d n e j z s z u f l a d m u s z b y d w i e s k a r p e t k i , a w e w s z y s t k i c h
p o z o s t a By c h p o j e d n e j s k a r p e t c e .
S p o s ó b I
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 2
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
W p i e r w s z y m p o d e j [c i u n i e p r z e j m u j m y s i s k a r p e t k a m i t w o r z c y m i p a r i l i c z y m y i l e j e s t
m o |l i w o [c i t a k i c h r o z m i e s z c z e D s k a r p e t e k , |e |a d n a s z u f l a d a n i e j e s t p u s t a . L i c z y m y n a s t -
p u j c o : w y b i e r a m y n a j p i e r w d w i e s k a r p e t k i , k t ó r e z n a j d s i w j e d n e j s z u f l a d z i e m o |e m y
t o z r o b i n a ( 1 3 ) s p o s o b ó w , p o t e m w y b i e r a m y s z u f l a d , w k t ó r e j s i z n a j d m o |e m y t o
2
z r o b i n a 1 2 s p o s o b ó w , a n a k o n i e c d o w o l n i e u m i e s z c z a m y p o z o s t a Be 1 1 s k a r p e t e k w p o z o -
s t a By c h 1 1 s z u f l a d a c h , w s u m i e j e s t w i c
1 3 1 3 · 1 2
· 1 2 · 1 1 ! = · 1 2 ! = 7 8 · 1 2 !
2 2
t a k i c h u k Ba d ó w .
T e r a z p o z o s t a Bo o d j s y t u a c j e , g d y d w i e s k a r p e t k i z j e d n e j p a r y t r a f i By d o t e j s a m e j s z u -
f l a d y . L i c z y m y : s z u f l a d d o k t ó r e j t r a f i By m o |e m y w y b r a n a 1 2 s p o s o b ó w , a p o z o s t a Be 1 1
s k a r p e t e k r o z m i e s z c z a m y d o w o l n i e , c z y l i j e s t
1 2 · 1 1 ! = 1 2 !
t a k i c h u k Ba d ó w .
W t a k i m r a z i e j e s t
7 8 · 1 2 ! - 1 2 ! = 7 7 · 1 2 !
z d a r z e D s p r z y j a j c y c h i p r a w d o p o d o b i e Ds t w o w y n o s i
7 7 · 1 2 ! 7 7 · 1 1 !
p = =
1 2 1 3 1 2 1 2
S p o s ó b I I
T y m r a z e m p o l i c z m y o d r a z u l i c z b p o p r a w n y c h u k Ba d ó w . M a m y d w i e m o |l i w e s y t u a c j e :
a l b o w s z u f l a d z i e , w k t ó r e j s d w i e s k a r p e t k i n i e m a |a d n e j s k a r p e t k i z p a r y , a l b o j e d n a z
t y c h s k a r p e t e k j e s t s k a r p e t k z p a r y .
W p i e r w s z e j s y t u a c j i l i c z y m y n a s t p u j c o : d w i e s k a r p e t k i d o p o d w ó j n e j s z u f l a d y w y b i e -
r a m y s p o [r ó d 1 1 p o j e d y n c z y c h s k a r p e t , c z y l i n a
1 1 1 1 · 1 0
= = 5 5
2 2
s p o s o b ó w , p o t e m u s t a l a m y , k t ó r a s z u f l a d a j e s t p o d w ó j n a n a 1 2 s p o s o b ó w , a n a k o n i e c
d o w o l n i e p e r m u t u j e m y p o z o s t a By c h 1 1 s k a r p e t e k w p o z o s t a By c h 1 1 s z u f l a d a c h . R a z e m j e s t
w i c
5 5 · 1 2 · 1 1 ! = 5 5 · 1 2 !
t a k i c h k o n f i g u r a c j i .
W d r u g i e j s y t u a c j i , g d y j e d n a z e s k a r p e t e k j e s t w p o d w ó j n e j s z u f l a d z i e , l i c z y m y n a s t -
p u j c o : s k a r p e t k z p a r y , k t ó r a m a s i z n a l e z w p o d w ó j n e j s z u f l a d z i e m o |e m y w y b r a n a
d w a s p o s o b y , p o t e m d o b i e r a m y d o n i e j j e d n p o j e d y n c z s k a r p e t k m o |e m y t o z r o b i n a
1 1 s p o s o b ó w , p o t e m u s t a l a m y , k t ó r a s z u f l a d a m a b y p o d w ó j n a m o |e m y t o z r o b i n a 1 2
s p o s o b ó w , a n a k o n i e c , p o z o s t a Be 1 1 s k a r p e t e k p e r m u t u j e m y d o w o l n i e w p o z o s t a By c h 1 1
s z u f l a d a c h . Ac z n i e j e s t w i c
2 · 1 1 · 1 2 · 1 1 ! = 2 2 · 1 2 !
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 3
N A J W I K S Z Y I N T E R N E T O W Y Z B I Ó R Z A D A C Z M A T E M A T Y K I
t a k i c h k o n f i g u r a c j i .
M a m y w i c
5 5 · 1 2 ! + 2 2 · 1 2 ! = 7 7 · 1 2 !
z d a r z e D s p r z y j a j c y c h i p r a w d o p o d o b i e Ds t w o w y n o s i
7 7 · 1 2 ! 7 7 · 1 1 !
p = =
1 2 1 3 1 2 1 2
7 7 · 1 1 !
O d p o w i e d z:
1 2 1 2
M a t e r i a B p o b r a n y z s e r w i s u
1 4