ÿþP r z y k Ba d 6 . 1 . P r z e s t r z e n n y s t a n n a p r |e n i a i o d k s z t a Bc e n i a
S t a n n a p r |e n i a
S t a n n a p r |e n i a w p u n k c i e j e s t o k r e [l o n y z a p o m o c d z i e w i c i u s k Ba d o w y c h , k t ó r e
o z n a c z a m y l i t e r à z o d p o w i e d n i m i i n d e k s a m i . P i e r w s z y i n d e k s o z n a c z a n o r m a l n
z e w n t r z n d o p r z e k r o j u , w k t ó r y m d z i a Ba n a p r |e n i e , z a [ d r u g i k i e r u n e k n a p r |e n i a .
W w y t r z y m a Bo [c i m a t e r i a Bó w , d l a o d r ó |n i e n i a n a p r |e D s t y c z n y c h s t o s u j e s i l i t e r Ä ,
n a t o m i a s t p o w t a r z a j c y s i i n d e k s w o z n a c z e n i u n a p r |e D n o r m a l n y c h p o m i j a s i . Z g o d n i e
z t w i e r d z e n i e m o w z a j e m n o [c i n a p r |e D s t y c z n y c h z a c h o d z r ó w n o [c i : Ä = Ä , Ä = Ä ,
x y y x y z z y
Ä = Ä . M a m y z a t e m 6 n i e z a l e |n y c h s k Ba d o w y c h s t a n u n a p r |e n i a , k t ó r e z a p i s u j e m y j a k o :
z x x z
îø ùø îø ùø
Ã Ã Ã Ã Ä Ä
x x x y x z x x y x z
ïø úø ïø úø
à = l u b à =
y x y y y z y x y y z
ïøÃ Ã Ã úø ïøÄ Ã Ä úø
ïøà z x à z y à z z úø ïøÄ z x Ä z y à z úø
ðø ûø ðø ûø
P r z y j m u j e s i n a s t p u j c e z a s a d y z n a k o w a n i a s k Ba d o w y c h s t a n u n a p r |e n i a :
" N a p r |e n i e n o r m a l n e j e s t d o d a t n i e , g d y j e s t s k i e r o w a n e n a z e w n t r z p r z e k r o j u ( o d
p r z e k r o j u ) , t z n . j e s t r o z c i g a j c e .
" U m o w z n a k ó w d l a n a p r |e n i a s t y c z n e g o w y j a [n i m y n a p r z y k Ba d z i e n a p r |e n i a Äx y .
D z i a Ba o n o w p r z e k r o j u p r o s t o p a d By m d o o s i x , w z d Bu | o s i y . W p r z e k r o j u o n o r m a l n e j
z e w n t r z n e j z g o d n e j z e z w r o t e m o s i x n a p r |e n i e Äx y j e s t d o d a t n i e , g d y m a z w r o t
z g o d n y z o s i y . N a t o m i a s t w p r z e c i w l e g By m p r z e k r o j u ( o u j e m n e j n o r m a l n e j
z e w n t r z n e j ) n a p r |e n i e Äx y j e s t d o d a t n i e , g d y m a z w r o t p r z e c i w n y d o o s i y .
A b y z i l u s t r o w a n a r y s u n k u s t a n n a p r |e n i a w d a n y m p u n k c i e , n a l e |y p r z e p r o w a d z i p r z e z
t e n p u n k t t r z y p r z e k r o j e p r o s t o p a d Be d o p r z y j t e g o u k Ba d u o s i x y z . N a r y s o w a n i e w s z y s t k i c h
s k Ba d o w y c h s t a n u n a p r |e n i a d o s Bo w n i e w p u n k c i e b y Bo b y n i e c z y t e l n e , d l a t e g o
p r o w a d z i m y p r z e k r o j e w j e g o n i e s k o Dc z e n i e m a By m o t o c z e n i u ( r y s u j e m y p r o s t o p a d Bo [c i a n
k o s t k ) .
N a p o n i |s z y m r y s u n k u z a z n a c z o n o d o d a t n i e z w r o t y o d p o w i e d n i c h n a p r |e D.
Ã
z
z
Ä
Ä
z y
z x
Ä
Ä y z
x z
Ä
x y
y
x
Ä
y x
Ã
y
Ã
x
P r z y k Ba d o w o , d l a p o n i |s z e g o s t a n u n a p r |e n i a i l u s t r a c j a g r a f i c z n a j e s t n a s t p u j c a :
6
z
1
1
2 5 - 1
îø ùø
1
1 ïø
à = 5 5 1 úø [ M P a ]
ïø úø
ïø- 1 1 6 ûø
úø
5 ðø
5 5
y 2
x
U w a g a :
Z a d a n i a 1 , 2 , i 3 d o t y c z w y z n a c z a n i a w a r t o [c i g Bó w n y c h i k i e r u n k ó w g Bó w n y c h
p r z e s t r z e n n e g o s t a n u n a p r |e n i a . D l a s t a n u o d k s z t a Bc e n i a z a g a d n i e n i e t o r o z w i z u j e s i
a n a l o g i c z n i e . W y s t a r c z y z a s t p i s k Ba d o w e s t a n u n a p r |e n i a o d p o w i e d n i m i s k Ba d o w y m i s t a n u
o d k s z t a Bc e n i a .
Z A D A N I E 1 . O b l i c z y w a r t o [c i n a p r |e D g Bó w n y c h o r a z o k r e [l i k i e r u n k i g Bó w n e s t a n u
n a p r |e n i a :
îø ùø
Ã Ä Ä 2 5 - 1
îø ùø
x x y x z
ïø úø
ïø
à = = 5 5 1 úø [ M P a ]
y x y y z
ïøÄ Ã Ä úø
ïø úø
ïøÄ z x Ä z y à z úø
ïø- 1 1 6 ûø
úø
ðø
ðø ûø
R o z w i z a n i e
O b l i c z a m y w a r t o [c i n i e z m i e n n i k ó w s t a n u n a p r |e n i a .
s I = Ãx + Ãx + Ãz = 2 + 5 + 6 = 1 3 M P a
Ãx Ä Ã Ä
Ãx Ä
x y y y z 2 2 2
x z
s I I = +
Ä Ã Ä Ãz + Ä Ãz = Ãx à y - Ä x y + à y Ãz - Ä y z + Ãz Ãx - Ä z x
y x y z x z y
= 2 Å"5 - 5 2 + 5 Å" 6 - 1 2 + 2 Å" 6 - ( - 1 ) 2 = 2 5 M P a 2
Ãx Ä Ä
x y x z
s I I I = Ä Ã Ä = Ãx à Ãz + Ä Ä Ä + Ä Ä Ä - Ä Ã Ä - Ãx Ä Ä - Ä Ä Ãz
y x y y z y x y y z z x x z y x z y x z y z x y z z y x y y x
Ä Ä Ãz
z x z y
= 2 Å"5 Å" 6 + 2 Å"1 ( - 1 ) + ( - 1 ) Å"5 Å"1 - ( - 1 ) Å" ( - 1 ) Å"5 - 1 Å"1 Å" 2 - 6 Å"5 Å"5 = - 1 0 7 M P a 3
N a p r |e n i a g Bó w n e w y z n a c z a m y z r ó w n a n i a
3 2
à - s I à + s I I à - s I I I = 0 ,
k t ó r e p o w s t a w i e n i u o b l i c z o n y c h w a r t o [c i l i c z b o w y c h n i e z m i e n n i k ó w m a p o s t a
3 2
( 1 )
à - 1 3 à + 2 5 à + 1 0 7 = 0 .
A b y o t r z y m a w a r t o [c i n a p r |e D g Bó w n y c h n a l e |y r o z w i z a p o w y |s z e r ó w n a n i e t r z e c i e g o
s t o p n i a .
R o z w i z a n i e r ó w n a n i a t r z e c i e g o s t o p n i a w p o s t a c i o g ó l n e j
N i e c h b d z i e d a n e r ó w n a n i e t r z e c i e g o s t o p n i a w p o s t a c i
a y 3 + b y 2 + c y + d = 0 .
D z i e l i m y j e o b u s t r o n n i e p r z e z a i p o d s t a w i a m y y = x - b / 3 a ; o t r z y m u j e m y :
x 3 + 3 p x + 2 q = 0 ,
2
g d z i e
3 a c - b 2 2 b 3 b c d
3 p = ; 2 q = - + .
3 a 2 2 7 a 3 3 a 2 a
O b l i c z a m y w y r ó |n i k
" = q 2 + p 3 .
J e |e l i " < 0 o r a z p < 0 t o n a s z e r ó w n a n i e t r z e c i e g o s t o p n i a m a t r z y r ó |n e p i e r w i a s t k i
r z e c z y w i s t e . P i e r w i a s t k i x 1 , x 2 , x 3 o b l i c z a m y z e w z o r ó w :
1
x 1 = - 2 r c o s Õ ,
3
1
x 2 = 2 r c o s ( 6 0 - Õ) ,
3
1
x 3 = 2 r c o s ( 6 0 + Õ) ,
3
g d z i e
q
c o s Õ = , r = · | p | , · = s g n ( q ) ( · = ± 1 z a l e |n i e o d z n a k u q ) .
r 3
Z a t e m p i e r w i a s t k i r o z w a |a n e g o r ó w n a n i a t r z e c i e g o s t o p n i a w y n o s z
b b b
y 1 = x 1 - , y 2 = x 2 - , y 3 = x 3 - .
3 a 3 a 3 a
R o z w i |e m y t e r a z r ó w n a n i e ( 1 ) , k o r z y s t a j c z p o w y |s z e g o s p o s o b u . O b l i c z a m y :
a = 1 , b = - 1 3 , c = 2 5 , d = 1 0 7 ,
3 a c - b 2 3 Å"1 Å" 2 5 - ( - 1 3 ) 2
3 p = = = - 3 1 , 3 < 0 ,
3 a 2 3 Å"1 2
2 b 3 b c d 2 Å"( - 1 3 ) 3 ( - 1 3 ) Å" 2 5 1 0 7
2 q = - + = - + = - 1 6 2 , 7 + 1 0 8 , 3 + 1 0 7 = 5 2 , 6
2 7 a 3 3 a 2 a 2 7 Å"1 3 3 Å"1 2 1
2 3
5 2 , 6
ëø öø ëø - 3 1 , 3
öø
" = q 2 + p 3 = + =
ìø ÷ø ìø ÷ø - 4 4 7 , 6 < 0
2 3
íø øø íø øø
5 2 , 6
3 1 , 3 q
2
· = s g n ( q ) = + 1 , r = · | p | = + 1 Å" = 3 , 2 3 , c o s Õ = = = 0 , 7 8 0 Ò! Õ = 3 8 , 7
3
r 3 3 , 2 3 3
1
x 1 = - 2 r c o s Õ = - 2 Å"3 , 2 3 Å"c o s ëø 3 8 , 7 öø = - 6 , 3 0
ìø ÷ø
3 3
íø øø
3 8 , 7
1 öø
x 2 = 2 r c o s ( 6 0 - Õ) = - 2 Å"3 , 2 3 Å"c o s ëø6 0 - ÷ø
= 4 , 4 0
ìø
3 3
íø øø
3 8 , 7
1 öø
x 3 = 2 r c o s ( 6 0 + Õ) = - 2 Å"3 , 2 3 Å"c o s ëø6 0 + = 1 , 9 0
ìø ÷ø
3 3
íø øø
3
Z a t e m n a p r |e n i a g Bó w n e w y n o s z :
b - 1 3
x 1 - = - 6 , 3 0 - = - 1 , 9 7 = Ã3 [ M P a ]
3 a 3 Å"1
b - 1 3
x 2 - = 4 , 4 0 - = 8 , 7 4 = Ã1 [ M P a ]
3 a 3 Å"1
b - 1 3
x 3 - = 1 , 9 0 - = 6 , 2 3 = Ã [ M P a ]
2
3 a 3 Å"1
K o n t r o l p r a w i d Bo w o [c i o b l i c z e D m o |e b y s p r a w d z e n i e n i e z m i e n n i k ó w :
s I = Ã1 + Ã2 + Ã3 = 8 , 7 4 + 6 , 2 3 - 1 , 9 7 = 1 3 M P a
Ã1 0 Ã1 0 Ã2 0
s I I =
0 Ã2 + 0 Ã3 + 0 Ã3 = Ã1 Ã2 + Ã1 Ã3 + Ã2 Ã3 =
= 8 , 7 4 Å" 6 , 2 3 + 8 , 7 4 Å" ( - 1 , 9 7 ) + 6 , 2 3 Å" ( - 1 , 9 7 ) = 2 5 , 0 M P a 2
Ã1 0 0
8 , 7 4 0 0
s I I I = 0 Ã 0 = 0 6 , 2 3 0 = 8 , 7 4 Å" 6 , 2 3 Å" ( - 1 , 9 7 ) = - 1 0 7 M P a 3
2
0 0 - 1 , 9 7
0 0 Ã3
W a r t o [c i n i e z m i e n n i k ó w s z g o d n e z o t r z y m a n y m i p o p r z e d n i o .
W y z n a c z a m y t e r a z k i e r u n k i g Bó w n e .
K i e r u n e k g Bó w n y 1 , c z y l i k i e r u n e k d z i a Ba n i a n a p r |e n i a Ã1 , o k r e [l o n y j e s t p r z e z k o s i n u s y
k i e r u n k o w e l 1 , m 1 , n 1 . S t o k o s i n u s y k t ó w j a k i e t w o r z y w e k t o r n a p r |e n i a Ã1 , z o s i a m i
u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h O x , O y , O z . L i c z b y l 1 , m 1 , n 1 s z a t e m s k Ba d o w y m i j e d n o s t k o w e g o
w e k t o r a z e w n t r z n i e n o r m a l n e g o d o p r z e k r o j u , w k t ó r y m w y s t p u j e n a p r |e n i e Ã1 .
P r a w d z i w y j e s t z a t e m z w i z e k :
2 2 2
l 1 + m 1 + n 1 = 1 .
K o s i n u s y k i e r u n k o w e l 1 , m 1 , n 1 o b l i c z a m y z u k Ba d u r ó w n a D:
ñø - Ã1 ) l 1 + Ä m 1 + Ä n 1 = 0
( Ãx
( 2
y x z x ñø - 8 , 7 4 ) l 1 + 5 m 1 - n 1 = 0
( 2 )
ôø
ôø ôø5 l + ( 5 - 8 , 7 4 ) m 1 + n 1 = 0
òøÄ l 1 + ( Ã - Ã1 ) m 1 + Ä n 1 = 0 Ò! òø
x y y z y 1 ( 3 )
ôø ôø
ôøÄ x z l 1 + Ä y z m 1 + ( Ãx - Ã1 ) n 1 = 0 óø- l 1 + m 1 + ( 6 - 8 , 7 4 ) n 1 = 0 ( 4 )
óø
W y z n a c z n i k m a c i e r z y g Bó w n e j t e g o u k Ba d u j e s t r ó w n y z e r u . O b l i c z a m y r z d t e j m a c i e r z y .
W t y m c e l u w y b i e r a m y z n i e j d o w o l n y m i n o r d r u g i e g o s t o p n i a ( 3 - 1 = 2 ) i s p r a w d z a m y c z y j e s t
o n r ó |n y o d z e r a .
îø- 6 , 7 4 5 - 1
ùø
5 - 3 , 7 4
ïø úø
5 - 3 , 7 4 1 = 5 - 3 , 7 4 `" 0
- 1 1
ïø- 1 1 - 2 , 7 4 úø
ðø ûø
N a s z u k Ba d m a z a t e m r o z w i z a n i a z a l e |n e o d j e d n e g o p a r a m e t r u . B a d a n y m i n o r o b e j m o w a B
w s p ó Bc z y n n i k i p r z y n i e w i a d o m y c h l 1 i m 1 w r ó w n a n i a c h ( 3 ) i ( 4 ) . R o z w i z u j e m y t e r a z u k Ba d
d w ó c h r ó w n a D ( 3 ) i ( 4 ) w z g l d e m n i e w i a d o m y c h l 1 i m 1 . O t r z y m u j e m y :
m 1 = 1 0 , 1 n 1 , l 1 = 7 , 3 4 n 1
4
U w z g l d n i a j c w a r u n e k
2 2 2 2 2 2
l 1 + m 1 + n 1 = 1 , 1 0 , 1 2 Å" n 1 + 7 , 3 4 2 Å" n 1 + n 1 = 1 ,
o t r z y m u j e m y k o s i n u s y k i e r u n k o w e p i e r w s z e g o k i e r u n k u g Bó w n e g o :
n 1 = ± 0 . 0 8 0 3 l 1 = ± 0 . 5 8 6 , m 1 = ± 0 . 8 0 6
o r a z .
D l a d r u g i e g o k i e r u n k u g Bó w n e g o r o z w i z u j e m y u k Ba d r ó w n a D:
( Ãx - Ã2 ) l 2 + Ä m 2 + Ä n 2 = 0
( 2
y x z x ñø - 6 , 2 3 ) l 1 + 5 m 1 - n 1 = 0
( 5 )
ôø5 l + ( 5 - 6 , 2 3 ) m 1 + n 1 = 0
Ä l 2 + ( Ã - Ã2 ) m 2 + Ä n 2 = 0 Ò!
( 6 )
òø
x y y z y 1
ôø
( 7 )
Ä l 2 + Ä m 2 + ( Ãx - Ã2 ) n 2 = 0
óø- l 1 + m 1 + ( 6 - 6 , 2 3 ) n 1 = 0
x z y z
W y b i e r a m y d o w o l n y m i n o r d r u g i e g o s t o p n i a z m a c i e r z y g Bó w n e j u k Ba d u i s p r a w d z a m y c z y
j e s t o n r ó |n y o d z e r a :
îø- 4 , 2 3 5 - 1
ùø
- 4 , 2 3 5
ïø úø
5 - 1 , 2 3 1 = 4 , 2 3 Å"1 , 2 3 - 2 5 `" 0
5 - 1 , 2 3
ïø
ðø- 1 1 - 0 , 2 3 úø
ûø
B a d a n y m i n o r o b e j m o w a B w s p ó Bc z y n n i k i p r z y n i e w i a d o m y c h l 1 i m 1 w r ó w n a n i a c h ( 5 ) i ( 6 ) .
Z a t e m , r o z w i z u j e m y t e r a z u k Ba d d w ó c h r ó w n a D ( 5 ) i ( 6 ) w z g l d e m n i e w i a d o m y c h l 1 i m 1 .
O t r z y m u j e m y :
m 2 = 0 , 0 3 8 9 n 2 , l 2 = - 0 , 1 9 0 n 2
d o Bc z a j c w a r u n e k
2 2 2 2 2 2
l 2 + m 2 + n 2 = 1 , 0 , 0 3 8 9 2 Å" n 2 + ( - 0 , 1 9 0 ) 2 Å" n 2 + n 2 = 1 ,
o t r z y m u j e m y k o s i n u s y k i e r u n k o w e d r u g i e g o k i e r u n k u g Bó w n e g o :
n 2 = ± 0 . 9 8 2 l 2 = "0 , 1 8 7 , m 2 = ± 0 . 0 3 8 2
o r a z .
P o d o b n i e , o b l i c z a m y s k Ba d o w e t r z e c i e g o k i e r u n k u g Bó w n e g o . W y n o s z o n e :
n 3 = ± 0 , 1 7 3 l 3 = ± 0 , 7 8 8 , m 3 = "0 . 5 9 1 .
o r a z
K i e r u n k i g Bó w n e o k r e [l o n e j e d n o s t k o w y m i w e k t o r a m i µ 1 = [ l 1 , m 1 , n 1 ] , µ 2 = [ l 2 , m 2 , n 2 ] ,
µ 3 = [ l 3 , m 3 , n 3 ] m u s z b y w z g l d e m s i e b i e p a r a m i p r o s t o p a d Be . S p r a w d z e n i e t e g o w a r u n k u
j e s t d o b r y m s p o s o b e m k o n t r o l i p o p r a w n o [c i o b l i c z e D. D l a k a |d e j p a r y z a p i s u j e m y w a r u n e k
w y n i k a j c y z d e f i n i c j i i l o c z y n u s k a l a r n e g o :
l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0 , 5 8 6 Å" ( - 0 , 1 8 7 ) + 0 , 8 0 6 Å" 0 , 0 3 8 2 + 0 , 0 8 0 3 Å" 0 , 9 8 2 = 6 , 1 8 Å"1 0 - 5 E" 0
l 2 l 3 + m 2 m 3 + n 2 n 3 = - 0 , 1 8 7 Å" 0 , 7 8 8 + 0 , 0 3 8 2 Å" ( - 0 , 5 9 1 ) + 0 , 9 8 2 Å" 0 , 1 7 3 = - 4 , 6 2 Å"1 0 - 5 E" 0
l 3 l 1 + m 3 m 1 + n 3 n 1 = 0 , 7 8 8 Å" 0 , 5 8 6 - 0 , 5 9 1 Å" 0 , 8 0 6 + 0 , 1 7 3 Å" 0 , 0 8 0 3 = - 6 , 8 6 Å"1 0 - 4 E" 0
W a r t o [c i i l o c z y n ó w s k a l a r n y c h p o s z c z e g ó l n y c h p a r w e k t o r ó w n i e s d o k Ba d n i e r ó w n e z e r u
z u w a g i n a b Bd y z a o k r g l e D p o w s t a Be w o b l i c z e n i a c h . S o n e j e d n a k b a r d z o m a Be w s t o s u n k u
d o d Bu g o [c i w e k t o r ó w r ó w n e j 1 . W y k a z a l i [m y w i c , |e z n a l e z i o n e k i e r u n k i g Bó w n e s
w z g l d e m s i e b i e p a r a m i p r o s t o p a d Be .
5
Z A D A N I E 2 . Z n a l e z n a p r |e n i a g Bó w n e i k i e r u n k i g Bó w n e s t a n u n a p r |e n i a
îø ùø
Ã Ä Ä 1 1 1
îø ùø
x x y x z
ïø úø
ïø1
à = = 1 1 úø [ M P a ] .
y x y y z
ïøÄ Ã Ä úø
ïø úø
ïøÄ z x Ä z y à z úø
ïø úø
ðø1 1 1 ûø
ðø ûø
R o z w i z a n i e
O b l i c z a m y w a r t o [c i n i e z m i e n n i k ó w s t a n u n a p r |e n i a .
s I = Ãx + Ãx + Ãz = 1 + 1 + 1 = 3 M P a
Ãx Ä Ã Ä
Ãx Ä
x y y y z
x z
s I I = +
Ä Ã Ä Ãz + Ä Ãz = 1 Å"1 - 1 2 + 1 Å"1 - 1 2 + 1 Å"1 - 1 2 = 0
y x y z x z y
Ãx Ä Ä
x y x z
s I I I = Ä Ã Ä = 1 + 1 + 1 - 1 - 1 - 1 = 0
y x y y z
Ä Ä Ãz
z x z y
N a p r |e n i a g Bó w n e w y z n a c z a m y z r ó w n a n i a
3 2 3 2
à - à s I + à s I I - s I I I = 0 Ò! à - 3 à = 0
S k d Ba t w o o b l i c z a m y
Ã1 = 3 M P a , Ã = Ã3 = 0 .
2
J e s t t o z a t e m p r z y p a d e k r o z c i g a n i a n a p r |e n i e m Ã1 = 3 . J e g o k i e r u n e k w y z n a c z y m y
z u k Ba d u r ó w n a D:
( Ãx - Ã1 ) l 1 + Ä m 1 + Ä n 1 = 0
( 1 - 3 ) l 1 + m 1 + n 1 = 0
y x z x ( 1 )
Ä l 1 + ( Ã - Ã1 ) m 1 + Ä n 1 = 0 Ò! l 1 + ( 1 - 3 ) m 1 + n 1 = 0
( 2 )
x y y z y
l 1 + m 1 + ( 1 - 3 ) n 1 = 0
( 3 )
Ä l 1 + Ä m 1 + ( Ãx - Ã1 ) n 1 = 0
x z y z
R o z w i z u j e m y u k Ba d r ó w n a D ( 1 ) i ( 2 ) w z g l d e m n i e w i a d o m y c h l 1 i m 1 . O t r z y m u j e m y
m 1 = n 1 , l 1 = n 1 .
W y k o r z y s t u j c w a r u n e k g e o m e t r y c z n y
2 2 2 2 2 2
l 1 + m 1 + n 1 = 1 Ò! n 1 + n 1 + n 1 = 1
o t r z y m u j e m y k o s i n u s y k i e r u n k o w e p i e r w s z e g o k i e r u n k u g Bó w n e g o :
1
n 1 = l 1 = m 1 = ± .
3
D l a d r u g i e g o , j a k i t r z e c i e g o k i e r u n k u g Bó w n e g o , u k Ba d r ó w n a D ( 1 ) - ( 3 ) r e d u k u j e s i d o
j e d n e g o r ó w n a n i a l + m + n = 0 . D o Bc z a j c w a r u n e k l 2 + m 2 + n 2 = 1 i w y b i e r a j c
p r z y k Ba d o w o n j a k o p a r a m e t r , o t r z y m u j e m y n i e s k o Dc z e n i e w i e l e r o z w i z a D p o s t a c i
1 1
l = - n ± - 3 n 2 + 2 , m = - l - n .
2 2
1 1 1
Z a t e m k a |d a p r o s t a l e |c a w p Ba s z c z y zn i e o k r e [l o n e j w e k t o r e m n o r m a l n y m µ 1 = [ , , ]
3 3 3
w y z n a c z a k i e r u n e k g Bó w n y .
6
Z A D A N I E 3 . O b l i c z y w a r t o [c i n a p r |e D g Bó w n y c h s t a n u n a p r |e n i a :
îø ùø
Ã Ä Ä 6
îø - 3 0
ùø
x x y x z
ïø úø
ïø
à = = 3 6 0 úø [ M P a ]
y x y y z
ïøÄ Ã Ä úø
ïø- úø
ïøÄ z x Ä z y à z úø
ïø úø
0 0 8 ûø
ðø
ðø ûø
U w a g a : D a n e l i c z b o w e w t y m z a d a n i u d o b r a n e s t a k , a b y o t r z y m a n e w a r t o [c i n a p r |e D
g Bó w n y c h b y By l i c z b a m i c a Bk o w i t y m i . P r z e d s t a w i o n a t u m e t o d a r o z w i z a n i a r ó w n a n i a
w i e k o w e g o , p o l e g a j c a n a p o s z u k i w a n i u p o d z i e l n i k ó w w y r a z u w o l n e g o , n i e j e s t m e t o d
o g ó l n .
R o z w i z a n i e
O b l i c z a m y w a r t o [c i n i e z m i e n n i k ó w s t a n u n a p r |e n i a .
s I = Ãx + Ãx + Ãz = 6 + 6 + 8 = 2 0 M P a
Ãx Ä Ã Ä
Ãx Ä
x y y y z 6 - 3 6 0 6 0
x z
s I I = + + + =
Ä Ã Ä Ãz + Ä Ãz = - 3 6 0 8 0 8
y x y z x z y
= 3 6 - 9 + 4 8 + 4 8 = 1 2 3 M P a 2
Ãx Ä Ä
x y x z
6 - 3 0
s I I I = Ä Ã Ä = - 3 6 0 = 8 Å"[ 6 Å" 6 - ( - 3 ) Å" ( - 3 ) ] = 2 1 6 M P a 3
y x y y z
Ä Ä Ãz 0 0 8
z x z y
N a p r |e n i a g Bó w n e w y z n a c z a m y z r ó w n a n i a
3 2
à - às I + às I I - s I I I = 0 ,
k t ó r e p o w s t a w i e n i u o b l i c z o n y c h w a r t o [c i l i c z b o w y c h n i e z m i e n n i k ó w m a p o s t a
3 2
à - 2 0 à + 1 2 3 à - 2 1 6 = 0 .
C a Bk o w i t y c h p i e r w i a s t k ó w t e g o r ó w n a n i a p o s z u k u j e m y w [r ó d p o d z i e l n i k ó w w y r a z u w o l n e g o .
P o d s t a w i a j c à = 3 m o |n a s p r a w d z i , |e l i c z b a 3 , k t ó r a j e s t p o d z i e l n i k i e m l i c z b y 2 1 6 ,
s p e Bn i a n a s z e r ó w n a n i e .
7
W y k o n a j m y d z i e l e n i e :
3 2 2
( Ã - 2 0 Ã + 1 2 3 Ã - 2 1 6 ) : ( Ã - 3 ) = Ã - 1 7 Ã + 7 2
3 2
à - 3 Ã
2
- 1 7 Ã + 1 2 3 Ã
2
- 1 7 Ã + 5 1 Ã
7 2 Ã - 2 1 6
7 2 Ã - 2 1 6
0
P o z o s t a Be p i e r w i a s t k i d o s t a n i e m y z r ó w n a n i a k w a d r a t o w e g o
2
à - 1 7 à + 7 2 = 0 .
O b l i c z a m y :
" = 1 7 2 - 4 Å"1 Å"7 2 = 1 , " = 1
1 7 + 1
à ' = = 9
2
1 7 - 1
Ã" = = 8
2
M a m y z a t e m n a s t p u j c e n a p r |e n i a g Bó w n e :
Ã1 = 9 , Ã = 8 , Ã3 = 3 [ M P a ] .
2
R o z w i z a n i e t e g o p r z y k Ba d u m o |n a b y Bo z n a l e z w i n n y s p o s ó b .
Z a u w a |m y , |e n a p r |e n i u à = 8 o d p o w i a d a j n a p r |e n i a s t y c z n e Ä = Ä = 0 ,
z x z y z
Ä = Ä = 0 . ( z e r a w 3 - c i e j k o l u m n i e i 3 - c i m w i e r s z u ) . Z a t e m , z d e f i n i c j i , n a p r |e n i e à = 8
z x z y z
j e s t n a p r |e n i e m g Bó w n y m , a k i e r u n e k o s i z - k i e r u n k i e m g Bó w n y m . P o z o s t a Be n a p r |e n i a
g Bó w n e b d p i e r w i a s t k a m i r ó w n a n i a k w a d r a t o w e g o o t r z y m a n e g o p o w y k o n a n i u d z i e l e n i a
3 2
( Ã - 2 0 Ã + 1 2 3 Ã - 2 1 6 ) : ( Ã - 8 ) .
P o d a n y s p o s ó b r o z w i z a n i a z a l e c a s i j a k o w i c z e n i e d o s a m o d z i e l n e g o w y k o n a n i a .
8
Z A D A N I E 4 . W p e w n y m p u n k c i e d a n y j e s t s t a n n a p r |e n i a :
2
îø - 1 0
ùø
ïø
à = - 1 2 úø [ M P a ]
ïø- 1 úø
ïø úø
0 2 1 ûø
ðø
Z n a l e z w e k t o r n a p r |e n i a p w t y m p u n k c i e , w p r z e k r o j u o n o r m a l n e j z e w n t r z n e j
4 3
n = [ , 0 , ] . R o z Bo |y n a s t p n i e w e k t o r p n a n a p r |e n i a n o r m a l n e à o r a z s t y c z n e Än .
n
5 5
R o z w i z a n i e
1 6 9
Z a u w a |m y , |e w e k t o r n j e s t w e k t o r e m j e d n o s t k o w y m , | n | = n x 2 + n y 2 + n z 2 = + 0 + = 1 .
2 5 2 5
S k Ba d o w e w e k t o r a n a p r |e n i a p = [ p x , p y , p z ] w p r z e k r o j u o n o r m a l n e j z e w n t r z n e j
o k r e [l o n e j w e k t o r e m n [ n x , n y , n z ] , w y z n a c z y m y k o r z y s t a j c z p i e r w s z e g o p r a w a
C a u c h y e g o :
ñø
p x = Ã n x + Ã n y + Ã n z
x x x y x z
ôø
p i = Ãi j n : p y = Ã n y + Ã n y + Ã n z .
òø
j y x y y y z
ôø
p z = Ã n x + Ã n y + Ã n z
z x z y z z
óø
P o d s t a w i a j c d a n e l i c z b o w e o t r z y m u j e m y :
4 3 8
ñø
p x = 2 Å" + ( - 1 ) Å"0 + 0 Å" =
5 5 5
ôø
4 3 2
p y = ( - 1 ) Å" + ( - 1 ) Å"0 + 2 Å" = ,
òø
5 5 5
ôø 4 3 3
p z = 0 Å" + 2 Å"0 + 1 Å" =
óø 5 5 5
N a p r |e n i e p w d a n y m p r z e k r o j u ( d Bu g o [ w e k t o r a p ) w y n o s i
2 2 2
2 2
8 2 3
p = p x + p 2 + p z = ( ) + ( ) + ( ) = 1 . 7 5 5 M P a .
y
5 5 5
T e r a z o b l i c z a m y w a r t o [ l i c z b o w n a p r |e n i a n o r m a l n e g o w d a n y m p r z e k r o j u :
8 4 2 3 3 4 1
à = p Å" n = p x n x + p y n y + p z n z = Å" + Å" 0 + Å" = = 1 . 6 4 M P a .
n
5 5 5 5 5 2 5
A z a t e m w e k t o r n a p r |e n i a à w y n o s i
4 3
à = 1 , 6 4 Å" n = [ 1 . 6 4 Å" , 1 . 6 4 Å"0 , 1 . 6 4 Å" ] = [ 1 . 3 1 2 , 0 , 0 . 9 8 4 ] .
n
5 5
N a s t p n i e o b l i c z a m y n a p r |e n i e s t y c z n e :
p = Ã + Än , Än = p - Ã ,
n n
c o p o z w a l a w y z n a c z y o d p o w i e d n i e s k Ba d o w e w e k t o r a Än :
8
ñø - 1 , 3 1 2 = 0 , 2 8 8
Än x =
5
ôø
2
Ä = [ 0 . 2 8 8 , 0 . 4 0 0 , - 0 . 3 8 4 ]
òøÄ = 5 - 0 , 0 = 0 , 4
n y n
ôøÄ = 3
- 0 , 9 8 4 = - 0 , 3 8 4
n z
óø 5
9
Z A D A N I E 5 . D l a t e n s o r a o d k s z t a Bc e n i a z d e f i n i o w a n e g o w s p o s ó b n a s t p u j c y :
2 1 0
îø ùø
ïø1
µ = 3 0 úø
ïø úø
ïø úø
ðø0 0 4 ûø
z n a l e z a k s j a t o r i d e w i a t o r .
R o z w i z a n i e :
K a |d y t e n s o r s y m e t r y c z n y d r u g i e g o r z d u ( c o o d n o s i s i d o t e n s o r ó w n a p r |e n i a ,
o d k s z t a Bc e n i a i b e z w Ba d n o [c i ) m o |n a p r z e d s t a w i w p o s t a c i s u m y d w ó c h t e n s o r ó w
s y m e t r y c z n y c h z w a n y c h a k s j a t o r e m i d e w i a t o r e m . D l a t e n s o r a o d k s z t a Bc e n i a , a k s j a t o r ( t e n s o r
k u l i s t y ) o p i s u j e z m i a n o b j t o [c i , n a t o m i a s t d e w i a t o r z m i a n p o s t a c i : T e n s o r s t a n u
o d k s z t a Bc e n i a m o |n a p r z e d s t a w i j a k o s u m a k s j a t o r a i d e w i a t o r a :
A
µ = µ + µD .
g d z i e .
µ 0 0 µ1 1 [r
îø ùø îø - µ µ1 2 µ1 3
ùø
[r
A ïø úø ïø úø
µ = 0 µ 0 o r a z µD = µ µ - µ µ ,
[r 2 1 2 2 [r 2 3
ïø úø ïø úø
ïø úø ïø úø
0 0 µ µ3 1 µ3 2 µ3 3 - µ
ðø [r ûø ðø [r ûø
1
µ[r = ( µ1 1 + µ2 2 + µ3 3 )
3
W n a s z y m z a d a n i u
1 1
µ[r = ( µ1 1 + µ2 2 + µ3 3 ) = ( 2 + 3 + 4 ) = 3 .
3 3
Z a t e m c z [ k u l i s t a ( a k s j a t o r ) i d e w i a c y j n a d a n e g o t e n s o r a n a p r |e n i a s w y n o s z
3 0 0
îø ùø
A ïø0
µ = 3 0 úø
ïø úø
ïø úø
ðø0 0 3 ûø
o r a z
îø- 1 1 0
ùø
ïø
µD = 1 0 0 úø .
ïø úø
ïø úø
0 0 1 ûø
ðø
1 0