plik


��Arkusz 04: Stan napr|enia. Arkusz przeznaczony do wiczeD z przedmiotu  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w na II roku dziennych studi�w WydziaBu In|ynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku  IMIM w roku akademickim 2014/2015. Notatki do wiczeD z przedmiotu  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w Notatki do wiczeD z przedmiotu  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w Arkusz 04: Stan napr|enia Arkusz 04: Stan napr|enia 1. Stan napr|enia  pojcia i definicje Podstawy teoretyczne do zagadnienia stanu napr|enia nale|y opanowa na podstawie wykBadu i ksi|ek: [1], [2]. " Definicja napr|enia. " Tensor napr|enia i kostka napr|enia. Napr|enia styczne i normalne. " Przestrzenny stan napr|enia: zagadnienie postaci wBasnej tensora napr|enia, r�wnanie wiekowe, niezmienniki tensora napr|enia. " PBaski stan napr|enia: wzory tansformacyjne dla orientacji obr�conej o dowolny kt, napr|enia gB�wne, orientacja maksymalnych napr|eD stycznych. Zagadnienie postaci gB�wnej (wBasnej) macierzy oraz wektor�w gB�wnych (wBasnych) macierzy jest w zasadzie zagadnieniem algebraicznym. Dla macierzy reprezentujcej warto[ci pewnej wielko[ci fizycznej (w naszym przypadku dBugo[ci skBadowych wektora napr|enia) posta gB�wna ma swoj interpretacj fizyczn. Jednak mo|na, przygotowujc si do zaj, po prostu przybli|y sobie ten temat wiczc przykBady czysto algebraiczne. 2. Przestrzenny stan napr|enia Nale|y rozwiza zadania nr: 4.6.1, 4.6.2 z ksi|ki [2]. " Umiejtno[ narysowania kostki dla danego tensora napr|enia i odwrotnie: odczytanie tensora z kostki. " Obliczenie wektora napr|enia przy przeciciu zadan pBaszczyzn. 3. PBaski stan napr|enia Obowizujce wzory transformacyjne: � Copyright: Anna Strk. Autorem arkusza jest Anna Strk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okre[lonego w Ustawie o prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z p�zn. zmianami). Autor nie wyra|a zgody na inne wykorzystywanie arkusza ni| podane w jego przeznaczeniu. 1 Arkusz 04: Stan napr|enia. Arkusz przeznaczony do wiczeD z przedmiotu  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w na II roku dziennych studi�w WydziaBu In|ynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku  IMIM w roku akademickim 2014/2015. a) Obr�t do orientacji odwr�conej o kt dowolny � �xx �xy obr�t o kt � �x ' x' � x ' y' T� = T� ' = �! [ ] [ ] � � �y ' x ' � yx yy y ' y ' �x ' x ' = �xx�"cos2 �+ � �"sin2 �+ � �"sin(2� ) yy xy � = � �"sin2� + � �"cos2 � � �"sin(2� ) y' y' xx yy xy 1 �x ' y ' = � = (�yy � )�" �"sin(2 � )+ �xy�"(cos2 � sin2 � ) y ' x ' xx 2 Istniej inne zestawy wzor�w, r�wnowa|ne powy|szemu zestawowi. Mo|na znalez je w literaturze. Na zajcia obowizuje znajomo[ jednego zestawu, ja polecam ten. b) Obr�t do orientacji gB�wnej �xx �xy �1 0 obr�t o kt � p1 T� = T = � , p �! [ ] [ ] � � 0 �2 yx yy 2 �xx+ � � �yy yy xx �1 = + + �2 xy ( ) 2 2 " 2 �xx+ � �xx � yy yy �2 = + �2 xy ( ) 2 2 " �1 � xx � = arctan oraz � = � + 90 deg p1 p2 p1 ( ) �12 c) Obr�t do orientacji maksymalnych napr|eD stycznych �xx �xy �av �� max obr�t o kt � � max 1 T� = T� , s = [ ] �! [ ] � � �� max �av yx yy �xx+ � yy �av = 2 2 �xx � yy �� max = + �2 #" #" xy ( ) 2 " � = � + 45 deg oraz � = � + 90 deg � max1 p1 � max2 � max1 Jak wida, powy|szy wz�r nie uwzgldnia znaku napr|eD stycznych. Znak ten mo|na obliczy korzystajc ze wzor�w � = � �x ' y ' transformacyjnych wypisanych w podpunkcie a). W�wczas przyjmujemy i obliczamy . Przy okazji �max 1 jest to dobra kontrola obliczenia warto[ci napr|eD. d) Jako sprawdzenie mo|na zastosowa niezmiennik tensora pBaskiego stanu napr|enia �xx+ � = �x ' x '+ � = �p1+ �p2 = �av+ �av yy y ' y ' � Copyright: Anna Strk. Autorem arkusza jest Anna Strk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okre[lonego w Ustawie o prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z p�zn. zmianami). Autor nie wyra|a zgody na inne wykorzystywanie arkusza ni| podane w jego przeznaczeniu. 2 Arkusz 04: Stan napr|enia. Arkusz przeznaczony do wiczeD z przedmiotu  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w na II roku dziennych studi�w WydziaBu In|ynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku  IMIM w roku akademickim 2014/2015. Zadanie 1 Dla zadanego tensora napr|enia T� znalez posta przy obrocie o kt � =10 deg , przy obrocie do orientacji gB�wnej i do orientacji maksymalnych napr|eD stycznych. Zrobi odpowiednie rysunki. 12,3 4,7 T = MPa � [ ] 4,7 4,2 a) Obr�t do orientacji odwr�conej o kt � =10 deg �x ' x ' = 12,3�"cos210+ ( 4,2)�"sin2 10+ ( 4,7)�"sin(2�"10) = 10,33 MPa � = 12,3�"sin2 10+ ( 4,2)�"cos210 ( 4,7)�"sin(2�"10) = 2,15 MPa y' y' ( 4,2 12,3) �x ' y ' = � = �"sin(20)+ ( 4,7)�"(cos2 10 sin210) = 7,27 MPa y ' x ' 2 12,3 4,7 obr�t o kt � 10,33 7,27 T = MPa T = MPa � � ' �! [ ] [ ] 4,7 4,2 7,27 2,15 b) Obr�t do orientacji gB�wnej 2 12,3+ ( 4,2) 12,3 ( 4,2) �1 = + + ( 4,7)2 = 13,54 MPa ) 2 2 "( 2 12,3+ ( 4,2) 12,3 ( 4,2) �2 = + ( 4,7)2 = 5,44 MPa ) 2 2 "( 13,54 12,4 � = arctan = 14,78 deg oraz �p2 = 14,78deg + 90 deg = 75,22 deg p1 ( ) ( 4,7) obr�t o kt � 12,3 4,7 13,54 0 p1 T = MPa T� , p = MPa � [ ] �! [ ] 4,7 4,2 0 5,44 c) Obr�t do orientacji maksymalnych napr|eD stycznych 12,3+ ( 4,2) �av = = 4,05 MPa 2 2 12,3 ( 4,2) �� max = + ( 4,7)2 = 9,49 MPa #" #" ) 2 "( � = 14,78 deg + 45 deg = 30,22 deg � max1 � = 30,22deg + 90 deg = 120,22deg � max2 � = � Znak napr|enia stycznego obliczamy korzystajc ze wzor�w transformacyjnych; przyjmujemy : �max 1 1 �x ' y ' = � = �� max = ( 4,2 12,3)�" �"sin(2�"30,22)+ ( 4,7)�"(cos230,22 sin2 30,22) = 9,52 MPa y ' x ' 2 (Uwaga! PowstaBa tutaj maBa r�|nica pomidzy warto[ciami wynika z przyjtego w obliczeniach zaokrglenia cos i sin do dw�ch miejsc po przecinku.) obr�t o kt � 12,3 4,7 4,05 9,49 � max 1 T = MPa T = MPa � � , s [ ] �! [ ] 4,7 4,2 9,49 4,05 d) Sprawdzenie wg niezmiennik�w �xx+ � = �x ' x '+ � = �p1+ �p2 = �av+ �av yy y ' y ' 12,4+ ( 4,2) C" 10,33+ ( 2,15) C" 13,54+ ( 5,44) C" 4,05�"2 C" 8,1 MPa (Uwaga! PowstaBa tutaj maBa r�|nica pomidzy warto[ciami wynika z przyjtego w obliczeniach zaokrglenia cos i sin do dw�ch miejsc po przecinku.) � Copyright: Anna Strk. Autorem arkusza jest Anna Strk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okre[lonego w Ustawie o prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z p�zn. zmianami). Autor nie wyra|a zgody na inne wykorzystywanie arkusza ni| podane w jego przeznaczeniu. 3 Arkusz 04: Stan napr|enia. Arkusz przeznaczony do wiczeD z przedmiotu  Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w na II roku dziennych studi�w WydziaBu In|ynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku  IMIM w roku akademickim 2014/2015. Nale|y rozwiza wybrane zadania z ksi|ki [3] dotyczce zagadnienia pBaskiego stanu. Mo|na tak|e rozwiza zadania 5.4.1, 5.4.2 z ksi|ki [2]. " Umiejtno[ znalezienia postaci macierzy napr|eD dla stanu pBaskiego w orientacji obr�conej o dowolny kt, orientacji gB�wnej, orientacji maksymalnych napr|eD stycznych. " Ilustracja graficzna (bez koBa Mohra). 4. Literatura [1] Piechnik S. "Mechanika techniczna ciaBa staBego", Wydawnictwo PK, Krak�w 2007 [2] Bodnar A.  WytrzymaBo[ materiaB�w. Podrcznik dla student�w wy|szych szk�B technicznych , wydanie drugie poszerzone i poprawione, Krak�w 2004 [3] NiezgodziDski M., NiezgodziDski T. "Zadania z wytrzymaBo[ci materiaB�w", Wydawnictwo WNT, Warszawa 2012 [4] Programy komputerowe do obliczeD  zagadnienie postaci wBasnej macierzy, wektor�w wlasnych. � Copyright: Anna Strk. Autorem arkusza jest Anna Strk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okre[lonego w Ustawie o prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z p�zn. zmianami). Autor nie wyra|a zgody na inne wykorzystywanie arkusza ni| podane w jego przeznaczeniu. 4

Wyszukiwarka