��Arkusz 04: Stan napr|enia. Arkusz przeznaczony do wiczeD z przedmiotu Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w na II roku dziennych studi�w
WydziaBu In|ynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku IMIM w roku akademickim 2014/2015.
Notatki do wiczeD z przedmiotu Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w
Notatki do wiczeD z przedmiotu Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w
Arkusz 04: Stan napr|enia
Arkusz 04: Stan napr|enia
1. Stan napr|enia pojcia i definicje
Podstawy teoretyczne do zagadnienia stanu napr|enia nale|y opanowa na podstawie wykBadu i ksi|ek:
[1], [2].
" Definicja napr|enia.
" Tensor napr|enia i kostka napr|enia. Napr|enia styczne i normalne.
" Przestrzenny stan napr|enia: zagadnienie postaci wBasnej tensora napr|enia, r�wnanie wiekowe,
niezmienniki tensora napr|enia.
" PBaski stan napr|enia: wzory tansformacyjne dla orientacji obr�conej o dowolny kt, napr|enia gB�wne,
orientacja maksymalnych napr|eD stycznych.
Zagadnienie postaci gB�wnej (wBasnej) macierzy oraz wektor�w gB�wnych (wBasnych) macierzy jest w zasadzie
zagadnieniem algebraicznym. Dla macierzy reprezentujcej warto[ci pewnej wielko[ci fizycznej (w naszym przypadku
dBugo[ci skBadowych wektora napr|enia) posta gB�wna ma swoj interpretacj fizyczn. Jednak mo|na, przygotowujc
si do zaj, po prostu przybli|y sobie ten temat wiczc przykBady czysto algebraiczne.
2. Przestrzenny stan napr|enia
Nale|y rozwiza zadania nr: 4.6.1, 4.6.2 z ksi|ki [2].
" Umiejtno[ narysowania kostki dla danego tensora napr|enia i odwrotnie: odczytanie tensora z kostki.
" Obliczenie wektora napr|enia przy przeciciu zadan pBaszczyzn.
3. PBaski stan napr|enia
Obowizujce wzory transformacyjne:
� Copyright: Anna Strk. Autorem arkusza jest Anna Strk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okre[lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z p�zn. zmianami). Autor nie wyra|a zgody na inne wykorzystywanie arkusza ni|
podane w jego przeznaczeniu. 1
Arkusz 04: Stan napr|enia. Arkusz przeznaczony do wiczeD z przedmiotu Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w na II roku dziennych studi�w
WydziaBu In|ynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku IMIM w roku akademickim 2014/2015.
a) Obr�t do orientacji odwr�conej o kt dowolny �
�xx �xy obr�t o kt � �x ' x' �
x ' y'
T� = T� ' =
�!
[ ] [ ]
� � �y ' x ' �
yx yy y ' y '
�x ' x ' = �xx�"cos2 �+ � �"sin2 �+ � �"sin(2� )
yy xy
� = � �"sin2� + � �"cos2 � � �"sin(2� )
y' y' xx yy xy
1
�x ' y ' = � = (�yy � )�" �"sin(2 � )+ �xy�"(cos2 � sin2 � )
y ' x ' xx
2
Istniej inne zestawy wzor�w, r�wnowa|ne powy|szemu zestawowi. Mo|na znalez je w literaturze. Na zajcia
obowizuje znajomo[ jednego zestawu, ja polecam ten.
b) Obr�t do orientacji gB�wnej
�xx �xy �1 0
obr�t o kt �
p1
T� = T =
� , p
�!
[ ] [ ]
� � 0 �2
yx yy
2
�xx+ � � �yy
yy xx
�1 = + + �2
xy
( )
2 2
"
2
�xx+ � �xx �
yy yy
�2 = + �2
xy
( )
2 2
"
�1 �
xx
� = arctan oraz � = � + 90 deg
p1 p2 p1
( )
�12
c) Obr�t do orientacji maksymalnych napr|eD stycznych
�xx �xy �av �� max
obr�t o kt �
� max 1
T� = T� , s =
[ ] �! [ ]
� � �� max �av
yx yy
�xx+ �
yy
�av =
2
2
�xx �
yy
�� max = + �2
#" #"
xy
( )
2
"
� = � + 45 deg oraz � = � + 90 deg
� max1 p1 � max2 � max1
Jak wida, powy|szy wz�r nie uwzgldnia znaku napr|eD stycznych. Znak ten mo|na obliczy korzystajc ze wzor�w
� = � �x ' y '
transformacyjnych wypisanych w podpunkcie a). W�wczas przyjmujemy i obliczamy . Przy okazji
�max 1
jest to dobra kontrola obliczenia warto[ci napr|eD.
d) Jako sprawdzenie mo|na zastosowa niezmiennik tensora pBaskiego stanu napr|enia
�xx+ � = �x ' x '+ � = �p1+ �p2 = �av+ �av
yy y ' y '
� Copyright: Anna Strk. Autorem arkusza jest Anna Strk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okre[lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z p�zn. zmianami). Autor nie wyra|a zgody na inne wykorzystywanie arkusza ni|
podane w jego przeznaczeniu. 2
Arkusz 04: Stan napr|enia. Arkusz przeznaczony do wiczeD z przedmiotu Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w na II roku dziennych studi�w
WydziaBu In|ynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku IMIM w roku akademickim 2014/2015.
Zadanie 1
Dla zadanego tensora napr|enia T� znalez posta przy obrocie o kt � =10 deg , przy obrocie do
orientacji gB�wnej i do orientacji maksymalnych napr|eD stycznych. Zrobi odpowiednie rysunki.
12,3 4,7
T = MPa
�
[ ]
4,7 4,2
a) Obr�t do orientacji odwr�conej o kt � =10 deg
�x ' x ' = 12,3�"cos210+ ( 4,2)�"sin2 10+ ( 4,7)�"sin(2�"10) = 10,33 MPa
� = 12,3�"sin2 10+ ( 4,2)�"cos210 ( 4,7)�"sin(2�"10) = 2,15 MPa
y' y'
( 4,2 12,3)
�x ' y ' = � = �"sin(20)+ ( 4,7)�"(cos2 10 sin210) = 7,27 MPa
y ' x '
2
12,3 4,7 obr�t o kt � 10,33 7,27
T = MPa T = MPa
�
� '
�!
[ ] [ ]
4,7 4,2
7,27 2,15
b) Obr�t do orientacji gB�wnej
2
12,3+ ( 4,2) 12,3 ( 4,2)
�1 = + + ( 4,7)2 = 13,54 MPa
)
2 2
"(
2
12,3+ ( 4,2) 12,3 ( 4,2)
�2 = + ( 4,7)2 = 5,44 MPa
)
2 2
"(
13,54 12,4
� = arctan = 14,78 deg oraz �p2 = 14,78deg + 90 deg = 75,22 deg
p1
( )
( 4,7)
obr�t o kt �
12,3 4,7 13,54 0
p1
T = MPa T� , p = MPa
�
[ ] �! [ ]
4,7 4,2
0 5,44
c) Obr�t do orientacji maksymalnych napr|eD stycznych
12,3+ ( 4,2)
�av = = 4,05 MPa
2
2
12,3 ( 4,2)
�� max = + ( 4,7)2 = 9,49 MPa
#" #"
)
2
"(
� = 14,78 deg + 45 deg = 30,22 deg
� max1
� = 30,22deg + 90 deg = 120,22deg
� max2
� = �
Znak napr|enia stycznego obliczamy korzystajc ze wzor�w transformacyjnych; przyjmujemy :
�max 1
1
�x ' y ' = � = �� max = ( 4,2 12,3)�" �"sin(2�"30,22)+ ( 4,7)�"(cos230,22 sin2 30,22) = 9,52 MPa
y ' x '
2
(Uwaga! PowstaBa tutaj maBa r�|nica pomidzy warto[ciami wynika z przyjtego w obliczeniach zaokrglenia cos i sin do
dw�ch miejsc po przecinku.)
obr�t o kt �
12,3 4,7 4,05 9,49
� max 1
T = MPa T = MPa
�
� , s
[ ] �! [ ]
4,7 4,2
9,49 4,05
d) Sprawdzenie wg niezmiennik�w
�xx+ � = �x ' x '+ � = �p1+ �p2 = �av+ �av
yy y ' y '
12,4+ ( 4,2) C" 10,33+ ( 2,15) C" 13,54+ ( 5,44) C" 4,05�"2 C" 8,1 MPa
(Uwaga! PowstaBa tutaj maBa r�|nica pomidzy warto[ciami wynika z przyjtego w obliczeniach zaokrglenia cos i sin do
dw�ch miejsc po przecinku.)
� Copyright: Anna Strk. Autorem arkusza jest Anna Strk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okre[lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z p�zn. zmianami). Autor nie wyra|a zgody na inne wykorzystywanie arkusza ni|
podane w jego przeznaczeniu. 3
Arkusz 04: Stan napr|enia. Arkusz przeznaczony do wiczeD z przedmiotu Podstawy wytrzymaBo[ci materiaB�w na II roku dziennych studi�w
WydziaBu In|ynierii Mechanicznej i Robotyki AGH na kierunku IMIM w roku akademickim 2014/2015.
Nale|y rozwiza wybrane zadania z ksi|ki [3] dotyczce zagadnienia pBaskiego stanu. Mo|na tak|e
rozwiza zadania 5.4.1, 5.4.2 z ksi|ki [2].
" Umiejtno[ znalezienia postaci macierzy napr|eD dla stanu pBaskiego w orientacji obr�conej o dowolny
kt, orientacji gB�wnej, orientacji maksymalnych napr|eD stycznych.
" Ilustracja graficzna (bez koBa Mohra).
4. Literatura
[1] Piechnik S. "Mechanika techniczna ciaBa staBego", Wydawnictwo PK, Krak�w 2007
[2] Bodnar A. WytrzymaBo[ materiaB�w. Podrcznik dla student�w wy|szych szk�B technicznych , wydanie drugie
poszerzone i poprawione, Krak�w 2004
[3] NiezgodziDski M., NiezgodziDski T. "Zadania z wytrzymaBo[ci materiaB�w", Wydawnictwo WNT, Warszawa 2012
[4] Programy komputerowe do obliczeD zagadnienie postaci wBasnej macierzy, wektor�w wlasnych.
� Copyright: Anna Strk. Autorem arkusza jest Anna Strk. Arkusz stanowi przedmiot prawa autorskiego okre[lonego w Ustawie o prawie
autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z p�zn. zmianami). Autor nie wyra|a zgody na inne wykorzystywanie arkusza ni|
podane w jego przeznaczeniu. 4