��Politechnika Krakowska im. Tadeusza Ko[ciuszki
WydziaB Fizyki Matematyki i Informatyki
.
.
.
.
.
.
TOPOLOGIA
.
.
.
.
.
Notatki do wykBad�w
dra Marcina SkrzyDskiego
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Agnieszka KarpiDska
.
.
Krak�w, 20.06.2010
Spis tre[ci
1 Przestrzenie metryczne i wBasno[ci 3
2 CigBo[ 27
3 Iloczyn kartezjaDski przestrzeni metrycznych 39
4 Zwarto[ 45
5 Pojcie sp�jno[ci 58
6 R�wnowa|no[ metryk, przestrzenie topologiczne 71
2
1 Przestrzenie metryczne i wBasno[ci
Definicja 1.1 q
Metryk w zbiorze X = " nazywa si ka|d funkcj
d : X � X (x, y) �! d(x, y) " [0, ") �" R, kt�ra speBnia warunki:
(M1) okre[lono[
"x, y " X : d(x, y) = 0 �! x = y,
(M2) symetryczno[
"x, y " X : d(x, y) = d(y, x),
(M3) ........................"x, y, z " X : d(x, y) d(x, z) + d(z, y).
Definicja 1.2 q
Przestrzeni metryczn nazywa si par (X, d), w kt�rej X = ", a d jest me-
tryk w zbiorze X.
Uwaga 1.1 q
Je[li (X, d) jest przestrzeni metryczn, to elementy zbioru X nazywa si
punktami tej przestrzeni, liczb d(x, y) natomiast - odlegBo[ci midzy punk-
tami x, y " X.
Twierdzenie 1.1 Druga nier�wno[ tr�jkta :
Przypu[my, |e d jest metryk w zbiorze X. W�wczas:
"x, y, z " X : |d(x, z) - d(y, z)| d(x, y).
Dow�d:q
Na mocy (M2) i (M3) mamy:
d(x, z) d(x, y) + d(y, z), d(y, z) d(x, z) + d(x, y).
W takim razie: -d(x, y) d(x, z) - d(y, z) D(x, y),
co znaczy, |e: |d(x, z) - d(y, z)| d(x, y).
PrzykBad 1.1 q
1) Funkcja d : R � R (x, y) �! |x - y| " [0, ") jest metryk w zbiorze
liczb rzeczywistych, zwan metryk naturaln.
2) Niech n " N \ {0}. Ka|da z funkcji d1, d2, d " : Rn � Rn �! [0, ")
zdefiniowanych za pomoc wzor�w:
3
n
d1(x, y) = |xi - yi| - metryka Manhattan,
i=1
n
d2(x, y) = (xi - yi)2 - metryka euklidesowa,
i=1
n
d "(x, y) = max |xi - yi| - metryka Czebyszewa,
i=1
gdzie x = (x1, . . . , xn) oraz y = (y1, . . . , yn), jest metryk w przestrzeni
Rn. (Zauwa|my, |e je[li n = 1, to ka|da z metryk d1, d2, d " jest po
prostu metryk naturaln w zbiorze R.)
3) Niech X bdzie zbiorem niepustym. Rozwa|my zbi�r B(X, R) wszyst-
kich funkcji ograniczonych: f : X �! R.
W�wczas funkcja d " : B(X, R) � B(X, R) �! [0, ") zdefiniowana (po-
prawnie) za pomoc wzoru:
d "(f, g) = sup |f(x) - g(x)|
x"X
jest metryk w zbiorze B(X, R), zwan metryk Czebyszewa (supremo-
w.)
4) Niech X bdzie zbiorem niepustym i niech n " N \ {0}. Rozwa|my
iloczyn kartezjaDski: Xn = X � . . . � X.
n razy
Funkcja dH : Xn � Xn �! [0, ") zdefiniowana za pomoc wzoru:
dH(a, b) = #{i " {1, . . . , n} : ai = bi}, gdzie a = (a1, . . . , an) oraz
b = (b1, . . . , bn), jest metryk w zbiorze Xn, zwan metryk Hamminga.
5) Biorc w poprzednim przykBadzie n = 1, otrzymamy metryk d w zbiorze
X zdefiniowan za pomoc wzoru:
1, gdy x = y
d(x, y) =
0, dla x = y
Taka metryka jest zwana metryk dyskretn.
Uwaga 1.2 q
Niech (X, d) bdzie przestrzeni metryczn i niech Y �" X bdzie zbiorem
niepustym. W�wczas funkcja:
d|Y �Y : Y � Y (x, y) �! d(x, y) " [0, ")
jest metryk w zbiorze Y , zwan metryk indukowan z przestrzeni (X, d).
PrzestrzeD metryczna (Y, d|Y �Y ) nazywa si czasami podprzestrzeni prze-
strzeni (X, d).
4
Definicja 1.3 q
Niech (X, d) bdzie przestrzeni metrzyczn. Wybieramy punkt x0 " X.
Kul otwart w przestrzeni (X, d) o [rodku x0 i promieniu � " R+,
nazywa si zbi�r:
B(x0, �) = {x " X : d(x0, x) <� �}.
Kul domknit w przestrzeni (X, d) o [rodku x0 i promieniu
� " [0, "), nazywa si zbi�r:
B(x0, �) = {x " X : d(x0, x) �}.
Sfer w przestrzeni (X, d) o [rodku x0 i promieniu � " [0, "), nazywa
si zbi�r:
S(x0, �) = {x " X : d(x0, x) = �}.
Uwaga 1.3 q
1. � = 0 �! B(x0, �) = S(x0, �) = {0}.
2. "� " R+ : B(x0, �) = B(x0, �) *" S(x0, �).
3. x0 " B(x0, �).
PrzykBad 1.2 q
1) Metryka naturalna w R.
B(x0, �) = {x " R : |x0 - x| <� �} = {x " R : x0 - � <� x <� x0 + �}.
x0 - � x0 + �
x0
2) Metryka euklidesowa w R2.
B((x0, y0), �) = {(x, y) " R2 : (x0 - x)2 + (y0 - y)2 <� �} =
= {(x, y) " R : (x0 - x)2 + (y0 - y)2 <� �2.
y
�
y0
x0 x
5
3) Metryka Manhattan w R2.
B((x0, y0), �) = {(x, y) " R2 : |x0 - x| + |y0 - y| <� �}
y
y0 + �
y0
y0 - �
x
x0 - � x0 + �
x0
4) Metryka maksimum w R2.
B((x0, y0), �) = {(x, y) " R2 : max{|x0 - x|, |y0 - y|}} <� � =
= {(x, y) " R2 : x0 - � <� x <� x0 + �, y0 - � <� y <� y0 + �}
y
y0 + �
y0
y0 - �
x
x0 - �
x0 x0 + �
5) Niech d bdzie metryk dyskretn w zbiorze X, niech x0 " X. Niech
ponadto � " R+ oraz � " [0, "). W�wczas:
{x0}, gdy � 1,
B(x0, �) =
X, gdy � > 1.
��
�� {x0}, gdy � = 0,
��
S(x0, �) = ", gdy � " (0, 1) lub � > 1,
��
��
X\{x0}, gdy � = 1.
6
Definicja 1.4 q
Podzbi�r Y przestrzeni metrycznej (X, d) jest ograniczony, je[li:
"x "X "�"[0, ") : Y �" B(x0, �).
0
Uwaga 1.4 q
a) Ka|a kula i ka|da sfera s zbiorami ograniczonymi.
b) " jest zbiorem ograniczonym.
c) Przecicie dowolnej, niepustej rodziny podzbior�w ograniczonych danej
przestrzeni metrycznej jest podzbiorem ograniczonym tej przestrzeni.
d) Suma dowolnej, skoDczonej rodziny podzbior�w ograniczonych danej prze-
strzeni metrycznej jest podzbiorem ograniczonym tej przestrzeni.
Definicja 1.5 q
Zrednic podzbioru Y przestrzeni metrycznej (X, d) nazywa si:
diam.Y := sup d(x, y).
x,y"Y
PrzykBad 1.3 q
Niech � " R+ i x0 " X. Je[li x, y " B(x0, �), to
d(x, y) d(x, x0) + d(x0, y) <� 2�.
W takim razie diamB(x0, �) := sup d(x, y) 2�.
x,y"B(x0,�)
Przypu[my teraz, |e d jest metryk dyskretn. W�wczas:
diam{x0}, gdy � 1,
diam.B(x0, �) =
diamX, gdy � > 1.
Twierdzenie 1.2 q
Niech (X, d) bdzie przestrzeni metryczn i niech Y, Z �" X. W�wczas:
(i) diamY " [0, ") *" {� "},
(ii) diamY = - " �! Y = ",
(iii) diamY = 0 �! Y = 1,
(iv) Y �" Z �! diamY diamZ,
(v) diamY <� " wtedy i tylko wtedy, gdy Y jest zbiorem ograniczonym.
Dow�d:q
wiczenie.
7
Definicja 1.6 q
OdlegBo[ci midzy podzbiorami Y oraz Z przestrzeni metrycznej (X, d) na-
zywa si:
dist(Y, Z) = inf{d(y, z) : y " Y, z " Z}.
Uwaga 1.5 q
1. "x, y " X, dist({x}, {y}) = d(x, y).
2. dist(Y, Z) = [0, ").
3. dist(Y, Z) = " �! (Y = " (" Z = ").
4. Y )" Z = " �! dist(Y, Z) = 0. (Nie na odwr�t!)
5. Dla punktu x " X piszemy dist(x, Y ), zamiast dist({x}, Y ) i m�wimy
o odlegBo[ci punktu x od zbioru Y (dist(x, Y ) = inf d(x, y)).
y"Y
PrzykBad 1.4 q
a) Rozwa|my zbi�r R z metryk naturaln. Przypomnijmy, |e:
1
R \ Q e := lim (1 + )n
n�! "
n
1
i odnotujmy, |e (1 + )n " Q dla ka|dego n " N \ {0}. W takim razie:
n
1
0 dist(R \ Q, Q) inf |e - (1 + )n| = 0,
n"N\{0}
n
skd dist(R \ Q, Q) = 0.
b) Rozwa|my metryk euklidesow na pBaszczyznie R2. Obliczmy odlegBo[
punktu (x0, y0) od prostej l �" R2 o r�wnaniu y = ax + b :
dist((x0, y0), l) = inf { (x - x0)2 + (y - y0)2} =
(x,y)"l
= inf {(x - x0)2 + (y - y2)2} =
(x,y)"l
= inf {(x - x0)2 + (ax + b - y0)2} =
x"R
2
inf {(1 + a2)x2 + (2ab - 2ay0 - 2x0)x + (x2 + b2 + y0 - 2by0)} = . . .
0
x"R
ay0+x0-ab
xw =
1+a2
2
. . . = (1 + a2)x2 + 2(ab - ay0 - x0)xw + x2 + b2 + y0 - 2by0 =
w 0
. . . wiczenie . . .
(y0-b-ax0)2 |y0-b-ax0|
"
= = .
1+a2
1+a2
8
Definicja 1.7 q
Cig (an) = (an) " punkt�w przestrzeni metrycznej (X, d) jest:
n=1
" ograniczony, je[li zbi�r jego wyraz�w, czyli {an : n " N\{0}}, jest
ograniczony,
" cigiem Cauchy ego, je[li:
"�"R "N"N\{0} "m,n"N\{0} : m, n N �! d(am, an) <� �,
+
d
" zbie|ny do punktu g " X (pisze si lim an = g albo an �! g(n �! ")),
n�! "
je[li:
"�"R "N"N\{0} "n"N\{0} : n N �! d(an, g) <� �.
+
Uwaga 1.6 q
an - - g
-d�!
n�! "
"�"R "N"N\{0} "n"N\{0} : n N �! an " B(g, �).
+
Twierdzenie 1.3 q
Dla cigu (an) punkt�w przestrzeni metrycznej (X, d) i punktu g " X n.w.s.r.:
1. an - - g,
-d�!
n�! "
2. lim d(an, g) = 0 (zwykBa granica cigu liczbowego).
n�! "
Dow�d:q
an - - g
-d�!
n�! "
"�"R "N"N\{0} "n"N\{0} : n N �! d(an, g) <� �
+
"�"R "N"N\{0} "n"N\{0} : n N �! |d(an, g) - 0| <� �
+
lim d(an, g) = 0
n�! "
Twierdzenie 1.4 q
Ka|dy cig punkt�w danej przestrzeni metrycznej ma w tej przestrzeni co
nawy|ej jedn granic.
9
Dow�d:q
Niech an bdzie cigiem punkt�w przestrzeni metrycznej (X, d). Przypu[my,
d
|e lim an = g1 i an �! g2 (n �! "), dla pewnych g1, g2 " X.
n�! "
W�wczas przy dowolnie ustalonym � " R+ :
�
n N1 �! d(an, g1) <� ,
2
"N ,N2"N\{0} :
1 �
n N2 �! d(an, g2) <� .
2
Policzmy N = max{N1, N2}. Wtedy:
� �
0 d(g1, g2) d(g1, aN) + d(aN, g2) <� + = �.
2 2
Z uwagi na dowolno[ liczby �, z powy|szych nier�wno[ci wynika, |e
d(g1, g2) = 0, skd g1 = g2.
Twierdzenie 1.5 q
Niech (an) bdzie takim cigiem punkt�w przestrzeni metrycznej (X, d), |e
"n0 " N \ {0} "n " N \ {0} n n0 �! an = an . W�wczas lim an = an .
0 0
n�! "
Dow�d:q
Ustalmy � " R+ (dowolne). Je[li wskaznik n n0, to
d(an, an ) = d(an , an ) = 0 <� �.
0 0 0
Twierdzenie 1.6 q
Je[li cig punkt�w danej przestrzeni metrycznej jest zbie|ny do pewnego punk-
tu tej przestrzeni, to ka|dy podcig tego cigu jest zbie|ny do tego| punktu.
Dow�d:q
wiczenie.
Twierdzenie 1.7 q
Ka|dy zbie|ny cig punkt�w przestrzeni metrycznej jest cigiem Cauchy ego.
Dow�d:q
Niech (an) bdzie cigiem punkt�w przestrzeni metrycznej (X, d). Przypu[-
d
my, |e an �! g dla pewnego g " X. Wybierzmy (dowolnie) � " R+. W�wczas:
�
"N"N\{0} "n"N\{0} : n N �! d(an, g) <� .
2
Je[li teraz wskazniki m, n N, to:
� �
d(am, an) d(am, g) + d(an, g) <� + = �.
2 2
Wykazali[my zatem, |e (an) jest cigiem Cauchy ego.
10
Twierdzenie 1.8 q
Ka|dy cig Cauchy ego jest ograniczony.
Dow�d:q
Niech (an) bdzie cigiem Cauchy ego punkt�w przestrzeni metrycznej (X, d).
Wobec tego:
"N"N\{0} "m,n N\{0} : m, n N �! d(am, an) <� 1.
PoB�|my � = max{1, d(a1, aN), . . . , d(aN-1, an)}.
Dla dowolnego wskaznika n mamy wtedy: d(an, aN) �.
Skoro tak, to: an " B(an, �) dla ka|dego n " N \ {0}, skd ju| cig (an) jest
ograniczony.
PrzykBad 1.5 q
1. Rozwa|my R z metryk naturaln. Cig ((-1)n) jest wtedy ograniczony
(bo (-1)n " B(0, 1)) dla ka|dego n. Nie jest on jednak cigiem Cau-
chy ego, bowiem:
"m,n"N\{0} : m - n = 1 �! |(-1)m - (-1)n| = 2.
1 1
2. Poniewa| lim (1 + )n = e, to cig ((1 + )n) jest cigiem Cauchy ego
n n
n�! "
w R z metryk naturaln. Wszystkie wyrazy tego cigu s liczbami wy-
1
miernymi. Skoro tak, to ((1 + )n) jest cigiem Cauchy ego w Q, z (in-
n
dukowan) metryk naturaln. Niestety, cig ten nie jest zbie|ny w Q
z (indukowan) metryk naturaln, bo e " Q.
Twierdzenie 1.9 q
Dla cigu (a(k)) " punkt�w przestrzeni Rn, w kt�rym a(k) = (a(k), . . . , a(k))
k=1 1 n
i punktu g = (g1, . . . , gn) " Rn n.w.s.r.:
d1
(1) a(k) �! g(k �! "),
d2
(2) a(k) �! g(k �! "),
(3) a(k) d " g(k �! "),
�!
(4) "i"{1,...,n} lim a(k) = g (granice szereg�w liczbowych).
i
k�! "
Dow�d:q
d2
(2) �! (4) Przypu[my, |e a(k) �! g(k �! "), czyli, |e d2(a(k), g) = 0. Przypo-
mnijmy, |e:
n
d2(a(k), g) = (a(k) - gi)2.
i
i=1
11
Zauwa|my, |e:
"j"{1,...,n}"k"N\{0} : 0 |a(k) - gj| = (a(k) - gj)2
j j
n
(a(k) - gi)2 = d2(a(k), g).
i
i=1
Stosujc do podkre[lonej nier�wno[ci twierdzenie o trzech cigach otrzy-
mujemy:
"j"{1,...,n} : lim |a(k) - gj| = 0,
j
k�! "
co znaczy,|e:
"j"{1,...,n} : lim a(k) = g.
j
k�! "
(4) �! (2) Przypu[my, |e "i"{1,...,n} : lim a(k) = gi, czyli |e
i
k�! "
"i"{1,...,n} : lim |a(k) - gi| = 0.
i
k�! "
Zauwa|my, |e dla dowolnego k " N \ {0} jest:
n
0 d2(a(k), g) = n(1(k) = gi)2 n � max((a(k) - gi)2) =
i i
i=1
i=1
n
" "
n
= n � max |a(k) - gi| n � |a(k) - gi|.
i i
i=1
i=1
Stosujc do podkre[lonych nier�wno[ci twierdzenie o trzech cigach
d2
(k �! ") otrzymujemy lim (a(k), g) = 0, co znaczy, |e a(k) �! g
k�! "
(k �! ").
(1) �! (4) wiczenie.
(3) �! (4) wiczenie.
PrzykBad 1.6 q
"
n
2
n n+5 n+1 1
4
1) ( n3 + sin(n!), � cos(1 - n), ) -d- (1, 0, ).
- �!
n2+n-1 n+2 e
n�! "
"
n n+5
4
2) Cig ( n3 + sin(n!), � cos(1 - n), (3n+1)n) nie jest zbie|ny
n2+n-1 n+2
w R3 z metryk euklidesow, bo lim (3n+1)n = ".
n+2
n�! "
Definicja 1.8 q
PrzestrzeD metryczna jest zupeBna, je[li ka|dy cig Cauchy ego punkt�w tej
przestrzeni jest zbie|ny do pewnego punktu tej|e przestrzeni.
12
PrzykBad 1.7 q
1) Q z (indukowan) metryk naturaln nie jest zupeBn przestrzeni me-
1
tryczn, z uwagi na cig ((1 + )n).
n
2) Niech n " N \ {0}. Zbi�r Rn \ {(0, . . . , 0)} z (indukowan) metryk
euklidesow nie jest zupeBn przestrzeni metryczn, z uwagi na to, |e:
1
2
Rn \ {(0, . . . , 0)} ( , 0, . . . , 0) -d- (0, . . . , 0) " Rn \ {(0, . . . , 0)}.
- �!
n�! "
n
Twierdzenie 1.10 we
Niech n " N \ {0} i niech d " {d1, d2, d "}. W�wczas przestrzeD metrycz-
na (Rn, d2) jest zupeBna (w szczeg�lno[ci R z metryk naturaln jest zupeBn
przestrzeni metryczn.
Dow�d:ve
Natpi.
Twierdzenie 1.11 q
Niech X bdzie zbiorem niepustym. PrzestrzeD metryczna (B(X, R), d ") jest
zupeBna.
Dow�d:q
Nastpi.
Definicja 1.9 q
Niech (X, d) bdzie przestrzeni metryczn. Zbi�r U �" X jest otwarty, je[li:
"x"U "�"R : B(x, �) �" U.
+
Uwaga 1.7 q
Inaczej m�wic, zbi�r U jest otwarty, je[li:
"x"U "�"R "y"X : d(x, y) <� � �! y " U.
+
13
Definicja 1.10 q
Rodzin wszystkich podzbior�w otwartych przestrzeni metrycznej (X, d) nazy-
wa si topologi tej przestrzeni.
(Topologi przestrzeni (X, d) bdziemy oznacza przez Top(X, d)).
Twierdzenie 1.12 q
Niech (X, d) bdzie przestrzeni metryczn. Niech ponadto x " X, � " R+,
oraz � " [0, "). W�wczas B(x, �) oraz X \ B(x, �) s zbiorami otwartymi.
Dow�d:q
Zajmijmy si kul otwart. Wezmy pod uwag otwarty punkt y " B(x, �).
W�wczas d(y, x) <� �. Skoro tak, to r := (� - d(x, y)) " R+.
Je[li teraz z " B(y, r), to:
d(z, x) d(z, y) + d(y, x) <� r + d(y, x) = � - d(y, x) + d(y, x) = �.
d(x, y) r
x y
�
Pokazali[my w ten spos�b, |e B(y, r) �" B(x, �). Z uwagi na dowolno[
punktu y, dow�d otwarto[ci kuli B(x, �) jest skoDczony.
Dow�d dopeBnienia - wiczenie.
Twierdzenie 1.13 q
Niech (X, d) bdzie przestrzeni metryczn. W�wczas:
(i) ", X " Top(X, d),
(ii) U, V " Top(X, d) �! U )" V " Top(X, d),
(iii) je[li {Ui}i"I jest dowoln rodzin podzbior�w otwartych przestrzeni (X, d),
to Ui tak|e jest podzbiorem otwartym tej przestrzeni.
i"I
Dow�d:q
Ad(i) Oczywiste.
Ad(ii) Przypu[my, |e U, V " Top(X, d) i rozwa|my dowolny punkt x " U )"V.
Poniewa| x " U oraz U " Top(X, d), to "� "R+ : B(x, �1) �" U.
1
Poniewa| x " V oraz V " Top(X, d), to "� "R+ : B(x, �2) �" V.
2
PoB�|my � = min{�1, �2}. W�wczas � > 0. Co wicej,
B(x, �) = B(x, �1) )" B(x, �2) �" U )" V.
14
Ad(iii) Przypu[my, |e {Ui}i"I jest rodzin podzbior�w otwartych przestrzeni
(X, d) i wezmy pod uwag (dowolny) punkt x " Ui.
i"I
Z definicji sumy mnogo[ciowej, "i "I : x " Ui . Poniewa| Ui " Top(X, d),
0 0 0
to "�"R : B(x, �) �" Ui . Podsumowujc B(x, �) �" Ui �" Ui.
+ 0 0
i"I
Wniosek 1.1 q
(s " N \ {0}, U1, . . . , Us " Top(X, d)) �! U1 )" . . . )" Us " Top(X, d).
PrzykBad 1.8 w
Rozwa|my prost R wyposa|on w metryk naturaln i cig przedziaB�w
1 1
{(- , )} " . Ka|dy z tych przedziaB�w jest podzbiorem otwartym rozwa|a-
n=1
n n
1
nej przestrzeni metrycznej (bo jest kul otwart o [rodku 0 i promieniu ).
n
"
1 1
Tymczasem (- , ) = {0} niewtpliwie nie jest podzbiorem otwartym tej
n n
n=1
przestrzeni.
Twierdzenie 1.14 w
Niech x oraz y bd dowolnymi, r�|nymi punktami przestrzeni metrycznej
(X, d). W�wczas:
��
�� x " U,
��
"U,V "Top(X,d) := y " V,
��
��
U )" V = ".
Dow�d:w
Powiedzmy, |e � = d(x, y). Poniewa| x = y, to � > 0. Zdefiniujmy
� �
U = B(x, ) oraz V = B(y, ). W�wczas U, V " Top(X, d), x " U, y " V.
2 2
Gdyby istaniaB jaki[ punkt z " U )" V, to
� �
� = d(x, y) d(x, z) + d(z, y) + = � - sprzeczno[.
2 2
Skoro tak, to U )" V = ".
� �
2 2
x y
U V
Uwaga 1.8 w
Powy|sze twierdzenie mo|na sformuBowa, jak nastpuje:
Ka|da przestrzeD metryczna jest przestrzeni Hausdorffa (czyli T2-przestrzeni).
15
Definicja 1.11 w
Otoczeniem (otwartym) punktu x przestrzeni metrycznej (X, d) nazywa si
ka|dy taki zbi�r U " Top(X, d), |e x " U.
Uwaga 1.9 w
Ka|da kula otwarta o [rodku w danym punkcie przestrzeni metrycznej jest
otoczeniem tego punktu. Tak|e caBa przestrzeD (rozwa|ana) jest otoczeniem
tego punktu.
Definicja 1.12 w
Podzbi�r C przestrzeni metrycznej (X, d) jest domknity, je[li:
X \ C " Top(X, d).
Definicja 1.13 w
Rodzin wszystkich podzbior�w domknitych przestrzeni metrycznej (X, d) na-
zywa si kotopologi tej przestrzeni. (Kotopologi tej przestrzeni bdziemy
oznacza przez Cotop(X, d)).
Twierdzenie 1.15 w
Niech (X, d) bdzie przestrzeni metryczn. Niech ponadto x " X oraz
� " [0, ") �" R. W�wczas kula domknita B(x, �) oraz sfera S(x, �) s pod-
zbiorami domknitymi przestrzeni (X, d).
Dow�d:w
Wiemy, |e X \ B(x, �) " Top(X, d). Skoro tak, to B(x, �) jest zbiorem do-
mknitym. Nastpnie:
X \ {x} = X \ B(x, �), gdy � = 0,
X \ S(x, �) =
B(x, �) *" (X \ B(x, �)), gdy � > 0.
Poniewa| kula otwarta i dopeBnienie kuli domknitej to zbiory otwarte oraz
suma dw�ch zbior�w otwartych jest zbiorem otwartym, to z powy|szej r�w-
no[ci wynika, |e X \ S(x, �) jest zbiorem otwartym, co znaczy, |e S(x, �) jest
zbiorem domknitym.
Wniosek 1.2 w
Ka|dy jednoelementowy podzbi�r dowolnej przestrzeni metrycznej jest do-
mknity.
Dow�d:w
Niech (X, d) bdzie przestrzeni metryczn i niech x " X. W�wczas:
{x} = B(x, 0).
16
Twierdzenie 1.16 w
Niech (X, d) bdzie przestrzeni metryczn. W�wczas:
(i) ", X " Cotop(X, d),
(ii) C, D " Cotop(X, d) �! U *" V " Cotop(X, d),
(iii) je[li {Ci}i"I jest dowoln rodzin podzbior�w domknitych przestrzeni
metrycznej(X, d), to Ci tak|e jest podzbiorem domknitym tej prze-
i"I
strzeni.
Dow�d:w
Ad(i) ", X " Top(X, d), " = X \ X oraz X = X \ ".
Ad(ii) Powiedzmy, |e C, D " Cotop(X, d).
W�wczas X \ (C *" D) = (X \ C) )" (X \ D).
Ponadto X \C, X \D " Top(X, d). Poniewa| przecicie dw�ch zbior�w
otwartych jest zbiorem otwartym, to z powy|szego wynika, |e
X \ (C *" D) " Top(X, d), co oznacza, |e C *" D " Cotop(X, d).
Ad(iii) wiczenie.
Wniosek 1.3 w
(s " N \ {0}, C1, . . . , Cs " Cotop(X, d)) �! C1 *" . . . *" Cs " Cotop(X, d).
Uwaga 1.10 w
Je[li (X, d) jest przestrzeni metryczn, to zbiory " oraz X s w tej prze-
strzeni otwarto-domknite.
PrzykBad 1.9 w
1) Q nie jest podzbiorem otwartym prostej R wyposa|onej w metryk natu-
raln, bowiem Q jest zbiorem przeliczalnym, a ka|dy niepusty przedziaB
otwarty prostej R jest nieprzeliczalny (wic |aden taki przedziaB nie za-
wiera si w kuli otwartej).
2) R�wnie| R \ Q nie jest podzbiorem otwartym prostej R (bowiem je[li
r, s " R \ Q s takie, |e r <� s, to istnieje q " Q, |e r <� q <� s). Skoro
tak, to Q nie jest podzbiorem domknitym, ani podzbiorem otwartym
prostej R z metryk naturaln.
3) Je[li q " Q, to {q} jest podzbiorem domknitym prostej R wyposa|o-
nej w metryk naturaln. Tymczasem Q = {q} nie jest podzbiorem
q"Q
domknitym tej prostej.
17
Twierdzenie 1.17 w
Niech A bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). n.w.s.r. dla punktu
x " X :
(1) ka|de otoczenie punktu x ma niepuste przecicie ze zbiorem A,
(2) "�"R : A )" B(x, �) = ".
+
(3) istnieje cig (an) " element�w zbioru A taki, |e an - - x.
-d�!
n=1
n�! "
Dow�d:w
(1) �! (2) Oczywiste (kula otwarta jest otoczeniem swojego [rodka).
(2) �! (3) ZaB�|my, |e warunek (2) jest speBniony.
1
W�wczas "n"N\{0} : A)"B(x, ) = ". Majc dane n " N\{0} wybieramy
n
1
(dokBadnie jeden) punkt an " A )" B(x, ). W ten spos�b otrzymali[my
n
cig (an) " element�w zbioru A.
n=1
1
Poniewa| "n"N\{0} : 0 d(an, x) , to lim d(an, x) = 0, (twierdzenie
n
n�! "
o trzech cigach) co znaczy, |e an - - x.
-d�!
n�! "
(3) �! (1) Przypu[my, |e warunek (3) jest speBniony. Niech U bdzie (otwar-
tym) otoczeniem punktu x. Poniewa| x " U oraz U " Top(X, d), to
"�"R : B(x, �) �" U. Na mocy definicji granicy cigu(A an - - x)
-d�!
+
n�! "
"N"N\{0} : an " B(x, �).
Skoro tak, to an " A )" B(x, �) �" A )" U. W takim razie A )" U = ".
Definicja 1.14 w
Niech A bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). Punkt x tej prze-
strzeni jest punktem granicznym (przylegBym) zbioru A, je[li speBnia kt�ry-
kolwiek z warunk�w powy|szego twierdzenia.
Definicja 1.15 w
Zbi�r wszystkich punkt�w granicznych danego podzbioru przestrzeni metrycz-
nej nazywa si domkniciem tego podzbioru. (Domknicie podzbioru A ozna-
cza si przez A albo cl(A)).
PrzykBad 1.10 w
Rozwa|my podzbi�r A = (-1, 2) *" (2, 3] prostej R wyposa|onej w metryk
naturaln. Je[li x " R jest punktem granicznym tego podzbioru, to istnieje
cig (an) " element�w tego| podzbioru, taki |e x = lim an.
n=1
n�! "
Poniewa| "n"N\{0} : -1 <� an 3, to -1 x 3
(twierdzenie o osBabianiu nier�wno[ci przy przej[ciu do granicy).
W ten spos�b udowodnili[my, |e A �" [-1, 3]. Je[li teraz a " A,
18
n�! "
1
to a = lim a " A. Nastpnie A -1 + - �! -1, wic -1 " A.
--
n
n�! "
n�! "
1
W koDcu A 2 - - �! 2, wic 2 " A.
--
n
W ten spos�b udowodnili[my, |e [-1, 3] �" A. Podsumowujc, [-1, 3] = A.
Uwaga 1.11 w
Ka|dy podzbi�r dowolnej przestrzeni metrycznej jest zawarty w swoim do-
mkniciu.
Twierdzenie 1.18 w
Dla podzbioru A przestrzeni metrycznej (X, d) n.w.s.r.:
(1) A " Cotop(X, d),
(2) A = A,
(3) ka|dy punkt graniczny zbioru A nale|y do zbioru A.
Dow�d:w
R�wnowa|no[ warunk�w (2) i (3) jest oczywista (por�wnaj z Uwag 1.11).
�(1) �! A " Cotop(X, d) �! (X \ A) " Top(X, d) �! "x "X\A "�"R :
0 +
A )" B(x0, �) = " �! "x "X\A : (�("�"R : A )" B(x0, �) = ")) �!
0 +
�! "x "X\A : (�("�"R : B(x0, �) �" (X \ A))) �! "x "X\A : x " A �! �(3).
0 + 0
PrzykBad 1.11 w
1. Rozwa|my podzbi�r
E = {(x, y, z) " R3 : 0 <� x2 + y2 + (z - 1)2 1, z <� 2} przestrzeni me-
trycznej (R3, d2). (Kula bez [rodka i bieguna p�Bnocnego .) Poniewa|
2
1
E (0, 0, 2 - ) -d- (0, 0, 2), to biegun p�Bnocny jest punktem
- �!
n+1
n�! "
granicznym zbioru E. Poniewa| E (0, 0, 2), to zbi�r E nie jest do-
mknity. Zbi�r ten nie jest r�wnie| otwarty (wiczenie).
2. Rozwa|my Q jako podzbi�r prostej R z metryk naturaln d. Wiadomo,
|e dla ka|dego x " R istnieje cig (qn) " liczb wymiernych taki, |e
n=1
x = lim qn. Skoro tak, to R �" Q. Jest jasne, | Q �" R. Wobec tego
n�! "
Q = R.
Twierdzenie 1.19 w
Niech A bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d).
W�wczas A = {C " Cotop(X, d) : C �" A}.
19
Dow�d:w
�" Niech x " A i niech C " Cotop(X, d) bdzie takim zbiorem, |e C �" A.
Wystarczy pokaza, |e x " C. Poniewa| x jest punktem granicznym
zbioru A, to istnieje taki cig (an) " element�w zbioru A, |e
n=1
2
an -d- x. Poniewa| cig (an) " jest te| cigiem element�w zbioru C,
- �!
n=1
n�! "
to x jest punktem granicznym zbioru C. Poniewa| C " Cotop(X, d),
to z faktu, |e x jest punktem granicznym zbioru C wynika, |e x " C.
�" Przypu[my, |e x " X \A. W�wczas "�"R : A)"B(x, �) = ". Zauwa|my,
+
|e x " X \ B(x, �). Nastpnie X \ B(x, �) " Cotop(X, d). (Bowiem
B(x, �) jest zbiorem otwartym.) W koDcu A �" X \ B(x, �).
A �" Co
Podsumowujc "C "Cotop(X,d) :
0
x " Co.
Skoro tak, to x " {C " Cotop(X, d) : C �" A}. Pokazali[my w ten
spos�b, |e (X \ A) �" X \ {C " Cotop(X, d) : C �" A}. Przechodzc
do dopeBnieD otrzymujemy:
{C " Cotop(X, d) : C �" A} �" A.
Wniosek 1.4 w
1. Domknicie dowolnego podzbioru danej przestrzeni metrycznej jest pod-
zbiorem domknitym tej przestrzeni.
2. Niech A bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d) i niech
C " Cotop(X, d). Je[li wtedy A �" C, to tak|e A �" C.
PrzykBad 1.12 w
Wr�my do zbioru E z PrzykBadu 1.11.1.
Poniewa| E �" {(x, y, z) " R3 : 0 <� x2 + y2 + (z - 1)2 1} = B((0, 0, 1), 1)
oraz B((0, 0, 1), 1) " Cotop(R3, d2), to (z Wniosku 1.4.2) mamy:
E �" B((0, 0, 1), 1).
Poniewa| E = B((0, 0, 1), 1) \ {(0, 0, 1), (0, 0, 2)}, E �" E, (0, 0, 2) " E (poka-
2
1
zali[my to ju|) oraz E (0, 0, 1 + ) -d- (0, 0, 1), to B((0, 0, 1), 1) �" E.
- �!
n+1
n�! "
Podsumowujc, E = B((0, 0, 1), 1).
Twierdzenie 1.20 w
Niech A i B bd podzbiorami przestrzeni metrycznej (X, d). W�wczas:
(i) A �" B �! A �" B,
(ii) (A) = A,
(iii) A *" B = A *" B.
20
Dow�d:w
Ad(i): Je[li A �" B, to ka|dy punkt graniczny zbioru A jest te| punktem
granicznym zbioru B.
Ad(ii): Wiemy, |e A " Cotop(X, d).(Wniosek 1.4.1) Ponadto podzbi�r prze-
strzeni metrycznej jest domknity wtedy i tylko wtedy, gdy jest r�wny
swojemu domkniciu.
Ad(iii): Poniewa| A �" A oraz B �" B, to A *" B �" A *" B.
Poniewa| zar�wno A, B " Cotop(X, d) oraz suma dw�ch zbior�w do-
mknitych jest zbiorem domknitym, to A*"B " Cotop(X, d). Na mocy
Wniosku 2., z podkre[lonego faktu wynika, |e A *" B �" A *" B.
Z drugiej strony A �" A *" B �" A *" B oraz B �" A *" B �" A *" B. Skoro
tak, to A �" A *" B oraz B �" A *" B (Wniosek 1.4.2).
Z tego wynika, |e A *" B �" A *" B.
Wniosek 1.5 w
Je[li A1, . . . , As, gdzie s " N \ {0} s podzbiorami przestrzeni metrycznej
(X, d), to A1 *" . . . *" As = A1 *" . . . *" As.
Definicja 1.16 w
Podzbi�r D przestrzeni metrycznej (X, d) jest gsty (w tej przestrzeni), je[li
D = X.
Twierdzenie 1.21 w
Dla podzbioru D przestrzeni metrycznej (X, d) n.w.s.r.:
(1) D jest gsty,
(2) "x"X "�"R : D )" B(x, �) = ",
+
(3) "U"Top(X,d) : U = " �! U )" D = ".
Dow�d:w
wiczenie.
PrzykBad 1.13 w
1. Je[li (X, d) jest przestrzeni metryczn, to zbi�r X jest gsty w tej
przestrzeni. (Bowiem X " Cotop(X, d).)
21
2. Niech n " N \ {0} i niech (x1, . . . , xn) " Rn. W�wczas wiadomo, |e
(1) (n)
istniej takie cigi (gk ) " , . . . , (gk ) " liczb wymiernych, |e
k=1 k=1
(i)
xi = lim gk , dla i = 1, . . . , n. Skoro tak, to
k�! "
(1) (n)
2
Qn (qk , . . . , qk ) -d- (x1, . . . , xn).
- �!
k�! "
Wykazali[my w ten spos�b, |e ka|dy punkt przestrzeni Rn, wyposa|onej
w metryk euklidesow, jest punktem granicznym zbioru Qn. Wobec tego
Qn = Rn, co znaczy, |e zbi�r Qn jest gsty w przestrzeni metrycznej
(Rn, d2).
3. Zbi�r Z nie jest podzbiorem gstym prostej R wyposa|onej w metryk
naturaln d. Zauwa|my bowiem, |e R\Z = (m, m+1) " Top(R, d),
m"Z
skd Z " Cotop(R, d), wic Z = Z = R.
Definicja 1.17 w
Niech A bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). Punkt x " X jest
punktem wewntrznym zbioru A, je[li "�"R : B(x, �) �" A.
+
Definicja 1.18 w
Wntrzem podzbioru A przestrzeni metrycznej (X, d) nazywa si zbi�r int(A)
wszystkich punkt�w wewntrznych tego zbioru.
(Zamiast int(A) pisze si czasem �.)
Uwaga 1.12 w
int(A) �" A.
Twierdzenie 1.22 w
Niech A bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d).
W�wczas int(A) = {U " Top(X, d) : A �" U}.
Dow�d:w
�" Niech x " int(A). W�wczas "�"R : B(x, �) �" A. Poniewa|
+
B(x, �) " Top(X, d), to B(x, �) �" {U " Top(X, d) : A �" U}, skd ju|
x " {U " Top(X, d) : A �" U}.
�" Przypu[my, |e U " Top(X, d) jest takim zbiorem, |e A �" U.
Niech x " U. Wystarczy pokaza, |e x " int(A). Skoro x " U oraz
U " Top(X, d), to "�"R : B(X, �) �" U. W takim razie B(x, �) �" A,
+
skd ju| x " int(A).
22
Wniosek 1.6 w
1. Wntrze dowolnego podzbioru danej przestrzeni metrycznej jest podzbio-
rem otwartym tej przestrzeni.
2. Podzbi�r A przestrzeni metrycznej (X, d) jest otwarty wtedy i tylko wte-
dy, gdy A = int(A).
Dow�d:w
wiczenie.
Twierdzenie 1.23 w
Niech A i B bd podzbiorami przestrzeni metrycznej (X, d). W�wczas:
(i) A �" B �! int(A) �" int(B),
(ii) int(int(A)) = int(A),
(iii) int(A )" B) = int(A) )" int(B).
Dow�d:w
wiczenie.
Wniosek 1.7 w
Je[li A1, . . . , As, gdzie s " N \ {0}, s podzbiorami przestrzeni metrycznej
(X, d), to int(A1 )" . . . )" As) = int(A1) )" . . . )" int(As).
PrzykBad 1.14 w
1. Rozwa|my okrg S1 = {(x, y) " R2 : x2 + y2 = 1} jako podzbi�r prze-
strzeni metrycznej (R2, d2). Wiemy, |e jest on podzbiorem domknitym.
y
1
P
� S1
1
x
Jest widoczne, |e: "P "S1 "�"R : B(P, �) S1.
+
W takim razie int(S1) = ".
23
2. Rozwa|my podzbi�r Z = ((-1, 1) � (-2, 3)) *" ([-3, 5] � {0}) przestrzeni
metrycznej (R2, d2).
y
3
1
x
-3 5
-2
Poniewa| prostokt (-1, 1) � (-2, 3) " Top(R2, d2) oraz
(-1, 1) � (-2, 3) �" Z, to (-1, 1) � (-2, 3) �" int(Z).
Jest widoczne, |e "P "([-3,-1]*"[1,5])�{0} "�"R : B(P, �) Z. Skoro tak,
+
to ([-3, -1] *" [1, 5]) � {0} �" (Z \ int(Z)). Poniewa| int(Z) �" Z, to
z powy|szych r�wno[ci wynika, |e int(Z) = (-1, 1) � (-2, 3.)
3. Aatwo sprawdzi (wiczenie), |e na prostej R z metryk naturaln d ma-
my int(Q) = int(R \ Q) = ".
Tymczasem int(Q *" (R \ Q)) = int(R) = R.
Definicja 1.19 w
Podzbi�r A przestrzeni metrycznej (X, d) jest:
" brzegowy, je[li int(A) = ",
" nigdzie gsty (w tej przestrzeni), je[li int(A) = ".
Uwaga 1.13 w
Ka|dy zbi�r nigdzie gsty jest brzegowy.
(Bowiem A �" A, wic int(A) �" int(A).)
PrzykBad 1.15 w
1. Na prostej R z metryk naturaln zbiory Q oraz R \ Q s brzegowe, ale
nie s nigdzie gste.
(Bowiem int(Q) = int(R \ Q) =(wiczenie) int(R) = R = ".)
2. Okrg S1 jest podzbiorem nigdzie gstym przestrzeni metrycznej (R2, d2).
(Bowiem int(S1) = int(S1) = ".)
24
Definicja 1.20 w
Brzegiem podzbioru A przestrzeni metrycznej (X, d) nazywa si zbi�r
"A = cl(A) \ int(A). (Zamiast "A pisze si czasem bd(A).)
Twierdzenie 1.24 w
Je[li A jest podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d), to "A " Cotop(X, d).
Dow�d:w
Zauwa|my, |e "A := cl(A) \ int(A) = cl(A) )" (X \ int(A)).
Przypomnijmy, |e int(A) " Top(X, d). Ponadto cl(A) " Cotop(X, d). W ta-
kim razie (X \ int(A)) " Cotop(X, d).
Podsumowujc, "A jest zbiorem domknitym, jako przecicie dw�ch zbior�w
domknitych.
Twierdzenie 1.25 w
Niech A bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). Dla punktu x " X
n.w.s.r.:
(1) x " "A (czyli x jest punktem brzegowym zbioru A),
B(x, �) \ A = ",
(2) "�"R :
+
A )" B(x, �) = ".
U )" A = ",
(3) "U"Top(X,d) : x " U �!
U \ A = ".
Dow�d:w
wiczenie.
Uwaga 1.14 w
cl(A) = int(A) *" "A = A *" "A (wiczenie).
PrzykBad 1.16 w
1. Wr�my do podzbioru Z przestrzeni metrycznej (R2, d2)
z PrzykBadu 1.14.2.
Stwierdzili[my, |e: int(Z) = (-1, 1) � (-2, 3).
Nastpnie cl(Z) = cl((-1, 1) � (-2, 3)) *" ([-3, 5] � {0}) =
= cl((-1, 1) � (-2, 3)) *" cl([-3, 5] � {0}) =(wiczenie)=
= ([-1, 1] � [-2, 3]) *" ([-3, 5] � {0}).
Ostatecznie "Z := cl(Z) \ int(Z) = ([-1, 1) � [-2, 3])*"
*"({-1, 1} � [-2, 3]) *" ([-1, 5] � {0}) *" ([-3, -1] � {0}).
25
y
3
1
x
-3 5
-2
2. Wr�my do podzbioru E przestrzeni metrycznej (R3, d2), rozwa|anego
na poprzednim wykBadzie. Stwierdzili[my, |e cl(E) = B((0, 0, 1), 1).
Aatwo zauwa|y, |e int(E) = B((0, 0, 1), 1) \ {(0, 0, 1)}.(wiczenie)
W takim razie "(E) := cl(E) \ int(E) = S((0, 0, 1), 1) *" {(0, 0, 1)}.
Definicja 1.21 w
Niech A bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). Punkt x " X jest
punktem zewntrznym tego podzbioru, je[li "�"R : A )" B(x, �) = ".
+
Definicja 1.22 w
Zewntrzem podzbioru A przestrzeni metrycznej (X, d) nazywa si zbi�r wszyst-
kich punkt�w zewntrznych tego podzbioru.
(Zewntrze zbioru A oznacza si przez ext(A).)
Twierdzenie 1.26 w
Niech A bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). W�wczas:
(i) ext(A) = X \ cl(A),
(ii) ext(A) " Top(X, d),
(iii) X = int(A)*""A*"ext(A), przy czym zbiory po prawej stronie s parami
rozBczne.
Dow�d:w
wiczenie.
26
2 CigBo[
Twierdzenie 2.1 w
Niech (X, d) i (Y, �) bd przestrzeniami metrycznymi. Dla punktu a " X
i odwzorowania f : X �! Y n.w.s.r.:
(1) "�"R "�"R "x"X : d(x, a) <� � �! �(f(x), f(a)) <� �,
+ +
(2) "�"R "�"R : f(B(a, �)) �" B(f(a), �),
+ +
�
(3) f(xn) - �! f(a) dla ka|dego takiego cigu (xn) " punkt�w przestrzeni
--
n=1
n�! "
(X, d), |e xn - - a.
-d�!
n�! "
Dow�d:w
(1) �! (2) wiczenie.
(1) �! (3) ZaB�|my, |e warunek (1) jest speBniony. Niech (xn) " bdzie takim
n=1
cigiem punkt�w przestrzeni (X, d), |e xn - - a. ZakoDczymy dow�d
-d�!
n�! "
�
implikacji, je[li poka|emy, |e f(xn) - �! f(a).
--
n�! "
Niech zatem � " R+ (dowolne). Nastpnie niech � " R+ bdzie liczb
dobran do powy|szego � na mocy warunku (1).
Poniewa| xn - - a, to "N"N\{0}"n"N\{0} : n N �! d(xn, a) <� �.
-d�!
n�! "
Je[li teraz n N, to �(f(xn), f(a)) <� � (warunek (1)).
Pokazali[my w ten spos�b, |e:
"�"R "N"N\{0}"n"N\{0} : n N �! �(f(xn), f(a)) <� �,
+
�
co znaczy, |e f(xn) - �! f(a).
--
n�! "
d(x, a) <� �,
�(1) �! �(3) ZaB�|my, |e "�"R "�"R "x"X :
+ +
�(f(x), f(a)) �.
Dla (dowolnego) n " N \ {0} wybierzmy (dokBadnie jeden) taki punkt
1
xn " X, |e d(xn, a) <� (= �) oraz �(f(xn), f(a)) �.
n
Zdefiniowali[my w ten spos�b cig (xn) " punkt�w przestrzeni (X, d).
n=1
1
Poniewa| 0 d(xn, a) <� dla ka|dego n, to lim d(xn, a) = 0, co
n
n�! "
oznacza, |e xn - - a.
-d�!
n�! "
Jednocze[nie �(f(xn), f(a)) � > 0, dla ka|dego n, z czego natych-
miast wynika, |e cig (f(xn)) " nie zmierza do f(a) w przestrzeni
n=1
(Y, �). Wykazali[my w ten spos�b zaprzeczenie warunku (3).
27
Definicja 2.1 w
Niech (X, d) i (Y, �) bd przestrzeniami metrycznymi.
Odwzorowanie f : X �! Y jest cigBe w punkcie a " X, je[li speBnia kt�ry[
z warunk�w poprzedniego twierdzenia.
Uwaga 2.1 w
1) Definicja cigBo[ci w punkcie za pomoc warunku (1) nazywa si
definicj Cauchy ego albo epsilonowo-deltow.
Definicja cigBo[ci w punkcie za pomoc warunku (3) zwie si definicj
Heinego albo cigow.
2) Je[li X jest niepustym podzbiorem zbioru R, d- metryk naturaln w tym
podzbiorze (indukowan z R), Y = R, � jest metryk naturaln w R,
to nasza definicja cigBo[ci w punkcie sprowadza si do definicji znanej
ze Wstpu do analizy matematycznej .
Twierdzenie 2.2 w
Niech (X, d) i (Y, �) bd przestrzeniami metrycznymi.
Dla odwzorowania f : X �! Y n.w.s.r.:
(1) f jest cigBa w ka|dym punkcie a " X,
(2) "U�"Y : U " Top(Y, �) �! f-1(U) " Top(X, d),
(3) "C�"Y : C " Cotop(Y, �) �! f-1(C) " Cotop(X, d),
(4) "S�"X : f(S) = f(S).
Dow�d:w
(1) �! (2) ZaB�|my, |e warunek (1) jest speBniony i wybierzmy (dowolnie) zbi�r
U " Top(Y, �). Mamy pokaza, |e przeciwobrac f-1(U) " Top(X, d).
Niech zatem x " f-1(U). ZakoDczymy dow�d implikacji, je[li znajdzie-
my tak liczb r " R+, |e B(x, r) �" f-1(U).
Skoro x " f-1(U), to f(x) " U. Poniewa| U " Top(Y, �), to
"�"R : B(f(x), �) �" U.
+
Z zaBo|enia odwzorowanie f jest cigBe w punkcie x.
Skorzystajmy z warunku (2) w twierdzeniu definiujcym cigBo[ w punk-
cie. Widzimy, |e "�"R : f(B(x, �)) �" B(f(x), �). Skoro tak, to (wprost
+
z definicji przeciwobrazu) B(x, �) �" f-1(B(f(x), �)).
Poniewa| B(f(x), �) �" U, to f-1(B(f(x), �)) �" f-1(U).
Dow�d implikacji koDczymy zatem kBadc r = �.
28
(2) �! (1) ZaB�|my, |e warunek (2) jest speBniony. Wybierzmy (dowolne) a " X.
ZakoDczymy dow�d implikacji, je[li poka|emy, |e odwzorowanie f jest
cigBe w punkcie a.
Ustalmy zatem � " R+. Poniewa| B(f(a), �) " Top(Y, �), to
(warunek (2)) f-1(B(f(a), �)) " Top(X, d)). Zauwa|my, |e
f(a) " B(f(a), �). W takim razie a " f-1(B(f(a), �)).
Wskutek otwarto[ci zbioru f-1(B(f(a), �)) istnieje r " R, takie |e
B(a, r) �" f-1(B(f(a), �)). Wobec tego f(B(a, r)) �" B(f(a), r)
(definicja przeciwobrazu).
W ten spos�b udowodnili[my, |e "�"R "r"R : f(B(a, r)) �" B(f(a), �),
+ +
co znaczy, |e odwzorowanie f jest cigBe w punkcie a.
(2) �! (3) ZaB�|my, |e warunek (2) jest speBniony. Wybierzmy C " Cotop(Y, �).
Musimy pokaza, |e f-1(C) " Cotop(X, d).
Odnotujmy, |e Y \ C " Top(X, d). Nastpnie X \ f-1(C) = {x " X :
f(x) " C} = {x " X : f(x) " Y \ C} = f-1(Y \ C) " Top(X, d).
Skoro tak, to f-1(C) " Cotop(X, d).
(3) �! (2) wiczenie.
(1) �! (4) ZaB�|my, |e warunek (1) jest speBniony. Wybierzmy (dowolny) zbi�r
S �" X. Niech a " X bdzie punktem granicznym tego zbioru. W�w-
czas istnieje taki cig (xn) " element�w zbioru S, |e xn - - a.
-d�!
n=1
n�! "
Poniewa| (warunek (1)) odwzorowanie f jest cigBe w punkcie a, to
�
(definicja Heinego) f(xn) - �! f(a).
--
n�! "
Poniewa| (f(xn)) " jest cigiem element�w zbioru f(S), to z powy|-
n=1
szych rozwa|aD wynika, |e f(a) jest punktem granicznym zbioru f(S).
Udowodnili[my w ten spos�b, |e "a"Xa " S �! f(a) " f(S), co znaczy,
|e f(S) �" f(S).
(4) �! (3) ZaB�|my, |e warunek (4) jest speBniony. Wybierzmy dowolne C " Cotop(Y, �).
Musimy wykaza, |e f-1(C) " Cotop(X, d), czyli |e f-1(C) = f-1(C).
Inkluzja f-1(C) �" f-1(C) jest oczywista.
Pozostaje pokaza, |e f-1(C) �" f-1(C). Mamy, co nastpuje:
f(f-1(C)) �" f(f-1(C)) �" C = C(C " Cotop(Y, �)).
Skoro tak, to (definicja przeciwobrazu) f-1(C) �" f-1(C).
Dow�d jest zakoDczony.
Definicja 2.2 w
Niech (X, d) i (Y, �) bd przestrzeniami metrycznymi.
Odwzorowanie f : X �! Y jest cigBe, je[li speBnia kt�ry[ z warunk�w
powy|szego twierdzenia.
29
PrzykBad 2.1 w
(1) Rozwa|my przestrzeD metryczn (R2, d2) i przestrzeD metryczn (R, d),
gdzie d jest metryk naturaln.
Udowodnili[my, |e funkcja f : R2 (x, y) �! xy " R jest cigBa, czyli
"(a,b)"R2 jest cigBa w tym punkcie. Skorzystamy z definicji Heinego.
Przypu[my, |e ((xn, yn)) " jest takim cigiem punkt�w przestrzeni
n=1
2
(R2, d2), |e (xn, yn) -d- (a, b).
- �!
n�! "
W�wczas a = lim xn oraz b = lim yn, wobec tego
n�! " n�! "
lim f(xn, yn) = lim (xn, yn) = lim xn � lim yn = a � b = f(a, b).
n�! " n�! " n�! " n�! "
Udowodnili[my, |e f jest cigBa w dowolnym punkcie (a, b).
y
xy = 1
1
-1
x
1
-1
Poniewa| {1} jest podzbiorem domknitym przestrzeni metrycznej (R, d),
gdzie d jest metryk naturaln, to z cigBo[ci funkcji f wynika, |e:
Cotop(R2, d2) f-1({1}) a" f-1(1) = {(x, y) " R2 : f(x, y) = 1} =
= {(x, y) " R2 : xy = 1}.
Podobnie poniewa| (- ", 1) jest podzbiorem otwartym przestrzeni
def
metrycznej (R, d), to Top(R2, d2) f-1((- ", 1)) = {(x, y) " R2 :
f(x, y) <� 1} = {(x, y) " R2 : xy <� 1}.
y
xy <� 1
1
-1
x
1
-1
30
(2) Rozwa|my przestrzenie metryczne (B(X, R), d ") oraz (R, d),
gdzie d jest metryk naturaln.
Ustalmy x0 " X. Funkcja � : B(X, R) f �! f(x0) " R jest wtedy
cigBa. Faktycznie, je[li g " B(X, R) oraz (fn) " jest cigiem elemen-
n=1
"
t�w zbioru B(X, R) takim, |e fn -d- g, to w szczeg�lno[ci
- �!
n�! "
lim fn(x0) = g(x0), czyli lim �(fn) = �(g). (Definicja Heinego ci-
n�! " n�! "
gBo[ci w punkcie.)
Poniewa| (- ", 1], [1, ") " Cotop(R, d), to z powy|szej cigBo[ci wyni-
ka, |e:
{f " B(X, R) : |f(x0)| 1} =
= {f " B(X, R) : f(x0) 1} *" {f " B(X, R) : f(x0) -1} =
= {f " B(X, R) : �(f) 1} *" {f " B(X, R) : �(f) -1} =
= �-1([1, ")) *" �-1((- ", -1]) " Cotop(B(X, R), d ").
(Skorzystamy tu z faktu, |e suma skoDczenie wielu zbior�w domkni-
tych jest zbiorem domknitym.)
(3) Rozwa|my R z metryk naturaln. Funkcj Dirichleta D : R �! R
definiuje si za pomoc wzoru:
1, gdy x " Q,
D(x) =
0, gdy x " Q.
Ustalmy x " R (dowolne). Przypu[my, |e x jest liczb wymiern.
"
2
W�wczas (x + ) " jest cigiem liczb niewymiernych, przy czym
n=1
n
"
2
lim (x + ) = x.
n
n�! "
"
2
Poniewa| lim D(x + ) = 0 = 1 = D(x), to funkcja D nie jest cigBa
n
n�! "
w punkcie x. (definicja Heinego.)
Przypu[my teraz, |e x jest liczb niewymiern. Istnieje w�wczas taki
cig (qn) " liczb wymiernych, |e lim qn = x.
n=1
n�! "
Poniewa| lim D(qn) = 1 = 0 = D(x), to funkcja D nie jest cigBa
n�! "
w punkcie x.
Udowodnili[my w ten spos�b, |e funkcja Dirichleta nie jest cigBa
w |adnym punkcie.
Twierdzenie 2.3 w
Ka|da funkcja wielomianowa f : Rn �! R (tylko dodawanie, odejmowanie
i mno|enie staBych wsp�Bczynnik�w oraz zmiennych x1, . . . , xn. Je[li n = 2,
to na przykBad f(x, y) = 4x8 - 10xy3 + 13y5 - 794.) jest cigBa, przy metryce
euklidesowej w Rn i naturalnej w R.
Szkic dowodu:
Korzystamy z definicji Heinego cigBo[ci w punkcie, twierdzenia charaktery-
zujcego zbie|no[ cig�w w przestrzeni metrycznej (Rn, d2) oraz twierdzenia
o granicy sumy i iloczynu dw�ch cig�w liczbowych.
31
Dow�d - wiczenie.
Definicja 2.3 w
Niech A, B i C bd zbiorami. Przypu[my, |e C = ".
Niech nastpnie � : A �! C oraz � : B �! C.
ZaB�|my, |e "x"A)"B : �(x) = �(x).
Sklejeniem odwzorowaD � oraz � nazywa si w�wczas odwzorowanie
� *" � : A *" B �! C zdefiniowane za pomoc wzoru:
�(x), x " A,
(� *" �)(x) =
�(x), x " B.
Twierdzenie 2.4 w
Niech (X, d) oraz (Y, �) bd przestrzeniami metrycznymi. Niech ponadto
y0 " Y oraz A �" X bdzie zbiorem niepustym. W�wczas:
(i) idx jest odwzorowaniem cigBym,
(ii) odwzorowanie staBe c : X x �! y0 " Y jest cigBe,
(iii) jak f : X �! Y jest odwzorowaniem cigBym, to zaw|enie
f|A : A x �! f(x) " Y jest odwzorowaniem cigBym, przy metryce
indukowanej d|A�A w zbiorze A.
Dow�d:w
Ad.(i) wiczenie.
Ad.(ii) Niech V " Top(Y, �). Musimy pokaza, |e C-1(V ) " Top(X, d).
", gdy y0 " V ,
Zauwa|my, |e C-1(V ) =
X, gdy y0 " V.
Tak, czy inaczej C-1(V ) " Top(X, d).
Ad.(iii) wiczenie (u|y definicji Heinego).
Twierdzenie 2.5 w
Ka|da funkcja wymierna f : Rn �! R (tylko dodawanie, odejmowanie, mno|e-
nie i dzielenie staBych wsp�Bczynnik�w oraz zmiennych x1, . . . , xn, jak n = 2,
x7+xy3-3x+y
to na przykBad f : R2 \ S1 (x, y) �! " R jest cigBa, przy indu-
x2+y2-1
kowanej z Rn metryce euklidesowej w swojej dziedzinie i metryce naturalnej
w R.
Dow�d:w
wiczenie.
32
Twierdzenie 2.6 w
Niech (X, d), (Y, �) oraz (Z, �) bd przestrzeniami metrycznymi. Przypu[-
my, |e odwzorowania f : X �! Y oraz g : Y �! Z s cigBe.
W�wczas zBo|enie g �% f : X �! Z jest r�wnie| funkcj cigB.
Dow�d:w
Niech V " Top(Z, �). Musimy pokaza, |e (g �% f)-1(V ) " Top(X, d).
Zauwa|my, |e:
(g �% f)-1(V ) def ={x " X : (g �% f)(x) " V } = {x " X : g(f(x)) " V } =
= {x " X : f(x) = g-1(V )} = {x " X : x " f-1(g-q(V ))} = f-1(g-1(V )).
Poniewa| V " Top(Z, �), g natomiast jest odwzorowaniem cigBym, to
g-1(V ) " Top(Y, �).
Poniewa| g-1(V ) " Top(Y, �) oraz f jest odwzorowaniem cigBym, to:
(g �% f)-1(V ) = f-1(g-1(V )) " Top(X, d).
Lemat 2.1 w
Niech A bdzie niepustym podzbiorem otwartym przestrzeni metrycznej (X, d).
W�wczas Top(A, d|A�A) �" Top(X, d).
Dow�d:w
Przypu[my, |e V " Top(A, d|A�A). Niech x " V (dowolny punkt).
Poniewa| V " Top(A, d|A�A), to:
def
"r "R+ : BA(x, r1) = {y " A : d(y, x) <� r1} �" V.
1
Poniewa| A " Top(X, d) oraz V �" A, to:
def
"r "R+ : B(x, r2) = {y " X : d(y, x) <� r2} �" A.
2
PoB�|my r = min{r1, r2}. W�wczas r " R+. Wezmy pod uwag dowolny
punkt y " X, taki |e d(y, x) <� r.
Poniewa| d(y, x) <� r2, to y " A. Poniewa| d(y, x) <� r1 oraz y " A, to y " V.
def
Pokazali[my, |e B(x, r) = {y " X : d(y, x) <� r} �" V.
Z uwagi na dowolno[ punktu x wynika, |e V " Top(X, d).
Twierdzenie 2.7 w
Niech (X, d) i (Y, �) bd przestrzeniami metrycznymi. Niech ponadto
A, B �" X bd niepustymi zbiorami otwartymi speBniajcymi warunek
A *" B = X.
Przypu[my, |e odwzorowania � : A �! Y oraz � : B �! Y s cigBe, przy
metrykach indukowanych d|A�A i d|B�B.
ZaB�|my, |e "x"A)"B : �(x) = �(x). W�wczas sklejenie � *" � : X �! Y jest
odwzorowaniem cigBym.
33
Dow�d:w
Niech V " Top(Y, �). Musimy pokaza, |e (� *" �)-1(V ) " Top(X, d).
Zauwa|my, |e:
def
(� *" �)-1(V ) = {x " X : (� *" �)(x) " V } = {x " A : �(x) " V }*"
*"{x " X : �(x) " V } = �-1(V ) *" �-1(V ).
Poniewa| � oraz � s odwzorowaniami cigBymi, to �-1(V ) " Top(A, d|A�A)
oraz �-1(V ) " TopB, d|B�B.
Z lematu i faktu, |e A, B " Top(X, d) wynika, |e �-1(V ), �-1(V ) " Top(X, d).
Poniewa| suma dowolnej rodziny zbior�w otwartych jest zbiorem otwartym,
to dostajemy finalnie (� *" �)-1(V ) " Top(X, d).
Uwaga 2.2 w
Powy|sze twierdzenie pozostanie prawdziwe, je[li zamiast sBowa otwartymi
napiszemy domknitymi (wiczenie).
PrzykBad 2.2 w
1. Rozwa|my przedziaBy (- ", 0] *" [0, ") prostej R. Ka|dy z nich jest
podzbiorem domknitym przestrzeni metrycznej (R, d), gdzie d jest
metryk naturaln. Co wicej (- ", 0] *" [0, ") = R.
Ka|da z funkcji � : (- ", 0] x �! x " R oraz � : [0, ") x �! x2 " R
jest cigBa przy metryce indukowanej z (R, d) w swojej dziedzinie. (Za-
w|enie funkcji cigBych i okre[lonych w R). W koDcu �(0) = 0 = �(0).
Skoro tak, to �*"� : R �! R jest funkcj cigB w przestrzeni metrycznej
z metryk naturaln w R.
2. Rozwa|my podzbiory {(0, 0)} i R2 \ {(0, 0)} pBaszczyzny R2 wyposa-
|onej w metryk euklidesow.
Tylko pierwszy z nich jest domknity. Tylko drugi z nich jest otwarty.
Funkcja f : R2 �! R zdefiniowana za pomoc wzoru:
0, gdy (x, y) = (0, 0),
f(x, y) =
xy
, gdy (x, y) = (0, 0)
x2+y2
jest sklejeniem dwu funkcji cigBych (przy indukowanych metrykach
euklidesowych): stale r�wnej 0, w zbiorze {(0, 0)} i wymiernej, w zbiorze
R2 \ {(0, 0)}. Niestety funkcja f nie jest cigBa w punkcie (0, 0)
2
1 1
(przy metryce naturalnej w R). Faktycznie, (n, ) -d- (0, 0) oraz
- �!
n
n�! "
1
1 1 1
n2
f(n, ) = = = 0 = f(0, 0), dla ka|dego n " N \ {0}
1 1
n 2
+
n2 n2
(definicja Heinego).
3. Rozwa|my przedziaB [0, 2�) �" R wyposa|ony w indukowan metryk
naturaln oraz okrg S1 �" R2 wyposa|ony w indukowan metryk
34
euklidesow.
Odwzorowanie � : [0, 2�) t �! (cos(t), sin(t)) " S1 jest w�wczas
cigB bijekcj (wiczenie).
y
1
S1
�(t)
1 x
Zajmijmy si odwzorowaniem odwrotnym �-1 : S1 �! [0, 2�).
Aatwo zauwa|y, |e �-1(x, y) = Arg(x + iy).Odwzorowanie to nie jest
cigBe dla dowolnego (x, y) " S1 w punkcie (1, 0). Faktycznie
2
1 1
S1 (cos(2� - ), sin(2� - )) -d- (cos(2�), sin(2�)) = (1, 0),
- �!
n n
n�! "
podczas gdy
1 1 1
lim (�-1(cos(2�- ), sin(2�- )) = lim (2�- ) = 2� = 0 = �-1(1, 0).
n n n
n�! " n�! "
Definicja 2.4 w
Niech (X, d), (Y, �) bd przestrzeniami metrycznymi.
Odwzorowanie h : X �! Y jest homeomorfizmem, jak jest cigBe, bijektywne
i odwzorowanie odwrotne h-1 : Y �! X jest cigBe.
Uwaga 2.3 w
1) Odwzorowanie identyczno[ciowe idx : X x �! x " X jest homeomor-
fizmem.
2) Odwzorowanie odwrotne do homeomorfizmu jest homeomorfizmem
(automorfizmem).
3) ZBo|enie homeomorfizm�w jest homeomorfizmem.
4) h : X �! Y jest homeomorfizmem oraz zbi�r A �" X jest otwarty
(domknity), to zbi�r h(A) te| jest otwarty (domknity).
Definicja 2.5 w
M�wimy, |e przestrzenie metryczne (X, d), (Y, �) s homeomorficzne, je|eli
<"
istnieje homeomorfizm h : X �! Y (oznaczamy (X, d) (Y, �)).
=
homeo
A
35
Uwaga 2.4 w
<"
1) (X, d) (X, d),
=
homeo
A
<" <"
2) (X, d) (X, d) �! (Y, �) (X, d),
= =
homeo homeo
A A
<" <" <"
3) (X, d) (Y, �) '" (Y, �) (Z, �) �! (X, d) (Z, �).
= = =
homeo homeo homeo
A A A
PrzykBad 2.3 w
PrzestrzeD (-1, 1) z metryk naturaln jest homeomorfizmem z R z metryk
naturaln, poniewa| odwzorowanie:
f : (-1, 1) x �! tg(� x) " R jest homeomorfizmem.
2
Definicja 2.6 w
(X, d), (Y, �) - przestrzenie metryczne. Odwzorowanie h : X �! Y nazywamy
izometri, je|eli:
"x ,x2"X : �(h(x1), h(x2)) = d(x1, x2).
1
Uwaga 2.5 w
1o Odwzorowanie identyczno[ciowe jest izometri.
2o ZBo|enie izometrii jest izometri.
Twierdzenie 2.8 w
(X, d), (Y, �) - przestrzenie metryczne.
Niech odwzorowanie h : X �! Y bdzie izometri.
W�wczas h jest r�|nowarto[ciowe i cigBe.
Dow�d:w
ZaB�|my, |e h(x1) = h(x2), z aksjomatu okre[lono[ci (h(x1), h(x2)) = 0.
Poniewa| h - izometria, to d(x1, x2) = 0.
Teraz ponownie korzystajc z aksjomatu okre[lono[ci x1 = x2.
" cigBo[: a " X. "�>0 "�>0 "x"X : d(a, x) <� � �! �(h(a), h(x)) <� �.
Poniewa| d(a, x) = �(h(a), h(x)), biorc � > 0 oraz dobierajc � = �
nasza implikacja jest speBniona.
Uwaga 2.6 w
Surjektywna izometria jest bijekcj, przy czym jej odwzorowanie odwrotne te|
jest izomorfizmem.
36
PrzykBad 2.4 w
1. Wezmy przestrzeD R z metryk naturaln oraz B(R, R) z metryk
Czebyszewa. Odwzorowanie:
R f �! funkcja staBa r�wna f " B(R, R)
jest izometri, ale nie surjekcj (wiczenie).
2. Translacja o wektor w przestrzeni Rn z metryk euklidesow jest izo-
metria.
v " Rn, Tv(x) = v + x.
d2(Tv(x), Tv(y)) = (x1 + v1 - v1 - v1)2 + � � � + (xn + vn - vn - vn)2 =
= d(x, y).
3. PodobieDstwo w Rn z metryk euklidesow o skalarze � = 1 jest
autohomeomorfizmem, ale nie izometri.
Definicja 2.7 w
Przestrzenie metryczne (X, d), (Y, �) s izometryczne, je|eli istnieje
<"
h : X �! Y, kt�re jest izometri oraz surjekcj. [(X, d) (Y, �)]
=
izo
A
Uwaga 2.7 w
<"
1o (X, d) (X, d),
=
izo
A
<" <"
2o (X, d) (Y, �) �! (Y, �) (X, d),
= =
izo izo
A A
<" <" <"
3o (X, d) (Y, �) '" (Y, �) (Z, �) �! (X, d) (Z, �).
= = =
izo izo izo
A A A
Twierdzenie 2.9 w
<"
(X, d) (Y, �). Je|eli przestrzeD (X, d) jest zupeBna (ograniczona), to
=
izo
A
przestrzeD (Y, �) te| jest zupeBna (ograniczona).
Dow�d:w
1o ograniczono[:
(X, d) - ograniczone, h : X �! Y - izometria i surjekcja.
" >diam(X) = sup{d(x, y) : x, y " X} =
= sup{�(h(x), h(y)) : x, y " X} = sup{�(a, b) : a, b " Y } =diam(Y ).
1o zupeBno[:
(X, d) - zupeBna, f : Y �! X - izometri i surjekcja.
Niech (yn)n"N bdzie cigiem Cauchy ego w (Y, �).
Dow�d zakoDczymy pokazujc, |e (yn)n"N ma granic w Y.
37
PoB�|my xn = f(yn).
"�>0 "n "N\{0} "m,n>n : �(yn, ym) <� � �!
0 0
�! "�>0"n "N\{0} "m,n>n : d(xn, xm) <� � �!
0 0
�! (xn)n"N cig Cauchy ego w (X, d).
xn - - g �! d(xn, g) �! 0 �! �(f-1(xn), f-1(g)) �! 0 �!
-d�!
n�! "
�
�! �(yn, f-1(y)) �! 0 �! yn �! f-1(y) " Y.
-
Twierdzenie 2.10 w
Dowolne dwie przestrzenie izometryczne s homeomorficzne.
(Nie na odwr�t!)
Dow�d:w
Wniosek z poprzedniego twierdzenia i uwagi.
PrzykBad 2.5 w
(1) Przestrzenie (-1, 1) z metryk naturaln oraz R z metryk naturaln
nie s izometryczne, bowiem jedna przestrzeD jest ograniczone, a druga
nie, jedna jest zupeBna, a druga nie.
(2) Przestrzenie (-1, 1) z metryk naturaln oraz [-1, 1] z t sam metry-
k nie s homeomorficzne.Uzasadnienie:
1
Cig (1 - )n"N\{0} nie ma podcigu zbie|nego w (-1, 1).
n
ZaB�|my, |e h : (-1, 1) �! [-1, 1] jest homeomorfizmem. Skoro tak, to
1
"
(h(1 - ))n"N nie ma podcigu zbie|nego w [-1, 1].
n
Tymczasem z twierdzenia Bolzano - Weierstrassa wiemy, |e ka|dy cig
ograniczony w [-1, 1] zawiera podcig zbie|ny w tym przedziale.
Sprzeczno[!
38
3 Iloczyn kartezjaDski przestrzeni metrycz-
nych
Twierdzenie 3.1 w
Niech (X1, d1), � � � , (Xs, ds) - przestrzenie metryczne.
X = X1 � � � � � Xs. W�wczas funkcja d : X � X �! [0, ") zdefiniowana za
s
pomoc wzoru d(x, y) = (di(xi, yi))2 jest metryk w (X, d).
i=1
Dow�d:w
(M1) Oczywiste.
(M2) Oczywiste
(M3) Nier�wno[ tr�jkta:
"x,y,z"X : d(x, y) d(x, z) + d(z, y).
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Nier�wno[ Schwarza:
n n n
( aibi)2 ( ai)2 � ( bi)2
i=1 i=1 i=1
aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
s s
(d(x, y))2 = (di(xi, yi))2 (di(xi, zi) + di(zi, yi))2 =
i=1 i=1
s s s
= (di(xi, zi))2 + (di(zi, yi))2 + 2 (di(xi, zi) � di(zi, yi))
i=1 i=1 i=1
s s s s
(di(xi, zi))2 + (di(zi, yi))2 +2 (di(xi, zi))2 � (di(zi, yi))2 =
i=1 i=1 i=1 i=1
= (d(x, z) + d(z, y))2.
Zatem pokazali[my, |e d(x, y) d(x, z) + d(z, y).
Definicja 3.1 w
Niech (X1, d1), . . . , (Xs, ds) bd przestrzeniami metrycznymi.
Niech X = X1 � . . . � Xs. PrzestrzeD (X, d) nazywamy iloczynem metrycz-
nym, gdzie d jest funkcj zdefiniowan w poprzednim twierdzeniu.
Piszemy: (X, d) = (X1, d1), . . . , (Xs, ds)
PrzykBad 3.1 w
1. PrzestrzeD Rn z metryk euklidesow jest iloczynem metrycznym prze-
strzeni R z metryk naturaln.
39
2. PrzestrzeD Rn+m z metryk euklidesow jest iloczynem metrycznym
przestrzeni Rn i Rm z metryk euklidesow.
Twierdzenie 3.2 w
Niech (X, d) bdzie iloczynem metrycznym przestrzeni metrycznych
(X1, d1), . . . , (Xs, ds). W�wczas dla cigu (xn)n"N = (x(n), . . . , x(n))n"N
1 s
w przestrzeni (X, d) oraz dla punktu g = (g1, . . . , gs) " Xan.w.s.r.:
(1) x(n) - - g,
-d�!
n�! "
i
(2) "i"{1,...,s} x(n) -d- gi " X.
- �!
i
n�! "
Dow�d:w
s
n�! " n�! "
x(n) - - g �! d(x(n), g) - �! 0 �! (di(x(n), gi))2 - �! 0 �!
-d�! -- --
i
n�! "
i=1
i
�! "i"{1,...,s} : di(xi, gi) �! 0 �! "i"{1,...,s} x(n) -d- gi.
- �!
i
n�! "
s
( ) : "i"{1,...,s} di(xi, yi) (di(xi, yi))2.
i=1
Twierdzenie 3.3 w
Niech (X, d) bdzie iloczynem metrycznym przestrzeni metrycznych (X1, d1), . . . , (Xs, ds).
Niech Zi �" Xi, dla ka|dego i " {1, . . . , s}. Je|eli zbiory Zi s zbiorami
domknitymi (otwartymi) w (Xi, di), dla ka|dego i " {1, . . . , s}, to zbi�r
Z = Z1 � . . . � Zs jest domknity (otwarty) w (X, d).
Dow�d:w
1o domknito[:
Niech Zi " Cotop(Xi, di). Niech (g1, . . . , gs) bd punktami graniczny-
mi zbioru Z. Musimy pokaza, |e (g1, . . . , gs) " Z.
Skoro (g1, . . . , gs) jest punktem granicznym, to istnieje cig (x(n), . . . , x(n))n"N
1 s
w Z zbie|ny w d do (g1, . . . , gs).
Na mocy poprzedniego twierdzenia:
i
"i"{1,...,s} x(n) -d- gi, ale Zi " Cotop(Xi, di).
- �!
i
n�! "
Zatem "i"{1,...,s} gi " Zi, czyli (g1, . . . , gs) " Z1 � . . . � Zs = Z.
2o otwarto[:
Z " Top(X, d) �! X \ Z " Cotop(X, d). Niech Zi " Top(Xi, di).
X \ Z = (X1 � . . . � X2) \ (Z1 � . . . � Zs) =
s
= X1 � . . . � Xi-1 � (Xi \ Zi) � Xi+1 � . . . � Xs.
i=1
40
Xi\Zi jest zbiorem domknitym. Iloczyn kartezjaDski zbior�w domkni-
tych te| jest zbiorem domknitym oraz suma skoDczonej ilo[ci zbior�w
domknitych te| jest zbiorem domknitym.
Zatem X \ Z " Cotop(X, d) �! Z " Top(X, d).
Twierdzenie 3.4 w
Niech (X, d) bdzie iloczynem metrycznym przestrzeni metrycznych
(X1, d1), . . . , (Xs, ds). PrzestrzeD (Xi, di) jest zupeBna dla ka|dego
i " {1, . . . , s} �! (X, d) jest zupeBna.
Dow�d:w
�! Niech (x(n))n"N = (x(n), . . . , x(n))n"N bdzie cigiem Cauchy ego w (X, d).
1 s
(Xi, di) - przestrzeD zupeBna dla ka|dego i " {1, . . . , s}.
"�>0"n "m,n>n : d(xn, xm) <� � �! "�>0"n "m,n>n "i di(xm, xn) <� �.
0 0 0 0 i i
i
x(n) -d- gi " X z charakteryzacji zbie|no[ci w (X, d) wiemy, |e
- �!
i
n�! "
(x(n), . . . , x(n)) - - (g1, . . . , gs) " X.
-d�!
1 s
n�! "
�! (X, d) jest zupeBna.
�! wiczenie.
Definicja 3.2 w
Niech (X1, d1), . . . , (Xs, ds), gdzie s " N \ {0}, bd przestrzeniami metrycz-
nymi i niech (X, d) = (X1, d1), . . . , (Xs, ds). Wybierzmy i " {1, . . . , s}.
Projekcj (czyli rzutowaniem) na i-t skBadow nazywa si odwzorowanie:
�i : X (x1, . . . , xs) �! xi " Xi.
Twierdzenie 3.5 w
Niech (X, d) oraz i bd jak z powy|szej definicji. W�wczas:
(1o) rzutowanie �i jest surjekcj,
(2o) rzutowanie �i jest odwzorowaniem cigBym,
(3o) U " Top(X, d) �! �i(U) " Top(Xi, di).
Dow�d:w
Ad.(1o) Oczywiste.
41
Ad.(2o) Niech V " Top(Xi, di). ZakoDczymy dow�d wBasno[ci, jak poka|emy,
-1
|e �i (V ) " Top(X, d).
-1
�i (V ) def ={(x1, . . . , xs) " X : xi " V } =
= X1 � . . . � Xi-1 � V � Xi+1 � . . . � Xs.
Poniewa| Xi " Top(Xi, di) oraz iloczyn kartezjaDski zbior�w otwar-
tych jest zbiorem otwartym , to z powy|szych wBasno[ci wynika, |e
-1
�i (V ) " Top(X, d).
Ad.(3o) Powiedzmy, |e U " Top(X, d). Wybierzmy (dowolny) punkt a " �i(U).
ZakoDczymy dow�d, je|eli poka|emy, |e "�>0 : B(a, �) �" �i(U)
(kula w przestrzeni (Xi, di)).
Poniewa| a " �i(U), to yi = (x1, . . . , xi-1, a, xi+1, . . . , xs) " U dla
pewnych x1 " X1, . . . , xi-1 " Xi-1, xi+1 " Xi+1, . . . , xs " Xs.
Skoro U " Top(X, d), to "�>0 : B(y, �) �" U (kula w przestrzeni (X, d)).
Je|eli teraz di(a, b) <� � dla pewnego b " Xi, to:
d(y, (x1, . . . , xi-1, b, xi+1, . . . , xs)) =
= (d1(x1, x1))2 + . . . + (di-1(xi-1, xi-1))2 + (di(a, b))2 + . . . + (ds(xs, xs))2
=
= (di(a, b))2 = di(a, b) <� �, wic (x1, . . . , xi-1, b, xi+1, . . . , xs) " U,
skd ju| b = �i(x1, . . . , xi-1, b, xi+1, . . . , xs) " �i(U).
W ten spos�b udowodnili[my, |e B(a, �) �" �i(U)
(kula w przestrzeni (Xi, di)).
Definicja 3.3 w
Niech (X, d) oraz (Y, �) bd przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie
f : X �! Y jest otwarte, je[li "U"Top(X,d) : f(U) " Top(Y, �).
PrzykBad 3.2 w
1. Rozwa|my funkcj f : R �! R zdefiniowan przez:
��
�� x + 1, x <� -1
��
f(x) = 0, |x| 1
��
��
x - 1, x > 1.
y
y = f(x)
1
x
-2 -1 1 2
-1
42
Jest ona cigBa przy metryce naturalnej.
Funkcja ta nie jest otwarta (w sensie powy|szej definicji), bo
1
f((-2, )) = (-1, 0] nie jest podzbiorem otwartym prostej R wyposa-
2
|onej w metryk euklidesow.
2. Rozwa|my projekcj �1 : R2 (x, y) �! x " R.
Wiemy, |e H = {(x, y) " R2 : xy = 1} jest podzbiorem domknitym
pBaszczyzny R2 z metryk euklidesow.
Niestety �1(H) = R" nie jest podzbiorem domknitym prostej R wy-
posa|onej w metryk naturaln.
(R2, d2) = (R, d) � (R, d), gdzie d jest metryk naturaln.
y
H
1
�1
x
-1 1
-1
Definicja 3.4 w
Niech A, B1, . . . , Bs, gdzie s " N \ {0}, bd zbiorami.
Przypu[my, |e B1, . . . , Bs s niepuste.
Zestawieniem odwzorowaD f1 : A �! B1, . . . , fs : A �! Bs nazywa si
odwzorowanie:
(f1, . . . , fs) : A a �! (f1(a), . . . , fs(a)) " B1 � . . . � Bs.
Twierdzenie 3.6 w
Niech (X, d), (Y1, �1), . . . , (Ys, �s), gdzie s " N \ {0}, bd przestrzeniami me-
trycznymi i niech (Y, �) = (Y1, �1) � . . . � (Ys, �s).
Niech ponadto f1 : X �! Y1, . . . , fs : X �! Ys bd odwzorowaniami cigBy-
mi. W�wczas zestawienie (f1, . . . , fs) : X �! Y jest odwzorowaniem cigBym.
Dow�d:w
Skorzystamy z definicji Heinego:
Wybierzmy (dowolnie) punkt a " X. Niech (xn) " bdzie cigiem punkt�w
n=1
przestrzeni (X, d), takich, |e xn - - a.
-d�!
n�! "
Musimy tylko pokaza, |e (f1, . . . , fs)(xn) �! (f1, . . . , fs)(a).
Liczymy (korzystajc z cigBo[ci odwzorowaD f1, . . . , fs w punkcie a):
(f1, . . . , fs)(xn) = (f1(xn), . . . , fs(xn)) - - (f1(a), . . . , fs(a)) = (f1, . . . , fs)(a).
-d�!
n�! "
43
PrzykBad 3.3 w
Odwzorowanie:
� : R3 (x, y, z) �! (x + y3 - 2y, x - 1, z + x2y - 5xy + y3 - 1) " R3
jest cigBe, przy metryce euklidesowej d2 w przestrzeni R3, bowiem jest ono
zestawieniem trzech funkcji wielomianowych, wic cigBych przy metryce d2
i metryce naturalnej d na prostej R, oraz (R3, d2) = (R, d) � (R, d) � (R, d).
44
4 Zwarto[
Definicja 4.1 w
Podzbi�r Z przestrzeni metrycznej (X, d) jest zwarty, je[li ka|dy cig (zn) "
n=1
element�w tego podzbioru ma (przynajmniej jeden) podcig zbie|ny do ele-
mentu tego podzbioru.
PrzykBad 4.1 w
1) Ka|dy podzbi�r skoDczony dowolnej przestrzeni metrycznej jest zwarty
(wiczenie).
2) PrzestrzeD metryczne (R, d), gdzie d jest metryk naturaln, nie jest
zwarta, bowiem cig (n) " nie ma |adnego podcigu zbie|nego do gra-
n=1
nicy skoDczonej.
3) PrzedziaB [0, 1) nie jest podzbiorem zwartym prostej R z metryk natu-
1
raln, bowiem ka|dy podcig cigu (1 - ) " jest zbie|ny do 1.
n=1
n
Twierdzenie 4.1 w
Niech Z bdzie podzbiorem zwartym przestrzeni metrycznej (X, d).
W�wczas Z jest domknity i ograniczony.
Dow�d:w
1o domknito[:
Niech x " X bdzie punktem granicznym zbioru Z. Musimy pokaza,
|e x " Z. Poniewa| x jest punktem granicznym zbioru Z, to istnieje
taki cig (zn) " element�w tego zbioru, |e zn - - x.
-d�!
n=1
n�! "
Ze zwarto[ci wynika zatem, |e istnieje podcig (zn ) " cigu (zn) "
k k=1 n=1
i istnieje taki punkt z " Z, |e zn - - z.
-d�!
k
k�! "
Zauwa|my, |e jednocze[nie zn - - x (podcig cigu zbie|nego).
-d�!
k
k�! "
Poniewa| ka|dy cig punkt�w dowolnej przestrzenie metrycznej ma co
najwy|ej jedn granic, to z powy|szego wynika, |e x = z " Z.
2o ograniczono[:
Przypu[my, |e zbi�r Z nie jest ograniczony i wybierzmy punkt p " Z.
Z nieograniczono[ci wynika teraz, |e "n"N\{0} "z "Z : d(p, zn) > n.
n
Zdefiniowali[my przy okazji cig (zn) " element�w zbioru Z.
n=1
Aatwo sprawdzi, |e ka|dy podcig tego cigu jest nieograniczony
(wiczenie) i, w konsekwencji, nie jest zbie|ny w przestrzeni (X, d).
Znalezli[my zatem cig element�w zbioru Z nie majcy |adnego
podcigu zbie|nego do element�w zbioru Z.
45
PrzykBad 4.2 w
Niech Y bdzie nieskoDczonym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, �),
gdzie � jest metryk dyskretn. W�wczas Y jest podzbiorem domknitym
i ograniczonym w (X, �) (wiczenie).
Je[li jednak (yn) " jest cigiem r�|nowarto[ciowym element�w zbioru Y , to
n=1
(yn) " nie ma |adnego podcigu zbie|nego w (X, �) (wiczenie).
n=1
Wobec tego zbi�r Y nie jest zwarty.
Twierdzenie 4.2 (o obrazie cigBym zbioru zwartego)
Niech (X, d) i (Y, �) bd przestrzeniami metrycznymi i niech f : X �! Y
bdzie odwzorowaniem cigBym. Je[li w�wczas Z jest podzbiorem zwartym
przestrzeni (X, d), to f(Z) jest podzbiorem zwartym przestrzeni (Y, �).
Dow�d:w
Niech (yn) " bdzie (dowolnym) cigiem element�w zbioru f(Z). Musimy
n=1
pokaza, |e ten cig ma przynajmniej jeden podcig zbie|ny do elementu
tego| podzbioru f(Z).
Dla dowolnego n " N" wybierzmy (dokBadnie jeden) punkt zn " Z taki,
|e yn = f(zn).
Dostali[my cig (zn) " element�w zbioru Z. Poniewa| Z jest zwarty, to
n=1
istnieje taki podcig (zn ) " cigu (zn) " i istnieje taki punkt z " Z,
k k=1 n=1
|e zn - - z.
-d�!
k
k�! "
Wobec tego, za spraw cigBo[ci odwzorowania f w punkcie z, nastpuje:
�
yn = f(zn ) - �! f(z) " f(Z).
--
k k
k�! "
Skoro tak, to (yn ) " jest podcigiem cigu (yn) " zbie|nym do pewnego
k k=1 n=1
elementu zbioru f(Z).
PrzykBad 4.3 w
Rozwa|my funkcj C; R x �! e " R. Jest ona cigBa przy metryce natural-
nej. Nastpnie {e} jest podzbiorem zwartym prostej R z metryk naturaln.
Niestety przeciwobraz C-1(e) = R nie jest zwarty.
(C-1(e) - wB�kno funkcji C nad punktem e .)
Twierdzenie 4.3 w
Ka|da zwarta przestrzeD metryczna jest zupeBna. (Nie na odwr�t.)
Prosta R z metryk naturaln jest przestrzeni metryczn zupeBn, ale nie
jest przestrzeni metryczn zwart.
Dow�d:w
Niech (X, d) bdzie zwart przestrzeni metryczn. Niech ponadto (xn) "
n=1
46
bdzie (dowolnym) cigiem Cauchy ego element�w tej przestrzeni. Ze zwar-
to[ci wynika, |e istnieje taki podcig (xn ) " i istnieje taki punkt x " X,
k k=1
|e xn - - x.
-d�!
k
k�! "
Poka|emy, |e xn - - x. Niech zatem � > 0 (dowolnie ustalone).
-d�!
n�! "
Z powy|szych uwag wynika, |e
�
"N"N\{0} "m,n"N\{0} : m, n N �! d(xm, xn) .
2
�
"K"N\{0} "k"N\{0} : k K �! d(x, xn ) .
k
2
l K
"
Z definicji podcigu wynika, |e "l"N :
nl N.
� �
Skoro tak, to je[li n N, to d(x, xn) d(x, xn ) + d(xn , xn) <� + = �.
l l
2 2
Twierdzenie 4.4 w
Przypu[my, |e przestrzenie metryczne (X, d) oraz (Y, �) s homeomorficzne
i |e jedna z nich jest zwarta. W�wczas druga tak|e jest zwarta.
Dow�d:w
Powiedzmy, |e (X, d) jest zwarta. Niech ponadto f : X �! Y bdzie home-
omorfizmem. W�wczas, na mocy twierdzenia o obrazie cigBym zbioru zwar-
tego, Y = f(X) jest podzbiorem zwartym przestrzeni (Y, �).
Uwaga 4.1 w
1o) Powy|sze twierdzenie mo|na wypowiedzie w nastpujcy spos�b:
Zwarto[ jest wBasno[ci topologiczn (czyli niezmiennicz wzgldem
homeomorfizm�w).
2o) ZupeBno[ nie jest wBasno[ci topologiczn. (Bowiem wyposa|one w me-
tryk naturaln zbiory R i (-1, 1) �" R s homeomorficzne, ale tylko
jeden z nich jest przestrzeni metryczn zupeBn.)
ZupeBno[ jest natomiast wBasno[ci metryczn (tzn., je[li dwie prze-
strzenie metryczne s izomorficzne i jedna z nich jest zupeBna, to druga
tak|e jest zupeBna.
Lemat 4.1 w
Niech Z bdzie podzbiorem zwartym przestrzeni metrycznej (X, d). Niech po-
nadto C " Cotop(X, d) bdzie zbiorem zwartym w Z. W�wczas C jest pod-
zbiorem zwartym w przestrzeni (X, d).
Dow�d:w
Niech (cn) " bdzie (dowolnym) cigiem element�w zbioru C. Wtedy (cn) "
n=1 n=1
jest te| cigiem element�w zbioru Z. Poniewa| Z jest zwarty, to istnieje taki
47
podcig (cn ) " i istnieje taki punkt z " Z, |e cn - - z. Poniewa| C jest
-d�!
k k=1 k
k�! "
zbiorem domknitym, to z powy|szej zbie|no[ci wynika, |e z " C.
Pokazali[my w ten spos�b, |e dowolny cig element�w zbioru C ma podcig
zbie|ny do elementu tego| zbioru.
Twierdzenie 4.5 w
Niech {Zt}t"T , gdzie T = ", bdzie (dowoln, niepust) rodzin podzbior�w
zwartych przestrzeni metrycznej (X, d). W�wczas Zt jest tak|e podzbiorem
t"T
zwartym tej przestrzeni.
Dow�d:w
Poniewa| Zt jest, dla t " T, podzbiorem zwartym przestrzeni (X, d),
to Z " Cotop(X, d). W konsekwencji Zt " Cotop(X, d). Wybierzmy
t"T
t0 " T. Wtedy Zt �" Zt . W takim razie rozwa|ane przecicie jest zbiorem
0
t"T
domknitym zawartym w zbiorze zwartym, wic - na mocy Lematu 4.1 - jest
zbiorem zwartym.
Twierdzenie 4.6 w
Niech (X, d) i (Y, �) bd przestrzeniami metrycznymi. Przypu[my, |e prze-
strzeD (X, d) jest zwarta. Niech ponadto f : X �! Y bdzie cigB bijekcj.
W�wczas (przy zwarto[ci dziedziny) f jest homeomorfizmem.
Dow�d:w
Musimy tylko pokaza, |e f-1 : Y �! X jest odwzorowaniem cigBym.
Niech zatem C " Cotop(X, d). ZakoDczymy dow�d, je[li wyka|emy, |e
(f-1)-1(C) " Cotop(Y, �). Zauwa|my najpierw, |e (f-1)-1(C) = f(C).
Poniewa| przestrzeD (X, d) jest zwarta i C " Cotop(X, d), to C jest - na
mocy Lematu 4.1 - podzbiorem zwartym przestrzeni (X, d). Skoro tak, to
f(C) jest podzbiorem zwartym przestrzeni (Y, �) (twierdzenie o obrazie ci-
gBym zbioru zwartego).
W takim razie (f-1)-1(C) = f(C) " Cotop(Y, �).
Twierdzenie 4.7 (Bolzano - Weierstrassa)
Ka|dy ograniczony cig liczb rzeczywistych ma (przynajmniej jeden) podcig
zbie|ny do skoDczonej granicy.
Dow�d:w
Wstp do analizy matematycznej.
48
Definicja 4.2 w
Niech m " N \ {0}. Kostk m - wymiarow nazywa si ka|dy zbi�r postaci
I1 � . . . � Im, gdzie I1, . . . , Im �" R s przedziaBami domknitymi i ograniczo-
nymi.
Twierdzenie 4.8 q
Dla dowolnego m " N \ {0} ka|da kostka m - wymiarowa jest podzbiorem
zwartym przestrzeni metrycznej (Rm, d2).
Dow�d:w
Indukcja wzgldem m.
1o Niech najpierw I bdzie domknitym i ograniczonym podzbiorem pro-
stej R. Musimy wykaza, |e I jest podzbiorem zwartym tej|e prostej
wyposa|onej w metryk naturaln.
Niech zatem (an) " bdzie (dowolnym) cigiem element�w przedziaBu
n=1
I. W�wczas (an) " jest ograniczonym cigiem liczb rzeczywistych. Na
n=1
mocy twierdzenia Bolzano - Weierstrassa istnieje taki podcig (an ) "
k k=1
i istnieje taka liczba a " R, |e lim an = a (zwykBa granica cigu
k
k�! "
liczbowego). Poniewa| I jest podzbiorem domknitym przestrzeni R
wyposa|onej w metryk naturaln, to z powy|szej zbie|no[ci wynika,
|e a " I. W ten spos�b pokazali[my, |e dowolny cig element�w prze-
dziaBu I ma podcig zbie|ny do pewnego elementu tego| przedziaBu.
2o Ustalmy nastpnie m " N\{0}. ZaB�|my, |e dla ka|dego q " {1, . . . , m}
dowolna kostka q - wymiarowa jest podzbiorem zwartym przestrzeni
metrycznej (Rq, d2).
3o Niech C = I1 � . . . � Im � Im+1 bdzie kostk (m + 1) - wymiaro-
w. ZakoDczymi dow�d, je[li poka|emy, |e C jest podzbiorem zwartym
przestrzeni (Rm+1, d2). Niech zatem ((x(n), yn)) " , gdzie
n=1
x(n) = (x(n), . . . , x(n)) " I1 �. . .�Im �" Rm, oraz yn " Im+1 �" R, bdzie
1 m
(dowolnym) cigiem element�w kostki C. Na mocy zaBo|enia indukcyj-
nego kostka m - wymiarowa I1 � . . . � Im jest podzbiorem zwartym
k
przestrzeni (Rm, d2). W takim razie istnieje taki podcig (x(n )) "
k=1
cigu (x(n)) " i istnieje taki punkt q = (q1, . . . , qm) " I1 � . . . � Im,
n=1
2
k
|e x(n ) -d- q.
- �!
k�! "
k
Rozwa|my podcig ((x(n ), yn )) " cigu ((x(n), yn)) " . Wtedy (yn ) "
k k=1 n=1 k k=1
jest cigiem element�w (domknitego i ograniczonego) przedziaBu Jm+1.
Wobec tego istnieje taki podcig (yn ) " i istnieje taka liczba h " Im+1,
kl l=1
|e lim yn = h (zwykBa granica cigu liczbowego).
kl
l�! "
kl
Rozwa|my podcig ((x(n ), yn )) " cigu ((x(n), yn)) " .
kl l=1 n=1
kl 2
Poniewa| x(n ) -d- q (podcig cigu zbie|nego) oraz lim yn = h,
-�!
kl
l�! " l�! "
49
2
kl
to (x(n ), yn ) -d- (g, h) " I1 � . . . � Im � Im+1 = C.
-�!
kl
l�! "
(Charakteryzacja zbie|no[ci w przestrzeni (Rm+1, d2).)
W ten spos�b udowodnili[my, |e dowolny cig element�w kostki C
zawiera podcig zbie|ny do pewnego elementu tej|e kostki.
Twierdzenie 4.9 wDla podzbioru Z przestrzeni metrycznej (Rm, d2), gdzie
m " N \ {0}, n.w.s.r.:
(1) Z jest zwarty,
(2) Z jest domknity i ograniczony.
Dow�d:w
(1) �! (2) Oczywiste.
(2) �! (1) Przypu[my, |e warunek (2) jest speBniony. Poniewa| zbi�r Z jest ogra-
niczony w przestrzeni (Rm, d2), to istnieje taka kostka m - wymiarowa
C, |e Z �" C (wiczenie).
Kostka ta, na mocy poprzedniego twierdzenia, jest podzbiorem zwar-
tym przestrzeni (Rm, d2). Skoro tak, to Z jest podzbiorem domknitym
zawartym w zbiorze zwartym, wic Z jest (na mocy Lematu 4.1.) zwar-
ty.
PrzykBad 4.4 w
1. Sfera m - wymiarowa (m " N \ {0}):
def
Sm = {(x1, . . . , xm+1) " Rm+1 : x2 + . . . + x2 = 1}
1 m+1
jest podzbiorem zwartym przestrzeni metrycznej (Rm, d2).
m def
2. Kula B = {(x1, . . . , xm) " Rm : x2 + . . . + x2 1} jest podzbiorem
1 m
zwartym przestrzeni metrycznej (Rm, d2).
3. Ka|da prosta jest podzbiorem domknitym przestrzeni (Rm, d2)
(wiczenie).
{adna taka prosta nie jest jednak podzbiorem zwartym tej przestrzeni
(nie jest bowiem ograniczona).
4. Tr�jkt {(x, y) " R2 : 1 - |x| y > 0} jest podzbiorem ograniczonym
przestrzeni metrycznej (R2, d2), ale nie jest w tej przestrzeni podzbiorem
zwartym, bo nie jest domknity.
50
y
1
x
-1 1
Twierdzenie 4.10 (Weierstrassa o osiganiu kres�w)
Niech Z bdzie niepustym podzbiorem zwartym przestrzeni metrycznej (X, d)
i niech � : Z �! R bdzie funkcj cigB (przy metryce indukowanej z (X, d)
w zbiorze Z i metryce naturalnej w R). W�wczas:
��
f(�) = sup f(z),
��
z"Z
"�,�"Z :
��
f(�) = inf f(z).
z"Z
Dow�d:w
Poniewa| Z jest zbiorem zwartym, to f(Z) jest podzbiorem zwartym prostej
R wyposa|onej w metryk naturaln (twierdzenie o obrazie cigBym zbioru
zwartego). Skoro tak, to f(Z) jest podzbiorem ograniczonym tej|e prostej,
czyli f(Z) ma skoDczone kresy (i g�rny, i dolny). PoB�|my U = sup f(Z)
oraz N = inf f(Z). Istniej wtedy takie cigi (xn) " oraz (ym) " elemen-
n=1 m=1
t�w zbioru Z, |e U = lim f(xn) oraz N = lim f(ym) (zwykBe granice
n�! " m�! "
cig�w liczbowych).
Wskutek zwarto[ci zbioru Z istniej takie podcigi (xn ) " oraz (ym ) "
k k=1 k k=1
i takie punkty �, � " Z, |e xn - - � oraz ym - - �.
-d�! -d�!
k k
k�! " k�! "
W takim razie, za spraw cigBo[ci funkcji f w punktach � oraz �, mamy co
nastpuje:
lim f(xn ) = f(�) lim f(ym ) = f(�)
k k
k�! " k�! "
limn�! " f(xn) = U = sup f(z) lim f(ym) = N = inf f(z)
m�! "
z"Z
z"Z
Twierdzenie 4.11 w
(Klasyczna wersja twierdzenia Weierstrassa o osigniu kres�w)
Niech I bdzie domknitym i ograniczonym przedziaBem prostej R. Niech po-
nadto f : I �! R bdzie funkcj cigB (w zwykBym sensie). W�wczas:
f(�) = sup f(I),
"�,�"I :
f(�) = inf f(I).
Dow�d:w
Wystarczy zauwa|y, |e I jest podzbiorem zwartym prostej R wyposa|onej
w metryk naturaln i zastosowa poprzednie twierdzenie.
51
Twierdzenie 4.12 (Cantora)
Niech {Zn} bdzie zstpujcym cigiem niepustych podzbior�w zwartych prze-
"
strzeni metrycznej (X, d). W�wczas Zn = ".
n=1
Uwaga 4.2 w
To, |e cig {Zn} jest zstpujcy, znaczy, |e Z1 �" Z2 �" Z3 �" . . . .
Dow�d twierdzenia:
Dla dowolnego n " N \ {0} wybieramy (dokBadnie jeden) punkt xn " Zn.
Poniewa| Zn jest cigiem zstpujcym, to "n"N\{0}xn �" Z1.
Ze zwarto[ci zbioru Z1 wynika, |e istnieje taki podcig {xn } " cigu {xn} "
k k=1 n=1
i istnieje taki punkt q " Z1, |e xn - - q.
-d�!
k
k�! "
Wybierzmy (dowolnie) l " N \ {0}. Zauwa|my, |e xn " Zl, dla ka|dego n l
(bowiem cig {xn } " jest silnie rosncy). Skoro tak, skoro xn - - q
-d�!
k k=1 k
k�! "
i skoro Zl " Cotop(X, d) (ka|dy zbi�r zwarty jest domknity), to q " Zl.
"
W ten spos�b wykazali[my, |e q " Zl.
l=1
PrzykBad 4.5 q
Cig przedziaB�w {[n, ")} " domknitych prostej R jest zstpujcy oraz
n=1
"
przecicie [n, ") = ". Zauwa|my, |e |aden z tych przedziaB�w nie jest
n=1
podzbiorem zwartym prostej R wyposa|onej w metryk naturaln. (PrzedziaBy
te s domknitymi i nieograniczonymi podzbiorami prostej R z metryk na-
turaln.)
Lemat 4.2 w
Przypu[my, |e Z jest niepustym podzbiorem zwartym przestrzeni metrycznej
s
(X, d). W�wczas "�"R "s"N\{0} "x ,...,xs"Z : Z �" B(xi, �)
+ 1
i=1
(kula w przestrzeni (X, d)).
Dow�d:q
Kontrapozycja:
s
Przypu[my, |e "�"R "s"N\{0} "x ,...,xs"Z : Z \ B(xi, �) = ".
+ 1
i=1
Musimy pokaza, |e Z nie jest wtedy podzbiorem zwartym przestrzeni (X, d).
Wybierzmy x1 " Z. W�wczas Z \ B(x1, �) = ". Wybierzmy (dokBadnie je-
den) punkt x2 " Z \ B(x1, �) i zauwa|my, |e d(x1, x2) �. ZaB�|my te-
raz, |e dla pewnego n " N \ {0, 1} mamy takie punkty x1, . . . , xn " Z, |e
n
"k,l"{1,...,n} : k = l �! d(xk, xl) �. W�wczas Z \ B(xi, �) = ". Wybierz-
n i=1
my zatem (dokBadnie jeden) punkt xn+1 " Z \ B(xi, �). Zauwa|my, |e
i=1
52
d(xn+1, xi) �, dla i " {1, . . . , n}. Zdefiniowali[my indukcyjnie cig {xn} "
n=1
element�w zbioru Z majcych t wBasno[, |e:
"n ,n2"N\{0} : n1 = n2 �! d(xn , xn ) �.
1 1 2
W takim razie |aden podcig cigu {xn} " nie jest cigiem Cauchy ego
n=1
w przestrzeni (X, d) (wiczenie).
Wobec tego cig {xn} " nie posiada |adnego podcigu zbie|nego w prze-
n=1
strzeni (X, d), skd ju| Z nie jest podzbiorem zwartym tej przestrzeni.
Definicja 4.3 q
Pokryciem otwartym podzbioru Y przestrzeni metrycznej (X, d) nazywa si
ka|d tak rodzin {Ut}t"T podzbior�w otwartych tej przestrzeni, |e
Y �" Ut.
t"T
Definicja 4.4 q
Przekrojem skoDczonym pokrycia otwartego {Ut}t"T podzbioru Y przestrzeni
metrycznej (X, d) nazywa si ka|d tak podrodzin {Ut}t"S, gdzie S �" T, |e
S jest zbiorem skoDczonym oraz Y �" Ut.
t"S
PrzykBad 4.6 q
1) Rodzina przedziaB�w {(- ", 1), (-8, 17), (3, + ")} jest skoDczonym po-
kryciem otwartym prostej R wyposa|onej w metryk naturaln.
2) Cig {(-n, n)} " przedziaB�w otwartych jest pokryciem otwartym pro-
n=1
stej R z metryk naturaln.
"
(Bowiem (-n, n) = (- max S, max S) = R.)
n=1
3) Rodzina k�B otwartych {B(0, 0), �}�"R jest nieprzeliczalnym pokryciem
+
otwartym pBaszczyzny R2 wyposa|onej w metryk euklidesow. Aatwo
sprawdzi, |e to pokrycie nie zawiera |adnego podpokrycia skoDczonego
(wiczenie).
Twierdzenie 4.13 (Borela - Lebesque a)w
Dla podzbioru Z przestrzeni metrycznej (X, d) n.w.s.r.:
(1) Z jest zwarty,
(2) ka|de pokrycie otwarte zbioru Z w przestrzeni (X, d) zawiera (przynaj-
mniej jedno) podpokrycie skoDczone.
53
Dow�d:q
(1) �! (2) ZaB�|my, |e Z = " jest podzbiorem zwartym przestrzeni (X, d). Na
mocy Lematu 4.2:
sn
1
( ) "n"N\{0} "s "N\{0} " : Z �" B(x(n), ).
n i
x(n),...,x(n)"Z n
sn
1
i=1
Niech ponadto {Ut} bdzie (dowolnym) pokryciem otwartym zbioru Z
z przestrzeni (X, d). Niech x " Z (dowolny punkt). Poniewa| {Ut}t"T
jest pokryciem otwartym zbioru Z, to "t "T "� "R+ : B(x, �x) �" Ut
x x x
(kula w przestrzeni (X, d)).
1 �x
Niech m " N \ {0} bdzie tak liczb, |e <� .
m 2
Z wBasno[ci ( )
1
wynika, |e "j"{1,...,s } : x " B(x(m), ). Je[li teraz
n j
m
1 1 1
x
y " B(x(m), ), to d(y, x) d(y, x(m))+d(x(m), x) <� +m <� 2�� = �x.
j j j
m m 2
1
Wobec tego B(x(m), ) �" B(x, �x) �" Ut .
x
m
Udowodnili[my w ten spos�b, |e:
1
( ) "x"Z "t "T "m"N\{0} "{1,...,s } : x " B(x(m), ) �" Ut .
x m j x
m
Niech E bdzie zbiorem wszystkich takich par (n, j), |e n " N \ {0},
1
j " {1, . . . , sn} oraz "t"T : B(xn, ) �" Ut. Zb�r ten jest oczywi[cie
j
n
co najwy|ej przeliczalny. Z wBasno[ci ( ) wynika, |e E = ".
Ustawmy wszystkie elementy zbioru E w cig {�k} " .
k=1
Dla dowolnego k " N \ {0} wybieramy (dokBadnie jeden) wskaznik
1
x " tk " T taki, |e B(x(n), ) �" Ut , gdzie (n, j) = �k.
j k
n
W ten spos�b zdefiniowali[my cig {Ut } " element�w pokrycia {Ut}t"T .
k k=1
Niech znowu x " Z (dowolny punkt). Z wBasno[ci ( ) wynika, |e
"
x " Ut dla pewnego k " N \ {0}. Skoro tak, to Z �" Ut . Pokazali-
k k
k=1
[my, |e {Ut } " jest co najwy|ej przeliczalnym pokryciem otwartym
k k=1
w zbiorze Z.
Przypu[my, |e pokrycie {Ut } " nie zawiera |adnego pokrycia
k k=1
skoDczonego. W�wczas dla dowolnego s " N \ {0} mamy
s s
Zs = Z \ Ut = Z )" (X \ Ut ) = ".
k k
k=1 k=1
Jest widoczne, |e cig {Zs} " podzbior�w przestrzeni (X, d) jest
s=1
zstpujcy. Nastpnie ka|dy zbi�r Zs jest zwarty, jako zbi�r domknity
" " s
zawarty w zbiorze zwartym. Tymczasem Zs = (Z)"(X\ Ut )) =
k
s=1 s=1 k=1
" s " s "
= Z )" (X \ Ut ) = Z )" (X \ Ut ) = Z )" (X \ Ut ) =
k k k
s=1 k=1 s=1 k=1 k=1
"
= Z \ Ut = " (poniewa| {Ut } " jest pokryciem zbioru Z).
k k k=1
k=1
Doszli[my do sprzeczno[ci z twierdzeniem Cantora. W takim razie po-
krycie {Ut } " zawiera (co najmniej jedno) podpokrycie skoDczone,
k k=1
skd ju| pokrycie {Ut}t"T zawiera (przynajmniej jedno) pokrycie
skoDczone.
�(1) �! �(2) Przypu[my, |e Z nie jest zbiorem zwartym. W�wczas istnieje cig
(xn) " element�w zbioru Z, kt�ry nie posiada |adnego podcigu
n=1
54
zbie|nego do elementu tego| zbioru. Zauwa|my, |e je[li
{U1, . . . , Us}, gdzie s " N \ {0} jest skoDczonym pokryciem otwartym
zbioru Z, to w kt�rym[ ze zbior�w U1, . . . , Us le|y nieskoDczenie wiele
wyraz�w cigu (xn) " . Gdyby istniaB taki punkt x " Z, |a w ka|dej
n=1
1
kuli B(x, ), gdzie n " N \ {0}, le|y nieskoDczenie wiele wyraz�w cigu
n
(xn) " , to istniaBby taki podcig (xn ) " , |e xn - - x - sprzecz-
-d�!
n=1 k k=1 k
k�! "
no[.
Skoro tak, to dla ka|dego x " Z istnieje taka liczba nx " N \ {0},
1
|e w kuli B(x, ) znajduje si tylko skoDczenie wiele wyraz�w cigu
nx
1
(xn) " . Zauwa|my, |e rodzina {B(x, )}x"Z jest pokryciem otwartym
n=1
nx
zbioru Z w przestrzeni (X, d). Gdyby to pokrycie miaBo jakie[ podpo-
krycie skoDczone, to powstaBaby sprzeczno[ z podkre[lonym faktem.
1
Skoro tak, to {B(x, )}x"Z jest pokryciem otwartym zbioru Z, nie za-
nx
wierajcym |adnego podpokrycia skoDczonego.
Wniosek 4.1 q
Niech Z1, . . . , Zw, gdzie x " N \ {0}, bd podzbiorami zwartymi przestrzeni
metrycznej (X, d). W�wczas Z1 *" . . . *" Zw te| jest podzbiorem zwartym tej
przestrzeni.
Dow�d:q
Niec {Ut}t"T bdzie pokryciem otwartym zbioru Z1 *" . . . *" Zw w przestrze-
ni metrycznej (X, d). ZakoDcz dow�d, je[li poka|, |e to pokrycie zawiera
podpokrycie skoDczone. (Twierdzenie 4.13).
Poniewa| Zi, gdzie i " {1, . . . , w}, jest zbiorem zwartym oraz {Ut}t"T jest
pokryciem otwartym zbioru Z, to istnieje taki skoDczony zbi�r Si �" T, |e
Z1 �" Ut. PoB�|my S = S1 *" . . . *" Sw. W�wczas S jest skoDczonym pod-
t"Si
zbiorem zbioru wskaznik�w T oraz:
Z1 *" . . . *" Zw �" Ut *" . . . *" Ut = Ut.
t"S1 t"Sw t"S
Wobec tego {Ut}t"S jest podpokryciem skoDczonym pokrycia otwartego
{Ut}t"T zbioru Z1 *" . . . *" Zw.
Twierdzenie 4.14 q
Niech s " N \ {0} i niech (X1, d1), . . . , (xs, ds) bd przestrzeniami metrycz-
nymi. PoB�|my (X, d) = (X1, d1) � . . . � (xs, ds). Niech ponadto Zi bdzie,
dla i = 1, . . . , s, podzbiorem zwartym przestrzeni (Xi, di).
W�wczas Z1 � . . . � Zs jest podzbiorem zwartym iloczynu (X, d).
Dow�d:q
wiczenie.
55
Lemat 4.3 ( Lebesque a:)
Niech {Ut}t " T bdzie pokryciem otwartym zwartej przestrzeni metrycznej
(X, d). W�wczas "�"R "A�"X (diamA <� � �! "t "T : A �" Ut )
+ A A
Dow�d:q
Niech x " X (dowolny punkt). Wtedy x " Ut dla pewnego tx " T. Korzy-
x
stajc z otwarto[ci zbioru Ut wybieramy (dokBadnie jedn) liczb �x " R+,
x
tak, |e B(x, 2�x) �" Ut (kula w przestrzeni (X, d)). Rodzina {B(x, �x)}x"X
x
jest pokryciem otwartym przestrzeni (X, d). Wskutek zwarto[ci:
s
"s"N\{0} "x ,...,xs"X : B(xi, �x ) = X.
1 i
i=1
PoB�|my � = min{�x , . . . , �x }. W�wczas � " R+. Przypu[m, |e A �" X
1 s
jest (dowolnym) zbiorem speBniajcym warunek diamA <� �. Niech ponadto
a " A. Z definicji [rednicy wynika, |e A �" "B(a, diamA) �" B(a, �). Ponadto
"j"{1,...s} : a " B(xj, �x ). Je[li teraz y " B(a, �), to:
j
d(y, xj) d(y, a) + d(a, xj) <� � + �x 2�x .
j j
W ten spos�b udowodnili[my, |e B(a, �) �" B(xj, 2�x ).
j
Poniewa| A �" B(a, �) oraz B(xj, 2�x ) �" Utx , to A �" Ut .
j j xj
KoDczymy dow�d kBadc tA = tx .
j
Uwaga 4.3 w
Liczb � z Lematu 4.3 nazywa si liczb Lebesque a pokrycia {Ut}t"T .
Definicja 4.5 w
Niech (X, d) oraz (Y, �) bd przestrzeniami metrycznymi i niech
f : X �! Y. Odwzorowanie f jest jednostajnie cigBe, je[li
"�"R "�=�(�)"R "x,y"X : d(x, y) <� � �! �(f(x), f(y)) <� �.
+ +
Uwaga 4.4 w
(1) Ka|de odwzorowanie jednostajnie cigBe jest cigBe. Nie na odwr�t! (Bo-
wiem - w sytuacji z definicji - odwzorowanie f jest cigBe wtedy i tylko
wtedy, gdy
"x"X "�"R "�=�(�,x)"R "y"X : d(x, y) <� � �! �(f(x), f(y)) <� �.
+ +
(2) Ka|da izometria jest odwzorowaniem jednostajnie cigBym (� = �).
(3) ZBo|enie dw�ch odwzorowaD jednostajnie cigBych jest jednostajnie ci-
gBe (wiczenie).
56
PrzykBad 4.7 w
1
Funkcja � : R+ t �! " R jest cigBa (przy metryce naturalnej).
t
Rozwa|my � = 1 i dowoln liczb � " R+. Jest jasne, |e
1 1 1 1 1
|n - | = <� � dla pewnego n " N\{0}. PoB�|my x = oraz y = .
n+1 n(n+1) n n+1
W�wczas |�(x)-�(y)| = |n-(n+1)| = 1 �. W ten spos�b udowodnili[my,
|e funkcja � nie jest jednostajnie cigBa.
Twierdzenie 4.15 (Heinego)
Niech (X, d), (Y, �) bd przestrzeniami metrycznymi. Niech ponadto
f : X �! Y bdzie odwzorowaniem cigBym. Przypu[my, |e przestrzeD
(X, d) jest zwarta. W�wczas odwzorowanie f jest jednostajnie cigBe.
Dow�d:w
Wybierzmy (dowolne) � " R+. Niech ponadto x " X (dowolny punkt). Ko-
rzystajc z cigBo[ci odwzorowania f w punkcie x, wybieramy (dokBadnie
�
jedn) liczb �x " R+ tak, |e �(f(x), f(y)) <� dla ka|dego y " B(x, �x)
2
(kula w przestrzeni (X, d)). Rodzina {B(x, �x)}x"X jest pokryciem otwar-
tym przestrzeni (X, d). Niech � bdzie (pewn) liczb Lebesque a pokrycia
{B(x, �x)}x"X. Je[li teraz punkty x, y " X speBniaj warunek d(x, y) <� �,
to diam{x, y} = d(x, y) <� �, skd x, y " B(x0, �x ) dla pewnego x0 " X.
0
W takim razie:
� �
�(f(x), f(y)) �(f(x), f(x0)) + �(f(x0), f(y)) <� + = �.
2 2
Definicja 4.6 w
PrzestrzeD metryczna (X, d) jest lokalnie zwarta, jak:
x " U,
"x"X "U"Top(X,d) :
cl(U)jest podzbiorem zwartym przestrzeni (X, d).
PrzykBad 4.8 w
(1) Ka|da zwarta przestrzeD metryczna jest lokalnie zwarta (U = X).
(2) PrzestrzeD (Rn, d2) jest, dla ka|dego n " N \ {0}, niezwarta i lokal-
nie zwarta. (Bowiem w tej przestrzeni cl(B(x, �)) = B(x, �) jest, dla
dowolnego punktu x i dla ka|dego � " R+, zbiorem zwartym.)
(3) {adna nieskoDczenie wymiarowa przestrzeD Hilberta nie jest lokalnie
zwarta (wiczenie.)
57
5 Pojcie sp�jno[ci
Definicja 5.1 w
Podzbi�r C przestrzeni metrycznej (X, d) jest sp�jny, je[li
"U,V "Top(X,d) : (C �" U *" V, C )" U )" V = ") �! (C )" U = " (" C )" V = ").
Uwaga 5.1 w
1. W nastpniku implikacji mo|na r�wnie dobrze napisa C �" U ("C �" V.
2. PrzestrzeD (X, d) jest sp�jna, wtedy i tylko wtedy, gdy:
"U,V "Top(X,d) : (X = U *" V, U )" V = ") �! (X = U (" X = V ).
Definicja 5.2 w
Podzbi�r D przestrzeni metrycznej (X, d) jest niesp�jny, jak nie jest sp�jny,
czyli jak
��
D �" U *" V,
��
��
��
��
��
D )" U )" V = ",
"U,V "Top(X,d) :
��
D )" U = ",
��
��
��
��
D )" V = ".
PrzykBad 5.1 w
(1) Ka|dy, co najwy|ej jednoelementowy, podzbi�r dowolnej przestrzeni me-
trycznej jest sp�jny.
(2) Je[li S jest przynajmniej dwuelementowym podzbiorem skoDczonym
przestrzeni metrycznej (X, d), to S jest niesp�jny. (Wybierzmy bowiem
x0 " S. PoB�|my U = X \ {x0} oraz V = (X \ S) *" {x0}. W�wczas
U, V " Top(X, d), S �" U *" V, S )" U )" V = ", S )" U = S \ {x0} = "
oraz S )" V = {x0} = ".)
(3) Podzbi�r R" prostej R wyposa|onej w metryk naturaln jest niesp�jny.
(Rozwa|my bowiem U = (- ", 0) oraz V = (0, ").)
(4) Q nie jest podzbiorem sp�jnym prostej R wyposa|onej w metryk
"
naturaln. (Wybierzmy bowiem pod uwag U = (- ", 2) oraz
"
V = ( 2, ").) R \ Q te| jest podzbiorem niesp�jnym prostej
R wyposa|onej w metryk naturaln.
(5) Zbi�r {(x, y) " R2 : x2 + y2 = 1} = {(x, y) " R2 : x2 + y2 <� 1}*"
*"{(x, y) " R2 : x2 + y2 > 1} jest, jako podzbi�r przestrzeni metrycznej
(R2, d2), niesp�jny.
58
Twierdzenie 5.1 (o obrazie cigBym zbioru sp�jnego)w
Niech (X, d), (Y, �) bd przestrzeniami metrycznymi. Niech ponadto
f : X �! Y bdzie odwzorowaniem cigBym.
Przypu[my, |e zbi�r C �" X jest sp�jny.
W�wczas f(C) jest podzbiorem sp�jnym przestrzeni metrycznej (Y, �).
Dow�d:w
ZaB�|my, |e f(C) �" U *" V dla pewnych U, V " Top(Y, �), przy czym
U )" V )" f(C) = ". Musimy pokaza, |e f(C) �" U lub f(C) �" V.
Zauwa|my, |e:
C �" f-1(f(C)) �" f-1(U *" V ) = f-1(U) *" f-1(V ). Nastpnie
C )"f-1(U))"f-1(V ) �" f-1(f(C)))"f-1(U))"f-1(V ) = f-1(f(C))"U )"V ) =
= f-1(") = ", skd C )" f-1(U) )" f-1(V ) = ".
W koDcu, dziki cigBo[ci odwzorowania f, mamy: f-1(U), f-1(V ) " Top(X, d).
Wobec tego, ze sp�jno[ci zbioru C wynika, |e C �" f-1(U) lub C �" f-1(V ).
Skoro tak, to f(C) �" f(f-1(U)) �" U lub f(C) �" f(f-1(V )) = V.
Wniosek 5.1 w
Jak dwie przestrzenie metryczne s homeomorficzne i jedna z nich jest sp�j-
na, to druga te| jest sp�jna. (Inaczej m�wic sp�jno[ jest wBasno[ci
topologiczn.)
Dow�d:w
wiczenie.
Twierdzenie 5.2 (o poBczeniu zbiorem sp�jnym)
Niech C bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). W�wczas n.w.s.r.:
(1) C jest sp�jny,
x, y " D,
(2) "x,y"C "D�"C :
D - podzbi�r sp�jny przestrzeni (X, d).
Dow�d:w
(1) �! (2) Oczywiste (D = C).
�(1) �! �(2) Przypu[my, |e zbi�r C jest niepusty. W�wczas:
��
C �" U *" V,
��
��
"U,V "Top(X,d) : C )" U )" V = ",
��
��
C )" U = ", C )" V = ".
59
Wybierzmy punkt x " C )" U oraz punkt y " C )" V. Niech D �" C
bdzie (dowolnym) takim zbiorem, |e x, y " D. Wtedy D �" U *" V,
D )" U )" V = ", x " D )" U oraz y " D )" V.
W takim razie zbi�r D jest niesp�jny. Otrzymali[my zaprzeczenie
warunku (2).
Definicja 5.3 w
Podzbi�r Z przestrzeni metrycznej (X, d) nazywa si continuum, je[li jest
niepusty, zwarty i sp�jny.
Twierdzenie 5.3 w
Niech {Ct}t"T bdzie rodzin podzbior�w sp�jnych przestrzeni metrycznej
(X, d). Przyjmijmy, |e Ct = ". W�wczas Ct r�wnie| jest podzbiorem
t"T t"T
sp�jnym przestrzeni (X, d).
Dow�d:w
Niech A oraz B bd podzbiorami sp�jnymi przestrzeni (X, d).
ZaB�|my, |e A )" B = ". Niech nastpnie U, V " Top(X, d) bd dowolnymi
takimi podzbiorami, |e U *" V �" A *" B, oraz (A *" B) )" U )" V = ".
Jest widoczne, |e A �" U *" V. Ponadto A )" U )" V �" (A *" B) )" U )" V = ".
Wskutek sp�jno[ci zatem A �" U lub A �" V. DokBadnie tak samo pokazuje-
my, |e B �" U lub B �" V.
Przypu[my, |e A �" U oraz B �" V. Wtedy " = A )" B �" U )" V )" (A *" B) = "
(sprzeczno[!)
DokBadnie tak samo pokazujemy sprzeczno[ zakBadajc (A �" U '" B �" U)
lub (A �" V '" B �" V ), czyli |e A *" B �" U lub A *" B �" V. Skoro tak, to
A *" B jest podzbiorem sp�jnym przestrzeni (X, d).
Niech nastpnie x, y " Ct (dowolne punkty). W�wczas x " Ct oraz
x
t"T
y " Ct , dla pewnych tx, ty " T.
y
Przypu[my, |e zbiory Ct oraz Ct s sp�jne. Zauwa|my:
x y
" = Ct �" Ct )" Ct .
x y
t"T
60
Wobec tego, za spraw poprzedniej cz[ci dowodu, Ct *" Ct jest podzbiorem
x y
sp�jnym przestrzeni (X, d). Jest jasne, |e x, y " Ct *" Ct �" Ct.
x y
t"T
W ten spos�b udowodnili[my, |e:
x, y " D,
"x,y" Ct "D�" Ct :
D - podzbi�r sp�jny przestrzeni (X, d).
t"T t"T
Wobec tego sp�jno[ Ct wynika z Twierdzenia 5.2.
t"T
Uwaga 5.2 w
(1) Przecicie rodziny podzbior�w sp�jnych danej przestrzeni metrycznej na
og�B nie jest podzbiorem sp�jnym tej przestrzeni.
(2) DopeBnienie podzbioru sp�jnego przestrzeni na og�B nie jest zbiorem
sp�jnym tej przestrzeni.
Twierdzenie 5.4 w
Niech s " N \ {0} i niech (X1, d1), . . . , (Xs, ds) bd przestrzeniami metrycz-
nymi. Niech ponadto Ci bdzie, dla i " {1, . . . , s}, podzbiorem sp�jnym prze-
strzeni (Xi, di). W�wczas C1 � . . . � Cs jest podzbiorem sp�jnym iloczynu
metrycznego (X1, d1) � . . . � (Xs, ds).
Dow�d:w
Indukcja wzgldem s:
(1o) s = 1 - oczywiste.
(2o) Ustalmy k " N \ {0}. ZaB�|my, |e je[li (Y1, �1), . . . , (Yk, �k) s prze-
strzeniami metrycznymi oraz Ci jest podzbiorem sp�jnym (Yi, �i), to
C1�. . .�Ck jest podzbiorem sp�jnym przestrzeni (Y1, �1)�. . .�(Yk, �k).
Niech teraz (Z1, �1), . . . , (Zk+1, �k+1) bd przestrzeniami metrycznymi,
a D1 �" Z1, . . . , Dk+1 �" Zk+1 bd zbiorami sp�jnymi.
ZakoDczymy dow�d, je[li wyka|emy, |e D1�. . .�Dk+1 jest podzbiorem
sp�jnym iloczynu metrycznego (Z, �).
PoB�|my (Z, �) = (Z1, �1) � . . . � (Zk, �k).
Zauwa|my, |e (Z, �) � (Zk+1, �k+1) = (Z1, �1) � . . . � (Zk+1, �k+1).
Na mocy zaBo|enia indukcyjnego D := D1 � . . . � Dk jest podzbiorem
sp�jnym (Z, �).
Niech x, y " D oraz a, b " Dk+1 (dowolne punkty).
61
Zk+1 {x} � Dk+1
b
D � Dk+1 = D1 � . . . � Dk+1
Dk+1
D � {b}
a
x y
Z
D
Odwzorowanie f : Zk+1 t �! (x, t) " Z � Zk+1 jest izometri midzy
przestrzeniami metrycznymi (Zk+1, �k+1) oraz (Z, �) � (Zk+1, �k+1).
Skoro tak, to {x} � Dk+1 = {(x, t) : t " Dk+1} = f(Dk+1) jest pod-
zbiorem sp�jnym przestrzeni (Z, �) � (Zk+1, �k+1) (Twierdzenie 5.1).
Podobnie wykazujemy, |e D�{b} jest podzbiorem sp�jnym przestrzeni
(Z, �) � (Zk+1, �k+1).
Jest jasne, |e (x, a), (y, b) " ({x} � Dk+1) *" (D � {b}).
Ponadto ({x} � Dk+1) *" (D � {b}) �" D � Dk+1.
W koDcu (D � {b}) )" ({x} � Dk+1) = {(x, b)}.
Poniewa| zbiory ({x} � Dk+1) oraz (D � {b}) s sp�jne oraz
({x}�Dk+1))"(D�{b}) jest podzbiorem sp�jnym przestrzeni metrycz-
nej (Z, �) � (Zk+1, �k+1).
W ten spos�b udowodnili[my, |e:
��
�� �, � " E,
��
"�,�"D �...�Dk+1 "E�"D �...�Dk+1 : E - podzbi�r sp�jny przestrzeni
1 1
��
��
(Z1, �1) � . . . � (Zk+1, �k+1).
Skoro tak, to z Twierdzenia 5.2 wynika, |e D1 � . . . � Dk+1 jest pod-
zbiorem sp�jnym przestrzeni
(Z1, �1) � . . . � (Zk+1, �k+1).
Lemat 5.1 w
Dla podzbioru C przestrzeni metrycznej (X, d) n.w.s.r.:
(1) C jest sp�jny,
(2) "E,F "Cotop(X,d) : (C �" E *" F, C )" E )" F = ") �! (C �" E (" C �" F ).
62
Dow�d:w
(1) �! (2) (dokBadnie tak samo (2) �! (1)).
Przypu[my, |e C jest sp�jny i |e zbiory E, F " Cotop(X, d) speBniaj
warunki C �" E *" F oraz C )" E )" F = ".
PoB�|my U = X \ E oraz V = X \ F. W�wczas U, V " Top(X, d).
Zauwa|my, |e " = C)"E)"F = C)"((X\U))"(X\V )) = C)"(X\(U *"V )),
skd C " U *" V. Ponadto, skoro C " E *" F, to :
" = C )" (X \ (E *" F )) = C )" ((X \ E) )" (X \ F )) = C )" U )" V.
Ze sp�jno[ci wynika zatem, |e C �" U lub C �" V, co znaczy, |e
C )" E = " lub C )" F = ", skd ju| C �" E lub C �" F.
Twierdzenie 5.5 w
Niech C bdzie podzbiorem sp�jnym przestrzeni metrycznej (X, d).
W�wczas C r�wnie| jest podzbiorem sp�jnym tej przestrzeni.
Dow�d:w
Przypu[my, |e E, F " Cotop(X, d) s (dowolnymi) zbiorami speBniajcymi
warunek C �" E *" F oraz C )" E )" F = ".
ZakoDczymy dow�d, gdy poka|emy, |e C �" E lub C �" F.
Poniewa| C �" C, to C �" E *" F oraz C )" E )" F = ".
Za sp�jno[ci zbioru C wynika, |e C �" E lub C �" F.
Zatem C �" E = E lub C �" F = F.
Uwaga 5.3 w
Wntrze, brzeg i zewntrze podzbioru sp�jnego nie s na og�B sp�jne.
Twierdzenie 5.6 w
Dla podzbioru C prostej R wyposa|onej w metryk naturaln d n.w.s.r.:
(1) C jest zbiorem sp�jnym,
(2) C jest (jakim[) przedziaBem.
Dow�d:w
(1) �! (2) Przypu[my, |e C jest zbiorem sp�jnym. Niech a = inf C i niech
b = sup C. (W�wczas a, b " R *" {� "}.) ZaB�|my, |e a, b " R
i |e a <� b. Wtedy oczywi[cie C �" [a, b]. Wobec tego "E,F "Cotop(R,d) :
([0, 1] �" E *" F, [0, 1] )" E )" F = ") �! ([0, 1] �" E (" [0, 1] �" F ).
63
(2) �! (1) Przypu[my, |e C jest dowolnym przedziaBem ograniczonym i domkni-
tym. W�wczas C jest obrazem przedziaBu [0, 1] przez pewn funkcj
cigB (a nawet liniow) f : R �! R.
Sp�jno[ zbioru C wynika zatem z poprzedniej cz[ci dowodu oraz
Twierdzenia 5.1.
Niech w koDcu C bdzie dowolnym przedziaBem i niech w�wczas
x, y " C takie, |e x <� y.
W�wczas [x, y �" C] x, y " [x, y] oraz [x, y] jest podzbiorem sp�jnym
przestrzeni (R, d).
Sp�jno[ przedziaBu C wynika natychmiast z Twierdzenia 5.2.
Twierdzenie 5.7 w
Niech C bdzie podzbiorem sp�jnym przestrzeni metrycznej (X, d),
f : C �! R bdzie cigBa (przy metryce indukowanej z d w zbiorze C oraz
metryce naturalnej w R). W�wczas:
"x,y"C "��"R : (f(x) <� � <� f(y)) �! "z"C : f(z) = �.
Dow�d:w
Niech x, y " C oraz niech � " R speBnia nier�wno[ f(x) <� � <� f(y).
f(C) �" R jest zbiorem sp�jnym, jako obraz funkcji cigBej na zbiorze
sp�jnym, a wic f(C) jest przedziaBem.
Poniewa| f(x), f(y) " f(C) �" R, to [f(x), f(y)] �" C.
Poniewa| � " [f(x), f(y)], to istnieje z " C taki, |e f(z) = �.
Wniosek 5.2 w
Niech f : R �" [a, b] �! R bdzie funkcj cigB. Niech f(a) = f(b) oraz niech
d " R speBnia nier�wno[ f(a) <� d <� f(b) lub f(a) > d > f(b).
W�wczas istnieje c " [a, b] takie, |e f(c) = d.
Twierdzenie 5.8 w
Dla dowolnego m " N\{0} ka|da m-wymiarowa kostka jest podzbiorem sp�j-
nym w przestrzeni metrycznej (Rm, d2).
Dow�d:w
Niech C = I1 �. . .�Im, gdzie I1, . . . , Im s przedziaBami domknitymi i ogra-
niczonymi.
Oczywi[cie przedziaBy Ii, gdzie i " {1, . . . , m}, s zbiorami sp�jnymi w R
z metryk naturaln.
Zatem korzystajc z twierdzenia o iloczynie kartezjaDskim zbior�w sp�jnych
otrzymujemy, |e C = I1 � . . . � Im �" (Rm, d2) jest zbiorem sp�jnym.
64
Twierdzenie 5.9 w
Okrg S1 jest podzbiorem sp�jnym w przestrzeni metrycznej (R2, d2).
Dow�d:w
Oczywi[cie przedziaB [0, 2�) jest zbiorem sp�jnym w R z metryk naturaln
oraz � : [0, 2�) t �! (cos(t), sin(t)) " S1 jest cigB bijekcj, a wic S1 jest
podzbiorem sp�jnym przestrzeni metrycznej (R2, d2).
Definicja 5.4 w
Niech X bdzie przestrzeni wektorow nad R.
Zbi�r A �" X jest wypukBy, gdy "x,y"A "t"[0,1] : tx + (1 - t)y " A.
Uwaga 5.4 w
[x, y] := {tx + (1 - t)y : t " R, ) t 1} - odcinek Bczcy x oraz y w X.
Twierdzenie 5.10 w
Niech (X, || � ||) bdzie rzeczywist przestrzeni unormowan.
W�wczas ka|dy podzbi�r wypukBy A �" X jest zbiorem sp�jnym
(metryka indukowana z normy).
Dow�d:w
Niech A �" X bdzie zbiorem wypukBym, czyli "x,y"A "t"[0,1] : tx+(1-t)y " A.
Zauwa|my, |e dla ka|dego x, y " A odwzorowanie
� : [0, 1] t �! tx + (1 - t)y " X
jest cigBe, a wic [x, y] = �([0, 1]) �" A jest zbiorem sp�jnym.
Skoro tak, to korzystajc z twierdzenia o poBczeniu zbiorem sp�jnym otrzy-
mujemy, |e A jest podzbiorem sp�jnym w (X, || � ||).
PrzykBad 5.2 w
1. Ka|da kula dowolnej przestrzeni unormowanej jest sp�jna.
2. Ka|dy prostopadBo[cian, sfera, torus s podzbiorami sp�jnymi przestrze-
ni metrycznej (R3, d2).
3. Ka|da przestrzeD (Rn, d2) jest sp�jna.
Definicja 5.5 w
Niech Y bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d).
SkBadow S zbioru Y wyznaczon przez punkt p " Y nazywamy
S = {C �" Y : C - sp�jne, p " C}.
65
Twierdzenie 5.11 w
Ka|da skBadowa S podzbioru Y przestrzeni metrycznej (X, d) jest sp�jna.
Co wicej skBadowa S jest maksymalnym zbiorem sp�jnym, to znaczy je|eli
D �" Y jest zbiorem sp�jnym, to zachodzi wynikanie S �" D �! D = S.
Dow�d:w
Niech S bdzie skBadow zbioru Y wyznaczon przez p " Y.
S = {C �" Y : C - sp�jne, p " C}, to na mocy Twierdzenia 5.3 otrzymuje-
my, |e S jest zbiorem sp�jnym.
Je[li D �" Y byBoby takim zbiorem sp�jnym, |e S �" D, to punkt p " D.
Skoro tak, to D �" S �! D = S.
Twierdzenie 5.12 w
Niech Y bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). W�wczas:
(1) Y jest sum swoich skBadowych,
(2) skBadowe zbioru Y s parami rozBczne.
Dow�d:w
Ad.(1) wiczenie.
Ad.(2) Gdyby skBadowe zbioru Y (S1, S2) byBy takie, |e S1 )" S2 = ", to
istniaBby p " S1 )" S2.
W�wczas zbi�r S = S1 *" S2 byBby zbiorem sp�jnym na mocy
Twierdzenia 5.3, przy czym S1 �" S1 *" S2 oraz S2 �" S1 *" S2, ale wobec
maksymalno[ci S1, S2 otrzymujemy, |e S1 = S2 = S.
PrzykBad 5.3 w
1. Zbi�r jest sp�jny wtedy i tylko wtedy, gdy jest swoj jedyn skBadow.
2. Je[li przestrzeD metryczna (X, d) jest dyskretna, to {{x} : x " X} jest
rodzin wszystkich skBadowych tej przestrzeni.
3. SkBadowymi zbioru Q bdcego podzbiorem R z metryk naturaln s
zbiory jednopunktowe.
Rzeczywi[cie, gdyby skBadowa S �" Q zawieraBa dwie liczby wymierne
x, y takie, |e x <� y, to istniaBoby t " R \ Q takie, |e x <� t <� y.
Skoro tak, to zbiory S )" (- ", t), S )" (t, ") byByby niepuste, rozBcz-
ne, otwarte w S oraz dawaByby w sumie S, z tym |e S byBby zbiorem
niesp�jnym.
4. SkBadowymi zbioru X = [0, 1] *" (2, 3) bdcego podzbiorem prostej R
z metryk naturaln s zbiory [0, 1] i (2, 3). - wiczenie.
66
Lemat 5.2 w
Podzbi�r Z przestrzeni metrycznej (X, d) jest niesp�jny wtedy i tylko wtedy,
gdy istnieje podzbi�r otwarto - domknity w przestrzeni metrycznej (Z, dZ�Z)
taki, |e W = " oraz W = Z.
Dow�d:w
��
�� Z �" U *" V,
��
�! aaaaaaaaaaaaaaa"U,V "Top(X,d) : U )" V )" Z = ",
��
��
U )" Z = ", V )" Z = ".
Aatwo pokaza, |e (Z )" U), (Z )" V ) " Top(Z, dZ�Z).
Zauwa|my, |e (U )" Z) )" (V )" Z) = ", (U )" Z) *" (V )" Z) = Z.
Skoro tak, to U )" Z = Z \ (V )" Z) " Cotop(Z, dZ�Z).
Co wicej " = U )" Z = Z.
�! Niech W bdzie nietrywialnym zbiorem otwarto - domknitym w (Z, dZ�Z).
Zauwa|my, |e " = W = Z oraz " = Z \ W = Z.
Co wicej W *" (Z \ W ) = Z oraz W )" (Z \ W ) = ".
Zauwa|my te|, |e Z \ W " Top(Z, dZ�Z)
Pokazali[my wic, |e istniej takie zbiory W, Z \ W, kt�re s otwarte
w Z, rozBczne, niepuste oraz dajce w sumie Z.
Zatem Z jest podzbiorem niesp�jnym przestrzeni metrycznej (X, d).
Twierdzenie 5.13 w
G " Top(Rn, d2). Zbi�r G jest sp�jny wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka|dych
dw�ch punkt�w x, y " G istnieje poBczenie Baman caBkowicie zawart w G.
Dow�d:w
�! Niech x, y " G oraz niech Lxy oznacza Baman Bczc punkty x, y.
Lxy = [a0, a1] *" [a1, a2] *" . . . *" [an-1, an], gdzie ai " G, a0 = x, an = y.
Jest jasne, |e odcinki [ai-1, ai] s zbiorami sp�jnymi dla i " {1, . . . , n}.
Zauwa|my, |e [a0, a1] *" [a1, a2] jest sp�jny, poniewa| jest sum zbior�w
sp�jnych.
Przez indukcj otrzymujemy, |e Bamana Lxy = [a0, a1] *" . . . *" [an-1, an]
jest zbiorem sp�jnym. Skoro tak, to na mocy Twierdzenia 5.2 otrzy-
mujemy, |e G jest zbiorem sp�jnym.
�! Ustalmy p0 " G. Zdefiniujmy
H = {q " G : istnieje Bamana L �" G Bczca punkty p0 oraz q}.
ZakoDczymy dow�d, gdy poka|emy, |e H = G.
Niech q1 " G bdzie punktem granicznym zbioru H. Poniewa| G jest
zbiorem otwartym, to "�"R : B(q1, �) �" G.
+
67
Poniewa| q1 jest punktem granicznym H )" B(q1, �) = ".
Wobec tego "y"H)"B(q ,�. Poniewa| y " H, to y mo|emy poBczy z q1
1
Baman zawart w G. Zauwa|my, |e [y, q1] �" B(q1, �), q1 mo|emy po-
Bczy z p0 Baman zawart w G. Skoro tak, to q1 " H.
Wobec tego H jest zbiorem domknitym z G z indukowan metryk
euklidesow.
Poka|emy teraz, |e H jest zbiorem otwartym w G z indukowan
metryk euklidesow.
Niech q2 " H bdzie dowolnym punktem, w�wczas istnieje
�1 " R+ : B(q2, �1) �" G.
Niech u " B(q2, �1). Oczywiste jest, |e p0 mo|emy poBczy z q2 pewn
Baman L �" G.
Zauwa|my, |e [u, q2] �" B(q2, �1) �" G. Skoro tak, to L *" [u, q2] jest Ba-
man zawart w G Bczc p0 z u.
Wobec tego B(q2, �1) �" H. Z dowolno[ci punktu q2 wynika, |e H jest
zbiorem otwartym w G z indukowan metryk euklidesow.
Pokazali[my, |e H jest zbiorem otwarto - domknitym w G.
Poniewa| H = " (p0 " H) oraz G - sp�jny, to na mocy poprzedniego
lematu H = G.
Uwaga 5.5 w
Niepusty, otwarty i sp�jny podzbi�r danej przestrzeni metrycznej nazywa si
obszarem (w tej przestrzeni).
PrzykBad 5.4 w
Niech (a, b) " R2 i niech r, R " R+. ZaB�|my, |e r <� R.
Pier[cieD {(x, y) " R2 : r2 <� (x - a)2 + (y - b)2 <� R2} jest w�wczas
(niewypukBym) obszarem (tej) przestrzeni metrycznej (R2, d2).
y
R r
b
x
a
68
Twierdzenie 5.14 w
Niech (X, d) oraz (Y, �) bd przestrzeniami metrycznymi. Oznaczmy przez S
rodzin wszystkich (sp�jnych) przestrzeni (X, d), przez F natomiast - rodzin
wszystkich skBadowych (sp�jnych) przestrzeni (Y, �). Niech ponadto
h : X �! Y bdzie homeomorfizmem tych przestrzeni. W�wczas:
(i) "S�"X : S " S �! h(S) " F,
(ii) odwzorowanie S S �! h(S) " F jest bijekcj.
Dow�d:w
wiczenie.
PrzykBad 5.5 w
Zbiory (-1, 7) *" (8, 19) *" (23, 79) oraz (-2, 4) *" (5, 19), oba wyposa|one w in-
dukowan z R metryk naturaln, nie s homeomorficzne, bowiem pierwszy
z nich ma trzy skBadowe, drugi natomiast - dokBadnie dwie.
Definicja 5.6 w
Drog w przestrzeni metrycznej (X, d) nazywa si ka|de odwzorowanie cigBe
� : I �! X, gdzie I = [0, 1] �" R. (W przedziale I indukowana metryka natu-
ralna.)
Uwaga 5.6 w
(1) Jak � : I �! X jest drog w przestrzeni metrycznej (X, d), to obraz
�(I) jest zwartym i sp�jnym podzbiorem tej przestrzeni.
(2) Jak �(0) = �(1) = x0, dla pewnej drogi � : I �! X w przestrzeni
metrycznej (X, d), to t drog nazywa si ptl zaczepion
w punkcie x0.
PrzykBad 5.6 w
1. Odwozorowanie � : I t �! (cos(2�t), sin(2�t), t) " R3 jest drog
w przestrzeni metrycznej (R3, d2), o pocztku w punkcie (1, 0, 0) i koDcu
w punkcie (1, 0, 1) (odcinek helisy).
2. Odwzorowanie � : I �! R2 zdefiniowane za pomoc wzoru:
��
1
��
(3t, 3t), gdy 0 t ,
��
3
��
1 2
�(t) = (3 - 6t, 1), gdy t ,
3 3
��
��
�� 2
(3t - 3, -3t + 3), gdy t 1,
3
jest ptl na pBaszczyznie (R2, d2), zaczepion w punkcie (0, 0).
(wiczenie)
69
y
1
x
-1 1
Definicja 5.7 w
PrzestrzeD metryczna (X, d) jest drogowo sp�jna, je[li dla dowolnych dw�ch
punkt�w x, y " X istnieje droga � : I �! X taka, |e �(0) = x oraz �(1) = y.
Twierdzenie 5.15 w
(i) Ka|dy niepusty podzbi�r wypukBy W dowolnej przestrzeni unormowa-
nej (X, || � ||) nad ciaBem R, wyposa|onej w metryk indukowan przez
norm || � ||, jest drog sp�jn przestrzeni metrycznej.
(ii) Ka|da przestrzeD metryczna drogowo sp�jna jest sp�jna.
Dow�d:w
Ad.(i) Je[li x, y " W, to odcinek I t �! (1 - t)x + ty " X jest drog Bczc
punkty x oraz y i le|c w zbiorze W .
Ad.(ii) Wynika natychmiast z Twierdzenia 5.2.
(Bowiem je[li � : I �! X jest drog w przestrzeni metrycznej (X, d),
to �(I) jest podzbiorem sp�jnym tej przestrzeni.)
Uwaga 5.7 w
Istniej przestrzenie sp�jne, kt�re nie s drogowo sp�jne.
70
6 R�wnowa|no[ metryk, przestrzenie topo-
logiczne
Definicja 6.1 w
Metryki d1 oraz d2 w zbiorze X = " s r�wnowa|ne (bdziemy pisa d1 <" d2),
je[li Top(X, d1) = Top(X, d2).
Uwaga 6.1 w
R�wnowa|no[ metryk jest relacj r�wnowa|no[ci w zbiorze
{d : X � X �! [0, ") �" R | d jest metryk}.
PrzykBad 6.1 w
Niech d bdzie metryk naturaln w zbiorze liczb rzeczywistych, � natomiast
- metryk dyskretn w tym zbiorze. Metryki d oraz � nie s w�wczas r�wno-
wa|ne, bowiem {0} " Top(R, �) \ Top(R, d).
Twierdzenie 6.1 (charakteryzujce metryki)w
Niech d1 oraz d2 bd metrykami w zbiorze X = ". Przez Bj(x, r) oznaczmy
kul otwart o [rodku x i promieniu r z przestrzeni (X, dj), gdzie j " {1, 2}.
W�wczas n.w.s.r.:
(1) d1 <" d2,
��
��
B1(x, r1) �" B2(x, �),
(2) "x"X "�"R "r ,r2"R+ :
+ 1
��
B2(x, r2) �" B1(x, �).
Dow�d:w
(1) �! (2) Przypu[my, |e d1 <" d2. Wybierzmy x " X oraz � " R+
(i jedna, i druga dowolne).
Poniewa| x " B2(x, �) oraz B2(x, �) " Top(X, d2) = Top(X, d1),
to "r "R+ : B1(x, r1) �" B2(x, �).
1
DokBadnie tak samo pokazujemy, |e "r "R+ : B2(x, r2) �" B1(x, �).
2
(2) �! (1) ZaB�|my, |e warunek (2) jest speBniony. Wybierzmy (dowolnie) zbi�r
U " Top(X, d1). Jak x " U, to "�"R : B1(x, �) �" U. Na mocy zaBo|enia
+
(2) mamy: "r "R+ : B2(x, r2) �" B1(x, �). Skoro tak, to B2(x, r2) �" U.
2
Wykazali[my w ten spos�b, |e "x"U "r "R+ : B2(x, r2) �" U, co znaczy,
2
|e U " Top(X, d2).
DokBadnie tak samo dowodzimy, |e ka|dy podzbi�r otwarty przestrzeni
71
metrycznej (X, d2) jest podzbiorem otwartym przestrzeni metrycznej
(X, d1). Podsumowujc, Top(X, d1) = Top(X, d2).
PrzykBad 6.2 w
1. Poka|emy przy pomocy rysunku, |e metryki d2 oraz d1 na pBaszczyznie
R2 s r�wnowa|ne.
y
�1
b
�2
x
a
y
�2
�1
b
x
a
2. Niech d1 oraz d2 bd metrykami w co najmniej dwuelementowym zbio-
rze skoDczonym X. W�wczas d1 <" d2. Wybierzmy bowiem (dowolnie)
element x " X oraz liczb � " R+. PoB�|my r1 = min d1(x, y).
y"X\{x}
W�wczas r1 " R+. Co wicej, B1(x, r1) = {x} �" B2(x, �).
Analogicznie pokazujemy, |e "r "R+ : B2(x, r2) �" B1(x, �) (oznaczenia
2
jak w Twierdzeniu 6.1).
Twierdzenie 6.2 w
Niech d1 oraz d2 bd r�wnowa|nymi metrykami w zbiorze X = ". Niech
ponadto (Y, �) bdzie przestrzeni metryczn, f : X �! Y, niech (xn) "
n=1
bdzie cigiem element�w zbioru X i niech g " X. W�wczas:
(i) odwzorowanie f jest cigBe wzgldem metryki d1 wtedy i tylko wtedy,
gdy jest cigBe wzgldem metryki d2,
1 2
(ii) xn -d- g �! xn -d- g.
- �! - �!
n�! " n�! "
72
Dow�d:w
Ad.(i) Przypu[my, |e f jest cigBe wzgldem d1. Niech V bdzie
(dowolnym) podzbiorem przestrzeni (Y, �).
W�wczas f-1(V ) " Top(X, d1) = Top(X, d2).
Pokazali[my w ten spos�b, |e odwzorowanie f jest cigBe wzgldem
metryki d2.
Odwrotna implikacja - dokBadnie tak samo.
1
Ad.(ii) Przypu[my, |e xn -d- g. Niech U " Top(X, d2) bdzie otocze-
- �!
n�! "
niem punktu g w przestrzeni metrycznej (X, d1). Skoro tak, to "N"N\{0}
2
"n"N\{0} : n N �! xn " U. Wobec tego xn -d- g.
- �!
n�! "
Odwrotna implikacja - dokBadnie tak samo.
Twierdzenie 6.3 w
Niech d1 oraz d2 bd rozwa|anymi metrykami w zbiorze X = ". Oznacz-
my przez Ki rodzin wszystkich podzbior�w zwartych przestrzeni metrycznej
(X, di), przez Cj natomiast - rodzin wszystkich podzbior�w sp�jnych prze-
strzeni metrycznej (x, dj) (j = 1, 2).
W�wczas K1 = K2 oraz C1 = C2.
Dow�d:w
wiczenie.
Definicja 6.2 w
Metryki d1 oraz d2 w zbiorze X s lipschitzowsko (czyli jednostajnie) r�wno-
wa|ne, je[li:
"m,M"R "x,y"X : md2(x, y) d1(x, y) Md2(x, y).
+
Uwaga 6.2 w
Lipschitzowska r�wnowa|no[ jest relacj r�wnowa|no[ci w zbiorze
{d : X � X �! [0, ") �" R | d jest metryk} (wiczenie).
Twierdzenie 6.4 w
Metryki d1, d2 oraz d " s, w przestrzeni Rn, lipschitzowsko r�wnowa|ne.
Dow�d:w
Niech x, y " Rn. Powiedzmy, |e x = (x1, . . . , xn) oraz y = (y1, . . . , yn).
W�wczas:
73
n
n
d1(x, y) = |xi - yi| n � max |xi - yi| = n � d "(x, y)
i=1
i=1
n
n � |xi - yi| = n � d1(x, y).
i=1
n
n
d "(x, y) = max |xi - yi| (xi - yi)2 = d2(x, y)
i=1
i=1
n
n � max((xi - yi)2) =
i=1
" "
n
= n � max |xi - yi| = n � d "(x, y).
i=1
Udowodnili[my w ten spos�b, |e:
��
1
��
d1(x, y) d "(x, y) d1(x, y),
n
n
"x,y"R :
"
��
d "(x, y) d2(x, y) nd "(x, y).
Mamy zatem lipschitzowsk r�wnowa|no[ metryki d1 oraz d ",
a tak|e d " i d2. Lipschitzowska r�wnowa|no[ metryk d1 oraz d2
wynika z przechodnio[ci.
Twierdzenie 6.5 w
Metryki lipschitzowsko r�wnowa|ne s r�wnowa|ne. (Nie na odwr�t!)
Dow�d:w
Niech d1 oraz d2 bd metrykami w zbiorze X = " speBniajcymi warunek:
"m,M"R "x,y"X : md2(x, y) d1(x, y) Md2(x, y).
+
Wybierzmy dowolnie punkt x0 " X oraz liczb � " R+.
�
PoB�|my r1 = m� oraz r2 = . W�wczas r1, r2 " R+.
M
Nastpnie, jak d1(x0, y) <� r1 dla pewnego y " X, to:
1 1 1
d2(x0, y) d1(x0, y) <� r1 = � m� = �.
m m m
W ten spos�b udowodnili[my, |e B1(x0, r1) �" B2(x0, �) (oznaczenia jak
w Twierdzeniu 6.1).
Je[li z kolei d2(x0, y) <� r2 dla pewnego y " X, to:
�
d1(x0, y) Md2(x0, y) <� Mr2 = M � = �.
M
W ten spos�b udowodnili[my, |e B2(xo, r2) �" B1(x0, �).
R�wnowa|no[ metryk d1 oraz d2 wynika teraz z charakteryzacji wykazanej
wcze[niej.
Wniosek 6.1 w
Metryki d1, d2 oraz d " w przestrzeni Rn s parami r�wnowa|ne.
74
Twierdzenie 6.6 w
Przypu[my, |e d1 oraz d2 s lipschitzowsko r�wnowa|nymi metrykami w zbio-
rze X = ". W�wczas:
(i) przestrzeD metryczna (X, d1) jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy
przestrzeD metryczna (X, d2) jest ograniczona,
(ii) przestrzeD metryczna (X, d1) jest zupeBna wtedy i tylko wtedy, gdy prze-
strzeD metryczna (X, d2) jest zupeBna.
Dow�d:w
Ad.(i) ZaB�|my, |e przestrzeD (X, d1) jest ograniczona. Wiemy, |e:
"m,M"R "x,y"X : md2(x, y) d1(x, y) Md2(x, y).
+
Powiedzmy, |e Di to [rednica przestrzeni metrycznej (X, di), gdzie
i =" {1, 2}. Dla dowolnych x, y " X mamy w�wczas
1 1
d2(x, y) d1(x, y) D1. Wobec tego:
m m
def
1
D2 = sup d2(x, y) D1 <� ",
m
x,y"X
z uwagi na ograniczono[ przestrzeni (X, d1). W takim razie przestrzeD
(X, d2) jest ograniczona. DokBadnie tak samo pokazujemy, |e z ograni-
czono[ci (X, d2) wynika ograniczono[ (X, d1).
Ad.(ii) wiczenie.
Twierdzenie 6.7 w
Niech d bdzie metryk w zbiorze X = ".
def
d(x,y)
W�wczas funkcja � : X � X (x, y) �! �(x, y) = " [0, ") �" R,
1+d(x,y)
jest r�wnie| metryk w zbiorze X, r�wnowa|n metryce d tak, |e przestrzeD
metryczna (X, �) jest ograniczona.
Dow�d:w
" Bycie metryk - wiczenie.
" Zauwa|my nastpnie, |e "x, y " X �(x, y) <� 1.
Wobec tego przestrzeD metryczna (X, �) jest ograniczona (a nawet ma
[rednic mniejsz bdz r�wn 1).
Wybierzmy (dowolnie) x0 " X oraz � " R+. PoB�|my r1 = � oraz
�
r2 = . Odnotujmy, |e r2 <� 1.
�+1
75
Jak teraz d(x0, y) <� r1, dla pewnego y " X, to:
d(x0,y)
�(x0, y) = d(x0, y) <� �.
1+d(x0,y)
W ten spos�b udowodnili[my, |e Bd(x0, r1) �" B�(x0, �).
Jak w koDcu �(x0, y) <� r2 dla pewnego y " X, to:
" �
(")
�(x0,y)
2 1+�
"
d(x0, y) = <� = = �.
1+�-�
1-�(x0,y)
1- 2
1+�
d �
((") : � = �! � + �d = d �! (1 - �)d = � �! d = )
1+d 1-�
W ten spos�b udowodnili[my, |e B�(x0, r2) �" Bd(x0, �).
R�wnowa|no[ metryk d oraz � wynika teraz z charakteryzacji wyka-
zanej wcze[niej.
PrzykBad 6.3 w
Niech d bdzie metryk naturaln w zbiorze R i niech � bdzie metryk
d(x,y) |x-y|
w tym|e zbiorze zdefniowan przez �(x, y) = a" . Na mocy
1+d(x,y) 1+|x-y|
Twierdzenia 6.7 metryki d oraz � s r�wnowa|ne. Wida, |e przestrzenie me-
tryczne (R, �) jest ograniczona, tymczasem przestrzeD metryczna (R, d) nie
jest ograniczona. W takim razie metryki d oraz � nie s lipschitzowsko
r�wnowa|ne.
Uwaga 6.3 w
Jak metryk euklidesow d2 w przestrzeni Rn zastpi si metryk d, albo d ",
to nie zmieni si nic w kwestiach zbie|no[ci cig�w, ograniczono[ci, zwar-
to[ci i sp�jno[ci zbior�w, zupeBno[ci oraz cigBo[ci odwzorowaD okre[lonych
w tej przestrzeni.
Definicja 6.3 w
Niech � bdzie pewn rodzin podzbior�w (dowolnego) zbioru X. T rodzin
nazywa si topologi (w zbiorze X), je[li speBnia nastpujce warunki:
(T 1) " " � oraz X " �,
(T 2) U, V " � �! U )" V " �,
(T 3) jak {U�}�"I jest (dowoln) podrodzin rodziny �, to U� " �.
�"I
Uwaga 6.4 w
Je[li s " N \ {0}, U1, . . . , Us " �, to U1 )" . . . )" Us " �
(wszystko w sytuacji z Definicji 6.3).
76
Definicja 6.4 w
Przestrzeni topologiczn nazywa si par (X, �), w kt�rej X jest
(dowolnym) zbiorem, � natomias - topologi w zbiorze X.
Definicja 6.5 w
Niech (X, �) bdzie przestrzeni topologiczn. Podzbiorem otwartym tej
przestrzeni nazywa si ka|dy element topologii �.
Definicja 6.6 w
Zbi�r C �" X jest domknity w przestrzeni topologicznej (X, �), jak X \C " �.
Definicja 6.7 w
Rodzin wszystkich podzbior�w domknitych przestrzeni topologicznej (X, �)
nazywa si kotopologi tej przestrzeni.
Twierdzenie 6.8 w
Niech � bdzie kotopologi przestrzeni topologicznej (X, �). W�wczas:
(1) " " � oraz X " �,
(2) (s " N \ {0}, C1, . . . , Cs " �) �! C1 *" . . . *" Cs " �,
(3) jak {C�}�"I jest dowoln podrodzin kotopologii �, to C� " �.
�"I
Dow�d:w
wiczenie.
Uwaga 6.5 w
Je[li (X, �) jest przestrzeni topologiczn, to " oraz X s podzbiorami
otwarto - domknitymi tej przestrzeni.
Definicja 6.8 w
Otoczeniem (otwartym) punktu x0 przestrzeni topologicznej (X, �) nazywa si
ka|dy taki zbi�r U " �, |e x0 " U.
PrzykBad 6.4 w
1. Niech X bdzie dowolnym zbiorem. Rodzina �B := {", X} jest w�wczas
topologi w zbiorz X, zwan topologi banaln albo antydyskretn.
Kotopologi przestrzeni topologicznej (X, �B) jest {", X}.
77
2. Niech X bdzie (dowolnym) zbiorem. Rodzina 2x wszystkich podzbior�w
zbioru X jest w�wczas topologi w tym zbiorze, zwan topologi dys-
kretn.
Kotopologi przestrzeni topologicznej (X, 2x) jest
{X \ U : U " 2x} = 2x.
(Inaczej m�wic, w przestrzeni topologicznej (X, 2x) wszystkie
podzbiory s otwarto-domknite.)
3. Niech X bdzie dowolnym zbiorem niepustym i niech x0 " X. Rodzina
def
�0 = {U �" X, x0 " U} *" {"} jest w�wczas topologi w zbiorze X,
zwan topologi wyr�|nionego punktu x0.
Kotopologi przestrzeni topologicznej (X, �0) jest
{X \ U : U " �0} = {C �" X, x0 " C} *" {X}.
4. Niech X bdzie dowolnym zbiorem. Rodzina
def
�C = {U �" X : (X \ U) jest zbiorem skoDczonym} *" {"}
jest w�wczas topologi w zbiorze X, zwan topologi dopeBnieD skoD-
czonych.
Faktycznie, " " �C. Poniewa| X \ X = ", to x " �C.
Je[li U, V " �C \ {"},
to zbiory X \ U oraz X \ V s skoDczone, wic
(X \ U) *" (X \ V ) = X \ (U )" V ) jest zbiorem skoDczonym,
skd U )" V " �C.
Je[li w koDcu {U�}�"I jest podrodzin rodziny �C tak, |e
"� "I : U� = ", to (X \ U� ) �" (X \ U�) = X \ U� oraz X \ U� jest
0 0 0
)
�"I �"I
zbiorem skoDczonym, skd ju| U� " �C.
�"I
Kotopologi przestrzeni (X, �C) jest
{X \ U : U " �C} = {C �" X : C jest zbiorem skoDczonym} *" {X}.
Zauwa|my, |e je[li X jest zbiorem skoDczonym, to topologia �C jest
identyczna z topologi dyskretn w zbiorze X.
5. Je[li d jest metryk w zbiorze X = ", to Top(X, d) jest topologi w tym
zbiorze, zwan topologi zadan przez metryk d albo topologi natural-
n przestrzeni metrycznej (X, d).
Definicja 6.9 w
PrzestrzeD topologiczna (X, �) jest metryzowalna, je[li X = " oraz istnieje
taka metryka d w zbiorze X, |e � = Top(X, d).
PrzykBad 6.5 w
Rozwa|my topologi dyskretn w zbiorze X = ". Niech d bdzie metryk dys-
kretn w tym zbiorze. Poniewa| Top(X, d) = 2x,
to przestrzeD topologiczna (X, 2x) jest metryzowalna.
78
Definicja 6.10 w
PrzestrzeD topologiczna (X, �) jest przestrzeni Hausdorffa
(czyli T2-przestrzeni), je[li:
x " U, y " V,
"x,y"X : (x = y) �! "U,V "� :
U )" V = ".
Twierdzenie 6.9 w
Ka|da metryzowalna przestrzeD topologiczna jest przestrzeni Hausdorffa.
Dow�d:w
Niech (X, �) bdzie tak przestrzeni topologiczn, |e X = " oraz
� = Top(X, d) dla pewnej metryki d w zbiorze X.
Niech nastpnie x, y " X bd takimi punktami, |e x = y.
1
PoB�|my � = d(x, y). W�wczas � " R+.
2
Nastpnie poB�|my U = B(x, �) oraz V = B(y, �).
Wtedy y " V, x " U, U )" V = " oraz U, V " �.
Uwaga 6.6 w
Istniej niemetryzowalne przestrzenie Hausdorffa.
79