plik


ÿþPolitechnika Krakowska im. Tadeusza Ko[ciuszki WydziaB Fizyki Matematyki i Informatyki . . . . . . TOPOLOGIA . . . . . Notatki do wykBadów dra Marcina SkrzyDskiego . . . . . . . . . . . . . Agnieszka KarpiDska . . Kraków, 20.06.2010 Spis tre[ci 1 Przestrzenie metryczne i wBasno[ci 3 2 CigBo[ 27 3 Iloczyn kartezjaDski przestrzeni metrycznych 39 4 Zwarto[ 45 5 Pojcie spójno[ci 58 6 Równowa|no[ metryk, przestrzenie topologiczne 71 2 1 Przestrzenie metryczne i wBasno[ci Definicja 1.1 q Metryk w zbiorze X = " nazywa si ka|d funkcj d : X × X (x, y) ’! d(x, y) " [0, ") ‚" R, która speBnia warunki: (M1) okre[lono[ "x, y " X : d(x, y) = 0 Ô! x = y, (M2) symetryczno[ "x, y " X : d(x, y) = d(y, x), (M3) ........................"x, y, z " X : d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Definicja 1.2 q Przestrzeni metryczn nazywa si par (X, d), w której X = ", a d jest me- tryk w zbiorze X. Uwaga 1.1 q Je[li (X, d) jest przestrzeni metryczn, to elementy zbioru X nazywa si punktami tej przestrzeni, liczb d(x, y) natomiast - odlegBo[ci midzy punk- tami x, y " X. Twierdzenie 1.1  Druga nierówno[ trójkta : Przypu[my, |e d jest metryk w zbiorze X. Wówczas: "x, y, z " X : |d(x, z) - d(y, z)| d(x, y). Dowód:q Na mocy (M2) i (M3) mamy: d(x, z) d(x, y) + d(y, z), d(y, z) d(x, z) + d(x, y). W takim razie: -d(x, y) d(x, z) - d(y, z) D(x, y), co znaczy, |e: |d(x, z) - d(y, z)| d(x, y). PrzykBad 1.1 q 1) Funkcja d : R × R (x, y) ’! |x - y| " [0, ") jest metryk w zbiorze liczb rzeczywistych, zwan metryk naturaln. 2) Niech n " N \ {0}. Ka|da z funkcji d1, d2, d" : Rn × Rn ’! [0, ") zdefiniowanych za pomoc wzorów: 3 n d1(x, y) = |xi - yi| - metryka Manhattan, i=1 n d2(x, y) = (xi - yi)2 - metryka euklidesowa, i=1 n d"(x, y) = max |xi - yi| - metryka Czebyszewa, i=1 gdzie x = (x1, . . . , xn) oraz y = (y1, . . . , yn), jest metryk w przestrzeni Rn. (Zauwa|my, |e je[li n = 1, to ka|da z metryk d1, d2, d" jest po prostu metryk naturaln w zbiorze R.) 3) Niech X bdzie zbiorem niepustym. Rozwa|my zbiór B(X, R) wszyst- kich funkcji ograniczonych: f : X ’! R. Wówczas funkcja d" : B(X, R) × B(X, R) ’! [0, ") zdefiniowana (po- prawnie) za pomoc wzoru: d"(f, g) = sup |f(x) - g(x)| x"X jest metryk w zbiorze B(X, R), zwan metryk Czebyszewa (supremo- w.) 4) Niech X bdzie zbiorem niepustym i niech n " N \ {0}. Rozwa|my iloczyn kartezjaDski: Xn = X × . . . × X. n razy Funkcja dH : Xn × Xn ’! [0, ") zdefiniowana za pomoc wzoru: dH(a, b) = #{i " {1, . . . , n} : ai = bi}, gdzie a = (a1, . . . , an) oraz b = (b1, . . . , bn), jest metryk w zbiorze Xn, zwan metryk Hamminga. 5) Biorc w poprzednim przykBadzie n = 1, otrzymamy metryk d w zbiorze X zdefiniowan za pomoc wzoru: 1, gdy x = y d(x, y) = 0, dla x = y Taka metryka jest zwana metryk dyskretn. Uwaga 1.2 q Niech (X, d) bdzie przestrzeni metryczn i niech Y †" X bdzie zbiorem niepustym. Wówczas funkcja: d|Y ×Y : Y × Y (x, y) ’! d(x, y) " [0, ") jest metryk w zbiorze Y , zwan metryk indukowan z przestrzeni (X, d). PrzestrzeD metryczna (Y, d|Y ×Y ) nazywa si czasami podprzestrzeni prze- strzeni (X, d). 4 Definicja 1.3 q Niech (X, d) bdzie przestrzeni metrzyczn. Wybieramy punkt x0 " X. Kul otwart w przestrzeni (X, d) o [rodku x0 i promieniu µ " R+, nazywa si zbiór: B(x0, µ) = {x " X : d(x0, x) < µ}. Kul domknit w przestrzeni (X, d) o [rodku x0 i promieniu Á " [0, "), nazywa si zbiór: B(x0, Á) = {x " X : d(x0, x) Á}. Sfer w przestrzeni (X, d) o [rodku x0 i promieniu Á " [0, "), nazywa si zbiór: S(x0, Á) = {x " X : d(x0, x) = Á}. Uwaga 1.3 q 1. Á = 0 Ò! B(x0, Á) = S(x0, Á) = {0}. 2. "µ " R+ : B(x0, µ) = B(x0, µ) *" S(x0, µ). 3. x0 " B(x0, µ). PrzykBad 1.2 q 1) Metryka naturalna w R. B(x0, µ) = {x " R : |x0 - x| < µ} = {x " R : x0 - µ < x < x0 + µ}. x0 - µ x0 + µ x0 2) Metryka euklidesowa w R2. B((x0, y0), µ) = {(x, y) " R2 : (x0 - x)2 + (y0 - y)2 < µ} = = {(x, y) " R : (x0 - x)2 + (y0 - y)2 < µ2. y µ y0 x0 x 5 3) Metryka Manhattan w R2. B((x0, y0), µ) = {(x, y) " R2 : |x0 - x| + |y0 - y| < µ} y y0 + µ y0 y0 - µ x x0 - µ x0 + µ x0 4) Metryka maksimum w R2. B((x0, y0), µ) = {(x, y) " R2 : max{|x0 - x|, |y0 - y|}} < µ = = {(x, y) " R2 : x0 - µ < x < x0 + µ, y0 - µ < y < y0 + µ} y y0 + µ y0 y0 - µ x x0 - µ x0 x0 + µ 5) Niech d bdzie metryk dyskretn w zbiorze X, niech x0 " X. Niech ponadto µ " R+ oraz Á " [0, "). Wówczas: {x0}, gdy µ 1, B(x0, µ) = X, gdy µ > 1. ñø ôø {x0}, gdy Á = 0, òø S(x0, Á) = ", gdy Á " (0, 1) lub Á > 1, ôø óø X\{x0}, gdy Á = 1. 6 Definicja 1.4 q Podzbiór Y przestrzeni metrycznej (X, d) jest ograniczony, je[li: "x "X "Á"[0,") : Y †" B(x0, Á). 0 Uwaga 1.4 q a) Ka|a kula i ka|da sfera s zbiorami ograniczonymi. b) " jest zbiorem ograniczonym. c) Przecicie dowolnej, niepustej rodziny podzbiorów ograniczonych danej przestrzeni metrycznej jest podzbiorem ograniczonym tej przestrzeni. d) Suma dowolnej, skoDczonej rodziny podzbiorów ograniczonych danej prze- strzeni metrycznej jest podzbiorem ograniczonym tej przestrzeni. Definicja 1.5 q Zrednic podzbioru Y przestrzeni metrycznej (X, d) nazywa si: diam.Y := sup d(x, y). x,y"Y PrzykBad 1.3 q Niech µ " R+ i x0 " X. Je[li x, y " B(x0, µ), to d(x, y) d(x, x0) + d(x0, y) < 2µ. W takim razie diamB(x0, µ) := sup d(x, y) 2µ. x,y"B(x0,µ) Przypu[my teraz, |e d jest metryk dyskretn. Wówczas: diam{x0}, gdy µ 1, diam.B(x0, µ) = diamX, gdy µ > 1. Twierdzenie 1.2 q Niech (X, d) bdzie przestrzeni metryczn i niech Y, Z †" X. Wówczas: (i) diamY " [0, ") *" {±"}, (ii) diamY = -" Ô! Y = ", (iii) diamY = 0 Ô! Y = 1, (iv) Y †" Z Ò! diamY diamZ, (v) diamY < " wtedy i tylko wtedy, gdy Y jest zbiorem ograniczonym. Dowód:q wiczenie. 7 Definicja 1.6 q OdlegBo[ci midzy podzbiorami Y oraz Z przestrzeni metrycznej (X, d) na- zywa si: dist(Y, Z) = inf{d(y, z) : y " Y, z " Z}. Uwaga 1.5 q 1. "x, y " X, dist({x}, {y}) = d(x, y). 2. dist(Y, Z) = [0, "). 3. dist(Y, Z) = " Ô! (Y = " (" Z = "). 4. Y )" Z = " Ò! dist(Y, Z) = 0. (Nie na odwrót!) 5. Dla punktu x " X piszemy dist(x, Y ), zamiast dist({x}, Y ) i mówimy o odlegBo[ci punktu x od zbioru Y (dist(x, Y ) = inf d(x, y)). y"Y PrzykBad 1.4 q a) Rozwa|my zbiór R z metryk naturaln. Przypomnijmy, |e: 1 R \ Q e := lim (1 + )n n’!" n 1 i odnotujmy, |e (1 + )n " Q dla ka|dego n " N \ {0}. W takim razie: n 1 0 dist(R \ Q, Q) inf |e - (1 + )n| = 0, n"N\{0} n skd dist(R \ Q, Q) = 0. b) Rozwa|my metryk euklidesow na pBaszczyznie R2. Obliczmy odlegBo[ punktu (x0, y0) od prostej l ‚" R2 o równaniu y = ax + b : dist((x0, y0), l) = inf { (x - x0)2 + (y - y0)2} = (x,y)"l = inf {(x - x0)2 + (y - y2)2} = (x,y)"l = inf {(x - x0)2 + (ax + b - y0)2} = x"R 2 inf {(1 + a2)x2 + (2ab - 2ay0 - 2x0)x + (x2 + b2 + y0 - 2by0)} = . . . 0 x"R ay0+x0-ab xw = 1+a2 2 . . . = (1 + a2)x2 + 2(ab - ay0 - x0)xw + x2 + b2 + y0 - 2by0 = w 0 . . . wiczenie . . . (y0-b-ax0)2 |y0-b-ax0| " = = . 1+a2 1+a2 8 Definicja 1.7 q Cig (an) = (an)" punktów przestrzeni metrycznej (X, d) jest: n=1 " ograniczony, je[li zbiór jego wyrazów, czyli {an : n " N\{0}}, jest ograniczony, " cigiem Cauchy ego, je[li: "µ"R "N"N\{0} "m,n"N\{0} : m, n N Ò! d(am, an) < µ, + d " zbie|ny do punktu g " X (pisze si lim an = g albo an ’! g(n ’! ")), n’!" je[li: "µ"R "N"N\{0} "n"N\{0} : n N Ò! d(an, g) < µ. + Uwaga 1.6 q an - - g -d’! n’!" "µ"R "N"N\{0} "n"N\{0} : n N Ò! an " B(g, µ). + Twierdzenie 1.3 q Dla cigu (an) punktów przestrzeni metrycznej (X, d) i punktu g " X n.w.s.r.: 1. an - - g, -d’! n’!" 2. lim d(an, g) = 0 (zwykBa granica cigu liczbowego). n’!" Dowód:q an - - g -d’! n’!" "µ"R "N"N\{0} "n"N\{0} : n N Ò! d(an, g) < µ + "µ"R "N"N\{0} "n"N\{0} : n N Ò! |d(an, g) - 0| < µ + lim d(an, g) = 0 n’!" Twierdzenie 1.4 q Ka|dy cig punktów danej przestrzeni metrycznej ma w tej przestrzeni co nawy|ej jedn granic. 9 Dowód:q Niech an bdzie cigiem punktów przestrzeni metrycznej (X, d). Przypu[my, d |e lim an = g1 i an ’! g2 (n ’! "), dla pewnych g1, g2 " X. n’!" Wówczas przy dowolnie ustalonym µ " R+ : µ n N1 Ò! d(an, g1) < , 2 "N ,N2"N\{0} : 1 µ n N2 Ò! d(an, g2) < . 2 Policzmy N = max{N1, N2}. Wtedy: µ µ 0 d(g1, g2) d(g1, aN) + d(aN, g2) < + = µ. 2 2 Z uwagi na dowolno[ liczby µ, z powy|szych nierówno[ci wynika, |e d(g1, g2) = 0, skd g1 = g2. Twierdzenie 1.5 q Niech (an) bdzie takim cigiem punktów przestrzeni metrycznej (X, d), |e "n0 " N \ {0} "n " N \ {0} n n0 Ò! an = an . Wówczas lim an = an . 0 0 n’!" Dowód:q Ustalmy µ " R+ (dowolne). Je[li wskaznik n n0, to d(an, an ) = d(an , an ) = 0 < µ. 0 0 0 Twierdzenie 1.6 q Je[li cig punktów danej przestrzeni metrycznej jest zbie|ny do pewnego punk- tu tej przestrzeni, to ka|dy podcig tego cigu jest zbie|ny do tego| punktu. Dowód:q wiczenie. Twierdzenie 1.7 q Ka|dy zbie|ny cig punktów przestrzeni metrycznej jest cigiem Cauchy ego. Dowód:q Niech (an) bdzie cigiem punktów przestrzeni metrycznej (X, d). Przypu[- d my, |e an ’! g dla pewnego g " X. Wybierzmy (dowolnie) µ " R+. Wówczas: µ "N"N\{0} "n"N\{0} : n N Ò! d(an, g) < . 2 Je[li teraz wskazniki m, n N, to: µ µ d(am, an) d(am, g) + d(an, g) < + = µ. 2 2 Wykazali[my zatem, |e (an) jest cigiem Cauchy ego. 10 Twierdzenie 1.8 q Ka|dy cig Cauchy ego jest ograniczony. Dowód:q Niech (an) bdzie cigiem Cauchy ego punktów przestrzeni metrycznej (X, d). Wobec tego: "N"N\{0} "m,n N\{0} : m, n N Ò! d(am, an) < 1. PoBó|my Á = max{1, d(a1, aN), . . . , d(aN-1, an)}. Dla dowolnego wskaznika n mamy wtedy: d(an, aN) Á. Skoro tak, to: an " B(an, Á) dla ka|dego n " N \ {0}, skd ju| cig (an) jest ograniczony. PrzykBad 1.5 q 1. Rozwa|my R z metryk naturaln. Cig ((-1)n) jest wtedy ograniczony (bo (-1)n " B(0, 1)) dla ka|dego n. Nie jest on jednak cigiem Cau- chy ego, bowiem: "m,n"N\{0} : m - n = 1 Ò! |(-1)m - (-1)n| = 2. 1 1 2. Poniewa| lim (1 + )n = e, to cig ((1 + )n) jest cigiem Cauchy ego n n n’!" w R z metryk naturaln. Wszystkie wyrazy tego cigu s liczbami wy- 1 miernymi. Skoro tak, to ((1 + )n) jest cigiem Cauchy ego w Q, z (in- n dukowan) metryk naturaln. Niestety, cig ten nie jest zbie|ny w Q z (indukowan) metryk naturaln, bo e " Q. Twierdzenie 1.9 q Dla cigu (a(k))" punktów przestrzeni Rn, w którym a(k) = (a(k), . . . , a(k)) k=1 1 n i punktu g = (g1, . . . , gn) " Rn n.w.s.r.: d1 (1) a(k) ’! g(k ’! "), d2 (2) a(k) ’! g(k ’! "), (3) a(k) d" g(k ’! "), ’! (4) "i"{1,...,n} lim a(k) = g (granice szeregów liczbowych). i k’!" Dowód:q d2 (2) Ò! (4) Przypu[my, |e a(k) ’! g(k ’! "), czyli, |e d2(a(k), g) = 0. Przypo- mnijmy, |e: n d2(a(k), g) = (a(k) - gi)2. i i=1 11 Zauwa|my, |e: "j"{1,...,n}"k"N\{0} : 0 |a(k) - gj| = (a(k) - gj)2 j j n (a(k) - gi)2 = d2(a(k), g). i i=1 Stosujc do podkre[lonej nierówno[ci twierdzenie o trzech cigach otrzy- mujemy: "j"{1,...,n} : lim |a(k) - gj| = 0, j k’!" co znaczy,|e: "j"{1,...,n} : lim a(k) = g. j k’!" (4) Ò! (2) Przypu[my, |e "i"{1,...,n} : lim a(k) = gi, czyli |e i k’!" "i"{1,...,n} : lim |a(k) - gi| = 0. i k’!" Zauwa|my, |e dla dowolnego k " N \ {0} jest: n 0 d2(a(k), g) = n(1(k) = gi)2 n · max((a(k) - gi)2) = i i i=1 i=1 n " " n = n · max |a(k) - gi| n · |a(k) - gi|. i i i=1 i=1 Stosujc do podkre[lonych nierówno[ci twierdzenie o trzech cigach d2 (k ’! ") otrzymujemy lim (a(k), g) = 0, co znaczy, |e a(k) ’! g k’!" (k ’! "). (1) Ô! (4) wiczenie. (3) Ô! (4) wiczenie. PrzykBad 1.6 q " n 2 n n+5 n+1 1 4 1) ( n3 + sin(n!), · cos(1 - n), ) -d- (1, 0, ). - ’! n2+n-1 n+2 e n’!" " n n+5 4 2) Cig ( n3 + sin(n!), · cos(1 - n), (3n+1)n) nie jest zbie|ny n2+n-1 n+2 w R3 z metryk euklidesow, bo lim (3n+1)n = ". n+2 n’!" Definicja 1.8 q PrzestrzeD metryczna jest zupeBna, je[li ka|dy cig Cauchy ego punktów tej przestrzeni jest zbie|ny do pewnego punktu tej|e przestrzeni. 12 PrzykBad 1.7 q 1) Q z (indukowan) metryk naturaln nie jest zupeBn przestrzeni me- 1 tryczn, z uwagi na cig ((1 + )n). n 2) Niech n " N \ {0}. Zbiór Rn \ {(0, . . . , 0)} z (indukowan) metryk euklidesow nie jest zupeBn przestrzeni metryczn, z uwagi na to, |e: 1 2 Rn \ {(0, . . . , 0)} ( , 0, . . . , 0) -d- (0, . . . , 0) " Rn \ {(0, . . . , 0)}. - ’! n’!" n Twierdzenie 1.10 we Niech n " N \ {0} i niech d " {d1, d2, d"}. Wówczas przestrzeD metrycz- na (Rn, d2) jest zupeBna (w szczególno[ci R z metryk naturaln jest zupeBn przestrzeni metryczn. Dowód:ve Natpi. Twierdzenie 1.11 q Niech X bdzie zbiorem niepustym. PrzestrzeD metryczna (B(X, R), d") jest zupeBna. Dowód:q Nastpi. Definicja 1.9 q Niech (X, d) bdzie przestrzeni metryczn. Zbiór U †" X jest otwarty, je[li: "x"U "µ"R : B(x, µ) †" U. + Uwaga 1.7 q Inaczej mówic, zbiór U jest otwarty, je[li: "x"U "µ"R "y"X : d(x, y) < µ Ò! y " U. + 13 Definicja 1.10 q Rodzin wszystkich podzbiorów otwartych przestrzeni metrycznej (X, d) nazy- wa si topologi tej przestrzeni. (Topologi przestrzeni (X, d) bdziemy oznacza przez Top(X, d)). Twierdzenie 1.12 q Niech (X, d) bdzie przestrzeni metryczn. Niech ponadto x " X, µ " R+, oraz Á " [0, "). Wówczas B(x, µ) oraz X \ B(x, Á) s zbiorami otwartymi. Dowód:q Zajmijmy si kul otwart. Wezmy pod uwag otwarty punkt y " B(x, µ). Wówczas d(y, x) < µ. Skoro tak, to r := (µ - d(x, y)) " R+. Je[li teraz z " B(y, r), to: d(z, x) d(z, y) + d(y, x) < r + d(y, x) = µ - d(y, x) + d(y, x) = µ. d(x, y) r x y µ Pokazali[my w ten sposób, |e B(y, r) †" B(x, µ). Z uwagi na dowolno[ punktu y, dowód otwarto[ci kuli B(x, µ) jest skoDczony. Dowód dopeBnienia - wiczenie. Twierdzenie 1.13 q Niech (X, d) bdzie przestrzeni metryczn. Wówczas: (i) ", X " Top(X, d), (ii) U, V " Top(X, d) Ò! U )" V " Top(X, d), (iii) je[li {Ui}i"I jest dowoln rodzin podzbiorów otwartych przestrzeni (X, d), to Ui tak|e jest podzbiorem otwartym tej przestrzeni. i"I Dowód:q Ad(i) Oczywiste. Ad(ii) Przypu[my, |e U, V " Top(X, d) i rozwa|my dowolny punkt x " U )"V. Poniewa| x " U oraz U " Top(X, d), to "µ "R+ : B(x, µ1) †" U. 1 Poniewa| x " V oraz V " Top(X, d), to "µ "R+ : B(x, µ2) †" V. 2 PoBó|my µ = min{µ1, µ2}. Wówczas µ > 0. Co wicej, B(x, µ) = B(x, µ1) )" B(x, µ2) †" U )" V. 14 Ad(iii) Przypu[my, |e {Ui}i"I jest rodzin podzbiorów otwartych przestrzeni (X, d) i wezmy pod uwag (dowolny) punkt x " Ui. i"I Z definicji sumy mnogo[ciowej, "i "I : x " Ui . Poniewa| Ui " Top(X, d), 0 0 0 to "µ"R : B(x, µ) †" Ui . Podsumowujc B(x, µ) †" Ui †" Ui. + 0 0 i"I Wniosek 1.1 q (s " N \ {0}, U1, . . . , Us " Top(X, d)) Ò! U1 )" . . . )" Us " Top(X, d). PrzykBad 1.8 w Rozwa|my prost R wyposa|on w metryk naturaln i cig przedziaBów 1 1 {(- , )}" . Ka|dy z tych przedziaBów jest podzbiorem otwartym rozwa|a- n=1 n n 1 nej przestrzeni metrycznej (bo jest kul otwart o [rodku 0 i promieniu ). n " 1 1 Tymczasem (- , ) = {0} niewtpliwie nie jest podzbiorem otwartym tej n n n=1 przestrzeni. Twierdzenie 1.14 w Niech x oraz y bd dowolnymi, ró|nymi punktami przestrzeni metrycznej (X, d). Wówczas: ñø ôø x " U, òø "U,V "Top(X,d) := y " V, ôø óø U )" V = ". Dowód:w Powiedzmy, |e µ = d(x, y). Poniewa| x = y, to µ > 0. Zdefiniujmy µ µ U = B(x, ) oraz V = B(y, ). Wówczas U, V " Top(X, d), x " U, y " V. 2 2 Gdyby istaniaB jaki[ punkt z " U )" V, to µ µ µ = d(x, y) d(x, z) + d(z, y) + = µ - sprzeczno[. 2 2 Skoro tak, to U )" V = ". µ µ 2 2 x y U V Uwaga 1.8 w Powy|sze twierdzenie mo|na sformuBowa, jak nastpuje: Ka|da przestrzeD metryczna jest przestrzeni Hausdorffa (czyli T2-przestrzeni). 15 Definicja 1.11 w Otoczeniem (otwartym) punktu x przestrzeni metrycznej (X, d) nazywa si ka|dy taki zbiór U " Top(X, d), |e x " U. Uwaga 1.9 w Ka|da kula otwarta o [rodku w danym punkcie przestrzeni metrycznej jest otoczeniem tego punktu. Tak|e caBa przestrzeD (rozwa|ana) jest otoczeniem tego punktu. Definicja 1.12 w Podzbiór C przestrzeni metrycznej (X, d) jest domknity, je[li: X \ C " Top(X, d). Definicja 1.13 w Rodzin wszystkich podzbiorów domknitych przestrzeni metrycznej (X, d) na- zywa si kotopologi tej przestrzeni. (Kotopologi tej przestrzeni bdziemy oznacza przez Cotop(X, d)). Twierdzenie 1.15 w Niech (X, d) bdzie przestrzeni metryczn. Niech ponadto x " X oraz Á " [0, ") ‚" R. Wówczas kula domknita B(x, Á) oraz sfera S(x, Á) s pod- zbiorami domknitymi przestrzeni (X, d). Dowód:w Wiemy, |e X \ B(x, Á) " Top(X, d). Skoro tak, to B(x, Á) jest zbiorem do- mknitym. Nastpnie: X \ {x} = X \ B(x, Á), gdy Á = 0, X \ S(x, Á) = B(x, Á) *" (X \ B(x, Á)), gdy Á > 0. Poniewa| kula otwarta i dopeBnienie kuli domknitej to zbiory otwarte oraz suma dwóch zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym, to z powy|szej rów- no[ci wynika, |e X \ S(x, Á) jest zbiorem otwartym, co znaczy, |e S(x, Á) jest zbiorem domknitym. Wniosek 1.2 w Ka|dy jednoelementowy podzbiór dowolnej przestrzeni metrycznej jest do- mknity. Dowód:w Niech (X, d) bdzie przestrzeni metryczn i niech x " X. Wówczas: {x} = B(x, 0). 16 Twierdzenie 1.16 w Niech (X, d) bdzie przestrzeni metryczn. Wówczas: (i) ", X " Cotop(X, d), (ii) C, D " Cotop(X, d) Ò! U *" V " Cotop(X, d), (iii) je[li {Ci}i"I jest dowoln rodzin podzbiorów domknitych przestrzeni metrycznej(X, d), to Ci tak|e jest podzbiorem domknitym tej prze- i"I strzeni. Dowód:w Ad(i) ", X " Top(X, d), " = X \ X oraz X = X \ ". Ad(ii) Powiedzmy, |e C, D " Cotop(X, d). Wówczas X \ (C *" D) = (X \ C) )" (X \ D). Ponadto X \C, X \D " Top(X, d). Poniewa| przecicie dwóch zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym, to z powy|szego wynika, |e X \ (C *" D) " Top(X, d), co oznacza, |e C *" D " Cotop(X, d). Ad(iii) wiczenie. Wniosek 1.3 w (s " N \ {0}, C1, . . . , Cs " Cotop(X, d)) Ò! C1 *" . . . *" Cs " Cotop(X, d). Uwaga 1.10 w Je[li (X, d) jest przestrzeni metryczn, to zbiory " oraz X s w tej prze- strzeni otwarto-domknite. PrzykBad 1.9 w 1) Q nie jest podzbiorem otwartym prostej R wyposa|onej w metryk natu- raln, bowiem Q jest zbiorem przeliczalnym, a ka|dy niepusty przedziaB otwarty prostej R jest nieprzeliczalny (wic |aden taki przedziaB nie za- wiera si w kuli otwartej). 2) Równie| R \ Q nie jest podzbiorem otwartym prostej R (bowiem je[li r, s " R \ Q s takie, |e r < s, to istnieje q " Q, |e r < q < s). Skoro tak, to Q nie jest podzbiorem domknitym, ani podzbiorem otwartym prostej R z metryk naturaln. 3) Je[li q " Q, to {q} jest podzbiorem domknitym prostej R wyposa|o- nej w metryk naturaln. Tymczasem Q = {q} nie jest podzbiorem q"Q domknitym tej prostej. 17 Twierdzenie 1.17 w Niech A bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). n.w.s.r. dla punktu x " X : (1) ka|de otoczenie punktu x ma niepuste przecicie ze zbiorem A, (2) "µ"R : A )" B(x, µ) = ". + (3) istnieje cig (an)" elementów zbioru A taki, |e an - - x. -d’! n=1 n’!" Dowód:w (1) Ò! (2) Oczywiste (kula otwarta jest otoczeniem swojego [rodka). (2) Ò! (3) ZaBó|my, |e warunek (2) jest speBniony. 1 Wówczas "n"N\{0} : A)"B(x, ) = ". Majc dane n " N\{0} wybieramy n 1 (dokBadnie jeden) punkt an " A )" B(x, ). W ten sposób otrzymali[my n cig (an)" elementów zbioru A. n=1 1 Poniewa| "n"N\{0} : 0 d(an, x) , to lim d(an, x) = 0, (twierdzenie n n’!" o trzech cigach) co znaczy, |e an - - x. -d’! n’!" (3) Ò! (1) Przypu[my, |e warunek (3) jest speBniony. Niech U bdzie (otwar- tym) otoczeniem punktu x. Poniewa| x " U oraz U " Top(X, d), to "µ"R : B(x, µ) †" U. Na mocy definicji granicy cigu(A an - - x) -d’! + n’!" "N"N\{0} : an " B(x, µ). Skoro tak, to an " A )" B(x, µ) †" A )" U. W takim razie A )" U = ". Definicja 1.14 w Niech A bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). Punkt x tej prze- strzeni jest punktem granicznym (przylegBym) zbioru A, je[li speBnia który- kolwiek z warunków powy|szego twierdzenia. Definicja 1.15 w Zbiór wszystkich punktów granicznych danego podzbioru przestrzeni metrycz- nej nazywa si domkniciem tego podzbioru. (Domknicie podzbioru A ozna- cza si przez A albo cl(A)). PrzykBad 1.10 w Rozwa|my podzbiór A = (-1, 2) *" (2, 3] prostej R wyposa|onej w metryk naturaln. Je[li x " R jest punktem granicznym tego podzbioru, to istnieje cig (an)" elementów tego| podzbioru, taki |e x = lim an. n=1 n’!" Poniewa| "n"N\{0} : -1 < an 3, to -1 x 3 (twierdzenie o osBabianiu nierówno[ci przy przej[ciu do granicy). W ten sposób udowodnili[my, |e A †" [-1, 3]. Je[li teraz a " A, 18 n’!" 1 to a = lim a " A. Nastpnie A -1 + - ’! -1, wic -1 " A. -- n n’!" n’!" 1 W koDcu A 2 - - ’! 2, wic 2 " A. -- n W ten sposób udowodnili[my, |e [-1, 3] †" A. Podsumowujc, [-1, 3] = A. Uwaga 1.11 w Ka|dy podzbiór dowolnej przestrzeni metrycznej jest zawarty w swoim do- mkniciu. Twierdzenie 1.18 w Dla podzbioru A przestrzeni metrycznej (X, d) n.w.s.r.: (1) A " Cotop(X, d), (2) A = A, (3) ka|dy punkt graniczny zbioru A nale|y do zbioru A. Dowód:w Równowa|no[ warunków (2) i (3) jest oczywista (porównaj z Uwag 1.11). ¬(1) Ô! A " Cotop(X, d) Ô! (X \ A) " Top(X, d) Ô! "x "X\A "µ"R : 0 + A )" B(x0, µ) = " Ô! "x "X\A : (¬("µ"R : A )" B(x0, µ) = ")) Ô! 0 + Ô! "x "X\A : (¬("µ"R : B(x0, µ) †" (X \ A))) Ô! "x "X\A : x " A Ô! ¬(3). 0 + 0 PrzykBad 1.11 w 1. Rozwa|my podzbiór E = {(x, y, z) " R3 : 0 < x2 + y2 + (z - 1)2 1, z < 2} przestrzeni me- trycznej (R3, d2). (Kula bez [rodka i  bieguna póBnocnego .) Poniewa| 2 1 E (0, 0, 2 - ) -d- (0, 0, 2), to  biegun póBnocny jest punktem - ’! n+1 n’!" granicznym zbioru E. Poniewa| E (0, 0, 2), to zbiór E nie jest do- mknity. Zbiór ten nie jest równie| otwarty (wiczenie). 2. Rozwa|my Q jako podzbiór prostej R z metryk naturaln d. Wiadomo, |e dla ka|dego x " R istnieje cig (qn)" liczb wymiernych taki, |e n=1 x = lim qn. Skoro tak, to R †" Q. Jest jasne, | Q †" R. Wobec tego n’!" Q = R. Twierdzenie 1.19 w Niech A bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). Wówczas A = {C " Cotop(X, d) : C ‡" A}. 19 Dowód:w  †"  Niech x " A i niech C " Cotop(X, d) bdzie takim zbiorem, |e C ‡" A. Wystarczy pokaza, |e x " C. Poniewa| x jest punktem granicznym zbioru A, to istnieje taki cig (an)" elementów zbioru A, |e n=1 2 an -d- x. Poniewa| cig (an)" jest te| cigiem elementów zbioru C, - ’! n=1 n’!" to x jest punktem granicznym zbioru C. Poniewa| C " Cotop(X, d), to z faktu, |e x jest punktem granicznym zbioru C wynika, |e x " C.  ‡"  Przypu[my, |e x " X \A. Wówczas "µ"R : A)"B(x, µ) = ". Zauwa|my, + |e x " X \ B(x, µ). Nastpnie X \ B(x, µ) " Cotop(X, d). (Bowiem B(x, µ) jest zbiorem otwartym.) W koDcu A †" X \ B(x, µ). A †" Co Podsumowujc "C "Cotop(X,d) : 0 x " Co. Skoro tak, to x " {C " Cotop(X, d) : C ‡" A}. Pokazali[my w ten sposób, |e (X \ A) †" X \ {C " Cotop(X, d) : C ‡" A}. Przechodzc do dopeBnieD otrzymujemy: {C " Cotop(X, d) : C ‡" A} †" A. Wniosek 1.4 w 1. Domknicie dowolnego podzbioru danej przestrzeni metrycznej jest pod- zbiorem domknitym tej przestrzeni. 2. Niech A bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d) i niech C " Cotop(X, d). Je[li wtedy A †" C, to tak|e A †" C. PrzykBad 1.12 w Wrómy do zbioru E z PrzykBadu 1.11.1. Poniewa| E †" {(x, y, z) " R3 : 0 < x2 + y2 + (z - 1)2 1} = B((0, 0, 1), 1) oraz B((0, 0, 1), 1) " Cotop(R3, d2), to (z Wniosku 1.4.2) mamy: E †" B((0, 0, 1), 1). Poniewa| E = B((0, 0, 1), 1) \ {(0, 0, 1), (0, 0, 2)}, E †" E, (0, 0, 2) " E (poka- 2 1 zali[my to ju|) oraz E (0, 0, 1 + ) -d- (0, 0, 1), to B((0, 0, 1), 1) †" E. - ’! n+1 n’!" Podsumowujc, E = B((0, 0, 1), 1). Twierdzenie 1.20 w Niech A i B bd podzbiorami przestrzeni metrycznej (X, d). Wówczas: (i) A †" B Ò! A †" B, (ii) (A) = A, (iii) A *" B = A *" B. 20 Dowód:w Ad(i): Je[li A †" B, to ka|dy punkt graniczny zbioru A jest te| punktem granicznym zbioru B. Ad(ii): Wiemy, |e A " Cotop(X, d).(Wniosek 1.4.1) Ponadto podzbiór prze- strzeni metrycznej jest domknity wtedy i tylko wtedy, gdy jest równy swojemu domkniciu. Ad(iii): Poniewa| A †" A oraz B †" B, to A *" B †" A *" B. Poniewa| zarówno A, B " Cotop(X, d) oraz suma dwóch zbiorów do- mknitych jest zbiorem domknitym, to A*"B " Cotop(X, d). Na mocy Wniosku 2., z podkre[lonego faktu wynika, |e A *" B †" A *" B. Z drugiej strony A †" A *" B †" A *" B oraz B †" A *" B †" A *" B. Skoro tak, to A †" A *" B oraz B †" A *" B (Wniosek 1.4.2). Z tego wynika, |e A *" B †" A *" B. Wniosek 1.5 w Je[li A1, . . . , As, gdzie s " N \ {0} s podzbiorami przestrzeni metrycznej (X, d), to A1 *" . . . *" As = A1 *" . . . *" As. Definicja 1.16 w Podzbiór D przestrzeni metrycznej (X, d) jest gsty (w tej przestrzeni), je[li D = X. Twierdzenie 1.21 w Dla podzbioru D przestrzeni metrycznej (X, d) n.w.s.r.: (1) D jest gsty, (2) "x"X "µ"R : D )" B(x, µ) = ", + (3) "U"Top(X,d) : U = " Ò! U )" D = ". Dowód:w wiczenie. PrzykBad 1.13 w 1. Je[li (X, d) jest przestrzeni metryczn, to zbiór X jest gsty w tej przestrzeni. (Bowiem X " Cotop(X, d).) 21 2. Niech n " N \ {0} i niech (x1, . . . , xn) " Rn. Wówczas wiadomo, |e (1) (n) istniej takie cigi (gk )" , . . . , (gk )" liczb wymiernych, |e k=1 k=1 (i) xi = lim gk , dla i = 1, . . . , n. Skoro tak, to k’!" (1) (n) 2 Qn (qk , . . . , qk ) -d- (x1, . . . , xn). - ’! k’!" Wykazali[my w ten sposób, |e ka|dy punkt przestrzeni Rn, wyposa|onej w metryk euklidesow, jest punktem granicznym zbioru Qn. Wobec tego Qn = Rn, co znaczy, |e zbiór Qn jest gsty w przestrzeni metrycznej (Rn, d2). 3. Zbiór Z nie jest podzbiorem gstym prostej R wyposa|onej w metryk naturaln d. Zauwa|my bowiem, |e R\Z = (m, m+1) " Top(R, d), m"Z skd Z " Cotop(R, d), wic Z = Z = R. Definicja 1.17 w Niech A bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). Punkt x " X jest punktem wewntrznym zbioru A, je[li "µ"R : B(x, µ) †" A. + Definicja 1.18 w Wntrzem podzbioru A przestrzeni metrycznej (X, d) nazywa si zbiór int(A) wszystkich punktów wewntrznych tego zbioru. (Zamiast int(A) pisze si czasem Å.) Uwaga 1.12 w int(A) †" A. Twierdzenie 1.22 w Niech A bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). Wówczas int(A) = {U " Top(X, d) : A ‡" U}. Dowód:w  †"  Niech x " int(A). Wówczas "µ"R : B(x, µ) †" A. Poniewa| + B(x, µ) " Top(X, d), to B(x, µ) †" {U " Top(X, d) : A ‡" U}, skd ju| x " {U " Top(X, d) : A ‡" U}.  ‡"  Przypu[my, |e U " Top(X, d) jest takim zbiorem, |e A ‡" U. Niech x " U. Wystarczy pokaza, |e x " int(A). Skoro x " U oraz U " Top(X, d), to "µ"R : B(X, µ) †" U. W takim razie B(x, µ) †" A, + skd ju| x " int(A). 22 Wniosek 1.6 w 1. Wntrze dowolnego podzbioru danej przestrzeni metrycznej jest podzbio- rem otwartym tej przestrzeni. 2. Podzbiór A przestrzeni metrycznej (X, d) jest otwarty wtedy i tylko wte- dy, gdy A = int(A). Dowód:w wiczenie. Twierdzenie 1.23 w Niech A i B bd podzbiorami przestrzeni metrycznej (X, d). Wówczas: (i) A †" B Ò! int(A) †" int(B), (ii) int(int(A)) = int(A), (iii) int(A )" B) = int(A) )" int(B). Dowód:w wiczenie. Wniosek 1.7 w Je[li A1, . . . , As, gdzie s " N \ {0}, s podzbiorami przestrzeni metrycznej (X, d), to int(A1 )" . . . )" As) = int(A1) )" . . . )" int(As). PrzykBad 1.14 w 1. Rozwa|my okrg S1 = {(x, y) " R2 : x2 + y2 = 1} jako podzbiór prze- strzeni metrycznej (R2, d2). Wiemy, |e jest on podzbiorem domknitym. y 1 P µ S1 1 x Jest widoczne, |e: "P "S1 "µ"R : B(P, µ) S1. + W takim razie int(S1) = ". 23 2. Rozwa|my podzbiór Z = ((-1, 1) × (-2, 3)) *" ([-3, 5] × {0}) przestrzeni metrycznej (R2, d2). y 3 1 x -3 5 -2 Poniewa| prostokt (-1, 1) × (-2, 3) " Top(R2, d2) oraz (-1, 1) × (-2, 3) †" Z, to (-1, 1) × (-2, 3) †" int(Z). Jest widoczne, |e "P "([-3,-1]*"[1,5])×{0} "µ"R : B(P, µ) Z. Skoro tak, + to ([-3, -1] *" [1, 5]) × {0} †" (Z \ int(Z)). Poniewa| int(Z) †" Z, to z powy|szych równo[ci wynika, |e int(Z) = (-1, 1) × (-2, 3.) 3. Aatwo sprawdzi (wiczenie), |e na prostej R z metryk naturaln d ma- my int(Q) = int(R \ Q) = ". Tymczasem int(Q *" (R \ Q)) = int(R) = R. Definicja 1.19 w Podzbiór A przestrzeni metrycznej (X, d) jest: " brzegowy, je[li int(A) = ", " nigdzie gsty (w tej przestrzeni), je[li int(A) = ". Uwaga 1.13 w Ka|dy zbiór nigdzie gsty jest brzegowy. (Bowiem A †" A, wic int(A) †" int(A).) PrzykBad 1.15 w 1. Na prostej R z metryk naturaln zbiory Q oraz R \ Q s brzegowe, ale nie s nigdzie gste. (Bowiem int(Q) = int(R \ Q) =(wiczenie) int(R) = R = ".) 2. Okrg S1 jest podzbiorem nigdzie gstym przestrzeni metrycznej (R2, d2). (Bowiem int(S1) = int(S1) = ".) 24 Definicja 1.20 w Brzegiem podzbioru A przestrzeni metrycznej (X, d) nazywa si zbiór "A = cl(A) \ int(A). (Zamiast "A pisze si czasem bd(A).) Twierdzenie 1.24 w Je[li A jest podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d), to "A " Cotop(X, d). Dowód:w Zauwa|my, |e "A := cl(A) \ int(A) = cl(A) )" (X \ int(A)). Przypomnijmy, |e int(A) " Top(X, d). Ponadto cl(A) " Cotop(X, d). W ta- kim razie (X \ int(A)) " Cotop(X, d). Podsumowujc, "A jest zbiorem domknitym, jako przecicie dwóch zbiorów domknitych. Twierdzenie 1.25 w Niech A bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). Dla punktu x " X n.w.s.r.: (1) x " "A (czyli x jest punktem brzegowym zbioru A), B(x, µ) \ A = ", (2) "µ"R : + A )" B(x, µ) = ". U )" A = ", (3) "U"Top(X,d) : x " U Ò! U \ A = ". Dowód:w wiczenie. Uwaga 1.14 w cl(A) = int(A) *" "A = A *" "A (wiczenie). PrzykBad 1.16 w 1. Wrómy do podzbioru Z przestrzeni metrycznej (R2, d2) z PrzykBadu 1.14.2. Stwierdzili[my, |e: int(Z) = (-1, 1) × (-2, 3). Nastpnie cl(Z) = cl((-1, 1) × (-2, 3)) *" ([-3, 5] × {0}) = = cl((-1, 1) × (-2, 3)) *" cl([-3, 5] × {0}) =(wiczenie)= = ([-1, 1] × [-2, 3]) *" ([-3, 5] × {0}). Ostatecznie "Z := cl(Z) \ int(Z) = ([-1, 1) × [-2, 3])*" *"({-1, 1} × [-2, 3]) *" ([-1, 5] × {0}) *" ([-3, -1] × {0}). 25 y 3 1 x -3 5 -2 2. Wrómy do podzbioru E przestrzeni metrycznej (R3, d2), rozwa|anego na poprzednim wykBadzie. Stwierdzili[my, |e cl(E) = B((0, 0, 1), 1). Aatwo zauwa|y, |e int(E) = B((0, 0, 1), 1) \ {(0, 0, 1)}.(wiczenie) W takim razie "(E) := cl(E) \ int(E) = S((0, 0, 1), 1) *" {(0, 0, 1)}. Definicja 1.21 w Niech A bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). Punkt x " X jest punktem zewntrznym tego podzbioru, je[li "µ"R : A )" B(x, µ) = ". + Definicja 1.22 w Zewntrzem podzbioru A przestrzeni metrycznej (X, d) nazywa si zbiór wszyst- kich punktów zewntrznych tego podzbioru. (Zewntrze zbioru A oznacza si przez ext(A).) Twierdzenie 1.26 w Niech A bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). Wówczas: (i) ext(A) = X \ cl(A), (ii) ext(A) " Top(X, d), (iii) X = int(A)*""A*"ext(A), przy czym zbiory po prawej stronie s parami rozBczne. Dowód:w wiczenie. 26 2 CigBo[ Twierdzenie 2.1 w Niech (X, d) i (Y, Á) bd przestrzeniami metrycznymi. Dla punktu a " X i odwzorowania f : X ’! Y n.w.s.r.: (1) "µ"R "´"R "x"X : d(x, a) < ´ Ò! Á(f(x), f(a)) < µ, + + (2) "µ"R "´"R : f(B(a, ´)) †" B(f(a), µ), + + Á (3) f(xn) - ’! f(a) dla ka|dego takiego cigu (xn)" punktów przestrzeni -- n=1 n’!" (X, d), |e xn - - a. -d’! n’!" Dowód:w (1) Ò! (2) wiczenie. (1) Ò! (3) ZaBó|my, |e warunek (1) jest speBniony. Niech (xn)" bdzie takim n=1 cigiem punktów przestrzeni (X, d), |e xn - - a. ZakoDczymy dowód -d’! n’!" Á implikacji, je[li poka|emy, |e f(xn) - ’! f(a). -- n’!" Niech zatem µ " R+ (dowolne). Nastpnie niech ´ " R+ bdzie liczb dobran do powy|szego µ na mocy warunku (1). Poniewa| xn - - a, to "N"N\{0}"n"N\{0} : n N Ò! d(xn, a) < ´. -d’! n’!" Je[li teraz n N, to Á(f(xn), f(a)) < µ (warunek (1)). Pokazali[my w ten sposób, |e: "µ"R "N"N\{0}"n"N\{0} : n N Ò! Á(f(xn), f(a)) < µ, + Á co znaczy, |e f(xn) - ’! f(a). -- n’!" d(x, a) < ´, ¬(1) Ò! ¬(3) ZaBó|my, |e "µ"R "´"R "x"X : + + Á(f(x), f(a)) µ. Dla (dowolnego) n " N \ {0} wybierzmy (dokBadnie jeden) taki punkt 1 xn " X, |e d(xn, a) < (= ´) oraz Á(f(xn), f(a)) µ. n Zdefiniowali[my w ten sposób cig (xn)" punktów przestrzeni (X, d). n=1 1 Poniewa| 0 d(xn, a) < dla ka|dego n, to lim d(xn, a) = 0, co n n’!" oznacza, |e xn - - a. -d’! n’!" Jednocze[nie Á(f(xn), f(a)) µ > 0, dla ka|dego n, z czego natych- miast wynika, |e cig (f(xn))" nie zmierza do f(a) w przestrzeni n=1 (Y, Á). Wykazali[my w ten sposób zaprzeczenie warunku (3). 27 Definicja 2.1 w Niech (X, d) i (Y, Á) bd przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie f : X ’! Y jest cigBe w punkcie a " X, je[li speBnia który[ z warunków poprzedniego twierdzenia. Uwaga 2.1 w 1) Definicja cigBo[ci w punkcie za pomoc warunku (1) nazywa si definicj Cauchy ego albo epsilonowo-deltow. Definicja cigBo[ci w punkcie za pomoc warunku (3) zwie si definicj Heinego albo cigow. 2) Je[li X jest niepustym podzbiorem zbioru R, d- metryk naturaln w tym podzbiorze (indukowan z R), Y = R, Á jest metryk naturaln w R, to nasza definicja cigBo[ci w punkcie sprowadza si do definicji znanej ze  Wstpu do analizy matematycznej . Twierdzenie 2.2 w Niech (X, d) i (Y, Á) bd przestrzeniami metrycznymi. Dla odwzorowania f : X ’! Y n.w.s.r.: (1) f jest cigBa w ka|dym punkcie a " X, (2) "U†"Y : U " Top(Y, Á) Ò! f-1(U) " Top(X, d), (3) "C†"Y : C " Cotop(Y, Á) Ò! f-1(C) " Cotop(X, d), (4) "S†"X : f(S) = f(S). Dowód:w (1) Ò! (2) ZaBó|my, |e warunek (1) jest speBniony i wybierzmy (dowolnie) zbiór U " Top(Y, Á). Mamy pokaza, |e przeciwobrac f-1(U) " Top(X, d). Niech zatem x " f-1(U). ZakoDczymy dowód implikacji, je[li znajdzie- my tak liczb r " R+, |e B(x, r) †" f-1(U). Skoro x " f-1(U), to f(x) " U. Poniewa| U " Top(Y, Á), to "µ"R : B(f(x), µ) †" U. + Z zaBo|enia odwzorowanie f jest cigBe w punkcie x. Skorzystajmy z warunku (2) w twierdzeniu definiujcym cigBo[ w punk- cie. Widzimy, |e "´"R : f(B(x, ´)) †" B(f(x), µ). Skoro tak, to (wprost + z definicji przeciwobrazu) B(x, ´) †" f-1(B(f(x), µ)). Poniewa| B(f(x), µ) †" U, to f-1(B(f(x), µ)) †" f-1(U). Dowód implikacji koDczymy zatem kBadc r = ´. 28 (2) Ò! (1) ZaBó|my, |e warunek (2) jest speBniony. Wybierzmy (dowolne) a " X. ZakoDczymy dowód implikacji, je[li poka|emy, |e odwzorowanie f jest cigBe w punkcie a. Ustalmy zatem µ " R+. Poniewa| B(f(a), µ) " Top(Y, Á), to (warunek (2)) f-1(B(f(a), µ)) " Top(X, d)). Zauwa|my, |e f(a) " B(f(a), µ). W takim razie a " f-1(B(f(a), µ)). Wskutek otwarto[ci zbioru f-1(B(f(a), µ)) istnieje r " R, takie |e B(a, r) †" f-1(B(f(a), µ)). Wobec tego f(B(a, r)) †" B(f(a), r) (definicja przeciwobrazu). W ten sposób udowodnili[my, |e "µ"R "r"R : f(B(a, r)) †" B(f(a), ´), + + co znaczy, |e odwzorowanie f jest cigBe w punkcie a. (2) Ò! (3) ZaBó|my, |e warunek (2) jest speBniony. Wybierzmy C " Cotop(Y, Á). Musimy pokaza, |e f-1(C) " Cotop(X, d). Odnotujmy, |e Y \ C " Top(X, d). Nastpnie X \ f-1(C) = {x " X : f(x) " C} = {x " X : f(x) " Y \ C} = f-1(Y \ C) " Top(X, d). Skoro tak, to f-1(C) " Cotop(X, d). (3) Ò! (2) wiczenie. (1) Ò! (4) ZaBó|my, |e warunek (1) jest speBniony. Wybierzmy (dowolny) zbiór S †" X. Niech a " X bdzie punktem granicznym tego zbioru. Wów- czas istnieje taki cig (xn)" elementów zbioru S, |e xn - - a. -d’! n=1 n’!" Poniewa| (warunek (1)) odwzorowanie f jest cigBe w punkcie a, to Á (definicja Heinego) f(xn) - ’! f(a). -- n’!" Poniewa| (f(xn))" jest cigiem elementów zbioru f(S), to z powy|- n=1 szych rozwa|aD wynika, |e f(a) jest punktem granicznym zbioru f(S). Udowodnili[my w ten sposób, |e "a"Xa " S Ò! f(a) " f(S), co znaczy, |e f(S) †" f(S). (4) Ò! (3) ZaBó|my, |e warunek (4) jest speBniony. Wybierzmy dowolne C " Cotop(Y, Á). Musimy wykaza, |e f-1(C) " Cotop(X, d), czyli |e f-1(C) = f-1(C). Inkluzja f-1(C) †" f-1(C) jest oczywista. Pozostaje pokaza, |e f-1(C) †" f-1(C). Mamy, co nastpuje: f(f-1(C)) †" f(f-1(C)) †" C = C(C " Cotop(Y, Á)). Skoro tak, to (definicja przeciwobrazu) f-1(C) †" f-1(C). Dowód jest zakoDczony. Definicja 2.2 w Niech (X, d) i (Y, Á) bd przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie f : X ’! Y jest cigBe, je[li speBnia który[ z warunków powy|szego twierdzenia. 29 PrzykBad 2.1 w (1) Rozwa|my przestrzeD metryczn (R2, d2) i przestrzeD metryczn (R, d), gdzie d jest metryk naturaln. Udowodnili[my, |e funkcja f : R2 (x, y) ’! xy " R jest cigBa, czyli "(a,b)"R2 jest cigBa w tym punkcie. Skorzystamy z definicji Heinego. Przypu[my, |e ((xn, yn))" jest takim cigiem punktów przestrzeni n=1 2 (R2, d2), |e (xn, yn) -d- (a, b). - ’! n’!" Wówczas a = lim xn oraz b = lim yn, wobec tego n’!" n’!" lim f(xn, yn) = lim (xn, yn) = lim xn · lim yn = a · b = f(a, b). n’!" n’!" n’!" n’!" Udowodnili[my, |e f jest cigBa w dowolnym punkcie (a, b). y xy = 1 1 -1 x 1 -1 Poniewa| {1} jest podzbiorem domknitym przestrzeni metrycznej (R, d), gdzie d jest metryk naturaln, to z cigBo[ci funkcji f wynika, |e: Cotop(R2, d2) f-1({1}) a" f-1(1) = {(x, y) " R2 : f(x, y) = 1} = = {(x, y) " R2 : xy = 1}. Podobnie poniewa| (-", 1) jest podzbiorem otwartym przestrzeni def metrycznej (R, d), to Top(R2, d2) f-1((-", 1)) = {(x, y) " R2 : f(x, y) < 1} = {(x, y) " R2 : xy < 1}. y xy < 1 1 -1 x 1 -1 30 (2) Rozwa|my przestrzenie metryczne (B(X, R), d") oraz (R, d), gdzie d jest metryk naturaln. Ustalmy x0 " X. Funkcja ¦ : B(X, R) f ’! f(x0) " R jest wtedy cigBa. Faktycznie, je[li g " B(X, R) oraz (fn)" jest cigiem elemen- n=1 " tów zbioru B(X, R) takim, |e fn -d- g, to w szczególno[ci - ’! n’!" lim fn(x0) = g(x0), czyli lim ¦(fn) = ¦(g). (Definicja Heinego ci- n’!" n’!" gBo[ci w punkcie.) Poniewa| (-", 1], [1, ") " Cotop(R, d), to z powy|szej cigBo[ci wyni- ka, |e: {f " B(X, R) : |f(x0)| 1} = = {f " B(X, R) : f(x0) 1} *" {f " B(X, R) : f(x0) -1} = = {f " B(X, R) : ¦(f) 1} *" {f " B(X, R) : ¦(f) -1} = = ¦-1([1, ")) *" ¦-1((-", -1]) " Cotop(B(X, R), d"). (Skorzystamy tu z faktu, |e suma skoDczenie wielu zbiorów domkni- tych jest zbiorem domknitym.) (3) Rozwa|my R z metryk naturaln. Funkcj Dirichleta D : R ’! R definiuje si za pomoc wzoru: 1, gdy x " Q, D(x) = 0, gdy x " Q. Ustalmy x " R (dowolne). Przypu[my, |e x jest liczb wymiern. " 2 Wówczas (x + )" jest cigiem liczb niewymiernych, przy czym n=1 n " 2 lim (x + ) = x. n n’!" " 2 Poniewa| lim D(x + ) = 0 = 1 = D(x), to funkcja D nie jest cigBa n n’!" w punkcie x. (definicja Heinego.) Przypu[my teraz, |e x jest liczb niewymiern. Istnieje wówczas taki cig (qn)" liczb wymiernych, |e lim qn = x. n=1 n’!" Poniewa| lim D(qn) = 1 = 0 = D(x), to funkcja D nie jest cigBa n’!" w punkcie x. Udowodnili[my w ten sposób, |e funkcja Dirichleta nie jest cigBa w |adnym punkcie. Twierdzenie 2.3 w Ka|da funkcja wielomianowa f : Rn ’! R (tylko dodawanie, odejmowanie i mno|enie staBych wspóBczynników oraz zmiennych x1, . . . , xn. Je[li n = 2, to na przykBad f(x, y) = 4x8 - 10xy3 + 13y5 - 794.) jest cigBa, przy metryce euklidesowej w Rn i naturalnej w R. Szkic dowodu: Korzystamy z definicji Heinego cigBo[ci w punkcie, twierdzenia charaktery- zujcego zbie|no[ cigów w przestrzeni metrycznej (Rn, d2) oraz twierdzenia o granicy sumy i iloczynu dwóch cigów liczbowych. 31 Dowód - wiczenie. Definicja 2.3 w Niech A, B i C bd zbiorami. Przypu[my, |e C = ". Niech nastpnie Õ : A ’! C oraz È : B ’! C. ZaBó|my, |e "x"A)"B : Õ(x) = È(x). Sklejeniem odwzorowaD Õ oraz È nazywa si wówczas odwzorowanie Õ *" È : A *" B ’! C zdefiniowane za pomoc wzoru: Õ(x), x " A, (Õ *" È)(x) = È(x), x " B. Twierdzenie 2.4 w Niech (X, d) oraz (Y, Á) bd przestrzeniami metrycznymi. Niech ponadto y0 " Y oraz A †" X bdzie zbiorem niepustym. Wówczas: (i) idx jest odwzorowaniem cigBym, (ii) odwzorowanie staBe c : X x ’! y0 " Y jest cigBe, (iii) jak f : X ’! Y jest odwzorowaniem cigBym, to zaw|enie f|A : A x ’! f(x) " Y jest odwzorowaniem cigBym, przy metryce indukowanej d|A×A w zbiorze A. Dowód:w Ad.(i) wiczenie. Ad.(ii) Niech V " Top(Y, Á). Musimy pokaza, |e C-1(V ) " Top(X, d). ", gdy y0 " V , Zauwa|my, |e C-1(V ) = X, gdy y0 " V. Tak, czy inaczej C-1(V ) " Top(X, d). Ad.(iii) wiczenie (u|y definicji Heinego). Twierdzenie 2.5 w Ka|da funkcja wymierna f : Rn ’! R (tylko dodawanie, odejmowanie, mno|e- nie i dzielenie staBych wspóBczynników oraz zmiennych x1, . . . , xn, jak n = 2, x7+xy3-3x+y to na przykBad f : R2 \ S1 (x, y) ’! " R jest cigBa, przy indu- x2+y2-1 kowanej z Rn metryce euklidesowej w swojej dziedzinie i metryce naturalnej w R. Dowód:w wiczenie. 32 Twierdzenie 2.6 w Niech (X, d), (Y, Á) oraz (Z, ´) bd przestrzeniami metrycznymi. Przypu[- my, |e odwzorowania f : X ’! Y oraz g : Y ’! Z s cigBe. Wówczas zBo|enie g æ% f : X ’! Z jest równie| funkcj cigB. Dowód:w Niech V " Top(Z, ´). Musimy pokaza, |e (g æ% f)-1(V ) " Top(X, d). Zauwa|my, |e: (g æ% f)-1(V ) def ={x " X : (g æ% f)(x) " V } = {x " X : g(f(x)) " V } = = {x " X : f(x) = g-1(V )} = {x " X : x " f-1(g-q(V ))} = f-1(g-1(V )). Poniewa| V " Top(Z, ´), g natomiast jest odwzorowaniem cigBym, to g-1(V ) " Top(Y, Á). Poniewa| g-1(V ) " Top(Y, Á) oraz f jest odwzorowaniem cigBym, to: (g æ% f)-1(V ) = f-1(g-1(V )) " Top(X, d). Lemat 2.1 w Niech A bdzie niepustym podzbiorem otwartym przestrzeni metrycznej (X, d). Wówczas Top(A, d|A×A) †" Top(X, d). Dowód:w Przypu[my, |e V " Top(A, d|A×A). Niech x " V (dowolny punkt). Poniewa| V " Top(A, d|A×A), to: def "r "R+ : BA(x, r1) = {y " A : d(y, x) < r1} †" V. 1 Poniewa| A " Top(X, d) oraz V †" A, to: def "r "R+ : B(x, r2) = {y " X : d(y, x) < r2} †" A. 2 PoBó|my r = min{r1, r2}. Wówczas r " R+. Wezmy pod uwag dowolny punkt y " X, taki |e d(y, x) < r. Poniewa| d(y, x) < r2, to y " A. Poniewa| d(y, x) < r1 oraz y " A, to y " V. def Pokazali[my, |e B(x, r) = {y " X : d(y, x) < r} †" V. Z uwagi na dowolno[ punktu x wynika, |e V " Top(X, d). Twierdzenie 2.7 w Niech (X, d) i (Y, Á) bd przestrzeniami metrycznymi. Niech ponadto A, B †" X bd niepustymi zbiorami otwartymi speBniajcymi warunek A *" B = X. Przypu[my, |e odwzorowania Õ : A ’! Y oraz È : B ’! Y s cigBe, przy metrykach indukowanych d|A×A i d|B×B. ZaBó|my, |e "x"A)"B : Õ(x) = È(x). Wówczas sklejenie Õ *" È : X ’! Y jest odwzorowaniem cigBym. 33 Dowód:w Niech V " Top(Y, Á). Musimy pokaza, |e (Õ *" È)-1(V ) " Top(X, d). Zauwa|my, |e: def (Õ *" È)-1(V ) = {x " X : (Õ *" È)(x) " V } = {x " A : Õ(x) " V }*" *"{x " X : È(x) " V } = Õ-1(V ) *" È-1(V ). Poniewa| Õ oraz È s odwzorowaniami cigBymi, to Õ-1(V ) " Top(A, d|A×A) oraz È-1(V ) " TopB, d|B×B. Z lematu i faktu, |e A, B " Top(X, d) wynika, |e Õ-1(V ), È-1(V ) " Top(X, d). Poniewa| suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym, to dostajemy finalnie (Õ *" È)-1(V ) " Top(X, d). Uwaga 2.2 w Powy|sze twierdzenie pozostanie prawdziwe, je[li zamiast sBowa  otwartymi napiszemy  domknitymi (wiczenie). PrzykBad 2.2 w 1. Rozwa|my przedziaBy (-", 0] *" [0, ") prostej R. Ka|dy z nich jest podzbiorem domknitym przestrzeni metrycznej (R, d), gdzie d jest metryk naturaln. Co wicej (-", 0] *" [0, ") = R. Ka|da z funkcji Õ : (-", 0] x ’! x " R oraz È : [0, ") x ’! x2 " R jest cigBa przy metryce indukowanej z (R, d) w swojej dziedzinie. (Za- w|enie funkcji cigBych i okre[lonych w R). W koDcu Õ(0) = 0 = È(0). Skoro tak, to Õ*"È : R ’! R jest funkcj cigB w przestrzeni metrycznej z metryk naturaln w R. 2. Rozwa|my podzbiory {(0, 0)} i R2 \ {(0, 0)} pBaszczyzny R2 wyposa- |onej w metryk euklidesow. Tylko pierwszy z nich jest domknity. Tylko drugi z nich jest otwarty. Funkcja f : R2 ’! R zdefiniowana za pomoc wzoru: 0, gdy (x, y) = (0, 0), f(x, y) = xy , gdy (x, y) = (0, 0) x2+y2 jest sklejeniem dwu funkcji cigBych (przy indukowanych metrykach euklidesowych): stale równej 0, w zbiorze {(0, 0)} i wymiernej, w zbiorze R2 \ {(0, 0)}. Niestety funkcja f nie jest cigBa w punkcie (0, 0) 2 1 1 (przy metryce naturalnej w R). Faktycznie, (n, ) -d- (0, 0) oraz - ’! n n’!" 1 1 1 1 n2 f(n, ) = = = 0 = f(0, 0), dla ka|dego n " N \ {0} 1 1 n 2 + n2 n2 (definicja Heinego). 3. Rozwa|my przedziaB [0, 2À) ‚" R wyposa|ony w indukowan metryk naturaln oraz okrg S1 ‚" R2 wyposa|ony w indukowan metryk 34 euklidesow. Odwzorowanie ³ : [0, 2À) t ’! (cos(t), sin(t)) " S1 jest wówczas cigB bijekcj (wiczenie). y 1 S1 ³(t) 1 x Zajmijmy si odwzorowaniem odwrotnym ³-1 : S1 ’! [0, 2À). Aatwo zauwa|y, |e ³-1(x, y) = Arg(x + iy).Odwzorowanie to nie jest cigBe dla dowolnego (x, y) " S1 w punkcie (1, 0). Faktycznie 2 1 1 S1 (cos(2À - ), sin(2À - )) -d- (cos(2À), sin(2À)) = (1, 0), - ’! n n n’!" podczas gdy 1 1 1 lim (³-1(cos(2À- ), sin(2À- )) = lim (2À- ) = 2À = 0 = ³-1(1, 0). n n n n’!" n’!" Definicja 2.4 w Niech (X, d), (Y, Á) bd przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie h : X ’! Y jest homeomorfizmem, jak jest cigBe, bijektywne i odwzorowanie odwrotne h-1 : Y ’! X jest cigBe. Uwaga 2.3 w 1) Odwzorowanie identyczno[ciowe idx : X x ’! x " X jest homeomor- fizmem. 2) Odwzorowanie odwrotne do homeomorfizmu jest homeomorfizmem (automorfizmem). 3) ZBo|enie homeomorfizmów jest homeomorfizmem. 4) h : X ’! Y jest homeomorfizmem oraz zbiór A †" X jest otwarty (domknity), to zbiór h(A) te| jest otwarty (domknity). Definicja 2.5 w Mówimy, |e przestrzenie metryczne (X, d), (Y, Á) s homeomorficzne, je|eli <" istnieje homeomorfizm h : X ’! Y (oznaczamy (X, d) (Y, Á)). = homeo A 35 Uwaga 2.4 w <" 1) (X, d) (X, d), = homeo A <" <" 2) (X, d) (X, d) Ò! (Y, Á) (X, d), = = homeo homeo A A <" <" <" 3) (X, d) (Y, Á) '" (Y, Á) (Z, ´) Ò! (X, d) (Z, ´). = = = homeo homeo homeo A A A PrzykBad 2.3 w PrzestrzeD (-1, 1) z metryk naturaln jest homeomorfizmem z R z metryk naturaln, poniewa| odwzorowanie: f : (-1, 1) x ’! tg(À x) " R jest homeomorfizmem. 2 Definicja 2.6 w (X, d), (Y, Á) - przestrzenie metryczne. Odwzorowanie h : X ’! Y nazywamy izometri, je|eli: "x ,x2"X : Á(h(x1), h(x2)) = d(x1, x2). 1 Uwaga 2.5 w 1o Odwzorowanie identyczno[ciowe jest izometri. 2o ZBo|enie izometrii jest izometri. Twierdzenie 2.8 w (X, d), (Y, Á) - przestrzenie metryczne. Niech odwzorowanie h : X ’! Y bdzie izometri. Wówczas h jest ró|nowarto[ciowe i cigBe. Dowód:w ZaBó|my, |e h(x1) = h(x2), z aksjomatu okre[lono[ci (h(x1), h(x2)) = 0. Poniewa| h - izometria, to d(x1, x2) = 0. Teraz ponownie korzystajc z aksjomatu okre[lono[ci x1 = x2. " cigBo[: a " X. "µ>0 "´>0 "x"X : d(a, x) < ´ Ò! Á(h(a), h(x)) < µ. Poniewa| d(a, x) = Á(h(a), h(x)), biorc µ > 0 oraz dobierajc ´ = µ nasza implikacja jest speBniona. Uwaga 2.6 w Surjektywna izometria jest bijekcj, przy czym jej odwzorowanie odwrotne te| jest izomorfizmem. 36 PrzykBad 2.4 w 1. Wezmy przestrzeD R z metryk naturaln oraz B(R, R) z metryk Czebyszewa. Odwzorowanie: R f ’! funkcja staBa równa f " B(R, R) jest izometri, ale nie surjekcj (wiczenie). 2. Translacja o wektor w przestrzeni Rn z metryk euklidesow jest izo- metria. v " Rn, Tv(x) = v + x. d2(Tv(x), Tv(y)) = (x1 + v1 - v1 - v1)2 + · · · + (xn + vn - vn - vn)2 = = d(x, y). 3. PodobieDstwo w Rn z metryk euklidesow o skalarze » = 1 jest autohomeomorfizmem, ale nie izometri. Definicja 2.7 w Przestrzenie metryczne (X, d), (Y, Á) s izometryczne, je|eli istnieje <" h : X ’! Y, które jest izometri oraz surjekcj. [(X, d) (Y, Á)] = izo A Uwaga 2.7 w <" 1o (X, d) (X, d), = izo A <" <" 2o (X, d) (Y, Á) Ò! (Y, Á) (X, d), = = izo izo A A <" <" <" 3o (X, d) (Y, Á) '" (Y, Á) (Z, ´) Ò! (X, d) (Z, ´). = = = izo izo izo A A A Twierdzenie 2.9 w <" (X, d) (Y, Á). Je|eli przestrzeD (X, d) jest zupeBna (ograniczona), to = izo A przestrzeD (Y, Á) te| jest zupeBna (ograniczona). Dowód:w 1o ograniczono[: (X, d) - ograniczone, h : X ’! Y - izometria i surjekcja. " >diam(X) = sup{d(x, y) : x, y " X} = = sup{Á(h(x), h(y)) : x, y " X} = sup{Á(a, b) : a, b " Y } =diam(Y ). 1o zupeBno[: (X, d) - zupeBna, f : Y ’! X - izometri i surjekcja. Niech (yn)n"N bdzie cigiem Cauchy ego w (Y, Á). Dowód zakoDczymy pokazujc, |e (yn)n"N ma granic w Y. 37 PoBó|my xn = f(yn). "µ>0 "n "N\{0} "m,n>n : Á(yn, ym) < µ Ô! 0 0 Ô! "µ>0"n "N\{0} "m,n>n : d(xn, xm) < µ Ò! 0 0 Ò! (xn)n"N cig Cauchy ego w (X, d). xn - - g Ô! d(xn, g) ’! 0 Ô! Á(f-1(xn), f-1(g)) ’! 0 Ô! -d’! n’!" Á Ô! Á(yn, f-1(y)) ’! 0 Ô! yn ’! f-1(y) " Y. - Twierdzenie 2.10 w Dowolne dwie przestrzenie izometryczne s homeomorficzne. (Nie na odwrót!) Dowód:w Wniosek z poprzedniego twierdzenia i uwagi. PrzykBad 2.5 w (1) Przestrzenie (-1, 1) z metryk naturaln oraz R z metryk naturaln nie s izometryczne, bowiem jedna przestrzeD jest ograniczone, a druga nie, jedna jest zupeBna, a druga nie. (2) Przestrzenie (-1, 1) z metryk naturaln oraz [-1, 1] z t sam metry- k nie s homeomorficzne.Uzasadnienie: 1 Cig (1 - )n"N\{0} nie ma podcigu zbie|nego w (-1, 1). n ZaBó|my, |e h : (-1, 1) ’! [-1, 1] jest homeomorfizmem. Skoro tak, to 1 " (h(1 - ))n"N nie ma podcigu zbie|nego w [-1, 1]. n Tymczasem z twierdzenia Bolzano - Weierstrassa wiemy, |e ka|dy cig ograniczony w [-1, 1] zawiera podcig zbie|ny w tym przedziale. Sprzeczno[! 38 3 Iloczyn kartezjaDski przestrzeni metrycz- nych Twierdzenie 3.1 w Niech (X1, d1), · · · , (Xs, ds) - przestrzenie metryczne. X = X1 × · · · × Xs. Wówczas funkcja d : X × X ’! [0, ") zdefiniowana za s pomoc wzoru d(x, y) = (di(xi, yi))2 jest metryk w (X, d). i=1 Dowód:w (M1) Oczywiste. (M2) Oczywiste (M3) Nierówno[ trójkta: "x,y,z"X : d(x, y) d(x, z) + d(z, y). aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Nierówno[ Schwarza: n n n ( aibi)2 ( ai)2 · ( bi)2 i=1 i=1 i=1 aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa s s (d(x, y))2 = (di(xi, yi))2 (di(xi, zi) + di(zi, yi))2 = i=1 i=1 s s s = (di(xi, zi))2 + (di(zi, yi))2 + 2 (di(xi, zi) · di(zi, yi)) i=1 i=1 i=1 s s s s (di(xi, zi))2 + (di(zi, yi))2 +2 (di(xi, zi))2 · (di(zi, yi))2 = i=1 i=1 i=1 i=1 = (d(x, z) + d(z, y))2. Zatem pokazali[my, |e d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Definicja 3.1 w Niech (X1, d1), . . . , (Xs, ds) bd przestrzeniami metrycznymi. Niech X = X1 × . . . × Xs. PrzestrzeD (X, d) nazywamy iloczynem metrycz- nym, gdzie d jest funkcj zdefiniowan w poprzednim twierdzeniu. Piszemy: (X, d) = (X1, d1), . . . , (Xs, ds) PrzykBad 3.1 w 1. PrzestrzeD Rn z metryk euklidesow jest iloczynem metrycznym prze- strzeni R z metryk naturaln. 39 2. PrzestrzeD Rn+m z metryk euklidesow jest iloczynem metrycznym przestrzeni Rn i Rm z metryk euklidesow. Twierdzenie 3.2 w Niech (X, d) bdzie iloczynem metrycznym przestrzeni metrycznych (X1, d1), . . . , (Xs, ds). Wówczas dla cigu (xn)n"N = (x(n), . . . , x(n))n"N 1 s w przestrzeni (X, d) oraz dla punktu g = (g1, . . . , gs) " Xan.w.s.r.: (1) x(n) - - g, -d’! n’!" i (2) "i"{1,...,s} x(n) -d- gi " X. - ’! i n’!" Dowód:w s n’!" n’!" x(n) - - g Ô! d(x(n), g) - ’! 0 Ô! (di(x(n), gi))2 - ’! 0 Ô! -d’! -- -- i n’!" i=1 i Ô! "i"{1,...,s} : di(xi, gi) ’! 0 Ô! "i"{1,...,s} x(n) -d- gi. - ’! i n’!" s ( ) : "i"{1,...,s} di(xi, yi) (di(xi, yi))2. i=1 Twierdzenie 3.3 w Niech (X, d) bdzie iloczynem metrycznym przestrzeni metrycznych (X1, d1), . . . , (Xs, ds). Niech Zi †" Xi, dla ka|dego i " {1, . . . , s}. Je|eli zbiory Zi s zbiorami domknitymi (otwartymi) w (Xi, di), dla ka|dego i " {1, . . . , s}, to zbiór Z = Z1 × . . . × Zs jest domknity (otwarty) w (X, d). Dowód:w 1o domknito[: Niech Zi " Cotop(Xi, di). Niech (g1, . . . , gs) bd punktami graniczny- mi zbioru Z. Musimy pokaza, |e (g1, . . . , gs) " Z. Skoro (g1, . . . , gs) jest punktem granicznym, to istnieje cig (x(n), . . . , x(n))n"N 1 s w Z zbie|ny w d do (g1, . . . , gs). Na mocy poprzedniego twierdzenia: i "i"{1,...,s} x(n) -d- gi, ale Zi " Cotop(Xi, di). - ’! i n’!" Zatem "i"{1,...,s} gi " Zi, czyli (g1, . . . , gs) " Z1 × . . . × Zs = Z. 2o otwarto[: Z " Top(X, d) Ô! X \ Z " Cotop(X, d). Niech Zi " Top(Xi, di). X \ Z = (X1 × . . . × X2) \ (Z1 × . . . × Zs) = s = X1 × . . . × Xi-1 × (Xi \ Zi) × Xi+1 × . . . × Xs. i=1 40 Xi\Zi jest zbiorem domknitym. Iloczyn kartezjaDski zbiorów domkni- tych te| jest zbiorem domknitym oraz suma skoDczonej ilo[ci zbiorów domknitych te| jest zbiorem domknitym. Zatem X \ Z " Cotop(X, d) Ò! Z " Top(X, d). Twierdzenie 3.4 w Niech (X, d) bdzie iloczynem metrycznym przestrzeni metrycznych (X1, d1), . . . , (Xs, ds). PrzestrzeD (Xi, di) jest zupeBna dla ka|dego i " {1, . . . , s} Ô! (X, d) jest zupeBna. Dowód:w  Ò!  Niech (x(n))n"N = (x(n), . . . , x(n))n"N bdzie cigiem Cauchy ego w (X, d). 1 s (Xi, di) - przestrzeD zupeBna dla ka|dego i " {1, . . . , s}. "µ>0"n "m,n>n : d(xn, xm) < µ Ò! "µ>0"n "m,n>n "i di(xm, xn) < µ. 0 0 0 0 i i i x(n) -d- gi " X z charakteryzacji zbie|no[ci w (X, d) wiemy, |e - ’! i n’!" (x(n), . . . , x(n)) - - (g1, . . . , gs) " X. -d’! 1 s n’!" Ó! (X, d) jest zupeBna.  Ð!  wiczenie. Definicja 3.2 w Niech (X1, d1), . . . , (Xs, ds), gdzie s " N \ {0}, bd przestrzeniami metrycz- nymi i niech (X, d) = (X1, d1), . . . , (Xs, ds). Wybierzmy i " {1, . . . , s}. Projekcj (czyli rzutowaniem) na i-t skBadow nazywa si odwzorowanie: Ài : X (x1, . . . , xs) ’! xi " Xi. Twierdzenie 3.5 w Niech (X, d) oraz i bd jak z powy|szej definicji. Wówczas: (1o) rzutowanie Ài jest surjekcj, (2o) rzutowanie Ài jest odwzorowaniem cigBym, (3o) U " Top(X, d) Ò! Ài(U) " Top(Xi, di). Dowód:w Ad.(1o) Oczywiste. 41 Ad.(2o) Niech V " Top(Xi, di). ZakoDczymy dowód wBasno[ci, jak poka|emy, -1 |e Ài (V ) " Top(X, d). -1 Ài (V ) def ={(x1, . . . , xs) " X : xi " V } = = X1 × . . . × Xi-1 × V × Xi+1 × . . . × Xs. Poniewa| Xi " Top(Xi, di) oraz  iloczyn kartezjaDski zbiorów otwar- tych jest zbiorem otwartym , to z powy|szych wBasno[ci wynika, |e -1 Ài (V ) " Top(X, d). Ad.(3o) Powiedzmy, |e U " Top(X, d). Wybierzmy (dowolny) punkt a " Ài(U). ZakoDczymy dowód, je|eli poka|emy, |e "µ>0 : B(a, µ) †" Ài(U) (kula w przestrzeni (Xi, di)). Poniewa| a " Ài(U), to yi = (x1, . . . , xi-1, a, xi+1, . . . , xs) " U dla pewnych x1 " X1, . . . , xi-1 " Xi-1, xi+1 " Xi+1, . . . , xs " Xs. Skoro U " Top(X, d), to "µ>0 : B(y, µ) †" U (kula w przestrzeni (X, d)). Je|eli teraz di(a, b) < µ dla pewnego b " Xi, to: d(y, (x1, . . . , xi-1, b, xi+1, . . . , xs)) = = (d1(x1, x1))2 + . . . + (di-1(xi-1, xi-1))2 + (di(a, b))2 + . . . + (ds(xs, xs))2 = = (di(a, b))2 = di(a, b) < µ, wic (x1, . . . , xi-1, b, xi+1, . . . , xs) " U, skd ju| b = Ài(x1, . . . , xi-1, b, xi+1, . . . , xs) " Ài(U). W ten sposób udowodnili[my, |e B(a, µ) †" Ài(U) (kula w przestrzeni (Xi, di)). Definicja 3.3 w Niech (X, d) oraz (Y, Á) bd przestrzeniami metrycznymi. Odwzorowanie f : X ’! Y jest otwarte, je[li "U"Top(X,d) : f(U) " Top(Y, Á). PrzykBad 3.2 w 1. Rozwa|my funkcj f : R ’! R zdefiniowan przez: ñø ôø x + 1, x < -1 òø f(x) = 0, |x| 1 ôø óø x - 1, x > 1. y y = f(x) 1 x -2 -1 1 2 -1 42 Jest ona cigBa przy metryce naturalnej. Funkcja ta nie jest otwarta (w sensie powy|szej definicji), bo 1 f((-2, )) = (-1, 0] nie jest podzbiorem otwartym prostej R wyposa- 2 |onej w metryk euklidesow. 2. Rozwa|my projekcj À1 : R2 (x, y) ’! x " R. Wiemy, |e H = {(x, y) " R2 : xy = 1} jest podzbiorem domknitym pBaszczyzny R2 z metryk euklidesow. Niestety À1(H) = R" nie jest podzbiorem domknitym prostej R wy- posa|onej w metryk naturaln. (R2, d2) = (R, d) × (R, d), gdzie d jest metryk naturaln. y H 1 À1 x -1 1 -1 Definicja 3.4 w Niech A, B1, . . . , Bs, gdzie s " N \ {0}, bd zbiorami. Przypu[my, |e B1, . . . , Bs s niepuste. Zestawieniem odwzorowaD f1 : A ’! B1, . . . , fs : A ’! Bs nazywa si odwzorowanie: (f1, . . . , fs) : A a ’! (f1(a), . . . , fs(a)) " B1 × . . . × Bs. Twierdzenie 3.6 w Niech (X, d), (Y1, Á1), . . . , (Ys, Ás), gdzie s " N \ {0}, bd przestrzeniami me- trycznymi i niech (Y, Á) = (Y1, Á1) × . . . × (Ys, Ás). Niech ponadto f1 : X ’! Y1, . . . , fs : X ’! Ys bd odwzorowaniami cigBy- mi. Wówczas zestawienie (f1, . . . , fs) : X ’! Y jest odwzorowaniem cigBym. Dowód:w Skorzystamy z definicji Heinego: Wybierzmy (dowolnie) punkt a " X. Niech (xn)" bdzie cigiem punktów n=1 przestrzeni (X, d), takich, |e xn - - a. -d’! n’!" Musimy tylko pokaza, |e (f1, . . . , fs)(xn) ’! (f1, . . . , fs)(a). Liczymy (korzystajc z cigBo[ci odwzorowaD f1, . . . , fs w punkcie a): (f1, . . . , fs)(xn) = (f1(xn), . . . , fs(xn)) - - (f1(a), . . . , fs(a)) = (f1, . . . , fs)(a). -d’! n’!" 43 PrzykBad 3.3 w Odwzorowanie: ¦ : R3 (x, y, z) ’! (x + y3 - 2y, x - 1, z + x2y - 5xy + y3 - 1) " R3 jest cigBe, przy metryce euklidesowej d2 w przestrzeni R3, bowiem jest ono zestawieniem trzech funkcji wielomianowych, wic cigBych przy metryce d2 i metryce naturalnej d na prostej R, oraz (R3, d2) = (R, d) × (R, d) × (R, d). 44 4 Zwarto[ Definicja 4.1 w Podzbiór Z przestrzeni metrycznej (X, d) jest zwarty, je[li ka|dy cig (zn)" n=1 elementów tego podzbioru ma (przynajmniej jeden) podcig zbie|ny do ele- mentu tego podzbioru. PrzykBad 4.1 w 1) Ka|dy podzbiór skoDczony dowolnej przestrzeni metrycznej jest zwarty (wiczenie). 2) PrzestrzeD metryczne (R, d), gdzie d jest metryk naturaln, nie jest zwarta, bowiem cig (n)" nie ma |adnego podcigu zbie|nego do gra- n=1 nicy skoDczonej. 3) PrzedziaB [0, 1) nie jest podzbiorem zwartym prostej R z metryk natu- 1 raln, bowiem ka|dy podcig cigu (1 - )" jest zbie|ny do 1. n=1 n Twierdzenie 4.1 w Niech Z bdzie podzbiorem zwartym przestrzeni metrycznej (X, d). Wówczas Z jest domknity i ograniczony. Dowód:w 1o domknito[: Niech x " X bdzie punktem granicznym zbioru Z. Musimy pokaza, |e x " Z. Poniewa| x jest punktem granicznym zbioru Z, to istnieje taki cig (zn)" elementów tego zbioru, |e zn - - x. -d’! n=1 n’!" Ze zwarto[ci wynika zatem, |e istnieje podcig (zn )" cigu (zn)" k k=1 n=1 i istnieje taki punkt z " Z, |e zn - - z. -d’! k k’!" Zauwa|my, |e jednocze[nie zn - - x (podcig cigu zbie|nego). -d’! k k’!" Poniewa| ka|dy cig punktów dowolnej przestrzenie metrycznej ma co najwy|ej jedn granic, to z powy|szego wynika, |e x = z " Z. 2o ograniczono[: Przypu[my, |e zbiór Z nie jest ograniczony i wybierzmy punkt p " Z. Z nieograniczono[ci wynika teraz, |e "n"N\{0} "z "Z : d(p, zn) > n. n Zdefiniowali[my przy okazji cig (zn)" elementów zbioru Z. n=1 Aatwo sprawdzi, |e ka|dy podcig tego cigu jest nieograniczony (wiczenie) i, w konsekwencji, nie jest zbie|ny w przestrzeni (X, d). Znalezli[my zatem cig elementów zbioru Z nie majcy |adnego podcigu zbie|nego do elementów zbioru Z. 45 PrzykBad 4.2 w Niech Y bdzie nieskoDczonym podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, ´), gdzie ´ jest metryk dyskretn. Wówczas Y jest podzbiorem domknitym i ograniczonym w (X, ´) (wiczenie). Je[li jednak (yn)" jest cigiem ró|nowarto[ciowym elementów zbioru Y , to n=1 (yn)" nie ma |adnego podcigu zbie|nego w (X, ´) (wiczenie). n=1 Wobec tego zbiór Y nie jest zwarty. Twierdzenie 4.2 (o obrazie cigBym zbioru zwartego) Niech (X, d) i (Y, Á) bd przestrzeniami metrycznymi i niech f : X ’! Y bdzie odwzorowaniem cigBym. Je[li wówczas Z jest podzbiorem zwartym przestrzeni (X, d), to f(Z) jest podzbiorem zwartym przestrzeni (Y, Á). Dowód:w Niech (yn)" bdzie (dowolnym) cigiem elementów zbioru f(Z). Musimy n=1 pokaza, |e ten cig ma przynajmniej jeden podcig zbie|ny do elementu tego| podzbioru f(Z). Dla dowolnego n " N" wybierzmy (dokBadnie jeden) punkt zn " Z taki, |e yn = f(zn). Dostali[my cig (zn)" elementów zbioru Z. Poniewa| Z jest zwarty, to n=1 istnieje taki podcig (zn )" cigu (zn)" i istnieje taki punkt z " Z, k k=1 n=1 |e zn - - z. -d’! k k’!" Wobec tego, za spraw cigBo[ci odwzorowania f w punkcie z, nastpuje: Á yn = f(zn ) - ’! f(z) " f(Z). -- k k k’!" Skoro tak, to (yn )" jest podcigiem cigu (yn)" zbie|nym do pewnego k k=1 n=1 elementu zbioru f(Z). PrzykBad 4.3 w Rozwa|my funkcj C; R x ’! e " R. Jest ona cigBa przy metryce natural- nej. Nastpnie {e} jest podzbiorem zwartym prostej R z metryk naturaln. Niestety przeciwobraz C-1(e) = R nie jest zwarty. (C-1(e) -  wBókno funkcji C nad punktem e .) Twierdzenie 4.3 w Ka|da zwarta przestrzeD metryczna jest zupeBna. (Nie na odwrót.) Prosta R z metryk naturaln jest przestrzeni metryczn zupeBn, ale nie jest przestrzeni metryczn zwart. Dowód:w Niech (X, d) bdzie zwart przestrzeni metryczn. Niech ponadto (xn)" n=1 46 bdzie (dowolnym) cigiem Cauchy ego elementów tej przestrzeni. Ze zwar- to[ci wynika, |e istnieje taki podcig (xn )" i istnieje taki punkt x " X, k k=1 |e xn - - x. -d’! k k’!" Poka|emy, |e xn - - x. Niech zatem µ > 0 (dowolnie ustalone). -d’! n’!" Z powy|szych uwag wynika, |e µ "N"N\{0} "m,n"N\{0} : m, n N Ò! d(xm, xn) . 2 µ "K"N\{0} "k"N\{0} : k K Ò! d(x, xn ) . k 2 l K " Z definicji podcigu wynika, |e "l"N : nl N. µ µ Skoro tak, to je[li n N, to d(x, xn) d(x, xn ) + d(xn , xn) < + = µ. l l 2 2 Twierdzenie 4.4 w Przypu[my, |e przestrzenie metryczne (X, d) oraz (Y, Á) s homeomorficzne i |e jedna z nich jest zwarta. Wówczas druga tak|e jest zwarta. Dowód:w Powiedzmy, |e (X, d) jest zwarta. Niech ponadto f : X ’! Y bdzie home- omorfizmem. Wówczas, na mocy twierdzenia o obrazie cigBym zbioru zwar- tego, Y = f(X) jest podzbiorem zwartym przestrzeni (Y, Á). Uwaga 4.1 w 1o) Powy|sze twierdzenie mo|na wypowiedzie w nastpujcy sposób:  Zwarto[ jest wBasno[ci topologiczn (czyli niezmiennicz wzgldem homeomorfizmów). 2o) ZupeBno[ nie jest wBasno[ci topologiczn. (Bowiem wyposa|one w me- tryk naturaln zbiory R i (-1, 1) ‚" R s homeomorficzne, ale tylko jeden z nich jest przestrzeni metryczn zupeBn.) ZupeBno[ jest natomiast wBasno[ci metryczn (tzn., je[li dwie prze- strzenie metryczne s izomorficzne i jedna z nich jest zupeBna, to druga tak|e jest zupeBna. Lemat 4.1 w Niech Z bdzie podzbiorem zwartym przestrzeni metrycznej (X, d). Niech po- nadto C " Cotop(X, d) bdzie zbiorem zwartym w Z. Wówczas C jest pod- zbiorem zwartym w przestrzeni (X, d). Dowód:w Niech (cn)" bdzie (dowolnym) cigiem elementów zbioru C. Wtedy (cn)" n=1 n=1 jest te| cigiem elementów zbioru Z. Poniewa| Z jest zwarty, to istnieje taki 47 podcig (cn )" i istnieje taki punkt z " Z, |e cn - - z. Poniewa| C jest -d’! k k=1 k k’!" zbiorem domknitym, to z powy|szej zbie|no[ci wynika, |e z " C. Pokazali[my w ten sposób, |e dowolny cig elementów zbioru C ma podcig zbie|ny do elementu tego| zbioru. Twierdzenie 4.5 w Niech {Zt}t"T , gdzie T = ", bdzie (dowoln, niepust) rodzin podzbiorów zwartych przestrzeni metrycznej (X, d). Wówczas Zt jest tak|e podzbiorem t"T zwartym tej przestrzeni. Dowód:w Poniewa| Zt jest, dla t " T, podzbiorem zwartym przestrzeni (X, d), to Z " Cotop(X, d). W konsekwencji Zt " Cotop(X, d). Wybierzmy t"T t0 " T. Wtedy Zt †" Zt . W takim razie rozwa|ane przecicie jest zbiorem 0 t"T domknitym zawartym w zbiorze zwartym, wic - na mocy Lematu 4.1 - jest zbiorem zwartym. Twierdzenie 4.6 w Niech (X, d) i (Y, Á) bd przestrzeniami metrycznymi. Przypu[my, |e prze- strzeD (X, d) jest zwarta. Niech ponadto f : X ’! Y bdzie cigB bijekcj. Wówczas (przy zwarto[ci dziedziny) f jest homeomorfizmem. Dowód:w Musimy tylko pokaza, |e f-1 : Y ’! X jest odwzorowaniem cigBym. Niech zatem C " Cotop(X, d). ZakoDczymy dowód, je[li wyka|emy, |e (f-1)-1(C) " Cotop(Y, Á). Zauwa|my najpierw, |e (f-1)-1(C) = f(C). Poniewa| przestrzeD (X, d) jest zwarta i C " Cotop(X, d), to C jest - na mocy Lematu 4.1 - podzbiorem zwartym przestrzeni (X, d). Skoro tak, to f(C) jest podzbiorem zwartym przestrzeni (Y, Á) (twierdzenie o obrazie ci- gBym zbioru zwartego). W takim razie (f-1)-1(C) = f(C) " Cotop(Y, Á). Twierdzenie 4.7 (Bolzano - Weierstrassa) Ka|dy ograniczony cig liczb rzeczywistych ma (przynajmniej jeden) podcig zbie|ny do skoDczonej granicy. Dowód:w Wstp do analizy matematycznej. 48 Definicja 4.2 w Niech m " N \ {0}. Kostk m - wymiarow nazywa si ka|dy zbiór postaci I1 × . . . × Im, gdzie I1, . . . , Im ‚" R s przedziaBami domknitymi i ograniczo- nymi. Twierdzenie 4.8 q Dla dowolnego m " N \ {0} ka|da kostka m - wymiarowa jest podzbiorem zwartym przestrzeni metrycznej (Rm, d2). Dowód:w Indukcja wzgldem m. 1o Niech najpierw I bdzie domknitym i ograniczonym podzbiorem pro- stej R. Musimy wykaza, |e I jest podzbiorem zwartym tej|e prostej wyposa|onej w metryk naturaln. Niech zatem (an)" bdzie (dowolnym) cigiem elementów przedziaBu n=1 I. Wówczas (an)" jest ograniczonym cigiem liczb rzeczywistych. Na n=1 mocy twierdzenia Bolzano - Weierstrassa istnieje taki podcig (an )" k k=1 i istnieje taka liczba a " R, |e lim an = a (zwykBa granica cigu k k’!" liczbowego). Poniewa| I jest podzbiorem domknitym przestrzeni R wyposa|onej w metryk naturaln, to z powy|szej zbie|no[ci wynika, |e a " I. W ten sposób pokazali[my, |e dowolny cig elementów prze- dziaBu I ma podcig zbie|ny do pewnego elementu tego| przedziaBu. 2o Ustalmy nastpnie m " N\{0}. ZaBó|my, |e dla ka|dego q " {1, . . . , m} dowolna kostka q - wymiarowa jest podzbiorem zwartym przestrzeni metrycznej (Rq, d2). 3o Niech C = I1 × . . . × Im × Im+1 bdzie kostk (m + 1) - wymiaro- w. ZakoDczymi dowód, je[li poka|emy, |e C jest podzbiorem zwartym przestrzeni (Rm+1, d2). Niech zatem ((x(n), yn))" , gdzie n=1 x(n) = (x(n), . . . , x(n)) " I1 ×. . .×Im ‚" Rm, oraz yn " Im+1 ‚" R, bdzie 1 m (dowolnym) cigiem elementów kostki C. Na mocy zaBo|enia indukcyj- nego kostka m - wymiarowa I1 × . . . × Im jest podzbiorem zwartym k przestrzeni (Rm, d2). W takim razie istnieje taki podcig (x(n ))" k=1 cigu (x(n))" i istnieje taki punkt q = (q1, . . . , qm) " I1 × . . . × Im, n=1 2 k |e x(n ) -d- q. - ’! k’!" k Rozwa|my podcig ((x(n ), yn ))" cigu ((x(n), yn))" . Wtedy (yn )" k k=1 n=1 k k=1 jest cigiem elementów (domknitego i ograniczonego) przedziaBu Jm+1. Wobec tego istnieje taki podcig (yn )" i istnieje taka liczba h " Im+1, kl l=1 |e lim yn = h (zwykBa granica cigu liczbowego). kl l’!" kl Rozwa|my podcig ((x(n ), yn ))" cigu ((x(n), yn))" . kl l=1 n=1 kl 2 Poniewa| x(n ) -d- q (podcig cigu zbie|nego) oraz lim yn = h, -’! kl l’!" l’!" 49 2 kl to (x(n ), yn ) -d- (g, h) " I1 × . . . × Im × Im+1 = C. -’! kl l’!" (Charakteryzacja zbie|no[ci w przestrzeni (Rm+1, d2).) W ten sposób udowodnili[my, |e dowolny cig elementów kostki C zawiera podcig zbie|ny do pewnego elementu tej|e kostki. Twierdzenie 4.9 wDla podzbioru Z przestrzeni metrycznej (Rm, d2), gdzie m " N \ {0}, n.w.s.r.: (1) Z jest zwarty, (2) Z jest domknity i ograniczony. Dowód:w (1) Ò! (2) Oczywiste. (2) Ò! (1) Przypu[my, |e warunek (2) jest speBniony. Poniewa| zbiór Z jest ogra- niczony w przestrzeni (Rm, d2), to istnieje taka kostka m - wymiarowa C, |e Z †" C (wiczenie). Kostka ta, na mocy poprzedniego twierdzenia, jest podzbiorem zwar- tym przestrzeni (Rm, d2). Skoro tak, to Z jest podzbiorem domknitym zawartym w zbiorze zwartym, wic Z jest (na mocy Lematu 4.1.) zwar- ty. PrzykBad 4.4 w 1. Sfera m - wymiarowa (m " N \ {0}): def Sm = {(x1, . . . , xm+1) " Rm+1 : x2 + . . . + x2 = 1} 1 m+1 jest podzbiorem zwartym przestrzeni metrycznej (Rm, d2). m def 2. Kula B = {(x1, . . . , xm) " Rm : x2 + . . . + x2 1} jest podzbiorem 1 m zwartym przestrzeni metrycznej (Rm, d2). 3. Ka|da prosta jest podzbiorem domknitym przestrzeni (Rm, d2) (wiczenie). {adna taka prosta nie jest jednak podzbiorem zwartym tej przestrzeni (nie jest bowiem ograniczona). 4. Trójkt {(x, y) " R2 : 1 - |x| y > 0} jest podzbiorem ograniczonym przestrzeni metrycznej (R2, d2), ale nie jest w tej przestrzeni podzbiorem zwartym, bo nie jest domknity. 50 y 1 x -1 1 Twierdzenie 4.10 (Weierstrassa o osiganiu kresów) Niech Z bdzie niepustym podzbiorem zwartym przestrzeni metrycznej (X, d) i niech Á : Z ’! R bdzie funkcj cigB (przy metryce indukowanej z (X, d) w zbiorze Z i metryce naturalnej w R). Wówczas: ñø f(±) = sup f(z), òø z"Z "±,²"Z : óø f(²) = inf f(z). z"Z Dowód:w Poniewa| Z jest zbiorem zwartym, to f(Z) jest podzbiorem zwartym prostej R wyposa|onej w metryk naturaln (twierdzenie o obrazie cigBym zbioru zwartego). Skoro tak, to f(Z) jest podzbiorem ograniczonym tej|e prostej, czyli f(Z) ma skoDczone kresy (i górny, i dolny). PoBó|my U = sup f(Z) oraz N = inf f(Z). Istniej wtedy takie cigi (xn)" oraz (ym)" elemen- n=1 m=1 tów zbioru Z, |e U = lim f(xn) oraz N = lim f(ym) (zwykBe granice n’!" m’!" cigów liczbowych). Wskutek zwarto[ci zbioru Z istniej takie podcigi (xn )" oraz (ym )" k k=1 k k=1 i takie punkty ±, ² " Z, |e xn - - ± oraz ym - - ². -d’! -d’! k k k’!" k’!" W takim razie, za spraw cigBo[ci funkcji f w punktach ± oraz ², mamy co nastpuje: lim f(xn ) = f(±) lim f(ym ) = f(²) k k k’!" k’!" limn’!" f(xn) = U = sup f(z) lim f(ym) = N = inf f(z) m’!" z"Z z"Z Twierdzenie 4.11 w (Klasyczna wersja twierdzenia Weierstrassa o osigniu kresów) Niech I bdzie domknitym i ograniczonym przedziaBem prostej R. Niech po- nadto f : I ’! R bdzie funkcj cigB (w zwykBym sensie). Wówczas: f(±) = sup f(I), "±,²"I : f(²) = inf f(I). Dowód:w Wystarczy zauwa|y, |e I jest podzbiorem zwartym prostej R wyposa|onej w metryk naturaln i zastosowa poprzednie twierdzenie. 51 Twierdzenie 4.12 (Cantora) Niech {Zn} bdzie zstpujcym cigiem niepustych podzbiorów zwartych prze- " strzeni metrycznej (X, d). Wówczas Zn = ". n=1 Uwaga 4.2 w To, |e cig {Zn} jest zstpujcy, znaczy, |e Z1 ‡" Z2 ‡" Z3 ‡" . . . . Dowód twierdzenia: Dla dowolnego n " N \ {0} wybieramy (dokBadnie jeden) punkt xn " Zn. Poniewa| Zn jest cigiem zstpujcym, to "n"N\{0}xn †" Z1. Ze zwarto[ci zbioru Z1 wynika, |e istnieje taki podcig {xn }" cigu {xn}" k k=1 n=1 i istnieje taki punkt q " Z1, |e xn - - q. -d’! k k’!" Wybierzmy (dowolnie) l " N \ {0}. Zauwa|my, |e xn " Zl, dla ka|dego n l (bowiem cig {xn }" jest silnie rosncy). Skoro tak, skoro xn - - q -d’! k k=1 k k’!" i skoro Zl " Cotop(X, d) (ka|dy zbiór zwarty jest domknity), to q " Zl. " W ten sposób wykazali[my, |e q " Zl. l=1 PrzykBad 4.5 q Cig przedziaBów {[n, ")}" domknitych prostej R jest zstpujcy oraz n=1 " przecicie [n, ") = ". Zauwa|my, |e |aden z tych przedziaBów nie jest n=1 podzbiorem zwartym prostej R wyposa|onej w metryk naturaln. (PrzedziaBy te s domknitymi i nieograniczonymi podzbiorami prostej R z metryk na- turaln.) Lemat 4.2 w Przypu[my, |e Z jest niepustym podzbiorem zwartym przestrzeni metrycznej s (X, d). Wówczas "µ"R "s"N\{0} "x ,...,xs"Z : Z †" B(xi, µ) + 1 i=1 (kula w przestrzeni (X, d)). Dowód:q Kontrapozycja: s Przypu[my, |e "µ"R "s"N\{0} "x ,...,xs"Z : Z \ B(xi, µ) = ". + 1 i=1 Musimy pokaza, |e Z nie jest wtedy podzbiorem zwartym przestrzeni (X, d). Wybierzmy x1 " Z. Wówczas Z \ B(x1, µ) = ". Wybierzmy (dokBadnie je- den) punkt x2 " Z \ B(x1, µ) i zauwa|my, |e d(x1, x2) µ. ZaBó|my te- raz, |e dla pewnego n " N \ {0, 1} mamy takie punkty x1, . . . , xn " Z, |e n "k,l"{1,...,n} : k = l Ò! d(xk, xl) µ. Wówczas Z \ B(xi, µ) = ". Wybierz- n i=1 my zatem (dokBadnie jeden) punkt xn+1 " Z \ B(xi, µ). Zauwa|my, |e i=1 52 d(xn+1, xi) µ, dla i " {1, . . . , n}. Zdefiniowali[my indukcyjnie cig {xn}" n=1 elementów zbioru Z majcych t wBasno[, |e: "n ,n2"N\{0} : n1 = n2 Ò! d(xn , xn ) µ. 1 1 2 W takim razie |aden podcig cigu {xn}" nie jest cigiem Cauchy ego n=1 w przestrzeni (X, d) (wiczenie). Wobec tego cig {xn}" nie posiada |adnego podcigu zbie|nego w prze- n=1 strzeni (X, d), skd ju| Z nie jest podzbiorem zwartym tej przestrzeni. Definicja 4.3 q Pokryciem otwartym podzbioru Y przestrzeni metrycznej (X, d) nazywa si ka|d tak rodzin {Ut}t"T podzbiorów otwartych tej przestrzeni, |e Y †" Ut. t"T Definicja 4.4 q Przekrojem skoDczonym pokrycia otwartego {Ut}t"T podzbioru Y przestrzeni metrycznej (X, d) nazywa si ka|d tak podrodzin {Ut}t"S, gdzie S †" T, |e S jest zbiorem skoDczonym oraz Y †" Ut. t"S PrzykBad 4.6 q 1) Rodzina przedziaBów {(-", 1), (-8, 17), (3, +")} jest skoDczonym po- kryciem otwartym prostej R wyposa|onej w metryk naturaln. 2) Cig {(-n, n)}" przedziaBów otwartych jest pokryciem otwartym pro- n=1 stej R z metryk naturaln. " (Bowiem (-n, n) = (- max S, max S) = R.) n=1 3) Rodzina kóB otwartych {B(0, 0), µ}µ"R jest nieprzeliczalnym pokryciem + otwartym pBaszczyzny R2 wyposa|onej w metryk euklidesow. Aatwo sprawdzi, |e to pokrycie nie zawiera |adnego podpokrycia skoDczonego (wiczenie). Twierdzenie 4.13 (Borela - Lebesque a)w Dla podzbioru Z przestrzeni metrycznej (X, d) n.w.s.r.: (1) Z jest zwarty, (2) ka|de pokrycie otwarte zbioru Z w przestrzeni (X, d) zawiera (przynaj- mniej jedno) podpokrycie skoDczone. 53 Dowód:q (1) Ò! (2) ZaBó|my, |e Z = " jest podzbiorem zwartym przestrzeni (X, d). Na mocy Lematu 4.2: sn 1 ( ) "n"N\{0} "s "N\{0} " : Z †" B(x(n), ). n i x(n),...,x(n)"Z n sn 1 i=1 Niech ponadto {Ut} bdzie (dowolnym) pokryciem otwartym zbioru Z z przestrzeni (X, d). Niech x " Z (dowolny punkt). Poniewa| {Ut}t"T jest pokryciem otwartym zbioru Z, to "t "T "µ "R+ : B(x, µx) †" Ut x x x (kula w przestrzeni (X, d)). 1 µx Niech m " N \ {0} bdzie tak liczb, |e < . m 2 Z wBasno[ci ( ) 1 wynika, |e "j"{1,...,s } : x " B(x(m), ). Je[li teraz n j m 1 1 1 x y " B(x(m), ), to d(y, x) d(y, x(m))+d(x(m), x) < +m < 2·µ = µx. j j j m m 2 1 Wobec tego B(x(m), ) †" B(x, µx) †" Ut . x m Udowodnili[my w ten sposób, |e: 1 ( ) "x"Z "t "T "m"N\{0} "{1,...,s } : x " B(x(m), ) †" Ut . x m j x m Niech E bdzie zbiorem wszystkich takich par (n, j), |e n " N \ {0}, 1 j " {1, . . . , sn} oraz "t"T : B(xn, ) †" Ut. Zbór ten jest oczywi[cie j n co najwy|ej przeliczalny. Z wBasno[ci ( ) wynika, |e E = ". Ustawmy wszystkie elementy zbioru E w cig {¾k}" . k=1 Dla dowolnego k " N \ {0} wybieramy (dokBadnie jeden) wskaznik 1 x " tk " T taki, |e B(x(n), ) †" Ut , gdzie (n, j) = ¾k. j k n W ten sposób zdefiniowali[my cig {Ut }" elementów pokrycia {Ut}t"T . k k=1 Niech znowu x " Z (dowolny punkt). Z wBasno[ci ( ) wynika, |e " x " Ut dla pewnego k " N \ {0}. Skoro tak, to Z †" Ut . Pokazali- k k k=1 [my, |e {Ut }" jest co najwy|ej przeliczalnym pokryciem otwartym k k=1 w zbiorze Z. Przypu[my, |e pokrycie {Ut }" nie zawiera |adnego pokrycia k k=1 skoDczonego. Wówczas dla dowolnego s " N \ {0} mamy s s Zs = Z \ Ut = Z )" (X \ Ut ) = ". k k k=1 k=1 Jest widoczne, |e cig {Zs}" podzbiorów przestrzeni (X, d) jest s=1 zstpujcy. Nastpnie ka|dy zbiór Zs jest zwarty, jako zbiór domknity " " s zawarty w zbiorze zwartym. Tymczasem Zs = (Z)"(X\ Ut )) = k s=1 s=1 k=1 " s " s " = Z )" (X \ Ut ) = Z )" (X \ Ut ) = Z )" (X \ Ut ) = k k k s=1 k=1 s=1 k=1 k=1 " = Z \ Ut = " (poniewa| {Ut }" jest pokryciem zbioru Z). k k k=1 k=1 Doszli[my do sprzeczno[ci z twierdzeniem Cantora. W takim razie po- krycie {Ut }" zawiera (co najmniej jedno) podpokrycie skoDczone, k k=1 skd ju| pokrycie {Ut}t"T zawiera (przynajmniej jedno) pokrycie skoDczone. ¬(1) Ò! ¬(2) Przypu[my, |e Z nie jest zbiorem zwartym. Wówczas istnieje cig (xn)" elementów zbioru Z, który nie posiada |adnego podcigu n=1 54 zbie|nego do elementu tego| zbioru. Zauwa|my, |e je[li {U1, . . . , Us}, gdzie s " N \ {0} jest skoDczonym pokryciem otwartym zbioru Z, to w którym[ ze zbiorów U1, . . . , Us le|y nieskoDczenie wiele wyrazów cigu (xn)" . Gdyby istniaB taki punkt x " Z, |a w ka|dej n=1 1 kuli B(x, ), gdzie n " N \ {0}, le|y nieskoDczenie wiele wyrazów cigu n (xn)" , to istniaBby taki podcig (xn )" , |e xn - - x - sprzecz- -d’! n=1 k k=1 k k’!" no[. Skoro tak, to dla ka|dego x " Z istnieje taka liczba nx " N \ {0}, 1 |e w kuli B(x, ) znajduje si tylko skoDczenie wiele wyrazów cigu nx 1 (xn)" . Zauwa|my, |e rodzina {B(x, )}x"Z jest pokryciem otwartym n=1 nx zbioru Z w przestrzeni (X, d). Gdyby to pokrycie miaBo jakie[ podpo- krycie skoDczone, to powstaBaby sprzeczno[ z podkre[lonym faktem. 1 Skoro tak, to {B(x, )}x"Z jest pokryciem otwartym zbioru Z, nie za- nx wierajcym |adnego podpokrycia skoDczonego. Wniosek 4.1 q Niech Z1, . . . , Zw, gdzie x " N \ {0}, bd podzbiorami zwartymi przestrzeni metrycznej (X, d). Wówczas Z1 *" . . . *" Zw te| jest podzbiorem zwartym tej przestrzeni. Dowód:q Niec {Ut}t"T bdzie pokryciem otwartym zbioru Z1 *" . . . *" Zw w przestrze- ni metrycznej (X, d). ZakoDcz dowód, je[li poka|, |e to pokrycie zawiera podpokrycie skoDczone. (Twierdzenie 4.13). Poniewa| Zi, gdzie i " {1, . . . , w}, jest zbiorem zwartym oraz {Ut}t"T jest pokryciem otwartym zbioru Z, to istnieje taki skoDczony zbiór Si †" T, |e Z1 †" Ut. PoBó|my S = S1 *" . . . *" Sw. Wówczas S jest skoDczonym pod- t"Si zbiorem zbioru wskazników T oraz: Z1 *" . . . *" Zw †" Ut *" . . . *" Ut = Ut. t"S1 t"Sw t"S Wobec tego {Ut}t"S jest podpokryciem skoDczonym pokrycia otwartego {Ut}t"T zbioru Z1 *" . . . *" Zw. Twierdzenie 4.14 q Niech s " N \ {0} i niech (X1, d1), . . . , (xs, ds) bd przestrzeniami metrycz- nymi. PoBó|my (X, d) = (X1, d1) × . . . × (xs, ds). Niech ponadto Zi bdzie, dla i = 1, . . . , s, podzbiorem zwartym przestrzeni (Xi, di). Wówczas Z1 × . . . × Zs jest podzbiorem zwartym iloczynu (X, d). Dowód:q wiczenie. 55 Lemat 4.3 ( Lebesque a:) Niech {Ut}t " T bdzie pokryciem otwartym zwartej przestrzeni metrycznej (X, d). Wówczas "»"R "A†"X (diamA < » Ò! "t "T : A †" Ut ) + A A Dowód:q Niech x " X (dowolny punkt). Wtedy x " Ut dla pewnego tx " T. Korzy- x stajc z otwarto[ci zbioru Ut wybieramy (dokBadnie jedn) liczb »x " R+, x tak, |e B(x, 2»x) †" Ut (kula w przestrzeni (X, d)). Rodzina {B(x, »x)}x"X x jest pokryciem otwartym przestrzeni (X, d). Wskutek zwarto[ci: s "s"N\{0} "x ,...,xs"X : B(xi, »x ) = X. 1 i i=1 PoBó|my » = min{»x , . . . , »x }. Wówczas » " R+. Przypu[m, |e A †" X 1 s jest (dowolnym) zbiorem speBniajcym warunek diamA < ». Niech ponadto a " A. Z definicji [rednicy wynika, |e A †" "B(a, diamA) †" B(a, »). Ponadto "j"{1,...s} : a " B(xj, »x ). Je[li teraz y " B(a, »), to: j d(y, xj) d(y, a) + d(a, xj) < » + »x 2»x . j j W ten sposób udowodnili[my, |e B(a, ») †" B(xj, 2»x ). j Poniewa| A †" B(a, ») oraz B(xj, 2»x ) †" Utx , to A †" Ut . j j xj KoDczymy dowód kBadc tA = tx . j Uwaga 4.3 w Liczb » z Lematu 4.3 nazywa si liczb Lebesque a pokrycia {Ut}t"T . Definicja 4.5 w Niech (X, d) oraz (Y, Á) bd przestrzeniami metrycznymi i niech f : X ’! Y. Odwzorowanie f jest jednostajnie cigBe, je[li "µ"R "´=´(µ)"R "x,y"X : d(x, y) < ´ Ò! Á(f(x), f(y)) < µ. + + Uwaga 4.4 w (1) Ka|de odwzorowanie jednostajnie cigBe jest cigBe. Nie na odwrót! (Bo- wiem - w sytuacji z definicji - odwzorowanie f jest cigBe wtedy i tylko wtedy, gdy "x"X "µ"R "´=´(µ,x)"R "y"X : d(x, y) < ´ Ò! Á(f(x), f(y)) < µ. + + (2) Ka|da izometria jest odwzorowaniem jednostajnie cigBym (´ = µ). (3) ZBo|enie dwóch odwzorowaD jednostajnie cigBych jest jednostajnie ci- gBe (wiczenie). 56 PrzykBad 4.7 w 1 Funkcja Õ : R+ t ’! " R jest cigBa (przy metryce naturalnej). t Rozwa|my µ = 1 i dowoln liczb ´ " R+. Jest jasne, |e 1 1 1 1 1 |n - | = < ´ dla pewnego n " N\{0}. PoBó|my x = oraz y = . n+1 n(n+1) n n+1 Wówczas |Õ(x)-Õ(y)| = |n-(n+1)| = 1 µ. W ten sposób udowodnili[my, |e funkcja Õ nie jest jednostajnie cigBa. Twierdzenie 4.15 (Heinego) Niech (X, d), (Y, Á) bd przestrzeniami metrycznymi. Niech ponadto f : X ’! Y bdzie odwzorowaniem cigBym. Przypu[my, |e przestrzeD (X, d) jest zwarta. Wówczas odwzorowanie f jest jednostajnie cigBe. Dowód:w Wybierzmy (dowolne) µ " R+. Niech ponadto x " X (dowolny punkt). Ko- rzystajc z cigBo[ci odwzorowania f w punkcie x, wybieramy (dokBadnie µ jedn) liczb ´x " R+ tak, |e Á(f(x), f(y)) < dla ka|dego y " B(x, ´x) 2 (kula w przestrzeni (X, d)). Rodzina {B(x, ´x)}x"X jest pokryciem otwar- tym przestrzeni (X, d). Niech ´ bdzie (pewn) liczb Lebesque a pokrycia {B(x, ´x)}x"X. Je[li teraz punkty x, y " X speBniaj warunek d(x, y) < ´, to diam{x, y} = d(x, y) < ´, skd x, y " B(x0, ´x ) dla pewnego x0 " X. 0 W takim razie: µ µ Á(f(x), f(y)) Á(f(x), f(x0)) + Á(f(x0), f(y)) < + = µ. 2 2 Definicja 4.6 w PrzestrzeD metryczna (X, d) jest lokalnie zwarta, jak: x " U, "x"X "U"Top(X,d) : cl(U)jest podzbiorem zwartym przestrzeni (X, d). PrzykBad 4.8 w (1) Ka|da zwarta przestrzeD metryczna jest lokalnie zwarta (U = X). (2) PrzestrzeD (Rn, d2) jest, dla ka|dego n " N \ {0}, niezwarta i lokal- nie zwarta. (Bowiem w tej przestrzeni cl(B(x, µ)) = B(x, µ) jest, dla dowolnego punktu x i dla ka|dego µ " R+, zbiorem zwartym.) (3) {adna nieskoDczenie wymiarowa przestrzeD Hilberta nie jest lokalnie zwarta (wiczenie.) 57 5 Pojcie spójno[ci Definicja 5.1 w Podzbiór C przestrzeni metrycznej (X, d) jest spójny, je[li "U,V "Top(X,d) : (C †" U *" V, C )" U )" V = ") Ò! (C )" U = " (" C )" V = "). Uwaga 5.1 w 1. W nastpniku implikacji mo|na równie dobrze napisa C †" U ("C †" V. 2. PrzestrzeD (X, d) jest spójna, wtedy i tylko wtedy, gdy: "U,V "Top(X,d) : (X = U *" V, U )" V = ") Ò! (X = U (" X = V ). Definicja 5.2 w Podzbiór D przestrzeni metrycznej (X, d) jest niespójny, jak nie jest spójny, czyli jak ñø D †" U *" V, ôø ôø ôø ôø òø D )" U )" V = ", "U,V "Top(X,d) : ôø D )" U = ", ôø ôø ôø óø D )" V = ". PrzykBad 5.1 w (1) Ka|dy, co najwy|ej jednoelementowy, podzbiór dowolnej przestrzeni me- trycznej jest spójny. (2) Je[li S jest przynajmniej dwuelementowym podzbiorem skoDczonym przestrzeni metrycznej (X, d), to S jest niespójny. (Wybierzmy bowiem x0 " S. PoBó|my U = X \ {x0} oraz V = (X \ S) *" {x0}. Wówczas U, V " Top(X, d), S †" U *" V, S )" U )" V = ", S )" U = S \ {x0} = " oraz S )" V = {x0} = ".) (3) Podzbiór R" prostej R wyposa|onej w metryk naturaln jest niespójny. (Rozwa|my bowiem U = (-", 0) oraz V = (0, ").) (4) Q nie jest podzbiorem spójnym prostej R wyposa|onej w metryk " naturaln. (Wybierzmy bowiem pod uwag U = (-", 2) oraz " V = ( 2, ").) R \ Q te| jest podzbiorem niespójnym prostej R wyposa|onej w metryk naturaln. (5) Zbiór {(x, y) " R2 : x2 + y2 = 1} = {(x, y) " R2 : x2 + y2 < 1}*" *"{(x, y) " R2 : x2 + y2 > 1} jest, jako podzbiór przestrzeni metrycznej (R2, d2), niespójny. 58 Twierdzenie 5.1 (o obrazie cigBym zbioru spójnego)w Niech (X, d), (Y, Á) bd przestrzeniami metrycznymi. Niech ponadto f : X ’! Y bdzie odwzorowaniem cigBym. Przypu[my, |e zbiór C †" X jest spójny. Wówczas f(C) jest podzbiorem spójnym przestrzeni metrycznej (Y, Á). Dowód:w ZaBó|my, |e f(C) †" U *" V dla pewnych U, V " Top(Y, Á), przy czym U )" V )" f(C) = ". Musimy pokaza, |e f(C) †" U lub f(C) †" V. Zauwa|my, |e: C †" f-1(f(C)) †" f-1(U *" V ) = f-1(U) *" f-1(V ). Nastpnie C )"f-1(U))"f-1(V ) †" f-1(f(C)))"f-1(U))"f-1(V ) = f-1(f(C))"U )"V ) = = f-1(") = ", skd C )" f-1(U) )" f-1(V ) = ". W koDcu, dziki cigBo[ci odwzorowania f, mamy: f-1(U), f-1(V ) " Top(X, d). Wobec tego, ze spójno[ci zbioru C wynika, |e C †" f-1(U) lub C †" f-1(V ). Skoro tak, to f(C) †" f(f-1(U)) †" U lub f(C) †" f(f-1(V )) = V. Wniosek 5.1 w Jak dwie przestrzenie metryczne s homeomorficzne i jedna z nich jest spój- na, to druga te| jest spójna. (Inaczej mówic spójno[ jest wBasno[ci topologiczn.) Dowód:w wiczenie. Twierdzenie 5.2 (o poBczeniu zbiorem spójnym) Niech C bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). Wówczas n.w.s.r.: (1) C jest spójny, x, y " D, (2) "x,y"C "D†"C : D - podzbiór spójny przestrzeni (X, d). Dowód:w (1) Ò! (2) Oczywiste (D = C). ¬(1) Ò! ¬(2) Przypu[my, |e zbiór C jest niepusty. Wówczas: ñø C †" U *" V, ôø òø "U,V "Top(X,d) : C )" U )" V = ", ôø óø C )" U = ", C )" V = ". 59 Wybierzmy punkt x " C )" U oraz punkt y " C )" V. Niech D †" C bdzie (dowolnym) takim zbiorem, |e x, y " D. Wtedy D †" U *" V, D )" U )" V = ", x " D )" U oraz y " D )" V. W takim razie zbiór D jest niespójny. Otrzymali[my zaprzeczenie warunku (2). Definicja 5.3 w Podzbiór Z przestrzeni metrycznej (X, d) nazywa si continuum, je[li jest niepusty, zwarty i spójny. Twierdzenie 5.3 w Niech {Ct}t"T bdzie rodzin podzbiorów spójnych przestrzeni metrycznej (X, d). Przyjmijmy, |e Ct = ". Wówczas Ct równie| jest podzbiorem t"T t"T spójnym przestrzeni (X, d). Dowód:w Niech A oraz B bd podzbiorami spójnymi przestrzeni (X, d). ZaBó|my, |e A )" B = ". Niech nastpnie U, V " Top(X, d) bd dowolnymi takimi podzbiorami, |e U *" V ‡" A *" B, oraz (A *" B) )" U )" V = ". Jest widoczne, |e A †" U *" V. Ponadto A )" U )" V †" (A *" B) )" U )" V = ". Wskutek spójno[ci zatem A †" U lub A †" V. DokBadnie tak samo pokazuje- my, |e B †" U lub B †" V. Przypu[my, |e A †" U oraz B †" V. Wtedy " = A )" B †" U )" V )" (A *" B) = " (sprzeczno[!) DokBadnie tak samo pokazujemy sprzeczno[ zakBadajc (A †" U '" B †" U) lub (A †" V '" B †" V ), czyli |e A *" B †" U lub A *" B †" V. Skoro tak, to A *" B jest podzbiorem spójnym przestrzeni (X, d). Niech nastpnie x, y " Ct (dowolne punkty). Wówczas x " Ct oraz x t"T y " Ct , dla pewnych tx, ty " T. y Przypu[my, |e zbiory Ct oraz Ct s spójne. Zauwa|my: x y " = Ct †" Ct )" Ct . x y t"T 60 Wobec tego, za spraw poprzedniej cz[ci dowodu, Ct *" Ct jest podzbiorem x y spójnym przestrzeni (X, d). Jest jasne, |e x, y " Ct *" Ct †" Ct. x y t"T W ten sposób udowodnili[my, |e: x, y " D, "x,y" Ct "D†" Ct : D - podzbiór spójny przestrzeni (X, d). t"T t"T Wobec tego spójno[ Ct wynika z Twierdzenia 5.2. t"T Uwaga 5.2 w (1) Przecicie rodziny podzbiorów spójnych danej przestrzeni metrycznej na ogóB nie jest podzbiorem spójnym tej przestrzeni. (2) DopeBnienie podzbioru spójnego przestrzeni na ogóB nie jest zbiorem spójnym tej przestrzeni. Twierdzenie 5.4 w Niech s " N \ {0} i niech (X1, d1), . . . , (Xs, ds) bd przestrzeniami metrycz- nymi. Niech ponadto Ci bdzie, dla i " {1, . . . , s}, podzbiorem spójnym prze- strzeni (Xi, di). Wówczas C1 × . . . × Cs jest podzbiorem spójnym iloczynu metrycznego (X1, d1) × . . . × (Xs, ds). Dowód:w Indukcja wzgldem s: (1o) s = 1 - oczywiste. (2o) Ustalmy k " N \ {0}. ZaBó|my, |e je[li (Y1, Á1), . . . , (Yk, Ák) s prze- strzeniami metrycznymi oraz Ci jest podzbiorem spójnym (Yi, Ái), to C1×. . .×Ck jest podzbiorem spójnym przestrzeni (Y1, Á1)×. . .×(Yk, Ák). Niech teraz (Z1, ´1), . . . , (Zk+1, ´k+1) bd przestrzeniami metrycznymi, a D1 †" Z1, . . . , Dk+1 †" Zk+1 bd zbiorami spójnymi. ZakoDczymy dowód, je[li wyka|emy, |e D1×. . .×Dk+1 jest podzbiorem spójnym iloczynu metrycznego (Z, ´). PoBó|my (Z, ´) = (Z1, ´1) × . . . × (Zk, ´k). Zauwa|my, |e (Z, ´) × (Zk+1, ´k+1) = (Z1, ´1) × . . . × (Zk+1, ´k+1). Na mocy zaBo|enia indukcyjnego D := D1 × . . . × Dk jest podzbiorem spójnym (Z, ´). Niech x, y " D oraz a, b " Dk+1 (dowolne punkty). 61 Zk+1 {x} × Dk+1 b D × Dk+1 = D1 × . . . × Dk+1 Dk+1 D × {b} a x y Z D Odwzorowanie f : Zk+1 t ’! (x, t) " Z × Zk+1 jest izometri midzy przestrzeniami metrycznymi (Zk+1, ´k+1) oraz (Z, ´) × (Zk+1, ´k+1). Skoro tak, to {x} × Dk+1 = {(x, t) : t " Dk+1} = f(Dk+1) jest pod- zbiorem spójnym przestrzeni (Z, ´) × (Zk+1, ´k+1) (Twierdzenie 5.1). Podobnie wykazujemy, |e D×{b} jest podzbiorem spójnym przestrzeni (Z, ´) × (Zk+1, ´k+1). Jest jasne, |e (x, a), (y, b) " ({x} × Dk+1) *" (D × {b}). Ponadto ({x} × Dk+1) *" (D × {b}) †" D × Dk+1. W koDcu (D × {b}) )" ({x} × Dk+1) = {(x, b)}. Poniewa| zbiory ({x} × Dk+1) oraz (D × {b}) s spójne oraz ({x}×Dk+1))"(D×{b}) jest podzbiorem spójnym przestrzeni metrycz- nej (Z, ´) × (Zk+1, ´k+1). W ten sposób udowodnili[my, |e: ñø ôø ±, ² " E, òø "±,²"D ×...×Dk+1 "E†"D ×...×Dk+1 : E - podzbiór spójny przestrzeni 1 1 ôø óø (Z1, ´1) × . . . × (Zk+1, ´k+1). Skoro tak, to z Twierdzenia 5.2 wynika, |e D1 × . . . × Dk+1 jest pod- zbiorem spójnym przestrzeni (Z1, ´1) × . . . × (Zk+1, ´k+1). Lemat 5.1 w Dla podzbioru C przestrzeni metrycznej (X, d) n.w.s.r.: (1) C jest spójny, (2) "E,F "Cotop(X,d) : (C †" E *" F, C )" E )" F = ") Ò! (C †" E (" C †" F ). 62 Dowód:w (1) Ò! (2) (dokBadnie tak samo (2) Ò! (1)). Przypu[my, |e C jest spójny i |e zbiory E, F " Cotop(X, d) speBniaj warunki C †" E *" F oraz C )" E )" F = ". PoBó|my U = X \ E oraz V = X \ F. Wówczas U, V " Top(X, d). Zauwa|my, |e " = C)"E)"F = C)"((X\U))"(X\V )) = C)"(X\(U *"V )), skd C " U *" V. Ponadto, skoro C " E *" F, to : " = C )" (X \ (E *" F )) = C )" ((X \ E) )" (X \ F )) = C )" U )" V. Ze spójno[ci wynika zatem, |e C †" U lub C †" V, co znaczy, |e C )" E = " lub C )" F = ", skd ju| C †" E lub C †" F. Twierdzenie 5.5 w Niech C bdzie podzbiorem spójnym przestrzeni metrycznej (X, d). Wówczas C równie| jest podzbiorem spójnym tej przestrzeni. Dowód:w Przypu[my, |e E, F " Cotop(X, d) s (dowolnymi) zbiorami speBniajcymi warunek C †" E *" F oraz C )" E )" F = ". ZakoDczymy dowód, gdy poka|emy, |e C †" E lub C †" F. Poniewa| C †" C, to C †" E *" F oraz C )" E )" F = ". Za spójno[ci zbioru C wynika, |e C †" E lub C †" F. Zatem C †" E = E lub C †" F = F. Uwaga 5.3 w Wntrze, brzeg i zewntrze podzbioru spójnego nie s na ogóB spójne. Twierdzenie 5.6 w Dla podzbioru C prostej R wyposa|onej w metryk naturaln d n.w.s.r.: (1) C jest zbiorem spójnym, (2) C jest (jakim[) przedziaBem. Dowód:w (1) Ò! (2) Przypu[my, |e C jest zbiorem spójnym. Niech a = inf C i niech b = sup C. (Wówczas a, b " R *" {±"}.) ZaBó|my, |e a, b " R i |e a < b. Wtedy oczywi[cie C †" [a, b]. Wobec tego "E,F "Cotop(R,d) : ([0, 1] †" E *" F, [0, 1] )" E )" F = ") Ò! ([0, 1] †" E (" [0, 1] †" F ). 63 (2) Ò! (1) Przypu[my, |e C jest dowolnym przedziaBem ograniczonym i domkni- tym. Wówczas C jest obrazem przedziaBu [0, 1] przez pewn funkcj cigB (a nawet liniow) f : R ’! R. Spójno[ zbioru C wynika zatem z poprzedniej cz[ci dowodu oraz Twierdzenia 5.1. Niech w koDcu C bdzie dowolnym przedziaBem i niech wówczas x, y " C takie, |e x < y. Wówczas [x, y †" C] x, y " [x, y] oraz [x, y] jest podzbiorem spójnym przestrzeni (R, d). Spójno[ przedziaBu C wynika natychmiast z Twierdzenia 5.2. Twierdzenie 5.7 w Niech C bdzie podzbiorem spójnym przestrzeni metrycznej (X, d), f : C ’! R bdzie cigBa (przy metryce indukowanej z d w zbiorze C oraz metryce naturalnej w R). Wówczas: "x,y"C "±†"R : (f(x) < ± < f(y)) Ò! "z"C : f(z) = ±. Dowód:w Niech x, y " C oraz niech ± " R speBnia nierówno[ f(x) < ± < f(y). f(C) †" R jest zbiorem spójnym, jako obraz funkcji cigBej na zbiorze spójnym, a wic f(C) jest przedziaBem. Poniewa| f(x), f(y) " f(C) †" R, to [f(x), f(y)] †" C. Poniewa| ± " [f(x), f(y)], to istnieje z " C taki, |e f(z) = ±. Wniosek 5.2 w Niech f : R ƒ" [a, b] ’! R bdzie funkcj cigB. Niech f(a) = f(b) oraz niech d " R speBnia nierówno[ f(a) < d < f(b) lub f(a) > d > f(b). Wówczas istnieje c " [a, b] takie, |e f(c) = d. Twierdzenie 5.8 w Dla dowolnego m " N\{0} ka|da m-wymiarowa kostka jest podzbiorem spój- nym w przestrzeni metrycznej (Rm, d2). Dowód:w Niech C = I1 ×. . .×Im, gdzie I1, . . . , Im s przedziaBami domknitymi i ogra- niczonymi. Oczywi[cie przedziaBy Ii, gdzie i " {1, . . . , m}, s zbiorami spójnymi w R z metryk naturaln. Zatem korzystajc z twierdzenia o iloczynie kartezjaDskim zbiorów spójnych otrzymujemy, |e C = I1 × . . . × Im †" (Rm, d2) jest zbiorem spójnym. 64 Twierdzenie 5.9 w Okrg S1 jest podzbiorem spójnym w przestrzeni metrycznej (R2, d2). Dowód:w Oczywi[cie przedziaB [0, 2À) jest zbiorem spójnym w R z metryk naturaln oraz ³ : [0, 2À) t ’! (cos(t), sin(t)) " S1 jest cigB bijekcj, a wic S1 jest podzbiorem spójnym przestrzeni metrycznej (R2, d2). Definicja 5.4 w Niech X bdzie przestrzeni wektorow nad R. Zbiór A †" X jest wypukBy, gdy "x,y"A "t"[0,1] : tx + (1 - t)y " A. Uwaga 5.4 w [x, y] := {tx + (1 - t)y : t " R, ) t 1} - odcinek Bczcy x oraz y w X. Twierdzenie 5.10 w Niech (X, || · ||) bdzie rzeczywist przestrzeni unormowan. Wówczas ka|dy podzbiór wypukBy A †" X jest zbiorem spójnym (metryka indukowana z normy). Dowód:w Niech A †" X bdzie zbiorem wypukBym, czyli "x,y"A "t"[0,1] : tx+(1-t)y " A. Zauwa|my, |e dla ka|dego x, y " A odwzorowanie Õ : [0, 1] t ’! tx + (1 - t)y " X jest cigBe, a wic [x, y] = Õ([0, 1]) †" A jest zbiorem spójnym. Skoro tak, to korzystajc z twierdzenia o poBczeniu zbiorem spójnym otrzy- mujemy, |e A jest podzbiorem spójnym w (X, || · ||). PrzykBad 5.2 w 1. Ka|da kula dowolnej przestrzeni unormowanej jest spójna. 2. Ka|dy prostopadBo[cian, sfera, torus s podzbiorami spójnymi przestrze- ni metrycznej (R3, d2). 3. Ka|da przestrzeD (Rn, d2) jest spójna. Definicja 5.5 w Niech Y bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). SkBadow S zbioru Y wyznaczon przez punkt p " Y nazywamy S = {C †" Y : C - spójne, p " C}. 65 Twierdzenie 5.11 w Ka|da skBadowa S podzbioru Y przestrzeni metrycznej (X, d) jest spójna. Co wicej skBadowa S jest maksymalnym zbiorem spójnym, to znaczy je|eli D †" Y jest zbiorem spójnym, to zachodzi wynikanie S †" D Ò! D = S. Dowód:w Niech S bdzie skBadow zbioru Y wyznaczon przez p " Y. S = {C †" Y : C - spójne, p " C}, to na mocy Twierdzenia 5.3 otrzymuje- my, |e S jest zbiorem spójnym. Je[li D †" Y byBoby takim zbiorem spójnym, |e S †" D, to punkt p " D. Skoro tak, to D †" S Ò! D = S. Twierdzenie 5.12 w Niech Y bdzie podzbiorem przestrzeni metrycznej (X, d). Wówczas: (1) Y jest sum swoich skBadowych, (2) skBadowe zbioru Y s parami rozBczne. Dowód:w Ad.(1) wiczenie. Ad.(2) Gdyby skBadowe zbioru Y (S1, S2) byBy takie, |e S1 )" S2 = ", to istniaBby p " S1 )" S2. Wówczas zbiór S = S1 *" S2 byBby zbiorem spójnym na mocy Twierdzenia 5.3, przy czym S1 †" S1 *" S2 oraz S2 †" S1 *" S2, ale wobec maksymalno[ci S1, S2 otrzymujemy, |e S1 = S2 = S. PrzykBad 5.3 w 1. Zbiór jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy jest swoj jedyn skBadow. 2. Je[li przestrzeD metryczna (X, d) jest dyskretna, to {{x} : x " X} jest rodzin wszystkich skBadowych tej przestrzeni. 3. SkBadowymi zbioru Q bdcego podzbiorem R z metryk naturaln s zbiory jednopunktowe. Rzeczywi[cie, gdyby skBadowa S †" Q zawieraBa dwie liczby wymierne x, y takie, |e x < y, to istniaBoby t " R \ Q takie, |e x < t < y. Skoro tak, to zbiory S )" (-", t), S )" (t, ") byByby niepuste, rozBcz- ne, otwarte w S oraz dawaByby w sumie S, z tym |e S byBby zbiorem niespójnym. 4. SkBadowymi zbioru X = [0, 1] *" (2, 3) bdcego podzbiorem prostej R z metryk naturaln s zbiory [0, 1] i (2, 3). - wiczenie. 66 Lemat 5.2 w Podzbiór Z przestrzeni metrycznej (X, d) jest niespójny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje podzbiór otwarto - domknity w przestrzeni metrycznej (Z, dZ×Z) taki, |e W = " oraz W = Z. Dowód:w ñø ôø Z †" U *" V, òø  Ò! aaaaaaaaaaaaaaa"U,V "Top(X,d) : U )" V )" Z = ", ôø óø U )" Z = ", V )" Z = ". Aatwo pokaza, |e (Z )" U), (Z )" V ) " Top(Z, dZ×Z). Zauwa|my, |e (U )" Z) )" (V )" Z) = ", (U )" Z) *" (V )" Z) = Z. Skoro tak, to U )" Z = Z \ (V )" Z) " Cotop(Z, dZ×Z). Co wicej " = U )" Z = Z.  Ð! Niech W bdzie nietrywialnym zbiorem otwarto - domknitym w (Z, dZ×Z). Zauwa|my, |e " = W = Z oraz " = Z \ W = Z. Co wicej W *" (Z \ W ) = Z oraz W )" (Z \ W ) = ". Zauwa|my te|, |e Z \ W " Top(Z, dZ×Z) Pokazali[my wic, |e istniej takie zbiory W, Z \ W, które s otwarte w Z, rozBczne, niepuste oraz dajce w sumie Z. Zatem Z jest podzbiorem niespójnym przestrzeni metrycznej (X, d). Twierdzenie 5.13 w G " Top(Rn, d2). Zbiór G jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka|dych dwóch punktów x, y " G istnieje poBczenie Baman caBkowicie zawart w G. Dowód:w  Ð! Niech x, y " G oraz niech Lxy oznacza Baman Bczc punkty x, y. Lxy = [a0, a1] *" [a1, a2] *" . . . *" [an-1, an], gdzie ai " G, a0 = x, an = y. Jest jasne, |e odcinki [ai-1, ai] s zbiorami spójnymi dla i " {1, . . . , n}. Zauwa|my, |e [a0, a1] *" [a1, a2] jest spójny, poniewa| jest sum zbiorów spójnych. Przez indukcj otrzymujemy, |e Bamana Lxy = [a0, a1] *" . . . *" [an-1, an] jest zbiorem spójnym. Skoro tak, to na mocy Twierdzenia 5.2 otrzy- mujemy, |e G jest zbiorem spójnym.  Ò! Ustalmy p0 " G. Zdefiniujmy H = {q " G : istnieje Bamana L ‚" G Bczca punkty p0 oraz q}. ZakoDczymy dowód, gdy poka|emy, |e H = G. Niech q1 " G bdzie punktem granicznym zbioru H. Poniewa| G jest zbiorem otwartym, to "µ"R : B(q1, µ) †" G. + 67 Poniewa| q1 jest punktem granicznym H )" B(q1, µ) = ". Wobec tego "y"H)"B(q ,µ. Poniewa| y " H, to y mo|emy poBczy z q1 1 Baman zawart w G. Zauwa|my, |e [y, q1] †" B(q1, µ), q1 mo|emy po- Bczy z p0 Baman zawart w G. Skoro tak, to q1 " H. Wobec tego H jest zbiorem domknitym z G z indukowan metryk euklidesow. Poka|emy teraz, |e H jest zbiorem otwartym w G z indukowan metryk euklidesow. Niech q2 " H bdzie dowolnym punktem, wówczas istnieje µ1 " R+ : B(q2, µ1) †" G. Niech u " B(q2, µ1). Oczywiste jest, |e p0 mo|emy poBczy z q2 pewn Baman L †" G. Zauwa|my, |e [u, q2] †" B(q2, µ1) †" G. Skoro tak, to L *" [u, q2] jest Ba- man zawart w G Bczc p0 z u. Wobec tego B(q2, µ1) †" H. Z dowolno[ci punktu q2 wynika, |e H jest zbiorem otwartym w G z indukowan metryk euklidesow. Pokazali[my, |e H jest zbiorem otwarto - domknitym w G. Poniewa| H = " (p0 " H) oraz G - spójny, to na mocy poprzedniego lematu H = G. Uwaga 5.5 w Niepusty, otwarty i spójny podzbiór danej przestrzeni metrycznej nazywa si obszarem (w tej przestrzeni). PrzykBad 5.4 w Niech (a, b) " R2 i niech r, R " R+. ZaBó|my, |e r < R. Pier[cieD {(x, y) " R2 : r2 < (x - a)2 + (y - b)2 < R2} jest wówczas (niewypukBym) obszarem (tej) przestrzeni metrycznej (R2, d2). y R r b x a 68 Twierdzenie 5.14 w Niech (X, d) oraz (Y, Á) bd przestrzeniami metrycznymi. Oznaczmy przez S rodzin wszystkich (spójnych) przestrzeni (X, d), przez F natomiast - rodzin wszystkich skBadowych (spójnych) przestrzeni (Y, Á). Niech ponadto h : X ’! Y bdzie homeomorfizmem tych przestrzeni. Wówczas: (i) "S†"X : S " S Ò! h(S) " F, (ii) odwzorowanie S S ’! h(S) " F jest bijekcj. Dowód:w wiczenie. PrzykBad 5.5 w Zbiory (-1, 7) *" (8, 19) *" (23, 79) oraz (-2, 4) *" (5, 19), oba wyposa|one w in- dukowan z R metryk naturaln, nie s homeomorficzne, bowiem pierwszy z nich ma trzy skBadowe, drugi natomiast - dokBadnie dwie. Definicja 5.6 w Drog w przestrzeni metrycznej (X, d) nazywa si ka|de odwzorowanie cigBe Õ : I ’! X, gdzie I = [0, 1] ‚" R. (W przedziale I indukowana metryka natu- ralna.) Uwaga 5.6 w (1) Jak Õ : I ’! X jest drog w przestrzeni metrycznej (X, d), to obraz Õ(I) jest zwartym i spójnym podzbiorem tej przestrzeni. (2) Jak Õ(0) = Õ(1) = x0, dla pewnej drogi Õ : I ’! X w przestrzeni metrycznej (X, d), to t drog nazywa si ptl zaczepion w punkcie x0. PrzykBad 5.6 w 1. Odwozorowanie Ç : I t ’! (cos(2Àt), sin(2Àt), t) " R3 jest drog w przestrzeni metrycznej (R3, d2), o pocztku w punkcie (1, 0, 0) i koDcu w punkcie (1, 0, 1) (odcinek helisy). 2. Odwzorowanie À : I ’! R2 zdefiniowane za pomoc wzoru: ñø 1 ôø (3t, 3t), gdy 0 t , ôø 3 òø 1 2 À(t) = (3 - 6t, 1), gdy t , 3 3 ôø ôø óø 2 (3t - 3, -3t + 3), gdy t 1, 3 jest ptl na pBaszczyznie (R2, d2), zaczepion w punkcie (0, 0). (wiczenie) 69 y 1 x -1 1 Definicja 5.7 w PrzestrzeD metryczna (X, d) jest drogowo spójna, je[li dla dowolnych dwóch punktów x, y " X istnieje droga Õ : I ’! X taka, |e Õ(0) = x oraz Õ(1) = y. Twierdzenie 5.15 w (i) Ka|dy niepusty podzbiór wypukBy W dowolnej przestrzeni unormowa- nej (X, || · ||) nad ciaBem R, wyposa|onej w metryk indukowan przez norm || · ||, jest drog spójn przestrzeni metrycznej. (ii) Ka|da przestrzeD metryczna drogowo spójna jest spójna. Dowód:w Ad.(i) Je[li x, y " W, to odcinek I t ’! (1 - t)x + ty " X jest drog Bczc punkty x oraz y i le|c w zbiorze W . Ad.(ii) Wynika natychmiast z Twierdzenia 5.2. (Bowiem je[li Õ : I ’! X jest drog w przestrzeni metrycznej (X, d), to Õ(I) jest podzbiorem spójnym tej przestrzeni.) Uwaga 5.7 w Istniej przestrzenie spójne, które nie s drogowo spójne. 70 6 Równowa|no[ metryk, przestrzenie topo- logiczne Definicja 6.1 w Metryki d1 oraz d2 w zbiorze X = " s równowa|ne (bdziemy pisa d1 <" d2), je[li Top(X, d1) = Top(X, d2). Uwaga 6.1 w Równowa|no[ metryk jest relacj równowa|no[ci w zbiorze {d : X × X ’! [0, ") ‚" R | d jest metryk}. PrzykBad 6.1 w Niech d bdzie metryk naturaln w zbiorze liczb rzeczywistych, Á natomiast - metryk dyskretn w tym zbiorze. Metryki d oraz Á nie s wówczas równo- wa|ne, bowiem {0} " Top(R, Á) \ Top(R, d). Twierdzenie 6.1 (charakteryzujce metryki)w Niech d1 oraz d2 bd metrykami w zbiorze X = ". Przez Bj(x, r) oznaczmy kul otwart o [rodku x i promieniu r z przestrzeni (X, dj), gdzie j " {1, 2}. Wówczas n.w.s.r.: (1) d1 <" d2, ñø òø B1(x, r1) †" B2(x, µ), (2) "x"X "µ"R "r ,r2"R+ : + 1 óø B2(x, r2) †" B1(x, µ). Dowód:w (1) Ò! (2) Przypu[my, |e d1 <" d2. Wybierzmy x " X oraz µ " R+ (i jedna, i druga dowolne). Poniewa| x " B2(x, µ) oraz B2(x, µ) " Top(X, d2) = Top(X, d1), to "r "R+ : B1(x, r1) †" B2(x, µ). 1 DokBadnie tak samo pokazujemy, |e "r "R+ : B2(x, r2) †" B1(x, µ). 2 (2) Ò! (1) ZaBó|my, |e warunek (2) jest speBniony. Wybierzmy (dowolnie) zbiór U " Top(X, d1). Jak x " U, to "µ"R : B1(x, µ) †" U. Na mocy zaBo|enia + (2) mamy: "r "R+ : B2(x, r2) †" B1(x, µ). Skoro tak, to B2(x, r2) †" U. 2 Wykazali[my w ten sposób, |e "x"U "r "R+ : B2(x, r2) †" U, co znaczy, 2 |e U " Top(X, d2). DokBadnie tak samo dowodzimy, |e ka|dy podzbiór otwarty przestrzeni 71 metrycznej (X, d2) jest podzbiorem otwartym przestrzeni metrycznej (X, d1). Podsumowujc, Top(X, d1) = Top(X, d2). PrzykBad 6.2 w 1. Poka|emy przy pomocy rysunku, |e metryki d2 oraz d1 na pBaszczyznie R2 s równowa|ne. y µ1 b µ2 x a y µ2 µ1 b x a 2. Niech d1 oraz d2 bd metrykami w co najmniej dwuelementowym zbio- rze skoDczonym X. Wówczas d1 <" d2. Wybierzmy bowiem (dowolnie) element x " X oraz liczb µ " R+. PoBó|my r1 = min d1(x, y). y"X\{x} Wówczas r1 " R+. Co wicej, B1(x, r1) = {x} †" B2(x, µ). Analogicznie pokazujemy, |e "r "R+ : B2(x, r2) †" B1(x, µ) (oznaczenia 2 jak w Twierdzeniu 6.1). Twierdzenie 6.2 w Niech d1 oraz d2 bd równowa|nymi metrykami w zbiorze X = ". Niech ponadto (Y, Á) bdzie przestrzeni metryczn, f : X ’! Y, niech (xn)" n=1 bdzie cigiem elementów zbioru X i niech g " X. Wówczas: (i) odwzorowanie f jest cigBe wzgldem metryki d1 wtedy i tylko wtedy, gdy jest cigBe wzgldem metryki d2, 1 2 (ii) xn -d- g Ô! xn -d- g. - ’! - ’! n’!" n’!" 72 Dowód:w Ad.(i) Przypu[my, |e f jest cigBe wzgldem d1. Niech V bdzie (dowolnym) podzbiorem przestrzeni (Y, Á). Wówczas f-1(V ) " Top(X, d1) = Top(X, d2). Pokazali[my w ten sposób, |e odwzorowanie f jest cigBe wzgldem metryki d2. Odwrotna implikacja - dokBadnie tak samo. 1 Ad.(ii) Przypu[my, |e xn -d- g. Niech U " Top(X, d2) bdzie otocze- - ’! n’!" niem punktu g w przestrzeni metrycznej (X, d1). Skoro tak, to "N"N\{0} 2 "n"N\{0} : n N Ò! xn " U. Wobec tego xn -d- g. - ’! n’!" Odwrotna implikacja - dokBadnie tak samo. Twierdzenie 6.3 w Niech d1 oraz d2 bd rozwa|anymi metrykami w zbiorze X = ". Oznacz- my przez Ki rodzin wszystkich podzbiorów zwartych przestrzeni metrycznej (X, di), przez Cj natomiast - rodzin wszystkich podzbiorów spójnych prze- strzeni metrycznej (x, dj) (j = 1, 2). Wówczas K1 = K2 oraz C1 = C2. Dowód:w wiczenie. Definicja 6.2 w Metryki d1 oraz d2 w zbiorze X s lipschitzowsko (czyli jednostajnie) równo- wa|ne, je[li: "m,M"R "x,y"X : md2(x, y) d1(x, y) Md2(x, y). + Uwaga 6.2 w Lipschitzowska równowa|no[ jest relacj równowa|no[ci w zbiorze {d : X × X ’! [0, ") ‚" R | d jest metryk} (wiczenie). Twierdzenie 6.4 w Metryki d1, d2 oraz d" s, w przestrzeni Rn, lipschitzowsko równowa|ne. Dowód:w Niech x, y " Rn. Powiedzmy, |e x = (x1, . . . , xn) oraz y = (y1, . . . , yn). Wówczas: 73 n n d1(x, y) = |xi - yi| n · max |xi - yi| = n · d"(x, y) i=1 i=1 n n · |xi - yi| = n · d1(x, y). i=1 n n d"(x, y) = max |xi - yi| (xi - yi)2 = d2(x, y) i=1 i=1 n n · max((xi - yi)2) = i=1 " " n = n · max |xi - yi| = n · d"(x, y). i=1 Udowodnili[my w ten sposób, |e: ñø 1 òø d1(x, y) d"(x, y) d1(x, y), n n "x,y"R : " óø d"(x, y) d2(x, y) nd"(x, y). Mamy zatem lipschitzowsk równowa|no[ metryki d1 oraz d", a tak|e d" i d2. Lipschitzowska równowa|no[ metryk d1 oraz d2 wynika z przechodnio[ci. Twierdzenie 6.5 w Metryki lipschitzowsko równowa|ne s równowa|ne. (Nie na odwrót!) Dowód:w Niech d1 oraz d2 bd metrykami w zbiorze X = " speBniajcymi warunek: "m,M"R "x,y"X : md2(x, y) d1(x, y) Md2(x, y). + Wybierzmy dowolnie punkt x0 " X oraz liczb µ " R+. µ PoBó|my r1 = mµ oraz r2 = . Wówczas r1, r2 " R+. M Nastpnie, jak d1(x0, y) < r1 dla pewnego y " X, to: 1 1 1 d2(x0, y) d1(x0, y) < r1 = · mµ = µ. m m m W ten sposób udowodnili[my, |e B1(x0, r1) †" B2(x0, µ) (oznaczenia jak w Twierdzeniu 6.1). Je[li z kolei d2(x0, y) < r2 dla pewnego y " X, to: µ d1(x0, y) Md2(x0, y) < Mr2 = M · = µ. M W ten sposób udowodnili[my, |e B2(xo, r2) †" B1(x0, µ). Równowa|no[ metryk d1 oraz d2 wynika teraz z charakteryzacji wykazanej wcze[niej. Wniosek 6.1 w Metryki d1, d2 oraz d" w przestrzeni Rn s parami równowa|ne. 74 Twierdzenie 6.6 w Przypu[my, |e d1 oraz d2 s lipschitzowsko równowa|nymi metrykami w zbio- rze X = ". Wówczas: (i) przestrzeD metryczna (X, d1) jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeD metryczna (X, d2) jest ograniczona, (ii) przestrzeD metryczna (X, d1) jest zupeBna wtedy i tylko wtedy, gdy prze- strzeD metryczna (X, d2) jest zupeBna. Dowód:w Ad.(i) ZaBó|my, |e przestrzeD (X, d1) jest ograniczona. Wiemy, |e: "m,M"R "x,y"X : md2(x, y) d1(x, y) Md2(x, y). + Powiedzmy, |e Di to [rednica przestrzeni metrycznej (X, di), gdzie i =" {1, 2}. Dla dowolnych x, y " X mamy wówczas 1 1 d2(x, y) d1(x, y) D1. Wobec tego: m m def 1 D2 = sup d2(x, y) D1 < ", m x,y"X z uwagi na ograniczono[ przestrzeni (X, d1). W takim razie przestrzeD (X, d2) jest ograniczona. DokBadnie tak samo pokazujemy, |e z ograni- czono[ci (X, d2) wynika ograniczono[ (X, d1). Ad.(ii) wiczenie. Twierdzenie 6.7 w Niech d bdzie metryk w zbiorze X = ". def d(x,y) Wówczas funkcja ´ : X × X (x, y) ’! ´(x, y) = " [0, ") ‚" R, 1+d(x,y) jest równie| metryk w zbiorze X, równowa|n metryce d tak, |e przestrzeD metryczna (X, ´) jest ograniczona. Dowód:w " Bycie metryk - wiczenie. " Zauwa|my nastpnie, |e "x, y " X ´(x, y) < 1. Wobec tego przestrzeD metryczna (X, ´) jest ograniczona (a nawet ma [rednic mniejsz bdz równ 1). Wybierzmy (dowolnie) x0 " X oraz µ " R+. PoBó|my r1 = µ oraz µ r2 = . Odnotujmy, |e r2 < 1. µ+1 75 Jak teraz d(x0, y) < r1, dla pewnego y " X, to: d(x0,y) ´(x0, y) = d(x0, y) < µ. 1+d(x0,y) W ten sposób udowodnili[my, |e Bd(x0, r1) †" B´(x0, µ). Jak w koDcu ´(x0, y) < r2 dla pewnego y " X, to: " µ (") ´(x0,y) 2 1+µ " d(x0, y) = < = = µ. 1+µ-µ 1-´(x0,y) 1- 2 1+µ d ´ ((") : ´ = Ô! ´ + ´d = d Ô! (1 - ´)d = ´ Ô! d = ) 1+d 1-´ W ten sposób udowodnili[my, |e B´(x0, r2) †" Bd(x0, µ). Równowa|no[ metryk d oraz ´ wynika teraz z charakteryzacji wyka- zanej wcze[niej. PrzykBad 6.3 w Niech d bdzie metryk naturaln w zbiorze R i niech ´ bdzie metryk d(x,y) |x-y| w tym|e zbiorze zdefniowan przez ´(x, y) = a" . Na mocy 1+d(x,y) 1+|x-y| Twierdzenia 6.7 metryki d oraz ´ s równowa|ne. Wida, |e przestrzenie me- tryczne (R, ´) jest ograniczona, tymczasem przestrzeD metryczna (R, d) nie jest ograniczona. W takim razie metryki d oraz ´ nie s lipschitzowsko równowa|ne. Uwaga 6.3 w Jak metryk euklidesow d2 w przestrzeni Rn zastpi si metryk d, albo d", to nie zmieni si nic w kwestiach zbie|no[ci cigów, ograniczono[ci, zwar- to[ci i spójno[ci zbiorów, zupeBno[ci oraz cigBo[ci odwzorowaD okre[lonych w tej przestrzeni. Definicja 6.3 w Niech Ä bdzie pewn rodzin podzbiorów (dowolnego) zbioru X. T rodzin nazywa si topologi (w zbiorze X), je[li speBnia nastpujce warunki: (T 1) " " Ä oraz X " Ä, (T 2) U, V " Ä Ò! U )" V " Ä, (T 3) jak {U¹}¹"I jest (dowoln) podrodzin rodziny Ä, to U¹ " Ä. ¹"I Uwaga 6.4 w Je[li s " N \ {0}, U1, . . . , Us " Ä, to U1 )" . . . )" Us " Ä (wszystko w sytuacji z Definicji 6.3). 76 Definicja 6.4 w Przestrzeni topologiczn nazywa si par (X, Ä), w której X jest (dowolnym) zbiorem, Ä natomias - topologi w zbiorze X. Definicja 6.5 w Niech (X, Ä) bdzie przestrzeni topologiczn. Podzbiorem otwartym tej przestrzeni nazywa si ka|dy element topologii Ä. Definicja 6.6 w Zbiór C †" X jest domknity w przestrzeni topologicznej (X, Ä), jak X \C " Ä. Definicja 6.7 w Rodzin wszystkich podzbiorów domknitych przestrzeni topologicznej (X, Ä) nazywa si kotopologi tej przestrzeni. Twierdzenie 6.8 w Niech à bdzie kotopologi przestrzeni topologicznej (X, Ä). Wówczas: (1) " " à oraz X " Ã, (2) (s " N \ {0}, C1, . . . , Cs " Ã) Ò! C1 *" . . . *" Cs " Ã, (3) jak {C¹}¹"I jest dowoln podrodzin kotopologii Ã, to C¹ " Ã. ¹"I Dowód:w wiczenie. Uwaga 6.5 w Je[li (X, Ä) jest przestrzeni topologiczn, to " oraz X s podzbiorami otwarto - domknitymi tej przestrzeni. Definicja 6.8 w Otoczeniem (otwartym) punktu x0 przestrzeni topologicznej (X, Ä) nazywa si ka|dy taki zbiór U " Ä, |e x0 " U. PrzykBad 6.4 w 1. Niech X bdzie dowolnym zbiorem. Rodzina ÄB := {", X} jest wówczas topologi w zbiorz X, zwan topologi banaln albo antydyskretn. Kotopologi przestrzeni topologicznej (X, ÄB) jest {", X}. 77 2. Niech X bdzie (dowolnym) zbiorem. Rodzina 2x wszystkich podzbiorów zbioru X jest wówczas topologi w tym zbiorze, zwan topologi dys- kretn. Kotopologi przestrzeni topologicznej (X, 2x) jest {X \ U : U " 2x} = 2x. (Inaczej mówic, w przestrzeni topologicznej (X, 2x) wszystkie podzbiory s otwarto-domknite.) 3. Niech X bdzie dowolnym zbiorem niepustym i niech x0 " X. Rodzina def Ä0 = {U †" X, x0 " U} *" {"} jest wówczas topologi w zbiorze X, zwan topologi wyró|nionego punktu x0. Kotopologi przestrzeni topologicznej (X, Ä0) jest {X \ U : U " Ä0} = {C †" X, x0 " C} *" {X}. 4. Niech X bdzie dowolnym zbiorem. Rodzina def ÄC = {U †" X : (X \ U) jest zbiorem skoDczonym} *" {"} jest wówczas topologi w zbiorze X, zwan topologi dopeBnieD skoD- czonych. Faktycznie, " " ÄC. Poniewa| X \ X = ", to x " ÄC. Je[li U, V " ÄC \ {"}, to zbiory X \ U oraz X \ V s skoDczone, wic (X \ U) *" (X \ V ) = X \ (U )" V ) jest zbiorem skoDczonym, skd U )" V " ÄC. Je[li w koDcu {U¹}¹"I jest podrodzin rodziny ÄC tak, |e "¹ "I : U¹ = ", to (X \ U¹ ) ‡" (X \ U¹) = X \ U¹ oraz X \ U¹ jest 0 0 0 ) ¹"I ¹"I zbiorem skoDczonym, skd ju| U¹ " ÄC. ¹"I Kotopologi przestrzeni (X, ÄC) jest {X \ U : U " ÄC} = {C †" X : C jest zbiorem skoDczonym} *" {X}. Zauwa|my, |e je[li X jest zbiorem skoDczonym, to topologia ÄC jest identyczna z topologi dyskretn w zbiorze X. 5. Je[li d jest metryk w zbiorze X = ", to Top(X, d) jest topologi w tym zbiorze, zwan topologi zadan przez metryk d albo topologi natural- n przestrzeni metrycznej (X, d). Definicja 6.9 w PrzestrzeD topologiczna (X, Ä) jest metryzowalna, je[li X = " oraz istnieje taka metryka d w zbiorze X, |e Ä = Top(X, d). PrzykBad 6.5 w Rozwa|my topologi dyskretn w zbiorze X = ". Niech d bdzie metryk dys- kretn w tym zbiorze. Poniewa| Top(X, d) = 2x, to przestrzeD topologiczna (X, 2x) jest metryzowalna. 78 Definicja 6.10 w PrzestrzeD topologiczna (X, Ä) jest przestrzeni Hausdorffa (czyli T2-przestrzeni), je[li: x " U, y " V, "x,y"X : (x = y) Ò! "U,V "Ä : U )" V = ". Twierdzenie 6.9 w Ka|da metryzowalna przestrzeD topologiczna jest przestrzeni Hausdorffa. Dowód:w Niech (X, Ä) bdzie tak przestrzeni topologiczn, |e X = " oraz Ä = Top(X, d) dla pewnej metryki d w zbiorze X. Niech nastpnie x, y " X bd takimi punktami, |e x = y. 1 PoBó|my µ = d(x, y). Wówczas µ " R+. 2 Nastpnie poBó|my U = B(x, µ) oraz V = B(y, µ). Wtedy y " V, x " U, U )" V = " oraz U, V " Ä. Uwaga 6.6 w Istniej niemetryzowalne przestrzenie Hausdorffa. 79

Wyszukiwarka