ÿþW O J S K O W A A K A D E M I A T E C H N I C Z N A
i m . J a r o s Ba w a D b r o w s k i e g o
Z A K AA D A W I O N I K I I U Z B R O J E N I A L O T N I C Z E G O
P r z e d m i o t :
P O D S T A W Y A U T O M A T Y K I
( s t u d i a s t a c j o n a r n e I s t o p n i a )
W I C Z E N I E R A C H U N K O W E N r 4
S T A B I L N O Z U K AA D Ó W D Y N A M I C Z N Y C H
W a r s z a w a 2 0 1 3
W E R A C H U N N R 7
W I C Z E N I E N K O W E N
T e m a t :
S t a b i l n o [ u y n a m i c z n y c
S u k Ba d ó w d y c h
P o d c z a s b d n a s t p d n i e n i a :
s w i c z e n i a p o r u s z a n e b p u j c e z a g a d
·ð z a s t o s o w a n i e w y b r a n k r y t e r d o a n a l i z y s t a
z n y c h r i ó w a b i l n o [c i
u
u k Ba d ó w a u t o m a t y k i ;
·ð b a d a n i e s t a b i l n o [c i w o p a r c i u o c h a r a k t e r y s l o g a r y
b s t y k i y t m i c z n e
u a r t e g o - o k r o [c i . .
u k Ba d u o t w a r e [l e n i e z a p a s u s t a b i l n o
1 . W p r e
r o w a d z e n i e
S t a b Ba d u w a n i a t i e j s z o
b i l n o [ u k B s t e r o w j e s t n a j w a |n i j e g o c e c h
c h a r a k t e z k Ba d u w
e r y z u j c z d o l n o [ u k d o w y k o n a n i a z a d a D, d l a k t ó r y c h
z o s t a B o n z b u d o w S t a b i j e s t p o j c i e m o k r e [l a j c y w
o w a n y . i l n o [ y m
p o t o c z n z n a c z z z a o
n y m z e n i u z d o l n o [ z a c h o w a n i a p e w n e g o s t a n u .
R o z p a t r z a g a d n s t a b i z w a |a n i a m o |n a r o z p o o d
r u j c n i e n i e i l n o [c i , r o z m o c z
p r z y k Ba d a n i a s i k u l k e j p r z e d s t a w y s . 1 .
d u z a c h o w a k i s w o b o d n e w i o n e j n a r y
a ) u k Ba d n i e s t a b i l n y b ) u k Ba d s t a b i l z n i e i
u y b l n y a s y m p t o t y c z
g l o b a l n i e
c ) u k Ba d s t a b i l n y n i i e d ) u k Ba d s t a b i l y c z n i e i
u i e a s y m p t o t y c z n i d l n y n i e a s y m p t o t y
i i e g l o b a l n i e
i g l o b a l n i e l o k a l n i e - n i
R y w a g i
y s . 1 . I l u s t r a c j a r o d z a j ó w s t a n u r ó w n o w
J e [l i k u l k p o d d a m y p r u
i o r z e s u n i c i u , m o |n a u z n a , |e p o z y c j a
r ó w n o w w j a k z n a j d u s i k u l o d p o w
w a g i , k i e j u j e l k a w i e d n i o w c z t e r e c h
s t a n a c h : i l n y m , b ) s t a b i l n y m a s a l n i e , c
: a ) n i e s t a b i s y m p t o t y c z n i e i g l o b a l )
s t a b i l n y n i e a s n i e t a b i l n y m
y m s y m p t o t y c z n i g l o b a l n i e , d ) s t
n i e a s y m a l e n i e g l o b
m p t o t y c z n i e i l o k a l n i e , a b a l n i e .
Z p r n e j e
r z e d s t a w i o n a n a l i z y w y n i k a , |e s t a b i l n o [ j e s t c e c h u k Ba d u ,
p o l e g a j n a p o w o w n o w a g i s t a Be j p o z a m
c w r a c a n i u d o s t a n u r ó w m k n i c i u
z a k Bó c e n w y t r c i Bo u k B s t a n u .
n i a , k t ó r e w k Ba d z t e g o s
W z a g a d n i e n i a d o t y c z b i l n o [c i u k e r o w a n i a
a c h z c y c h s t a b k Ba d ó w s t e
p r z y j m i e o g ó l n i e j s z e p o t a b i l n o [
e m y o d e j [c i e . B d z i e m y b a d a s t
2
r o z w i z a D r ó w n a D r ó |n i c z k o o p i s u j c y c h u k i [l e d j e g o
D o w y c h k Ba d d z i
z a c h o w a d s t a w i e p r z e e k t o r i i w p r z a n u ( t z n .
a n i e n a p o d e b i e g u t r a j e z e s t r z e n i s t a
t a k i e j , w k t ó r e j p o Bo |e n i e p u n k t u o k s t w s z y s t k i e
p k r e [l o n e j e s p r z e z w
w s p ó Br z d n e t e j p r z e s t r z e n i i j e d n o z c u j e
i z n a c z n i e c h a r a k t e r y z u s t a n
d y n a m i c u ) , a w s z c z e w p r z e s t r z e n
c z n y u k Ba d u e g ó l n o [c i w n i f a z o w e j .
W y r w a r o d z a j e s
r ó |n i a m y d w s t a b i l n o [c i :
·ð w s t a n i e s w k a |a m y w
·ð s t a b i l n o [ u k Ba d u w w o b o d n y m , k t ó r r o z w a
p r z y p a d g d y n a u k Ba d n i e d z i a Ba j s y g n a By z e w
d k u , a e s w n t r z n e
( z a r ó w n , j a k i z a k Bó
n o s t e r u j c e , ó c a j c e ) ;
·ð p o d d a n e g o d z e w n t r z n y
·ð s t a b i l n o [ u k Ba d u p d z i a Ba n i o m z y m .
J e |e u k Ba d s w o b o d n y z n a j d u j e s i z n a j d u j e s i w s t a n i e
e l i w
r ó w n o w t o o d p y u n k t w a g i z e s t r z e n i
w a g i , p o w i a d a j c y t e m u p u r ó w n o w w p r z
f a z o w e j u m i e s z c z a w p o c j e j u k Ba d u w s p ó Br z d n y c h J e s t t o
a m y c z t k u u h .
d o g o d n e a n i u p r o c e s u o d s t a w i e
e p r z y b a d a u p r z e j [c i o w e g o p r z y t > t 0 n a p o
t r a j e k t o r n k t o p i s u j c z c y z p o Bo | t k o w e g o
r i i , j a k p u n c y w y c h o d z |e n i a p o c z
y 1 ( t 0 ) , & , y n ( t 0 ) k r e [l i w n w y m i r z e s t r z e n i f a z o w e j ,
i a r o w e j p r
m i a n o w
w i c i e :
·ð j e k t o r i a d |y d o p o c z t k u u k Ba d u
·ð j e |e l i t ®ð¥ð t r a j d
w s p ó Br z d n y c h ( p u r ó w n o
u n k t o w a g i ) , t o u k Ba d j e s t s t a b i l n y
a s y m p t o p u n k t B 0 n a r y s . 2 ;
o t y c z n i e p
·ð t k t o r i a a l a d u
·ð j e |e l i t ®ð¥ð t r a j e k o d d a s i o d p o c z t k u u k Ba d u
w s p ó Br z d n y c h ( p u w a g i ) , t o u k e s t a b i l n y
u n k t r ó w n o w k Ba d j e s t n i e
p u n k t C 0 n a r y s . 2
2 ;
·ð i e d z i
·ð j e |e l i t ®ð¥ð t r a j e k t o r i a n i w y c h o d p o z a p e w i e n
o g r a n i c z s z a r c z a j c y p o c z t e k u k Ba d u
z o n y o b s o t a c
w s p ó Br z d n y c h , t o u k Ba d j e s t s t a b i l n y w s e n s i e L a p u
u n o w a
p u n k t A 0 n a r y s . 2 ;
R y s z a m k n i t e g o u k Ba d u r e g u l a c j i
s . 2 . S c h e m a t z
P u n k r ó w n o w x = 0 n a z y w a b d z i e m y s t a b i l n y m w s e n s i e
k t w a g i b s w
d e f i n i c j i a , j e |e l i d l a n i e j eð a d o b r a
i L a p u n o w a a k a |d e j l i c z b y d o d a t n m o |n a
t a k l i c z ( z a l e | o d eð) , |e t r a j e k t o r i a r o c a s i w
z b hð | n a o g ó B o o z p o c z y n a j
3
p u n k c i e A 0 , l e |c y m z k u l i o p r o m w e w n t r z
m w e w n t r z m i e n i u hð, p o z o s t a n i e w
k u l i o p r e j c h w i l i t >
r o m i e n i u eð d l a d o w o l n e > 0 .
N a t o w p r z y p a d k u b a d a n i a s t a b i l n o [c i u k Ba d u p o
o m i a s t s o d d a n e g o
d z i a Ba n i o m z e w n r o z p a t r z o n y z o s t a n i e u k Ba d s t e
t r z n y m , r y e r o w a n i a
p r z e d s t a y s . 3 .
a w i o n y n a r y
S Y G N A A
U C H Y B
Z A S Y G N A Y
A K AÓ C E N I A A A W Y J ZC I O W Y
R E G U L A C J
J I
z ( t )
e ( t ) y ( t )
O B I E K T
T
S T E R O W A
A N I A
S Y G N A A
W E J ZC I O W Y
Y
u ( t )
R E G U L A T
T O R
e ( t )
U C H Y B
B
R E G U L A C J I
R y s z a m k n i t e g o u k Ba d u r e g u l a c j i
s . 3 . S c h e m a t z
Z a m u k Ba l i n o w y , p r z e d s t a w i n a r y s b d z i e m w i c
m k n i t y a d i o n y s . 3 , m y
u w a |a z a s t a b i l n y j e |e l i p r z k a |d e j s k w a k Bó c e n i a
y , z y k o Dc z o n e j w a r t o [c i z a
z ( t ) i w a z a d a y 0 ( t ) o d o w o l n w a r u n p o c z
a r t o [c i a n e j o r a z n y c h n k ó w t k o w y c h
s y g n a B w y j [c i o w y y ( t ) d |y b d z i e d o s k o Dc z o n e j w a r t o [c i u
w j u s t a l o n e j
d l a c z a t , d |c e g o d o n n o [c i . k i e d y y z u j e
a s u n i e s k o Dc z o n N i e k p r e c y s i
d o d a t k o |e g d y p o z a n i k n z a k Bó u k Ba p o w r a c a d o t e g o
o w o , y n i c i u ó c e n i a a d
s a m e g o s t a n u r ó w n z a j m o w a n y o , t o u k Ba d t a k i j e s t
n o w a g i c o z y p o p r z e d n i o
s t a b i l n y a s y m p t o t y P r z y p r z e t )
y y c z n i e . y k Ba d y e b i e g ó w y ( t w y s t p u j c y c h w
u k Ba d a c h h i n i e s t a b i l z a n o n a r y s . 4 .
h s t a b i l n y c h l n y c h p o k a z
a ) b )
R y s . 4 . C h k i c z a s o w e : a t a b i l n y c h , b ) u s t a b i l n y c h
h a r a k t e r y s t y k a ) u k Ba d ó w s t u k Ba d ó w n i e s
J e |e m k n i t y o p z a p o m o c l i n i o w e g o r
e l i u k Ba d z a m p i s a n y j e s t z l r ó w n a n i a
r ó |n i c z k
k o w e g o :
m
d n y d n -ð1 y d m x d m -ð1 x
d
a +ð
a n +ð a n -ð1 +ð . . . +ð a 0 y =ð b m +ð b m -ð1 +ð . . . +ð b 0 x ( 1 )
0
d t n 1 d t n -ð1 d t m d t m -ð1
d t
l u b o d p o j m u t r a n s m r a t o r o w e j :
o w i a d a j c e j m i t a n c j i o p e r
4
Y (ðs )ð b m s m +ð b m -ð1 s m -ð1 +ð . . . +ð b 0
G (ðs )ð =ð =ð ( 2 )
Z (ðs )ð a n s n +ð a n -ð1 s n -ð1 +ð . . . +ð a 0
t o c z a s o w y p r z e b i e g s y g n a Bu w y j [c i o w e g o y ( t ) p o d o w o l n y m z a k Bó c e n i u
o w a r t o [c i s k o Dc z o n e j o p i s a n y j e s t w z o r e m o n a s t p u j c e j p o s t a c i :
n
æð öð
k
y (ðt )ð =ð çð A 0 +ð e s t ÷ðz 0 ( 3 )
åðA k
èð k =ð1 øð
g d z i e : s k p i e r w i a s t k i r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o
u k Ba d u z a m k n i t e g o ; z 0 w a r t o [ z a k Bó c e n i a .
Z a k Bó c e n i e z ( t ) m o |e b y w p r o w a d z o n e w d o w o l n y m m i e j s c u
u k Ba d u , a w p r z y p a d k u s z c z e g ó l n y m z a k Bó c e n i e m m o |e b y r ó w n i e |
z m i a n a w a r t o [c i s y g n a Bu z a d a n e g o y 0 ( t ) .
K o n i e c z n y m i d o s t a t e c z n y m w a r u n k i e m s t a b i l n o [c i a s y m p t o t y c z n e j
u k Ba d u j e s t , a b y p i e r w i a s t k i r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o u k Ba d u
z a m k n i t e g o m i a By u j e m n e c z [c i r z e c z y w i s t e , t z n . a b y p i e r w i a s t k i
r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o l e |a By w l e w e j p ó Bp Ba s z c z y zn i e
p Ba s z c z y z n y z m i e n n e j z e s p o l o n e j , t z n . :
R e (ðs k )ð <ð 0 ( 4 )
W ó w c z a s :
l i m y (ðt )ð =ð A 0 z 0 ( 5 )
t ®ð¥ð
g d z i e : A 0 w s p ó Bc z y n n i k o w a r t o [c i s k o Dc z o n e j .
T a k w i c , u k Ba d j e s t s t a b i l n y w p o d a n y s e n s i e , a s k Ba d o w e w i e l k o [c i
w e j [c i o w e j z a n i k a j d o z e r a p r z y t ®ð¥ð, a p o z o s t a j e j e d y n i e s k Ba d o w a
u s t a l o n a , o k r e [l o n a s t a t y c z n y m i w Ba s n o [c i a m i u k Ba d u .
W p r z y p a d k u p i e r w i a s t k ó w z e s p o l o n y c h :
s k =ð dð +ð j wð ( 6 )
O d p o w i e d n i e w y r a z y s u m y ( 3 ) m a j p o s t a :
A k e (ðdð +ð j wð)ðt =ð A k e dðt (ðc o s (ðwðt )ð+ð j s i n (ðwðt )ð)ð ( 7 )
5
W y r a z y t e d | d o z e r a p r z y c z a s i e t ®ð¥ð, j e |e l i s p e Bn i o n y j e s t
w a r u n e k ( 4 ) . J e |e l i c h o c i a | j e d e n z p i e r w i a s t k ó w r ó w n a n i a
c h a r a k t e r y s t y c z n e g o m a c z [ r z e c z y w i s t d o d a t n i :
R e (ðs k )ð >ð 0 ( 8 )
t o :
l i m y (ðt )ð =ð ¥ð ( 9 )
t ®ð¥ð
i u k Ba d j e s t s t a b i l n y .
J e |e l i r ó w n a n i e c h a r a k t e r y s t y c z n e u k Ba d u m a p i e r w i a s t k i
w i e l o k r o t n e , t o w s u m i e ( 3 ) p o j a w i a j s i w y r a z y t y p u :
A k i -ði t
k k
t m e s ( 1 0 )
(ðm k -ð i )ð!
W t y m p r z y p a d k u w a r u n e k s t a b i l n o [c i ( 4 ) p o z o s t a j e r ó w n i e | w a |n y ,
m k -ði
g d y | f u n k c j a t r o [n i e w o l n i e j n i | f u n k c j a w y k Ba d n i c z a z a t e m d l a
R e ( s k ) < 0 , m a m y :
éð ùð
A k i -ði t
k k
l i m êð t m e s úð =ð 0 ( 1 1 )
t ®ð¥ð
(ðm k -ð i )ð!
ëð ûð
J e |e l i r ó w n a n i e c h a r a k t e r y s t y c z n e u k Ba d u m a p i e r w i a s t k i w
p ó Bp Ba s z c z y zn i e o r a z j e d n o k r o t n e n a o s i l i c z b u r o j o n y c h , n p . j e d e n
p i e r w i a s t e k z e r o w y l u b p a r p i e r w i a s t k ó w u r o j o n y c h s p r z |o n y c h , t o w
u k Ba d z i e b d w y s t p o w a d r g a n i a o s t a Be j a m p l i t u d z i e , o k r e [l o n e j
w a r u n k a m i p o c z t k o w y m i . U k Ba d j e s t w ó w c z a s n a g r a n i c y s t a b i l n o [c i , a
[c i [l e m ó w i c n i e j e s t s t a b i l n y a s y m p t o t y c z n i e . J e |e l i p i e r w i a s t k i
z e r o w e s w i e l o k r o t n e , t o p r z e b i e g y ( t ) o d d a l a s i o d p o c z t k o w e g o
s t a n u r ó w n o w a g i , a u k Ba d j e s t o c z y w i [c i e n i e s t a b i l n y .
W a r u n e k s t a b i l n o [c i ( 4 ) b d z i e m y w i c u w a |a z a o g ó l n y w a r u n e k
s t a b i l n o [c i l i n i o w y c h u k Ba d ó w a u t o m a t y k i . P o t r z e b a [c i [l e j s z e g o
r o z r ó |n i a n i a r o d z a j ó w s t a b i l n o [c i w y s t p i w u k Ba d a c h n i e l i n i o w y c h ,
n a t o m i a s t t u t a j s t a b i l n o [ b d z i e m y r o z u m i e j a k o s t a b i l n o [
a s y m p t o t y c z n .
P r z y b a d a n i u s t a b i l n o [c i u k Ba d ó w , k t ó r y c h w Ba s n o [c i d y n a m i c z n e
o p i s a n e s z a p o m o c r ó w n a D r ó |n i c z k o w y c h w y |s z y c h r z d ó w ( l u b
o d p o w i e d n i c h t r a n s m i t a n c j i ) , n a t r a f i a s i n a d u |e t r u d n o [c i p r z y
o b l i c z a n i u p i e r w i a s t k ó w r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o , g d y | j e s t t o
r ó w n a n i e a l g e b r a i c z n e t e g o s a m e g o s t o p n i a , c o r z d r ó w n a n i a
6
r ó |n i c z k o w e g o . S t o s u j e s i w t e d y j e d n o z k r y t e r i ó w s t a b i l n o [c i , t z n .
t w i e r d z e D p o z w a l a j c y c h o c e n i s t a b i l n o [ u k Ba d u n a p o d s t a w i e
w a r t o [c i w s p ó Bc z y n n i k ó w r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o l u b p r z e b i e g u
c h a r a k t e r y s t y k i c z s t o t l i w o [c i o w e j u k Ba d u o t w a r t e g o , b e z o b l i c z a n i a
p i e r w i a s t k ó w r ó w n a n i a ( 4 ) . N a l e |y j e d n a k p a m i t a , |e w s z y s t k i e
k r y t e r i a w y w o d z s i w a r u n k u p o d s t a w o w e g o ( 4 ) .
O s t a b i l n o [c i u k Ba d u d e c y d u j e r ó w n a n i e c h a r a k t e r y s t y c z n e , t j .
m i a n o w n i k t r a n s m i t a n c j i b a d a n e g o u k Ba d u . W y n i k s t d , |e w u k Ba d z i e
m a j z a n i k a d r g a n i a s w o b o d n e o p i s a n e r ó w n a n i e m j e d n o r o d n y m
( p r a w a s t r o n a r ó w n a n i a r ó |n i c z k o w e g o j e s t r ó w n a z e r u ) , k t ó r e t o
r ó w n a n i e o d p o w i a d a m i a n o w n i k o w i t r a n s m i t a n c j i b a d a n e g o u k Ba d u .
D l a t e g o t e | p r z y b a d a n i u s t a b i l n o [c i u k Ba d ó w z a j m u j e m y s i t y l k o
r ó w n a n i e m c h a r a k t e r y s t y c z n y m t e g o u k Ba d u .
Z w i e l u o p r a c o w a n y c h k r y t e r i ó w s t a b i l n o [c i p o z n a m y t r z y
p o d s t a w o w e , k t ó r e s t o s o w a n e s n a j c z [c i e j w p r a k t y c e i n |y n i e r s k i e j , a
m i a n o w i c i e :
·ð k r y t e r i u m H u r w i t z a ;
·ð k r y t e r i u m R o u t h a ;
·ð k r y t e r i u m N y q u i s t a ;
·ð i i n n e .
2 . K r y t e r i a s t a b i l n o [c i
2 . 1 . W p r o w a d z e n i e
K r y t e r i a s t a b i l n o [c i s w p r o w a d z a n e w c e l u u p r o s z c z e n i a
p r o j e k t a n t o w i o d p o w i e d z i n a p y t a n i e o s t a b i l n o [ s t w o r z o n e g o m o d e l u
m a t e m a t y c z n e g o u k Ba d u . D z i k i z a s t o s o w a n i u o d p o w i e d n i c h k r y t e r i ó w
s t a b i l n o [c i m o |n a n a p o d s t a w i e s t r u k t u r y i p a r a m e t r ó w m o d e l u
s t w i e r d z i , c z y u k Ba d j e s t s t a b i l n y , b e z k o n i e c z n o [c i r o z w i z y w a n i a
r ó w n a D m o d e l u l u b w y k o n y w a n i a b a d a D s y m u l a c y j n y c h .
2 . 2 . K r y t e r i u m H u r w i t z a
A l g e b r a i c z n e k r y t e r i u m s t a b i l n o [c i , o p a r t e n a b a d a n i u
w s p ó Bc z y n n i k ó w r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o , u d o w o d n i o n e z o s t a Bo
p r z e z H u r w i t z a w 1 8 9 5 r . P o z w a l a o n o n a s p r a w d z e n i e , c z y r ó w n a n i e
a l g e b r a i c z n e d o w o l n e g o s t o p n i a m a w y Bc z n i e p i e r w i a s t k i u j e m n e l u b o
u j e m n y c h c z [c i a c h r z e c z y w i s t y c h .
K r y t e r i u m H u r w i t z a m o |n a s t o s o w a t y l k o w t e d y , k i e d y z n a n y j e s t
o p i s m a t e m a t y c z n y b a d a n e g o u k Ba d u , a m i a n o w i c i e j e g o r ó w n a n i e
c h a r a k t e r y s t y c z n e . J e s t o n o b a r d z o p r o s t e i w y g o d n e w z a s t o s o w a n i u d o
u k Ba d ó w o p i s a n y c h r ó w n a n i a m i n i |s z y c h s t o p n i . Z a p o m o c t e g o
k r y t e r i u m m o |n a s p r a w d z i s t a b i l n o [ u k Ba d u o w s z y s t k i c h
7
w s p ó Bc z y n n i k a c h r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o , j a k i w y z n a c z y
z a k r e s y ( o b s z a r y ) z m i e n n o [c i n i e k t ó r y c h w s p ó Bc z y n n i k ó w
z a p e w n i a j c e s t a b i l n o [. W a d j e s t b r a k m o |l i w o [c i w y z n a c z a n i a
z a p a s u s t a b i l n o [c i o r a z u t r u d n i o n a o c e n a w p By w u p o s z c z e g ó l n y c h
p a r a m e t r ó w u k Ba d u n a s t a b i l n o [.
W a r u n k i e m k o n i e c z n y m i w y s t a r c z a j c y m , |e b y u k Ba d l i n i o w y
s t a c j o n a r n y c i g By b y B s t a b i l n y a s y m p t o t y c z n i e , j e s t a b y :
·ð w s z y s t k i e w s p ó Bc z y n n i k i r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o
a n s n +ð a n -ð1 s n -ð1 +ð . . . +ð a 1 s +ð a 0 =ð 0 ( 1 2 )
I s t n i a By i b y By w i k s z e o d z e r a :
a i >ð 0 , i =ð 0 , 1 , 2 , . . . , n ( 1 3 )
W a r u n e k t e n j e s t w a r u n k i e m k o n i e c z n y m , a l e
n i e w y s t a r c z a j c y m .
·ð w s z y s t k i e p o d w y z n a c z n i k i g Bó w n e ( m i n o r y ) w y z n a c z n i k a Dðn
( w y z n a c z n i k a H u r w i t z a ) b y By w i k s z e o d z e r a .
Dð1 >ð 0 , Dð2 >ð 0 , . . . , Dðn -ð1 >ð 0 ,
a n -ð1 a n -ð3 a n -ð5 Lð 0
a n a n -ð2 a n -ð4 Lð 0
0 a n -ð1 a n -ð3 Lð 0
0 a n a n -ð2 Lð 0
Mð Mð Mð Mð Mð Mð Mð
Dðn =ð ( 1 4 )
Mð Mð Mð Mð Mð Mð Mð
0 0 0 Lð a 1 0 0
0 0 0 Lð a 2 a 0 0
0 0 0 Lð a 3 a 1 0
0 0 0 Lð a 4 a 2 a 0
J a k w y n i k a z z a l e |n o [c i ( 1 4 ) , w y z n a c z n i k H u r w i t z a t w o r z y m y
u m i e s z c z a j c n a g Bó w n e j p r z e k t n e j k o l e j n e w s p ó Bc z y n n i k i w i e l o m i a n u
a n - 1 d o a 0 . N a s t p n i e w p o s z c z e g ó l n y c h k o l u m n a c h w p i s u j e m y p o w y |e j
w y r a z u n a p r z e k t n e j g Bó w n e j w y z n a c z n i k a w s p ó Bc z y n n i k i o i n d e k s a c h
k o l e j n o z m n i e j s z a j c y c h s i o j e d e n , a p o n i |e j w y r a z u n a p r z e k t n e j
g Bó w n e j w s p ó Bc z y n n i k i o i n d e k s a c h k o l e j n o z w i k s z a j c y c h s i o
j e d e n .
8
J e |e l i k t ó r y [ z e w s p ó Bc z y n n i k ó w r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o j e s t
u j e m n y l u b r ó w n y z e r u , a l b o k t ó r y [ z p o d w y z n a c z n i k ó w j e s t u j e m n y
l u b r ó w n y z e r u , t o u k Ba d j e s t n i e s t a b i l n y . W p r z y p a d k u , g d y r ó w n a n i e
( 1 2 ) m a , m i n . p i e r w i a s t k i c z y s t o u r o j o n e i w p r z e b i e g u c z a s o w y m y ( t )
w y s t p u j d r g a n i a o s t a Be j a m p l i t u d z i e . M ó w i m y w ó w c z a s , |e u k Ba d
z n a j d u j e s i n a g r a n i c y s t a b i l n o [c i ( g r a n i c a s t a b i l n o [c i n a l e |y d o o b s z a r u
n i e s t a b i l n e g o ) .
K r y t e r i u m H u r w i t z a u m o |l i w i a s t w i e r d z e n i e s t a b i l n o [c i
a s y m p t o t y c z n e j , j a k i n i e a s y m p t o t y c z n e j . M o |l i w o [ w y s t p i e n i a
s t a b i l n o [c i n i e a s y m p t o t y c z n e j z a c h o d z i w t e d y , k i e d y w r ó w n a n i u
c h a r a k t e r y s t y c z n y m w s p ó Bc z y n n i k a 0 = 0 . P o p o d z i e l e n i u s t r o n
r ó w n a n i a p r z e z s , o t r z y m u j e m y r ó w n a n i e s t o p n i a n - 1 , w o d n i e s i e n i u d o
k t ó r e g o s t o s u j e m y k r y t e r i u m H u r w i t z a .
2 . 3 . K r y t e r i u m R o u t h a
D r u g i m k r y t e r i u m a n a l i t y c z n y m , o b o k k r y t e r i u m H u r w i t z a , j e s t
k r y t e r i u m R o u t h a , k t ó r e o p r ó c z o d p o w i e d z i n a p y t a n i e o s t a b i l n o [
a s y m p t o t y c z n b a d a n e g o m o d e l u d o s t a r c z a i n f o r m a c j i o l i c z b i e
p i e r w i a s t k ó w r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o , z n a j d u j c y c h s i w p r a w e j
p ó Bp Ba s z c z y zn i e z m i e n n e j z e s p o l o n e j .
K r y t e r i u m t o o k r e [l a l i c z b p i e r w i a s t k ó w w i e l o m i a n u
c h a r a k t e r y s t y c z n e g o w p r a w e j p ó Bp Ba s z c z y zn i e z m i e n n e j z e s p o l o n e j s .
W s z y s t k i e p i e r w i a s t k i r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o b a d a n e g o
u k Ba d u b d z n a j d o w a s i w l e w e j p ó Bp Ba s z c z y zn i e z m i e n n e j
z e s p o l o n e j , j e |e l i z o s t a n s p e Bn i o n e n a s t p u j c e w a r u n k i :
·ð w s z y s t k i e w s p ó Bc z y n n i k i r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o a i ,
i = 1 , & , n , s d o d a t n i e . J e s t t o w a r u n e k k o n i e c z n y ;
·ð w s z y s t k i e w s p ó Bc z y n n i k i l e w e j s k r a j n e j k o l u m n y R o u t h a s
d o d a t n i e .
J e |e l i u k Ba d j e s t n i e s t a b i l n y a s y m p t o t y c z n i e , t o w s p ó Bc z y n n i k i t e j
k o l u m n y z m i e n i a j z n a k . W ó w c z a s l i c z b a z m i a n z n a k u j e s t r ó w n a
l i c z b i e p i e r w i a s t k ó w r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o z n a j d u j c y c h s i w
p r a w e j p ó Bp Ba s z c z y zn i e z m i e n n e j z e s p o l o n e j . T a b l i c R o u t h a b u d u j e s i
w e d Bu g n a s t p u j c e g o s c h e m a t u :
a n a n -ð2 a n -ð4 a n -ð6 Lð
a n -ð1 a n -ð3 a n -ð5 a n -ð7 Lð
b 1 b 2 b 3 b 4 Lð
( 1 5 )
c 1 c 2 c 3 Lð
d 1 d 2 Lð
e 1
9
g d z i e :
a n a n -ð2 a n a n -ð4 a n a n -ð6
a n -ð1 a n -ð3 a n -ð1 a n -ð5 a n -ð1 a n -ð7
b 1 =ð , b 2 =ð , b 3 =ð , . . . . .
-ð a n -ð1 -ð a n -ð1 -ð a n -ð1
a n a n -ð3 a n a n -ð5 a n a n -ð7
b 1 b 2 b 1 b 3 b 1 b 4
c 1 =ð , c 2 =ð , c 3 =ð , . . . . .
-ð b 1 -ð b 1 -ð b 1
( 1 6 )
b 1 b 2 b 1 b 3
c 1 c 2 c 1 c 3
d 1 =ð , d 2 =ð , . . . . .
-ð c 1 -ð c 1
c 1 c 2
d 1 d 2
e 1 =ð , . . . . .
-ð d 1
Z k a |d y m w i e r s z e m t a b l i c y R o u t h a m o |n a s k o j a r z y w i e l o m i a n
p o m o c n i c z y , k t ó r y b d z i e w y k o r z y s t y w a n y w p r z y p a d k u s z c z e g ó l n y m ,
c z y l i w t e d y , k i e d y w i e r s z w s p ó Bc z y n n i k ó w o k a |e s i s k Ba d a z s a m y c h
z e r :
a n a n -ð2 a n -ð4 a n -ð6 Lð
a n -ð1 a n -ð3 a n -ð5 a n -ð7 Lð
b 1 b 2 b 3 b 4 Lð
( 1 7 )
c 1 c 2 c 3 Lð
d 1 d 2 Lð
e 1
W t e d y w i e r s z s k Ba d a j c y s i z z e r z a s t p u j e s i w s p ó Bc z y n n i k a m i
p o c h o d n e j w i e l o m i a n u p o m o c n i c z e g o z p o p r z e d n i e g o w i e r s z a .
W i e l o m i a n t e n b u d u j e s i , s u m u j c o d p o w i e d n i e i l o c z y n y
w s p ó Bc z y n n i k ó w z t a b l i c y R o u t h a z e z m i e n n s w p o t d z e w y n i k a j c e j
z k o n s t r u k c j i s t o w a r z y s z o n e j z n i t a b e l i w i e l o m i a n o w e j . D r u g
s y t u a c j w y j t k o w j e s t s y t u a c j a , k i e d y e l e m e n t w l e w e j s k r a j n e j
k o l u m n i e t a b l i c y R o u t h a r ó w n a s i z e r u . W t e d y b a d a n e r ó w n a n i e
c h a r a k t e r y s t y c z n e n a l e |y p o m n o |y p r z e z c z y n n i k ( s + a ) i r o z p o c z
b a d a n i e s t a b i l n o [c i t a k o t r z y m a n e g o r ó w n a n i a z a p o m o c k r y t e r i u m
R o u t h a o d p o c z t k u . L i c z b a a > 0 j e s t l i c z b r z e c z y w i s t i n i e j e s t
p i e r w i a s t k i e m r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o .
2 . 5 K r y t e r i u m N y q u i s t a
K r y t e r i u m N y q u i s t a m a d u |e z n a c z e n i e p r a k t y c z n e , p o n i e w a |
p o z w a l a b a d a s t a b i l n o [ u k Ba d u z a m k n i t e g o n a p o d s t a w i e p r z e b i e g u
1 0
c h a r a k t e r y s t y k i c z s t o t l i w o [c i o w e j u k Ba d u o t w a r t e g o , k t ó r m o |n a
w y z n a c z y z a r ó w n o a n a l i t y c z n i e , j a k i d o [w i a d c z a l n i e .
R o z p a t r z m y u k Ba d l i n i o w y o s c h e m a c i e b l o k o w y m
p r z 4 e d s t a w i o n y m n a r y s . 5 . T r a n s m i t a n c j a u k Ba d u o t w a r t e g o G o ( s ) j e s t
r ó w n a :
G 0 (ðs )ð =ð G 1 (ðs )ðG 2 (ðs )ð ( 1 8 )
P r z e d s t a w i a j c t t r a n s m i t a n c j w p o s t a c i i l o r a z u w i e l o m i a n ó w
o t r z y m a m y :
M o (ðs )ð
G 0 (ðs )ð =ð ( 1 9 )
N o (ðs )ð
p r z y c z y m N o ( s ) = 0 j e s t r ó w n a n i e m c h a r a k t e r y s t y c z n y m u k Ba d u
o t w a r t e g o .
T r a n s m i t a n c j a u k Ba d u z a m k n i t e g o G z ( s ) j e s t r ó w n a :
G 1 (ðs )ð M (ðs )ð
z
G z (ðs )ð =ð =ð ( 2 0 )
1 +ð G 0 (ðs )ð N z (ðs )ð
p r z y c z y m N ( s ) = 1 + G o ( s ) = 0 j e s t r ó w n a n i e m c h a r a k t e r y s t y c z n y m
u k Ba d u z a m k n i t e g o .
P r z e d s t a w i a j c r ó w n a n i e c h a r a k t e r y s t y c z n e u k Ba d u z a m k n i t e g o w
p o s t a c i w i d m o w e j N ( j wð) = N ( s ) d l a s = j wð o t r z y m a m y :
N (ð j wð)ð =ð 1 +ð G 0 (ðs )ð =ð 1 +ð G o (ð j wð)ð ( 2 1 )
s =ð j wð
g d z i e : G o ( j wð) j e s t c h a r a k t e r y s t y k c z s t o t l i w o [c i o w u k Ba d u
o t w a r t e g o
S t a b i l n o [ u k Ba d u z a m k n i t e g o z a l e |y o d j e g o r ó w n a n i a
c h a r a k t e r y s t y c z n e g o N ( s ) = 0 . Z r ó w n a n i a ( 2 1 ) w y n i k a , |e m o |n a j
o c e n i n a p o d s t a w i e c h a r a k t e r y s t y k i c z s t o t l i w o [c i o w e j u k Ba d u
o t w a r t e g o G o ( j wð) .
R y s . 5 . S c h e m a t b l o k o w y u k Ba d u
1 1
K r y t e r i u a m o |n a s f o o :
u m N y q u i s t a o r m u Bo w a n a s t p u j c o
u k Ba z a m k n i j e s t s t |e l i o s t e n t u
a d t y t a b i l n y , j e | p r z y r o a r g u m e
w y r a k t o r a ) 1 + G o ( j wð) p r z y u l s a c j i o d 0
a |e n i a ( w e k G y z m i a n i e p u wð o
d o ¥ð j e s t r ó w n y i p i e r w i a s t a n i a
¥ð y k pð, g d z i e k j e s t i l o [c i t k ó w r ó w n a
c h a r z n e g o d u g o , c i i s t e j
r a k t e r y s t y c z u k Ba d o t w a r t e g o c z [c r z e c z y w i
d o d a
a t n i e j , c z y l i :
Dðjð [ð1 +ð G o (ð j wð)ð]ð=ð k pð ( 2 2 )
P r z y a r g u m w e k t n a l e |y r o z u m i e j a k o o b r o t e g o
y r o s t m e n t u t o r a y o t u
w e k t o r a a n i e p u l s a c j i r e s i e .
a , p r z y z m i a i wð w o k r e [l o n y m z a k r
Z w r u w a g j e |e l i k t o u k Ba d o t w a r j e s t n i e
r ó m y g , k ¹ð 0 , u r t y e s t a b i l n y ,
p o n i e w a p o s i a d a p i e r w i a s t k i r ó w n a n i a c h a r a k t e r y
a | i y s t y c z n e g o o c z [c i
r z e c z y w d o d a t S t d w y n i k a , |e i s t n i e j u k Ba d y z a
w i s t e j t n i e j . | a m k n i t e
s t a b i l n e , p o m i m o |e u k Ba d o t w e s t a b i l n y .
w a r t y j e s t n i e
S p o s o b l i c z a p r z y r o a r g u m Dðjð w e k t o r a 1
s ó b a n i a o s t u m e n t u 1 + G o ( j wð)
p o k a z a n
n o n a r y s . 6 .
R y b o b l i c z a n i a u a r g u m e n t w e k t
y s . 6 . S p o s ó b a p r z y r o s t u t u Dðjð t o r a
1 + G o ( j wð)
G jð wð G
Dðjð [ð1 +ð G o (ð j wð)ð]ð=ð Dðjð [ð1 +ð G o (ð j wð)ð]ð+ð Dðjð [ð1 +ðG o (ð j wð)ð]ð+ð
0 <ðwð<ð¥ð 0 <ðwð<ðwð1 wð1 <ðwð<ðwð2
<ð wð
G ]ð
+ð Dðjð [ð1 +ð G o (ð j wð)ð]ð+ð Dðjð [ð1 +ð G o (ð j wð)ð]ð ( 2 3 )
wð2 <ðwð<ðwð3 wð1 <ðwð<ð¥ð
wð
Dðjð1 +ð Dðjð2 +ð Dðjð3 +ð Dðjð4 =ð -ðpð -ðað +ð að +ðpð =ð 0
+ð pð
3
W z ó ( 2 3 ) w y z e s t a , r o s t e n t u
ó r y n i k a t w i e r d z e n i a |e p r z y r a r g u m e Dðjð
w e k t o r a 1 + G o ( j wð) r o z u m i a n y j e s t j a k o k t o b r o t u t e g o w e k t o p r z y
a y t o r a
z m i a n i e wð o d 0 d o ¥ð, k t ó r t o m b i n a k o l e j
o z m i a n m o |e m y r o z b j n e e t a p y
( wð = 0 d = wð1 ; wð = d o wð=
d o wð wð = wð1 , i t d . )
R o z p b e c n i e p r z y p z [c i e j w y s t p u j c y k =
p a t r z m y o b p a d e k n a j c z = 0 , t z n .
|e u k Ba d e s t s t a b i l n y . Z p o d a n e g j k r y t e r i u m w y n i k a ,
d o t w a r t y j e g o p o w y |e j
1 2
|e u k Ba d e s t s t a b i l n y . Z p o d a n e g j k r y t e r i u m w y n i k a ,
d o t w a r t y j e g o p o w y |e j
|e u k Ba d e t e | j e s t s t a b
d z a m k n i t e a b i l n y , j e |e l i :
Dðjð [ð1 +ð G o (ð j wð)ð]ð=ð 0 ( 2 4 )
)ð
0 <ðwð<ð¥ð
P r z y i e g u c h a r a k m p l i t u d o w o f a z o w y c h
y k Ba d p r z e b i k t e r y s t y k a m h G o ( j wð)
u k Ba d u o t w a r t y c h s t a b i l n y c h , k t ó r e p o z a b a b i l n e , b )
o s a m k n i c i u b d : a ) s t a
n i e s t a b i l
l n e ( r y s . 7 ) .
R y s . 7 r z e b i e g u c h a r a k t e r y s t y k a o f a z o w y c h G o ( j wð)
7 . P r z y k Ba d p r a m p l i t u d o w o G
u k Ba d u o t w a r t y c h , k t ó r e p o z a m k n i c i u b d e , b )
c h s t a b i l n y c h d : a ) s t a b i l n e
n i e s t a b i l n e
G d y w u k Ba d z i o t w a r t y m w y s t p u j e j e d e n l u b w i c e j e l e
y i e m e b e m e n t ó w
c a Bk u j c k t e r y s t y k a G o ( j wð) z a c z y n a s i w n n o [c i ( d l a
c y c h , c h a r a k G n i e s k o Dc z o n
wð = 0 ) . N a l e |y w t c h a r a k t o k r g u
t e d y k t e r y s t y k t e u z u p e Bn i c z [c i o o
1 3
p r o m i e n r ó w n y m n i e s k o Dc a r t e k ,
n i u m c z o n o [c i R = ¥ð p r z e z t y l e w i a i l e
w y s t p u e l e m e n c a Bk u N r z y p a d e k
u j e n t ó w k u j c y c h . N a r y s . 7 t r z e c i p r
o d p o w i a u k Ba d o w o t w a r t e m w k t ó r y m w y s t p j e d e n e l e m e n t
a d a w i m u , p u j e
c a Bk u j c p e Bn i o n y c z g u n a r y s o w a
c y , d l a t e g o z o s t a B u z u p z [c i o k r g a n l i n i
p r z e r y w
w a n .
R o z p k Ba d r t y y , y m u j
p a t r z m y u k o t w a r s t a b i l n y w k t ó r y w y s t p u d w a
e l e m e n t e , w t e d y p r z r a k t e r y s t y k i G o ( j wð) j e s t
t y c a Bk u j c e z e b i e g c h a r t z g o d n y
z r y s . 8 . C h a r a k t e r y t n a u z u p e p ó Bo k r o p r
y s t y k a l e |y e Bn i r g i e m r o m i e n i u
R = ¥ð.
R y s e r y s t y k a G o ( j wð w a r t e g o z d w t a m i
s . 8 . C h a r a k t e wð) u k Ba d u o t w w o m a e l e m e n t
c a Bk u j c y m i
i
Z r y e t a k i u k Ba d i c i u b d z i e
y s u n k u t e g o w y n i k a , |e d p o z a m k n i e z a w s z e
n i e s t a b i l n i e s t a b i l n y s t r u k t u r a l n i a | p u n k t ( - 1
l n y ( u k Ba d n i e ) , p o n i e w a 1 , j 0 ) l e |y
p o p r a w y k i G o ( j wð) .
w e j s t r o n i e c h a r a k t e r y s t y
K r y t t o j e p r o s t e w p r a k t y c z n z a s t o s o y
t e r i u m e s t w n y m o w a n i u , g d y z n a m y
c h a r a k t e m z |e
e r y s t y k a m p l i t u d o w o f a z o w G o ( j wð) o r a z w i e m y , | u k Ba d
o t w a r t y j e s t s t a b i o t r z y m a n a e m e n t ó w
i l n y , m a m y a l i z u j c s t a b i l n o [ e l e
( p o d z e s p c h o d z c y c h w s k Ba d u k Ba d u o t w a r t e g o J e |e l i
p o Bó w ) w c h d o .
s t w i e r d z |e w s z y s t k i e e l e m e n t y s k t o
z i m y , w k Ba d o w e s s t a b i l n e , t u k Ba d
o t w a r t y t e | j e s t s t a b i l n y . W c e l u u d o w o d n p o w
n i e n i a w y |s z e g o
s t w i e r d z p r z y j e o Ba d a z
z e n i a j m i e m y , |e u k Ba d o t w a r t y s k B s i z d w ó c h
e l e m e n t m i t a n c j i G 1 ( r y s . 5 .
t ó w o t r a n s m ( s ) i G 2 ( s )
)ð M
M 1 (ðs )ð M 2 (ðs )ð M o (ðs )ð
G o (ðs )ð=ð G 1 (ðs )ðG 2 (ðs )ð=ð =ð ( 2 5 )
2
N 1 (ðs )ð N 2 (ðs )ð N o (ðs )ð
N
(ð M 2 (ðs )ð
g d z i
i e : G (ðs )ð=ð M 1 (ðs )ð; G 2 (ðs )ð=ð M
1
N 1 (ðs )ð N 2 (ðs )ð
N
S t d ( s n a c z a w i e l o m k t e r y s t y c z n y
d N o ( s ) = N 1 ( s ) N 2 ( s ) o z n m i a n c h a r a k y u k Ba d u
o t w a r t e g r ó w n y i l o c z y n o w i e l o m c t y c z n y c h
g o o w i m i a n ó w c h a r a k t e r y s t
e l e m e n t a d o w y c h . Z a t e m p i e r w i a s t k a m i r
t ó w s k Ba r ó w n a n i a
1 4
c h a r a k t e r y s t y c z n e g o u k Ba d u o t w a r t e g o s p i e r w i a s t k i r ó w n a D
c h a r a k t e r y s t y c z n y c h e l e m e n t ó w s k Ba d o w y c h . P o w y |s z e r o z u m o w a n i e
m o |n a r o z s z e r z y n a d o w o l n i l o [ e l e m e n t ó w s k Ba d o w y c h .
3 . P r z y k Ba d y
P r z y k Ba d 1 .
Z b a d a s t a b i l n o [ u k Ba d u o t w a r t e g o i z a m k n i t e g o o s c h e m a c i e
b l o k o w y m ( r y s . 9 ) , g d z i e G 1 ( s ) o z n a c z a t r a n s m i t a n c j r e g u l a t o r a P D . W
t y m c e l u n a l e |y s k o r z y s t a z k r y t e r i u m H u r w i t z a
s +ð1
G 1 (ðs )ð =ð ; G 2 (ðs )ð =ð 2 (ðs +ð1 )ð ( 2 6 )
s 4 +ð 2 s 3 +ð 3 s 2 +ð s +ð 2
R y s . 9 . C h a r a k t e r y s t y k a G o ( j wð) u k Ba d u o t w a r t e g o z d w o m a e l e m e n t a m i
c a Bk u j c y m i
I . T r a n s m i t a n c j a u k Ba d u o t w a r t e g o G o ( s ) j e s t r ó w n a :
2
2 (ðs +ð1 )ð
G o (ðs )ð=ð G 1 (ðs )ðG 2 (ðs )ð=ð ( 2 7 )
s 4 +ð 2 s 3 +ð 3 s 2 +ð s +ð 2
s t d r ó w n a n i e c h a r a k t e r y s t y c z n e u k Ba d u o t w a r t e g o G o ( s ) m a p o s t a :
N o (ðs )ð=ð s 4 +ð 2 s 3 +ð 3 s 2 +ð s +ð 2 =ð 0 ( 2 8 )
1 ) w a r u n e k k o n i e c z n y j e s t s p e Bn i o n y , p o n i e w a | a 4 > 0 , a 3 > 0 ,
a 2 > 0 , a 1 > 0 , a 0 > 0 .
W y z n a c z n i k H u r w i t z a u k Ba d u o t w a r t e g o m a p o s t a :
a 3 a 4 0 0 2 1 0 0
a 1 a 2 a 3 a 4 1 3 2 1
Dð4 (ðs )ð=ð =ð ( 2 9 )
0 a 0 a 1 a 2 0 2 1 3
0 0 0 a 0 0 0 0 2
2 ) w a r u n e k w y s t a r c z a j c y w y m a g a s p r a w d z e n i a z n a k u
p o d w y z n a c z n i k Dð2 i Dð3 :
1 5
a 3 a 4 2 1
Dð2 (ðs )ð =ð =ð =ð 6 -ð1 =ð 5 >ð 0 ( 3 0 )
a 1 a 2 1 3
a 3 a 4 0 2 1 0
Dð3 (ðs )ð=ð a 1 a 2 a 3 =ð 1 3 2 =ð
0 a 0 a 1 0 2 1 ( 3 1 )
1 0 2 0 2 1
0 -ð 2 +ð1 =ð -ð8 +ð 5 =ð -ð3 >ð 0
3 2 1 2 1 3
U k Ba d o t w a r t y j e s t n i e s t a b i l n y , p o n i e w a | Dð3 < 0 .
I I . T r a n s m i t a n c j a u k Ba d u z a m k n i t e g o G z ( s ) j e s t r ó w n a :
Y (ðs )ð G 1
G 1 (ðs )ð=ð =ð =ð
X (ðs )ð 1 +ð G 0
s +ð1
( 3 2 )
s +ð1
s 4 +ð 2 s 3 +ð 3 s 2 +ð s +ð 2
=ð =ð
2
2 (ðs +ð1 )ð s 4 +ð 2 s 3 +ð 5 s 2 +ð 5 s +ð 4
1 +ð
s 4 +ð 2 s 3 +ð 3 s 2 +ð s +ð 2
s t d r ó w n a n i e c h a r a k t e r y s t y c z n e u k Ba d u z a m k n i t e g o N ( s ) m a
p o s t a :
N (ðs )ð=ð s 4 +ð 2 s 3 +ð 5 s 2 +ð 5 s +ð 4 =ð 0 ( 3 3 )
1 ) W a r u n e k k o n i e c z n y s p e Bn i o n y .
W y z n a c z n i k H u r w i t z a Dð4 m a p o s t a :
2 1 0 0
5 5 2 1
Dð4 (ðs )ð =ð ( 3 4 )
0 4 5 5
0 0 0 4
2 ) W a r u n e k w y s t a r c z a j c y w y m a g a s p r a w d z e n i a z n a k u
p o d w y z n a c z n i k a Dð2 i Dð3 :
a 3 a 4 2 1
Dð2 (ðs )ð=ð =ð =ð 1 0 -ð 5 =ð 5 >ð 0 ( 3 5 )
a 1 a 2 5 5
1 6
2 1 0
1 0 2 0 2 1
Dð3 (ðs )ð=ð 5 5 2 =ð 0 -ð 4 +ð 5 =ð
5 2 5 2 5 5 ( 3 6 )
0 4 5
=ð -ð1 6 +ð 2 5 =ð 9 >ð 0
U k Ba d z a m k n i t y j e s t s t a b i l n y .
M a m y t u d o c z y n i e n i a z p r z y p a d k i e m , k i e d y n i e s t a b i l n y u k Ba d
o t w a r t y p o z a m k n i c i u s t a j e s i u k Ba d e m s t a b i l n y m .
P r z y k Ba d 2
O k r e [l i s t a b i l n o [ u k Ba d u z a m k n i t e g o o s c h e m a c i e b l o k o w y m
p r z e d s t a w i o n y m n a r y s . 1 0 , g d z i e w t o r z e g Bó w n y m w y s t p u j e e l e m e n t
c a Bk u j c y r z e c z y w i s t y o t r a n s m i t a n c j i :
k v
G 1 (ðs )ð =ð ( 3 7 )
s (ðT s +ð1 )ð
S t a b i l n o [ n a l e |y o k r e [l i z w y k o r z y s t a n i e m k r y t e r i u m N y q u i s t a .
k
v
s (ðT s +ð 1 )ð
R y s . 1 0 . S c h e m a t b l o k o w y u k Ba d u
W a n a l i z o w a n y m p r z y k Ba d z i e t r a n s m i t a n c j a u k Ba d u o t w a r t e g o j e s t
r ó w n a t r a n s m i t a n c j i G 1 ( s ) .
C h a r a k t e r y s t y k a a m p l i t u d o w o f a z o w a u k Ba d u o t w a r t e g o G o ( j wð)
p r z e d s t a w i o n a j e s t n a r y s . 1 0 .
U k Ba d o t w a r t y j e s t s t a b i l n y d l a T > 0 , g d y | e l e m e n t c a Bk u j c y
r z e c z y w i s t y j e s t s t a b i l n y ( n i e a s y m p t o t y c z n i e ) . P o s i a d a b o w i e m
p i e r w i a s t k i r ó w n a n i a c h a r a k t e r y s t y c z n e g o s 1 = 0 , s 2 = - 1 / T .
P o n i e w a | w u k Ba d z i e o t w a r t y m w y s t p u j e e l e m e n t c a Bk u j c y ,
c h a r a k t e r y s t y k u z u p e Bn i a m y c z [c i o k r g u R = ¥ð ( l i n i a p r z e r y w a n a
n a r y s . 1 1 ) . Z r y s u n k u t e g o w y n i k a r ó w n i e |, |e u k Ba d z a m k n i t y b d z i e
z a w s z e s t a b i l n y , n i e z a l e |n i e o d w a r t o [c i k v i d l a T > 0 , p o n i e w a | p u n k t
( - 1 , j 0 ) l e |y z a w s z e p o l e w e j s t r o n i e c h a r a k t e r y s t y k i c z s t o t l i w o [c i o w e j
u k Ba d u o t w a r t e g o G o ( j wð) .
1 7
k
-ð
T
R =ð ¥ð
R y s . 1 1 . C h a r a k t e r y s t y k a a m p l i t u d o w o f a z o w a u k Ba d u o t w a r t e g o
o t r a n s m i t a n c j i G k v
(ðs )ð=ð
1
s (ðT s +ð1 )ð
P r z y k Ba d 3
Z b a d a s t a b i l n o [ s y s t e m u o p i s a n e g o p r z e z w i e l o m i a n
c h a r a k t e r y s t y c z n y M ( s ) = s 4 + s 3 + s 2 + 2 s + 1 . W t y m c e l u n a l e |y
w y k o r z y s t a k r y t e r i u m R o u t h a .
W t y m c e l u b u d u j e m y t a b l i c e R o u t h a z g o d n i e z z a l e |n o [c i ( 1 5 ) .
W ó w c z a s o t r z y m a m y :
1 1 1
s 4
1 2 0
s 3
( 3 8 )
-ð1 1 0
s 2
3 0
s 1
1 0
s 0
P o n i e w a | w p i e r w s z e j k o l u m n i e w y s t p u j e p o d w ó j n a z m i a n a z n a k u ,
w i e l o m i a n M ( s ) m a d w a p i e r w i a s t k i w p r a w e j p ó Bp Ba s z c z y zn i e
z e s p o l o n e j s .
P r z y k Ba d 4
Z b a d a s t a b i l n o [ s y s t e m u o p i s a n e g o p r z e z w i e l o m i a n
c h a r a k t e r y s t y c z n y M ( s ) = s 4 + s 3 + 2 s 2 + 2 s + 2 . W t y m c e l u n a l e |y
w y k o r z y s t a k r y t e r i u m R o u t h a .
W t y m c e l u b u d u j e m y t a b l i c e R o u t h a z g o d n i e z z a l e |n o [c i ( 1 5 ) .
W ó w c z a s o t r z y m a m y :
1 8
1 2 2
s 4
1 2 0
s 3
( 3 9 )
0 2 0
s 2
¥ð
s 1
s 0
P o n i e w a | t r z e c i e l e m e n t p i e r w s z e j k o l u m n y j e s t z e r e m , t a b l i c a n i e
m o |e b y u z u p e Bn i o n a . P o p o m n o |e n i u w i e l o m i a n u M ( s ) p r z e z ( s + 1 )
o t r z y m u j e s i w i e l o m i a n M 1 ( s ) = ( s + 1 ) M ( s ) = s 5 + 2 s 4 + 3 s 3 + 4 s 2 + 4 s + 2 , d l a
k t ó r e g o t a b l i c a R o u t h a m a p o s t a :
1 3 4
s 5
2 4 2
s 4
1 3 0
s 3
( 4 0 )
-ð 2 2
s 2
4 0
s 1
2
s 0
P o n i e w a | w p i e r w s z e j k o l u m n i e w y s t p u j e p o d w ó j n a z m i a n a z n a k u ,
w i e l o m i a n M 1 ( s ) ( c z y l i r ó w n i e | w i e l o m i a n M ( s ) ) m a d w a p i e r w i a s t k i w
p r a w e j p ó Bp Ba s z c z y zn i e z m i e n n e j z e s p o l o n e j s .
6 . L i t e r a t u r a
1 . Z b i g n i e w W A AA C H C y b e r n e t y k a t e c h n i c z n a . C z [ I
E k s p l o a t a c j a o s p r z t u , W y d z i a B W y d a w n i c z y W A T ,
W a r s z a w a 1 9 8 3
2 . J a n u s z K O W A L P o d s t a w y a u t o m a t y k i . T 1 , U c z e l n i a n e
W y d a w n i c t w a N a u k o w o - D y d a k t y c z n e A G H , K r a k ó w 2 0 0 4 ,
S y g n a t u r a : 6 0 3 7 8
3 . T a d e u s z K a c z o r e k T e o r i a s t e r o w a n i a . T o m I U k Ba d y l i n i o w e c i g Be
i d y s k r e t n e . P a Ds t w o w e W y d a w n i c t w o N a u k o w e , W a r s z a w a 1 9 7 7 .
4 . D a r i u s z H o r l a P o d s t a w y a u t o m a t y k i . w i c z e n i a r a c h u n k o w e .
C z [ I , W y d a w n i c t w o P o l i t e c h n i k i P o z n a Ds k i e j , P o z n a D 2 0 0 3 .
5 . W Ba d y s Ba w P e Bc z e w s k i T e o r i a s t e r o w a n i a . C i g Be s t a c j o n a r n e
u k Ba d y l i n i o w e W y d a w n i c t w a N a u k o w o T e c h n i c z n e , W a r s z a w a
1 9 8 0 , S y g n a t u r a : I I 6 5 5 2 3 .
1 9