54306

13. Testy jednostajnie najmocniejsze i nieobciążone

1. a) Wyznaczyć test jednostajnie najmocniejszy do zweryfikowania na poziomie o hipotezy, że zmienna losowa X ma rozkład o gęstości

przeciwko hipotezie, że A" ma gęstość

<j(:r) = exp(—a:), x > 0.

b) Zweryfikować na poziomie a hipotezę, że X ma gęstość g(x) przy alternatywie, że ma gęstość f(x).

Wskazówka: Gęstość f(x) jest gęstością wartości bezwzględnej zmiennej losowej o standardowym rozkładzie normalnym i ma dystrybuantę F(x) - 2$(x) -l,x> 0.

2.    a) Wyznaczyć test jednostajnie najmocniejszy do zweryfikowania na poziomie a = 0.1 hipotezy, że zmienna losowa A' ma rozkład dwumianowy 5(5,1/2) wobec alternatywy, że X ma rozkład jednostajny na zbiorze (0,.... 5}.

b) Wyznaczyć analogiczny test w przypadku zamiany hipotez.

3.    Niezależne zmienne losowe X_x.....X_n mają jednakowy rozkład o gęs

tości

A > 0.

Wyznaczyć obszar krytyczny testu jednostajnie najmocniejszego na poziomie istotności a = 0.05 do weryfikacji hipotezy //₀: A < 1 przeciwko H\: A > 1.

4. Zmienna losowa X ma rozkład potęgowy o dystrybuancie Fq{x) = x^$} 0 < x < 1,    0 > 0.

Do weryfikacji hipotezy H_n: 0 € [1,2] przeciwko H_x: 0 £ (1,2] na poziomie a = 0.2 wybrano test o obszarze krytycznym

1\ = (X <0.1} U {A >0.9}.

Obliczyć funkcję mocy tego testu i naszkicować jej wykres. Czy jest to test na poziomie istotności a? Czy jest to test nieobciążony?

1