65042

Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IM

7. Funkcje (pochodne funkcji, cz, II)

1. Obliczyć    podanych funkcji

a) /(.v)=.rln.r;    _d) /(*)₌V*² + 1:

b)    f{x)=(x²+x + ijcos*;    e) f(x)=xⁱ- — ;

x

c)    f(x)=e^aMX\    o /(*) = sin³ * +cos³ x.

2. Zbadać, czy istnieje /⁽"’(.v₀) dla podanych funkcji i punktów

a) /(a)=|a|\ *o = 0. w = 3;	c) /(*)=	-A\dla.v<0 [V. dla,>0-^f” ^= 0-" ^= 2
.. w \ f*^4. dlajr^O ^b>/(0= 4 a0=0, n = 3; [sin a, dla a > 0	d) /(.*)=	(‘■;-^l)!'^d'^a '^S0,,o=0. n = 2
		xdla.r>0

3. Funkcja/ma pochodne do trzeciego rzędu włącznie. Obliczyć .v\y".y'" dla podanych funkcji

^c> y=f\

b) ys/H;    d) > = /(ln.v).

4. Znaleźć wzory ogólne na pochodna n-tego rzędu podanych funkcji

a )y = f (*'-);

:) / (•*)=

a)    /(*)=<• ⁵;

b) /W=2-';

5.    Na wykresie funkcji y - e' znaleźć punkt, który jest położony najbliżej prostej y = ex - 4.

6.    Punkt materialny porusza się po prostej y = — w kierunku osi Oy. Wyznaczyć tor tego punktu po

odbiciu sprężystym (kąt padania równa się kątowi odbicia) od luku paraboli o równaniu \

y — 2 - —, gdzie x > 0.

7. Punkt materialny porusza się po krzywej y = 2‘ w ten sposób, że jego rzut na oś Ox ma stałą prędkość v_x =3. Z jaką prędkością (w kierunku osi Oy) porusza się ten punkt w chwili, gdy jest na wysokości 4?