55159

?(0, >•) = /*(>-)

(25)

Zauważyć należy, że dopiero (25)+(21) tworzy zagadnienie Cauchy’ego, a samo (25) jest zagadnieniem początkowym równania (21). Rozwiązanie jest funkcją zmiennej £.

0>(*,y) = i4(£)=j4(.*+y)

Twierdzenie

Dowolna funkcja A(x+y) jest rozwiązaniem (21).

_ dA d£ _ dA

V> = \Sy = \

skąd <p_x - <p_y = Aą - Aę = 0 Uwaga

Jeżeli (25) zawiera funkcje A(y), wtedy $p(.v,y) = A(x + y) jest rozwiązaniem (21)+ (25)

albo zagadmenia Cauchy’ego.

Ogólnie

/ł(£)jest rozwiązaniem równania (15), jeśli tylko ę = <p(x,y) jest całką równania charakterystyk.

Do rówtiatua struny

Powyżej udało się rozwiązać równanie powstałe na drodze transformacji równania różniczkowego pochodnych cząstkowych drugiego rzędu. Mając rozwiązanie równania (15) można wprowadzić dwie zmienne, różniące się o czyiuiik k_±. Z kolei eliminując a, | i a₂₂» mamy a,₂ (tu poszczególne czynniki nie wyzerują się).

Wróćmy do postaci ogólnej równania różniczkowego danej przez:

a_l2U_4n = 0(U^U_nM^r?)

(26)

Funkcja ta przybiera taką formę ze względu na to, iż udaje się rozwiązać (15) i w dodatku pod warunkiem k₊ *k_ W tym przypadku istnieje dwie funkcje:

a)    4 - <p( •*» >’),która jest pierwszą całką <p_x -k₊=0

b)    rj= i//(x,y), będąca pierwszą całką ij/_x - k_i//_y = 0