55165

- Z ^C,xⁿ ( ⁿ - ¹) ^x"~² + X² £ ^CnXⁿ - A £ C,,*'* = O

/i=2    n=0    «=0

(8)

Podstawą zastosowanej metody rozwiązywania jest stwierdzenie, że funkcje xⁿ są liniowo

n

niezależne (V a_nxⁿ =0 =>a_n = 0). Otrzymujemy zatem:

n=0

(~C₂ 2(2 -1)- AC₀)x° + (—C’₃3(2)-r^l - AC, )x' + (-C₄4• 3 + C₀ - AC₂ )x² +... = 0

(9)

W wyrażeniu (6) każdy nawias zeruje się. W przypadku funkcji liniowo niezależnych można napisać, że:

2 C₂ + AC₀ = 0 6C3 + AC| = 0

(10)

12C₄-C₀ + AC₂=0

Np. przy dowolnym n następujący szereg (/i + 2)(/i + 1)C„₊₂-C„_2 +AC_#I = 0 jest dowolnie określony.

Z powyższych rozważań widać, że rozwiązaniem y jest wielkość /„. Wprowadzamy nową funkcję:

y(x,C₀,q) = e-^x2'² <M*C,,C₂)

OD

Można udowodnić, że 9,i(^,C|,C₂) jest wielomianem dla A=Ą,D/i + ^. Szereg dla ę>

można wyprowadzić, powtarzając procedurę, przy czym szereg urywa się dla pewnych wartości k. Wynika z tego, że    —> 0. gdy x —» ±co. Taki wanmek pizy co jest spełniony

tylko dla szczególnych wartości Są to wartości własne tego równania lub operatora H.

to* = (12)

Takie podejście jest istotne, gdzie do analizy funkcji specjalnych stosuje się metodę rozwinięcia w szereg. Wprowadzane są tu funkcje Henmte’a y_A.

Ogólnie Metoda szeregów potęgowych (tzw. metoda Frobeniusa (1873, patrz Ince, 365, 396))

Mając ogólne równanie różniczkowe zwyczajne jednorodne rzędu n:

y⁽ⁿ⁾(-x)+    (x)y^{n-^l) {x)+...+ f₀(x)y = 0

(13)

chcemy znaleźć punkty, w których funkcja y dąży do co. Za pomocą przesunięcia można taki pimkt sprowadzić do x=0.

Niech x=0 jest punktem, w którym y(x) -> OD x^v. gdzie v < 0. Oznacza to, że w tym punkcie nie istnieje rozwinięcie w szereg Taylora, a w równaniu v = x^vz(x) funkcja z(x) jest już funkcją regularną.

Twierdzenie Równanie (13) posiada rozwiązanie w postaci szeregu