55166

^al\U# + 2XX\ ₂Uę_n +OC₂2^rjrj ~

(8)

^al\^=a\ \<Px + 2«I29/Py + <^l22<Py

(9)

^al2 = ^a\ 19_xWx ⁺ 2*12 (9xVy ⁺ ^y ) ⁺ a22<PyVy

(10)

«22 = «,    + 2a_l21f^/xV^/y + ^a22^

(11)

Rozpoczęliśmy od równania postaci:    a,,(/_xr+ 2fl₁₂Ł/_n.+ tf22^vv- ^^{est t0} równanie

różniczkowe drugiego rzędu. Wprowadzamy nowe zmienne i dokonujemy przekształcenia, aby zmniejszyć liczbę drugich pochodnych. Dlatego też z (8) a_M musi równać się zero. Natomiast rozważmy (9), (10), (11) jako równania dla funkcji <p. Stąd:

«ii = 0

(12)

'y )

2a_n —+a₂2 - 0

<Py

(ale    <P_y*0)

(13)

Wykonane zostały działania algebraiczne, w wyniku których dostajemy algebraiczne równanie kwadratowe, przy czym <p_x, q>_y to pochodne cząstkowe. Uzyskano równanie

różniczkowe pierwszego rzędu. Można je otrzymać względem tego, że:

<P_X _ ~^a\2^yl^a\2~^a\ \^a22 <Py    ^a\ I

(14)

=*±

kiedy

^flil *0

co również można zapisać jako: Vx-^k±Vy⁼⁰

(15)

Rozważając z kolei równanie (11) uzyskuje się podobne równanie: ff/_x - k_±i//_y = 0 (gdzie dobrano tak współczynniki, by = 0)

Stwierdzamy, że jeżeli istnieje rozwiązanie (p, ty, wtedy istnieje rozwiązanie a_n = a₂₂ =0. Pizy czym jedno równanie z k_± daje <p. a drugie z k_± daje ly.