82164

str2

W13/14

W celu obliczenia wyniku należy sformułować algorytm numeryczny (metodę) polegająca na określeniu ciągu działań arytmetycznych, które trzeba wykonać na danych. Zakładamy, że liczba działań jest zawsze skończona. W przypadku stosowania tzw. metod nieskończonych należy określić warunek przerwania obliczeń w skończonej liczbie kroków.

Algorytmy numeryczne formułujemy w dziedzinie liczb rzeczywistych, odwołując się do dokładnych działań arytmetycznych. W konkretnych obliczeniach komputerowych dane oraz dokładne działania arytmetyczne zastępowane są danymi oraz działaniami w odpowiedniej arytmetyce zmiennoprzecinkowej.

Błąd wyniku wywołany błędami zaokrągleń występującymi przy realizacji algorytmu nazywamy błędem algorytmu. Jeżeli błąd ten jest duży, to mówimy, że algorytm jest niestabilny numerycznie; w przeciwnym razie - stabilny numerycznie.

Jeżeli zadanie jest dobr/c uwarunkowane i wybrany algorytm jest numerycznie stabilny, to otrzymamy rozwiązanie z niedużym błędem względnym.

Dla bardziej precyzyjnego określenia pojęcia

uwarunkowanie zadania

wprowadza się wskaźnik (wskaźniki) uwarunkowania zadania numerycznego.

Wskaźnik uwarunkowania jest mnożnikiem, zależnym zwykle od danych zadania, określającym zmianę zaburzeń względnych danych (w sensie wartości bezwzględnych lub norm tych zaburzeń). Oznaczany jest (od słowa angielskiego condition - warunek) przez

cond lub cond(x) dla zaznaczenia zależności od danych zadania.

7auważmy, że własność uwarunkowania jest cechą samego zadania nic związaną z metodą (algorytmem) rozwiązywania.

W przypadku zadania obliczania wartości funkcji jednej zmiennej y = f(x) jest równy

cond(x) * —f(x) —

dx f(x)

ponieważ błąd względny funkcji 8y możemy wyrazić wzorem przybliżonym

—f(x)—— 8x dx f(x)

Dla zadania rozwiązywania układów równań liniowych Ax - b wskaźnik ten określa sic wzorem

cond(A) ~ || A || || A-*||.