82300

Twierdzenie 6.8 (Taylora)

Jeżeli funkcja f ma ciągle pochodne cząstkowe do drugiego rzędu włącznie na pewnym otoczeniu O(Po), Pu — (xo.yo). to dla dowolnego punktu P(x.y) G O(Po) istnieje tuka liczba 0 G (0.1), że

/(*• V) = /(*o- i/o) + df(xo, y₀)(Ax. Ay) + ^ d²f(x₀ + 0Ax. yo + 0Ay)(Ax. Ay) Dowód:

Oznaczymy Ax = x — xq. Ay = y - yo i wprowadzimy funkcję pomocniczą *(0 = /(*o +1 Ax, yo + t Ay).

Marny: <I>(0) = /(xo,yo). 4‘( 1) = f(xo + Ax. yo + Ay). Funkcja <1» jest klasy C² < 0,1 > i z twierdzenia Taylora dla funkcji jednej zmiennej Ą.9 otrzymujemy:

(9)

30 G (0,1): ł(l) = <I»(0) + *^/(0)+^4»^M(0)

Ze wzoru na pochodną funkcji złożonej obliczamy

$'(t) = |^(x₀ + tńx.yo + tAy) Ax + ^(x₀ + tAx,yo + tAy)Ay

%

, t?f

dxdy

8

Stąd

*'(0) = df(x₀,yo)(Ax. A y)

♦”(0) = $j£(xo + 0 Ax. yo + 0Aj/)Ax² -f 2^j(xo + 0 Ax, yo + QAy)AxAy+ + 0(xo + 0 Ax. yo + 0 Ay) Ay² = ^/(io + 0Ax. yo + 0Ay)(Ax. Ay)

Stosując wzór (9) otrzymujemy tezę:

f(x, y) = /(* o, 2/o) + d/(*o, ito)( Ax. Ay) + ^ </²/(x₀ + 0Ax. yo + 0Ay)( Ax. Ay)

9

6.10 Ekstrema funkcji wielu zmiennych

Rozpatrujemy funkcję n zmiennych / : A —» H. A C W oraz punkt Pq G intA. Definicja 6.24 (Maksimum lokalne)

Funkcja f ma w punkcie Pq maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu O (Po) takie, że dla dowolnego punktu P G 0(Pq) zachodzi nierówność:

f(P) - /(Po) < 0

Definicja 6.25 (Minimum lokalne)

Funkcja f ma w punkcie Po maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu O (Po) takie, że dla dowolnego punktu P G 0(Pq) zachodzi nierówność:

f(P) ~ f(Po) > 0

44