88468

Chemia - Zestaw nr 7. I Warty równań liniowych.

Rozważamy układ m równań liniowych z n niewiadomymi: anXi + ... + a_t„x„ = b_t

( U )    021 xi + ... + Q2nX_n = Ó2 , czyli AX=B. W celu rozwiązania stosujemy metodę operacji elentar-

...................................... nych na wierszach macierzy rozszerzonej [A,B].

Omi Xt + ... + a_mnx„ = b_m

Operacjami elementarnymi na wierszach macierzy nazywamy

•    mnożenie dowolnego wiersza macierzy przez liczbę różną od zera;

•    dodawanie do dowolnego wiersza macierzy innego wiersza tej macierzy pomnożonego przez dowolną liczbę;

•    zamianę dwóch różnych wierszy miejscami.

Jeżeli na macierzy rozszerzonej [A,B] układu równań dokonujemy operacji tego typu, to układ odpowiadający zmienionej przez te operacje macierzy jest równoważny wyjściowemu. Celem tych operacji jest doprowadzenie macierzy do postaci, w której w A występuje pewna ilość, powiedzmy r, kolumn zerojedynkowych (o numerach 1< ji<j2<...<j_r<n), z jedynkami na r różnych miejscach (w l,2,...,r-tym wierszu, choć w dowolnej kolejności), zaś m-r pozostałych, końcowych wierszy albo jest zerowych, albo wśród nich występuje przynajmniej jeden postaci [0, 0, ..., 0, a], gdzie a * 0. (Liczba r okaże się w dalszym ciągu rzędem macierzy A.)

•W pierwszym z tych przypadków, układ posiada rozwiązania, i wszystkie rozwiązania otrzymuje się, przyjmując za parametry wszystkie niewiadome, które odpowiadają kolumnom nie wybranym powyżej jako zerojedynkowe; pozostałe niewiadome wyrażamy w zależności od tych parametrów, co jest możliwe dzięki temu, że każda z nich występuje tylko w jednym równaniu, ze współczynnikiem 1. W rozważanym przypadku rz A = rz [A,B] = r (oznaczenie rz A, czyli rząd macierzy A, zobacz poniżej)

•W drugim z tych przypadków układ jest sprzeczny (rz A=r, zaś rz[A,B]=r+l).

W powyższych rozważaniach rz A oznacza rząd macierzy A, będący wymiarem (stopniem) największego niezerowego minora macierzy A, gdzie minorem nazywamy każdy wyznacznik utworzony z macierzy A przez skreślenie pewnej ilości wierszy i kolumn (tak, aby powstała macierz posiadająca wyznacznik, tzn. macierz kwadratowa). Na wykładach z przestrzeni wektorowych dowiemy się, że rząd macierzy A jest również liczbą liniowo niezależnych wierszy macierzy A, oraz również ilością liniowo niezależnych kolumn macierzy A.

—L

la)

Xj + 2x₂+ 3*3+ 4x₄+ 5*5= 35 ^X1⁺ 3*2 ⁺ 6*3 + 10x₄ + 15xt; = 70 xi + 4x₂ + 10x₃ + 20x₄ + 35x5 = 126 X| + 5x₂ + 15x₃ + 35x₄ + 70x5 = 210

*1

3xj+ 4x₂+ X3 + 2x4 + 3xg = 0 5xj+ 7x₂+ X3 + 3x4 + 4xj = 0 4xj + 5x₂ + 2x₃+ x₄ + 5xj = 0 7X| + 10x₂ + x₃ + 6x4 + 5xcj = 0

b)

xi + 2x₂ + 3x3“2x4+ x$= 4 3xj + 6x₂ + 5x3 - 4x₄ + 3xcj = 5 Xj + 2x₂ + 7x3-4x4+ X5 = ll 2xj + 4x₂ + 2x3-3x4 + 3x5= 6

d)

x + y+ z+ u =1 2x—3y —2z +5u =1 — x—6 y —5z + 2u =1

x— y + z— u = 2	x- y+3z- u = -2	x +2z+3u=0
3x— y — 7z+2u =0	2x + 3y+ z + u = 0	x + 2y+4z+ Su =0.
u) 6x + 2y — z- u = 3	4x +3z-2i/=-1	2x +4z+ 6u =0^
2x — 2y + 2z — 2u=5	3x + 2y + 5z + 2u= 3	3x + 2y + 8z + llu=0

x+y+z= 2 x -z = 0 y-z = -l

x-y = 1

x—y—z= 0

j)

a)

^xl-*2 ^{+ x}3“ *4+ *5 ^{= 1}

Xj - x₂ + x₃ + x₄- x₅ = 1 2. Rozwiązać w zależności od parametru „a”: Xj - x₂ + x₃ + 3x₄ - 3x₅ = 1

(Kj + x₂ + *3 = 1 Xi ł ax₂ + X3 = a X| + x₂1 0x3 = o"

X| + 2x₂ + 3x3 = 0 b) ^ 2xj + 4x₂ + 2ax3 = 0 x,ł3x₂ł X3 = a - 3

c)

axj - x₂+ x₃ = 1 xi - ax₂ + x₃=l 3xi~3x₂ + 2x3 = 2a

d)

Xj + ax₂ + X3 = 2a 0x1 + x₂ + X3 = a