Rozważamy układ m równań liniowych z n niewiadomymi: anXi + ... + at„x„ = bt
( U ) 021 xi + ... + Q2nXn = Ó2 , czyli AX=B. W celu rozwiązania stosujemy metodę operacji elentar-
...................................... nych na wierszach macierzy rozszerzonej [A,B].
Omi Xt + ... + amnx„ = bm
Operacjami elementarnymi na wierszach macierzy nazywamy
• mnożenie dowolnego wiersza macierzy przez liczbę różną od zera;
• dodawanie do dowolnego wiersza macierzy innego wiersza tej macierzy pomnożonego przez dowolną liczbę;
• zamianę dwóch różnych wierszy miejscami.
Jeżeli na macierzy rozszerzonej [A,B] układu równań dokonujemy operacji tego typu, to układ odpowiadający zmienionej przez te operacje macierzy jest równoważny wyjściowemu. Celem tych operacji jest doprowadzenie macierzy do postaci, w której w A występuje pewna ilość, powiedzmy r, kolumn zerojedynkowych (o numerach 1< ji<j2<...<jr<n), z jedynkami na r różnych miejscach (w l,2,...,r-tym wierszu, choć w dowolnej kolejności), zaś m-r pozostałych, końcowych wierszy albo jest zerowych, albo wśród nich występuje przynajmniej jeden postaci [0, 0, ..., 0, a], gdzie a * 0. (Liczba r okaże się w dalszym ciągu rzędem macierzy A.)
•W pierwszym z tych przypadków, układ posiada rozwiązania, i wszystkie rozwiązania otrzymuje się, przyjmując za parametry wszystkie niewiadome, które odpowiadają kolumnom nie wybranym powyżej jako zerojedynkowe; pozostałe niewiadome wyrażamy w zależności od tych parametrów, co jest możliwe dzięki temu, że każda z nich występuje tylko w jednym równaniu, ze współczynnikiem 1. W rozważanym przypadku rz A = rz [A,B] = r (oznaczenie rz A, czyli rząd macierzy A, zobacz poniżej)
•W drugim z tych przypadków układ jest sprzeczny (rz A=r, zaś rz[A,B]=r+l).
W powyższych rozważaniach rz A oznacza rząd macierzy A, będący wymiarem (stopniem) największego niezerowego minora macierzy A, gdzie minorem nazywamy każdy wyznacznik utworzony z macierzy A przez skreślenie pewnej ilości wierszy i kolumn (tak, aby powstała macierz posiadająca wyznacznik, tzn. macierz kwadratowa). Na wykładach z przestrzeni wektorowych dowiemy się, że rząd macierzy A jest również liczbą liniowo niezależnych wierszy macierzy A, oraz również ilością liniowo niezależnych kolumn macierzy A.
—L
la)
Xj + 2x2+ 3*3+ 4x4+ 5*5= 35 X1+ 3*2 + 6*3 + 10x4 + 15xt; = 70 xi + 4x2 + 10x3 + 20x4 + 35x5 = 126 X| + 5x2 + 15x3 + 35x4 + 70x5 = 210
*1
3xj+ 4x2+ X3 + 2x4 + 3xg = 0 5xj+ 7x2+ X3 + 3x4 + 4xj = 0 4xj + 5x2 + 2x3+ x4 + 5xj = 0 7X| + 10x2 + x3 + 6x4 + 5xcj = 0
b)
xi + 2x2 + 3x3“2x4+ x$= 4 3xj + 6x2 + 5x3 - 4x4 + 3xcj = 5 Xj + 2x2 + 7x3-4x4+ X5 = ll 2xj + 4x2 + 2x3-3x4 + 3x5= 6
x + y+ z+ u =1 2x—3y —2z +5u =1 — x—6 y —5z + 2u =1
x— y + z— u = 2 |
x- y+3z- u = -2 |
x +2z+3u=0 |
3x— y — 7z+2u =0 |
2x + 3y+ z + u = 0 |
x + 2y+4z+ Su =0. |
u) 6x + 2y — z- u = 3 |
4x +3z-2i/=-1 |
2x +4z+ 6u =0^ |
2x — 2y + 2z — 2u=5 |
3x + 2y + 5z + 2u= 3 |
3x + 2y + 8z + llu=0 |
x+y+z= 2 x -z = 0 y-z = -l
x-y = 1
x—y—z= 0
j)
xl-*2 + x3“ *4+ *5 = 1
Xj - x2 + x3 + x4- x5 = 1 2. Rozwiązać w zależności od parametru „a”: Xj - x2 + x3 + 3x4 - 3x5 = 1
(Kj + x2 + *3 = 1 Xi ł ax2 + X3 = a X| + x21 0x3 = o"
X| + 2x2 + 3x3 = 0 b) ^ 2xj + 4x2 + 2ax3 = 0 x,ł3x2ł X3 = a - 3
axj - x2+ x3 = 1 xi - ax2 + x3=l 3xi~3x2 + 2x3 = 2a
Xj + ax2 + X3 = 2a 0x1 + x2 + X3 = a