88468

88468



Chemia - Zestaw nr 7. I Warty równań liniowych.


Rozważamy układ m równań liniowych z n niewiadomymi: anXi + ... + at„x„ = bt

( U )    021 xi + ... + Q2nXn = Ó2 , czyli AX=B. W celu rozwiązania stosujemy metodę operacji elentar-

...................................... nych na wierszach macierzy rozszerzonej [A,B].

Omi Xt + ... + amnx„ = bm

Operacjami elementarnymi na wierszach macierzy nazywamy

•    mnożenie dowolnego wiersza macierzy przez liczbę różną od zera;

•    dodawanie do dowolnego wiersza macierzy innego wiersza tej macierzy pomnożonego przez dowolną liczbę;

•    zamianę dwóch różnych wierszy miejscami.

Jeżeli na macierzy rozszerzonej [A,B] układu równań dokonujemy operacji tego typu, to układ odpowiadający zmienionej przez te operacje macierzy jest równoważny wyjściowemu. Celem tych operacji jest doprowadzenie macierzy do postaci, w której w A występuje pewna ilość, powiedzmy r, kolumn zerojedynkowych (o numerach 1< ji<j2<...<jr<n), z jedynkami na r różnych miejscach (w l,2,...,r-tym wierszu, choć w dowolnej kolejności), zaś m-r pozostałych, końcowych wierszy albo jest zerowych, albo wśród nich występuje przynajmniej jeden postaci [0, 0, ..., 0, a], gdzie a * 0. (Liczba r okaże się w dalszym ciągu rzędem macierzy A.)

•W pierwszym z tych przypadków, układ posiada rozwiązania, i wszystkie rozwiązania otrzymuje się, przyjmując za parametry wszystkie niewiadome, które odpowiadają kolumnom nie wybranym powyżej jako zerojedynkowe; pozostałe niewiadome wyrażamy w zależności od tych parametrów, co jest możliwe dzięki temu, że każda z nich występuje tylko w jednym równaniu, ze współczynnikiem 1. W rozważanym przypadku rz A = rz [A,B] = r (oznaczenie rz A, czyli rząd macierzy A, zobacz poniżej)

•W drugim z tych przypadków układ jest sprzeczny (rz A=r, zaś rz[A,B]=r+l).

W powyższych rozważaniach rz A oznacza rząd macierzy A, będący wymiarem (stopniem) największego niezerowego minora macierzy A, gdzie minorem nazywamy każdy wyznacznik utworzony z macierzy A przez skreślenie pewnej ilości wierszy i kolumn (tak, aby powstała macierz posiadająca wyznacznik, tzn. macierz kwadratowa). Na wykładach z przestrzeni wektorowych dowiemy się, że rząd macierzy A jest również liczbą liniowo niezależnych wierszy macierzy A, oraz również ilością liniowo niezależnych kolumn macierzy A.

L


la)


Xj + 2x2+ 3*3+ 4x4+ 5*5= 35 X1+ 3*2 + 6*3 + 10x4 + 15xt; = 70 xi + 4x2 + 10x3 + 20x4 + 35x5 = 126 X| + 5x2 + 15x3 + 35x4 + 70x5 = 210

*1

3xj+ 4x2+ X3 + 2x4 + 3xg = 0 5xj+ 7x2+ X3 + 3x4 + 4xj = 0 4xj + 5x2 + 2x3+ x4 + 5xj = 0 7X| + 10x2 + x3 + 6x4 + 5xcj = 0


b)


xi + 2x2 + 3x3“2x4+ x$= 4 3xj + 6x2 + 5x3 - 4x4 + 3xcj = 5 Xj + 2x2 + 7x3-4x4+ X5 = ll 2xj + 4x2 + 2x3-3x4 + 3x5= 6


d)


x + y+ z+ u =1 2x—3y —2z +5u =1 — x—6 y —5z + 2u =1


x— y + z— u = 2

x- y+3z- u = -2

x +2z+3u=0

3x— y — 7z+2u =0

2x + 3y+ z + u = 0

x + 2y+4z+ Su =0.

u)

6x + 2y — z- u = 3

4x +3z-2i/=-1

2x +4z+ 6u =0^

2x — 2y + 2z — 2u=5

3x + 2y + 5z + 2u= 3

3x + 2y + 8z + llu=0

x+y+z= 2 x -z =y-z = -l

x-y = 1

x—y—z= 0


j)


a)


xl-*2 + x3“ *4+ *5 = 1

Xj - x2 + x3 + x4- x5 = 1 2. Rozwiązać w zależności od parametru „a”: Xj - x2 + x3 + 3x4 - 3x5 = 1


(Kj + x2 + *3 = 1 Xi ł ax2 + X3 = X| + x21 0x3 = o"


X| + 2x2 + 3x3 = 0 b) ^ 2xj + 4x2 + 2ax3 = 0 x,ł3x2ł X3 = a - 3


c)


axj - x2+ x3 = 1 xi - ax2 + x3=l 3xi~3x2 + 2x3 = 2a


d)


Xj + ax2 + X3 = 2a 0x1 + x2 + X3 = a




Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Chemia - Zestaw nr 10 cz 2. Geometria analityczna w R część II 1)    Znaleźć równanie
Chemia - Zestaw nr 13 cz.2. Równania różniczkowe wyższych rzędów. •    Równanie
Chemia - Zestaw nr 10. Geometria analityczna w R • Płaszczyzna w RJ: • rówii. ogólne: K: A(x — xo) +
_Chemia - Zestaw nr 1. Liczby zespolone._ z = x + i y - liczba zespolona ; X = Re Z - część rzeczywi
Chemia - Zestaw nr 6. Zastosowania całek oznaczonych. Całki
Chemia - Zestaw nr 9. Geometria analityczna w R rachunek wektorowy. • Prosta w R2: postać parametry
Chemia - Zestaw nr 11. I imkcje wielu zmiennych. Ekstrema funkcji._ •    Warunek koni
Chemia - Zestaw nr 12. Zastosowanie pochodnych cząstkowych.I unkcia uwikłana. Prosta normalna i nias
Chemia - Zestaw nr 15. Zastosowanie pochodnych c7.ąstkowvch.I unkcia uwikłana. Prosta normalna i nia
Chemia0024 Zadanie nr 8 Napisz równania reakcji protolitycznych (według teorii Brónsteda), w których
Chemia - Zestaw nr 9. Geometria analityczna w R3. rachunek wektorowy. f x = Xq + at Prosta w Rń post
P051111 52 Rozważmy układ równań liniowycfa postaci: a2lxt + a:ax2 + ...+=£if2,Ixn; = ®2 + ■••
P051111 03 Rozważmy układ równań liniowych postaci: °llXl +ai2X2 + ~= b a2Xl + <*22*2 +- + a2„Xn
sc0004 bmp I, Badanie rozwiązań układu n równań liniowych o u niewiadomych. • Rozważmy układ równań
IV-14 §3.2. Przejdźmy do niejednorodnych układów równań. Twierdzenie 1. Rozważmy układ równań Ax
Biotechnologia. Chemia. Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 5 Równania różniczkowe liniowe
7 1 ZESTAW 1 - UKŁADY WE 1.2 Zadanie 2 Rozważyć układ WE i wyrazić małosygnałowe wzmocnienie napięci

więcej podobnych podstron