88474

Chemia - Zestaw nr 13 cz.2. Równania różniczkowe wyższych rzędów.

•    Równanie różniczkowe II rzędu y” f(x,y,y') w pewnych przyp. można sprowadzić do równania I rzędu:

1. R-nie postaci y” = f(x,y’) (a więc nie występuje y): stosujemy podstawienie z = y’

2. R-nie postaci y” = f(y,y’) (a więc nie występuje x), stosujemy podst. y’ = u(y) (wtedy y”= u’(y)‘u(y))

3.    Gdy znamy jedno z rozwiązań yi(x), wtedy stosujemy podstawienie yC■*) =y, (x)J‘u(x)dx .

•    Równanie o_ny⁽ⁿ⁾ +a_n__ly⁽ⁿ~^t) -h...-ba_ly'-ha₀y = f(x) nazywamy równaniem różniczkowym liniowyr i rzędu n o stałych współczynnikach. Jeżeli f(x) = 0 to równanie to nazywamy liniowym jednorodnym, ^ przeciwnym przypadku - niejednorodnym. Najpierw rozwiązujemy zawsze odpowiednie równanie jednorodne.

•    Rozw. równania zależyod pierwiastków równania charakterystycznego: o_nrⁿ -ł-a_n_₁rⁿ -t-. ..-ł-a,r-t-a₀ =0

1. Każdemu jednokrotnemu pierwiastkowi rzeczywistemu r₀ odpowiada funkcja y₀(x) =e^r°^x

2. Każdemu k - kromemu pierwiastkowi rzeczywistemu r₀ odpowiada k funkcji:

yj(x) =e^r°^x,y₂ (x) = xe^r°^x,y₃(x) = x²e^r°^xy_k(x) =x^k~¹e^r°^x.

3. Każdej parze jednokrot. pierwiastków zespolonych a + 0/ oraz a-Pi (P*0) odpowiadają dwie funkcje:

y(x) =e^CK cos /3x oraz z(x) =e^cx sin /3x.

4. Każdej parze k-krotn>ch pierwiastków zespolonych a ♦ (5/ oraz a - [3/ ((5*0) odpowiada 2k funkcji:

yj(x) =e°* cos /3x,    y₂(x) = xe°* cospx,    y*(x) =x^k~ⁱe^ox cos/?x,

zj(x) =e^O0( sin J?x » z₂ (x) = xe°°^l sin px • •••» z_k(x) =x^k~^le°* sin /3x •

Rozwiązaniem równania liniowego jednorodnego o stałych współczynnikach jest kombinacja liniowa wszystkich funkcji yi,y_n odpowiadających kolejnym pierwiastkom równania charakterystycznego tzn. funkcja y = Cyi+ ... + Cny_n. Równanie niejednorodne rozwiązujemy metodą uzmienniania stałych lub metodą przewidywania. (Metoda przewidywania - w dodatkowym zestawie.)

Metoda uzmienniania stałych polega na zastąpieniu stałych Q w rozwiązaniu funkcjami Ci(x), których pochodn * wyznaczamy z układu równań:

Ci'(x)y₁(x)    +C2(x)y₂(x)    -fc..-ł-C' (x)y„(x)    = 0

C{(x)y₁'(x)    +C^(x)y$(x)    +...+C' (x)y' (x)    = 0

Ci'(x)y₁⁽"“¹)(x)+C^(x)y<ⁿ-⁴)(x)-h..+C'(x)y(ⁿ-¹>(x)=-f^

L    “n

Rozwiązać równania różniczkowe:

1)    (II rzędu, szczeg. typu) a) (1 + x)y” = y* b) (K+ljy^^y*)²^; c) y^M(x²+l)=2xy^>, y(0)=l, y*(0)=3; bl y" = -/tg x + sin 2x c) xy” - /ln(y7x) = 0 ; cl) yy"⁺(y*)²=l c2) y^,,+1_^(y’)² =0

c3) y(l—lny)y'-Kl+lnyMy )² =0;c4) 2yy-3(y)² =4y²

d) y"=(y*)^ny    e)yy” - (y’)² = yy’    f) y” = y’lt> •/, jeżeli y(0) = 0, /(O) = 1;

g) 3/y” = 2y, jeżeli y(0) = /(O) = 1;    h) 2y” = e’, jeżeli y(0) = 0, y'(0) = 1;

2)    Rozwiązać równania rzędu drugiego, wiedząc, że yi(x) jest jednym z rozwiązań:

1    9

a) y"H—y'--ry ⁼⁰ yi(x) = x³    b) x^y" + 2xy’-6y = 0 yi(x) = x²

x x

c) (1 — x² )y'2xy'+2y = 0, y, (x) = x    d) y” - / tgx +2y = 0, yi(x) = sin x

3) (lin. o stałych współczynnikach, jednor.)    a) y” - 5/- 6y = 0 b) y” + 4/ + 4y = 0    c)

y”+4y^ł+5y=0 d) y"’ - 6y" + 12/ - 8y=0    e)/^4,+ 10/’+9y=0 f) y⁴⁾ - y=0; y⁴⁾ + y=0;

fi) y^,v>-y*=0; 12) y^,V) + y”=0; f3) /^V) + 2y”+/=0

_g) y⁴>+2y”- 8y’+ 5y=0 h) y^4,+2y’”-11/’-12/+ 36y=0 i) y⁴> + 5y” + 6y=0 j) y» + 2/”+/=0

4)    (liniowe o stałych współczynnikach, nie jednor.)

a)/'+ 3y'+ 2y =    4; al)    b)y"-/=3x²    c)/'+ 2/+ y = x²e‘^x

d) /' - 6y^ł + 9y =    3x - 8e^x    e) y^v - 2/” + /’ =    x + xe^x    f) /' - 2y' + lOy = 37 cos3x

3x    e^x

_g)y” + y = sin-x    h)y”-3y’ + 2y=-r-    g) y” - 2y" + y = -r-

\+e*^x    x*

5)    Znając układ fundamentalny rozwiązań równania różniczkowego liniowego jednorodnego napisać odpowiadające mu równanie:

a) y,(x) = e'“    y.{x) = e*    b) y,(x) = 1    yM = x