Silnią liczby naturalnej n (n!) jest iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych niż n.
Funkcję •N -» N+ definiuje się jako:
v 1 dla n = 0
lub rekurencyjnie:
11 dla n = 0
n • (n - 1)! dla n ^ 1
4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120 6! = 1 • 2 • 3 4 • 5 • 6 = 720
Wartość n! pozwala określić liczbę możliwych permutacji n elementów (wzajemnie jednoznaczne przekształcenie zbioru n-elementowego na siebie).
Silnia pojawia się również w wielu zastosowaniach (rachunek prawdopodobieństwa, statystyka). Szczególne znaczenie ma możliwość szybkiego wyznaczania silni dużych liczb.
Obliczanie wartości silni z definicji jest, poza najmniejszymi wartościami, uciążliwe i pracochłonne, a bardzo często także technicznie niemożliwe do wykonania.
Dlatego też najczęściej stosuje się przybliżony wzór Stirłinga na n'.:
,- n"
n! % >J2nn • —
dający dla wartości n > 20 poniżej 0.5% błędu oszacowania. Bardziej formalnie:
lim
n-+ oo
n!
= i
Dokładniejsza od wzoru Stirłinga na n( jest formuła:
n! ~ y/2mi • • e°n
Można również zdefiniować rekurencyjnie silnię k-tą (k-krotną), oznaczaną jako n'Sk^:
1 dla 0 < n < k
n!<*> = '
.n • (n - *)!<*> dla n Z k