89705

SILNIA

Silnią liczby naturalnej n (n!) jest iloczyn wszystkich liczb naturalnych nie większych niż n.

Funkcję •N -» N₊ definiuje się jako:

_nJ(>—

v 1    dla n = 0

lub rekurencyjnie:

11    dla n = 0

n • (n - 1)! dla n ^ 1

4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24 5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120 6! = 1 • 2 • 3 4 • 5 • 6 = 720

Wartość n! pozwala określić liczbę możliwych permutacji n elementów (wzajemnie jednoznaczne przekształcenie zbioru n-elementowego na siebie).

Silnia pojawia się również w wielu zastosowaniach (rachunek prawdopodobieństwa, statystyka). Szczególne znaczenie ma możliwość szybkiego wyznaczania silni dużych liczb.

Obliczanie wartości silni z definicji jest, poza najmniejszymi wartościami, uciążliwe i pracochłonne, a bardzo często także technicznie niemożliwe do wykonania.

Dlatego też najczęściej stosuje się przybliżony wzór Stirłinga na n'.:

,- n"

n! % >J2nn • —

dający dla wartości n > 20 poniżej 0.5% błędu oszacowania. Bardziej formalnie:

lim

n-+ oo

n!

= i

Dokładniejsza od wzoru Stirłinga na n( jest formuła:

n! ~ y/2mi •    • e°ⁿ

^gd;ieT^-^a"^£T^-

Można również zdefiniować rekurencyjnie silnię k-tą (k-krotną), oznaczaną jako n'S^k^:

1 dla 0 < n < k

n!<*> = '

.n • (n - *)!<*> dla n Z k