W szczególności, prawdziwe jest następujące twierdzenie I.aplare'a:

Jeżeli A/jest macierzą taką jak wyżej oraz / jest liczbą naturalną nie większą niż n, to zachodzą równości

\M\ =

/-i    . (rozwinięcie wyznacznika względem i-tego wiersza)

oraz

iwi=u- irw«i

1=1    . (rozwinięcie wyznacznika względem i-tej kolumny).

Definicja permutacyjna

Jeżeli A/jest maciazą taką, jak wyżej, to

det M = £ (^_1 )^lDV<<T) «l<r(l) • «2*(2) * - • <*n<r(n) efSn    ,

gdzie S„ oznacza zbiór wszystkich pcrmutacji zbioru 0*2, • • •, n}^ zaś Inv(o) oznacza liczbę inwersji danej pcrmutacji o € 5_n.

Przykładowo składnik    w wyznaczniku czwartego stopnia ma ujemny znak, gdyż pennutacja

indeksów

ma trzy inwersje, mianowicie: (3,1), (3,2) i (4,2), skąd Inv(x) = 3 craz (- 1)^{, =} - 1.

Wyznacznik ogólny

Wyznacznikiem ogólnym z parametrem p nazywamy:

det vYf —    (p)¹"^ Ol<T(l) • «2<t(2) • — • OfUT(n)

^P    <*Sn

gdzie A/, S» Inv(o) jak wyżej.

Przykładowo dla p = - 1 otrzymujemy wyznacznik, zaś dla p = 1 otrzymujemy permanent.

Definicja wyznacznika jako odwzorowania wieloliniowego

Jeżeli macierz -Mnxn(K)potraktujemy jako ciąg w kolumn (każda kolumna to element z przestrzeni liniowej HC¹). to istnieje dokładnie jedno antysymetryczne odwzorowanie wielolinicrwe det : M_nXn(K) ~* Ktakie, że det(f)= 1. Wartość odwzorowania det(/i) nazywamy wyznacznikiem macierzy A.