92310

P( N(t) = n) = P(r„ < r) + P(f„_t i > t) - P(r„ < t . r„_t, > ()

F„(t) ₊ l-F_n+1(f)~

1

P|N(t)=n) = F_n(t)-F_n+1(t)

Nie wystarczy wiedzieć jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia H uszkodzeń (odnowień). Równie ważną informacją jest oczekiwana liczba tych zdarzeń E[N(t)]. Wielkość ta jest funkcją czasu określoną dla f >0 oznaczaną H(t) i nazywaną funkcją odnowy (naprawy).

H(t)=£[jV(t)] = £n P{N(t) =n}= En|F„(t)-F_n+x(t)| = n=l    n—1

= £hF_n(0-£n F_n+1(r) = fn F_n(r) - £(n -1) F_n(f) =

n=l    n=l    n=1    n=2

= Fx(0+ £nF_n(f)- InF„(f)+ £f„(0 = EF_n(f)

n=2    n=2    n=2    n=l

H(0=£f„(0

n=I

W praktyce często posługujemy się pochodna funkcji odnowy i nazywamy ja gęstością odnowy.

dt dt n=l

f dFn(0

n=l dt

I MO

n=1

Fiuikcję odnowy można wyznaczyć inaczej:

H(f)= H F_n(r) = F₁(r)-i- EF_n+1(r) n=l    n=l

ale F₁(t) = F(t) i F_n+1(r) = jF„(f-T)dF(r)

o

H(f) = F(f)+ I JF_n(t-T)dF(r) = F(f) + j IF_n(f-r)dF(r) n=l o    0 n=l

= F(t) + JH (t - T)dF(T) = J[1 + H(f - r)]<JF(r)

0    o

H(f) spełnia powyższe równanie całkowe. Równanie to nosi nazwę równania odnowy (odnowienia).

Fiuikcję Ff (t) wykorzysUije się do wyznaczenia oczekiwanej liczby uszkodzeń w dowolnym przedziale czasu [tj, t₂j, wynosi ona H(t2) — H(ti).

Przy pomocy H (t) można wyznaczyć wariancję liczby uszkodzeń (odnów) w przedziale

[0/f]