3784502753

52 Marek Kałuszka, Michał Krzeszowiec

(ii) Jeżeli sx > w, to z (2) dla miary P mamy u(w — H (X)) <

< J g (^P (u (w — X) > i)) dt — j h ^P (—u (w — X) > t)j dt =

roo    r—u(w—sx)

-    g(0)dt—    h(l) ds = u(w — sx) ■

Jo    Jo

Zatem H (X) > sx■ Stąd i z (6) mamy H (X) = sx-

2. Załóżmy, że supX (u;) nie jest osiągane. Niech (w_n)_neN będzie takim cią-

giem, że lim X (uj_n) = sx- Niech yPn) _N będzie ciągiem miar probabilistycz-

nych takim, że P_n (^4) =

0    gdy ul„ i A,

1    gdy e A.

Rozważmy dwa przypadki:

(i) Jeżeli w > sx, to

i(w — H(X)) < J g (^P_n(u(w — X) > t)^j dt =

-L

•u( W-X(u_n))

g (l) dt = u(w — X (uj_n)).

Stąd H (X) > liro^AT (u;_n) = sx, gdy n —> oo. Stąd i z (6) mamy H (X) = sx-(ii) Jeżeli w < sx, to dla odpowiednio dużego n mamy

u{w-H{X)) <

< J g (p_n (u (w — X) > t)^j dt — j h [p_n (—u (w — X) > t)) dt =

r-u{w-X{uj_n))

= I g(0)dt—    h (1) ds = u (w — X (ujn)) •

Jo    Jo

Stąd H (X) > lim X (cj_n) = sx, gdy n —* oo. Stąd i z (6) mamy H (X) = sx■ □ Zdefiniujemy teraz składkę zerowej użyteczności w teorii nieokreśloności. Załóżmy, że X jest dowolną zmienną losową opisującą stratę ubezpieczonego. Przy poprzednich założeniach dotyczących równania (4) składkę zerowej użyteczności H (X) w ujęciu teorii nieokreśloności definiujemy jako rozwiązanie równania

(7)

u (w) = mfEghU (w + H (X) — X),

gdzie V jest rodziną wszystkich miar probabilistycznych, jakie można określić na przestrzeni mierzalnej (fź,^4).