5027719601

-

Przemienność i łączność

W programie matematyki każdej chyba szkoły podstawowej mowa jest o prawach przemienności i łączności dodawania. Prawa te występują już nawet w nauczaniu początkowym. Tymczasem trzeba sobie otwarcie powiedzieć, że jest utopią, aby dziecko stosowało świadomie te prawa w obliczeniach. Dla przykładu prześledźmy, jak z tych praw wynika równość ((32 + 16) + 8) + 14 = (32 + 8) + (16 + 14).

Lewa strona po zastosowaniu prawa łączności przekształca się na (32+(16+8))+14,

co na podstawie prawa przemienności można napisać w postaci (32+(8+16))+14,

a potem na podstawie prawa łączności można napisać w postaci ((32+8)+16)+14,

a to z kolei na podstawie jeszcze raz prawa łączności jest równe prawej stronie.

Uczenie dzieci takich formalizmów nie ma najmniejszego sensu. Byłoby to stwarzanie problemów tam, gdzie uczniowie ich nie mają. Dla każdego dziecka jest jasne, że suma dowolnej liczby składników nie zależy od kolejności wykonywania dodawania.

Mimo że dodawanie jest formalnie operacją dwuargumentową, dzieci nie mają kłopotu ze zrozumieniem wyrażenia 32 + 16 + 8 + 14. Żadne nawiasy nie są im potrzebne. Wprawdzie każdorazowo dodają do siebie tylko dwie liczby, ale doskonale wiedzą, że ostateczny wynik nie zależy od kolejności dodawania. Dosyć szybko też zdają sobie sprawę, że sumę tę najłatwiej obliczyć, łącząc 32 i 8 oraz 16 i 14:

32+16+8+14=40+30=70.

Dlaczego by wobec tego nie zrezygnować z mówienia oddzielnie o prawie przemienności oraz o prawie łączności dodawania, zastępując je oba równoważnym im i naturalnym dla dziecka prawem dowolnego wyboru kolejności dodawania: w dodawaniu wielu składników, możemy bez wpływu na wynik zmieniać dowolnie ich porządek oraz łączyć je w dowolny sposób, obliczając sumy częściowe. Oczywiście nie żądajmy od dzieci ogólnego sformułowania tego prawa, bo to zbyt skomplikowane i niepotrzebne. Ważne jest, aby umiały one korzystać z tego prawa i ułatwiać sobie obliczenia. Wydaje się przy tym, że w dodawaniu wielu składników wygodnie jest podkreślać w ten sam sposób te, które będziemy bezpośrednio do siebie dodawać - tak, jak to się często robi przy redukcji wyrazów podobnych:

17+9+8+3+2=20+10+9=39,

5+3+6+5+2+1=10+10+2.

6